深圳大学线性代数习题 2005线性代数试卷A
一、选择（每题4分，共20分）
1. 设A 、B 均为n 阶矩阵，当（ ）时，(A+B)(A-B)=A 2-B 2不成立。
(A) A=E
(B) A,B 为任意矩阵
(C) AB=BA
(D) A=B
2. 设行列式D=nn n n n n a a a a a a a a a ............
(2)
1222
21112
11，则nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka .....................212222111211＝（ ）
(A)
k k D (B)
k n D (C)
n k D (D) kD 3. 线性方程组Ax=b ，其中A 为m ×n 阶矩阵，则（ ）
(A) 当R(A)=m 时，必有解
(B) m=n 时，有唯一解
(C) R(A) =n 时，必有解
(D) R(A) 4. 下面命题正确的是（ ） (A) 如矩阵AB=E ，则A 可逆且A -1=B (B) 如矩阵A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则A+B 必可逆 (C) 如矩阵A ，B 均为n 阶不可逆矩阵，则A+B 必不可逆 (D) 如矩阵A ，B 均为n 阶不可逆矩阵，则AB 必不可逆 5. 设向量组a 、b 、c 线性无关，向量组a 、b 、d 线性相关，则（ ） (A) a 必可由b ，c ，d 线性表示 (B) b 必不可由a ，c ，d 线性表示 (C) d 必可由a ，b ，c 线性表示 (D) d 必不可由a ，b ，c 线性表示 二、填空（每题4分，共20分） 1. 设行列式D= n n n n a b b a b a b 0...00 (000) ..................00 0 00...0a 11221 1-- ＝ 2. 已知()T 3,2,11=α,()T 1,2,32=α,()T 2,0,23-=α,()T 4,2,14=α,则31α+22α-53α+44α= 3. 已知A ，B 均是3阶矩阵，且A =5，2-=B ，则1*3 1-B A ＝ 4. 当k= 时，A=???? ? ?????k 23654321不可逆。 5. 已知三阶矩阵A 的特征值为-1,2,3，则(2A) -1的特征值为 三、计算（每题10分，共30分；附加题10分） 1. 已知()1,2,11=α,()6,2,42=α,()4,0,33=α,()6,1,54=α，求该向量组的一个极大无关组，并把其他向量用该极大无 关组线性表示。 2. 已知矩阵A=??????????--011220111，B=???? ??????-660204122，求矩阵X ，使AX=B 。 3. 求一个正交的相似变化矩阵，将矩阵A=???? ??????----542452222化为对角矩阵。 4. （附加题）已知三维空间的两组基：()T 1,1,11=α,()T 1,0,12-=α,()T 1,0,13=α， ()T 1,2,11=β,()T 4,3,22=β,()T 3,4,33=β。求由基321,,ααα, 到 321,,βββ的过渡矩阵，并求一个向量γ，使它在这两组基下的坐标互为相反数。 四、证明（每题10分，共30分；附加题10分） 1. 证明满足A 2-3A-2E=0的n 阶方阵A 是可逆矩阵，并求出A -1。 2. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵， a) 若m>n ，请问AB 是否可逆，并证明之 b) 若m 3. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明 a) 若A =0，则*A =0。 b) *A =1-n A 。 4. （附加题）n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个 2 )1(+n n 维线性空间。给出n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，试证变换T(A)=P T AP 是线性变换。 同济大学课程考核试卷(A 卷) 2010—2011学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷 年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与选择题(均为单选题)(27分) 1、 已知4阶方阵1234 567890 54 a b A c d ????? ? =?????? ，函数()||f x xE A =?,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________. 2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式 1231,,,m αααβ=，又 1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m ?_______________. 3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=?=?=，其伴随矩阵为* A ，则行列式 *A =_____36_________. 4、 已知α是3维实列向量，且111111111T αα?????=????????? ，则α=5、设α是3 R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,T x x x ，则α在基 1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx ?________________. 6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________. 1(). ). (). ().n A A A A B C n cE c D ?若矩阵可逆，则与可交换 (可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换 7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2 AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______. ()2 2 2 (). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E ==?== 8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____ (). 0 (). 0 (). 0 ().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======?=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解 9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________. ()()()()()()()()()()()()()() (). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D ??,, ( 二、(10分) 已知n 阶行列式1 231 200 1 0301 00n n D n ="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和. 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄ 一、 (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝??? ? ? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 二、 (20分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，??? ? ? ??=a 213α线性相关，向量 ??? ?? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα???? ? ??---→623043303121b a ? ???? ??-+→21004330312 1b a 所以，.2,1=-=b a 三 (15分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 22的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 22的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 … … ………○ ……………密…………… ○ ……… ……封…… ………○…… … … 南阳理工学院2010----2011学年第一学期试卷 课程 线 性 代 数 A 卷 命题教师： 樊 晓 适用对象：全院学生 评卷人（签名）___________ 复核人（签名）___________ 一．填空题（每空3分，共24分） 1．如果|A |=2，则=-1 A 。 2．正交矩阵A= ???? ? ??333231 232221131211a a a a a a a a a ，则1A -= 。 3．若AY AX =，则Y X =，那么矩阵n m A ?应满足 。 4．=--1 1119 114311227118_____________。 （提示：利用范德蒙德行列式的结果求解） 5．四阶行列式中含有因子332114a a a 的项应取符号是 。 6．向量)3,2,1(=α与向量)0,1,(t =β正交，则=t ________。 7．设四阶行列式的第二行元素依次为0,1,,2x ，第三行的各元素的余子式分别为 5,1,6,3，则=x 。 8．已知????? ??=010100002A ，??? ? ? ??-=11010002B y ，且A 与B 相似，则=y 。 二．单项选择题（每题3分，共24分） 1. 行列式D= 0的必要条件是 ， （A ）D 中至少有两行（列）元素对应成比例； （B ）D 中至少有一行（列），其各元素可用行列式性质化为0； （C ）D 中任意一行（列）各元素可用行列式性质化为0。 2．若矩阵A 存在一个r 阶非零子式，则)A (R 与r 之间的关系为 ， （A ）n R >)(A ； （B ）n R ≤)(A ； （C ）)(A R ≥n. 3．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，且|A |≠0，则=|*A | ， （Ａ）1a -； （Ｂ）1a -n ； （Ｃ）n a 。 4．若非齐次线性方程组b Ax =的唯一的解，其导出组0=Ax 的解的情况 是 ， （A ）有唯一零解； （B ）有非零解； （C ）不确定。 5．设A 是n 阶方阵，且)(A R ＜n ,下列说法不正确的是 ， （A ）齐次线性方程组0=Ax 有非零解； （B ）0=A ； （C ）A 中任一列向量都是其余列向量的线性组合。 6．设A 是n 阶方阵，若A 2 = E ，则下列结论成立 ， （A ）A 的特征值是1； （B ）A 的秩是n ； （C ）1=A 。 7．下述说法正确的是 ， （A ）方阵可对角化的充分必要条件是它有n 个不相同的特征值； （B ）设21,q q 为A 的两个特征向量，则2211q q k k +（21,k k 不全为零）也是A 的特征向量； （C ）齐次线性方程0=-x E A )(λ的每一个解向量都是对应于特征值λ的特征 向量 （D ）A 与T A 有相同的特征多项式。 8．下列_____可作为向量组)2(,,,21≥r r ααα 线性相关性的充分必要条件： （A ）每一个向量都可由其余所有向量线性表示； （B ）任一部分组（不含向量组本身）线性相关； （C ）齐次线性方程组02211=+++r r x x x ααα 存在基础解系。 三．（本题6分） 计算行列式D=0 532004140013 2 0252 7 102135---- 四．（本题6分） 用矩阵的初等变换法求解线性方程组b Ax = ，其中??? ? ? ??-=012411210A ， b ??? ? ? ??=010 。 （注：用其它方法求解得到正确答案者仅给3分） 东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）答案及评分标准 2010 --2011学年第 一 学期 《 线性代数 》试卷 开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷 72 分每空2分） ．设????? ??=3 1 12 2 10 1 0A ,??? ?? ??=3 0 00 2 00 0 1B ，则 T A =???? ? ??3 2 01 2 11 1 0 AB = ??? ? ? ??9 2 16 4 10 2 0; 2B A -= ??? ? ? ??-3 2 24 2 20 2 1; 方阵A 的第二行第三列元素的代数余子式= 1 ; 行列式=-A 2 8 ； 行列式=-1A -1 ； B 的伴随矩阵????? ??=2 0 0 0 3 0 0 0 6 * B ???? ? ??=-3/1 0 0 0 1/2 0 0 0 1 1 B ； 2．行列式 1 1 0 0 5 8 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 = -3 ；行列式 0 0 1 1 0 0 5 8 1 2 0 0 1 1 0 0 = -3 . 3. 若对方阵A 施加初等行变换：212r r +后，变为矩阵B ，即21 2r r A B +??? →，则 )det(A = )det(B )(A r = )(B r . 4. 若对方阵A 施加初等行变换：21r r ?后，变为矩阵B ，即21 r r A B ???? →，则 )d e t (A = - )d e t (B )(A r = )(B r . 5. 设12,ξξ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则 12ξξ-不是 （是、不是）线性方程组AX b =的解； 12ξξ- 是（是、不是）线性方程组O AX =的解； 1232ξξ- 是 （是、不是）是线性方程组b AX =的解 6. 设??? ? ? ??=t A 4 23 2 10 1 0, 若A 的列向量线性相关,则t = 6 ; 此时A 的秩 = 2 若t =7时，A 的秩 = 3 ；此时A 的列向量线性 无 关. 7．若向量)5,3(),2,1(),3,1(21 ='='='ααβ，则β用21,αα组合的表达式是 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -= 模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+. 2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单 （1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零； （）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。 三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。 考试科目： 线性代数 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内 1.设n B A 均为,阶方阵，则必有（ D ） (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) 111)(---+=+B A B A (D) BA AB = 2. 已知,A B 均为n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 一定是( C ) (A) 对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵 3．设矩阵142242A ab a 2 1?? ? =2 + ? ? + ?? 的秩为2，则( C ) (A) 0,0a b == (B) 0,0a b =≠ (C) 0,0a b ≠= (D) 0,0a b ≠≠ 4．设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则2*-A =（ A ） 5. 设 (),ij n n A a ?=且A 的行列式A =0, 但A 中某元素kl a 的代数余子式 0,kl A ≠ 则齐次线性方程组0AX =的基础解系中解向量个数是( A ) 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 6. 设四阶行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3且他们对应的余子式分别为2,3,1,2-，则D=______2_______． 7. 向量[1,4,0,2α=与 [2,2,1,3]β=-的距离和内积分别为_________和___0____. 8. 设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k ==-αβ(1,1,4)=--T γ线性相关，则k =___1___. (A) 52- (B) 32- (C) 32 (D) 52 (A) 1 (B) k (C) l (D) n 模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( × ) 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( √ ) 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ) 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( ) 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分) 1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 12 . 2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 . 3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 . 4、已知()?? ?? ? ??-==256, 102B A 则=AB 10 . 5、若? ?? ? ??--=1225A ，则=-1 A . 6、设矩阵???? ? ??--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 . 7、()B A R + 《 ()()B R A R +. 8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA E . 9、设=A ??? ? ? ??-50021 011 1t ，则当t 5 时，A 的行向量组线性无关. 10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分) 全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关 2010线性代数试题及答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 课程编号：A073122 北京理工大学2010-2011学年第一学期 线性代数A 试题 A 卷 班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________ 一、（10分）已知矩阵X 满足11--+=+A A X A X *，其中???? ? ?????=101020100A ，求矩阵X 。 二、（10分）已知方程组 ??? ??=++=-+=++3 62321 321 321321x x qx p x x x x x x 有解，且其导出组基础解系有一个向量。（1）求q p ,的值；（2）求方程组的一般解。 （用导出组的基础解系表示通解） 三、（10分）在22R ?中，令, , , ,? ?? ???=??????=??????=??????=10000100001000014321αααα ??? ???--=??????--=??????--=??????=1111 ,1111 ,1111 ,11114321ββββ. (1) 证明4321ββββ,,,为22R ?的一个基； (2) 求自然基4321αααα,,,到基4321ββββ,,,的过渡矩阵； (3) 求??????=4321γ在基4321ββββ,,,下的坐标。 四、（10分）已知),,(),,(),,(110 ,022 ,101321==-=ααα。 (1) 求向量组321ααα,,的一个极大无关组； (2) 求生成子空间),,(321αααL 的一个标准正交基。 五、（10分）设5阶方阵A 的初等因子为 22 ,2 ,1λλλ)(-+。 (1) 试写出A 的Jordan 标准形；(2) 求A 的特征值。 六、（10分）在4][x F 中定义线性变换σ：)()]([x f x f '=σ。求σ在基 3221111x x x x x x ++++++,,,下的矩阵。 七、（10分）证明：n 阶方阵A 可相似对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 八、（10分）已知实二次型AX X x x x f T =),,(321经过正交变换QY X =化为2 2 212y y +，其中T T y y y Y x x x X ),,(,),,(321321==。 (1) 判断二次型),,(321x x x f 是否正定; (2) 求行列式A 的值； (3) 若???? ? ? ?? -=2121 212100 001 Q ，求矩阵A 。 九、（10分）设() ij a A =是3阶非零矩阵，且满足),,,321( ==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式。证明：A 为正交矩阵。 十、（10分）已知A 是3阶矩阵，321ααα,,是线性无关的3元列向量组，满足 321133αααα---=A ，321244αααα++=A ,31332ααα+-=A 。 (1) 求矩阵A 的特征值；(2) 求矩阵A 的特征向量。 浙02198# 线性代数试卷 第1页（共25页） 全国2010年7月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 020005 1020203 （ ）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________. 全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案 课程代码：04184 试题部分 说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式==1 1 1 1034222,11 1 1 304 z y x z y x 则行列式（ ） A. 3 2 B.1 C.2 D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1 D. A -1C -1B -1 3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32 4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 全国2010年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A=??? ? ??-11,B=(1,1),则AB=( ) A.0 B.(1,-1) C. ??? ? ??-11 D. ??? ? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=??? ? ??4321,则A -1= ( ) A.2 1 - ???? ??--1234 B. 21 - ???? ??--4321 C. 2 1 - ??? ? ??4321 D. 2 1- ??? ? ??1324 5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是( ) A.????? ??000010101 B. ????? ??001010100 C. ???? ? ??100030001 D. ???? ? ??102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆 学院： 专业： 班级： 装 姓名： 线 学号： 2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A) 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。 A. ();k k k AB A B = B. ;A A -=- C. 22()();A B A B A B -=-+ D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=； 2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ ）。 A ．12,,,s ααα???都不是零向量; B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例; D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关; 3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。 A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关； 4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式； D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同； 5．二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。 A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．设300140003A ?? ? = ? ??? ，则()12A E --＝ ； 7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131 D =中元素ij a 的代数余子式，则 111221 22 A A A A = ； 8．100201100010140001201103010?????? ????? ????? ?????-??????= ； 9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 ； 10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值 λ= ； 三、计算题（每小题10分，共50分） 11．设()111122220+a a A a n n n n a +?? ?+ ?=≠ ? ??? ，求A 。 2010线性代数期末试题及参考答案 一、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （ ） 2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则1 11)(---=A B AB 。 （ ） 3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。 ( ) 5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。 （ ） 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100????????? ? (B)100000010?? ???????? (C) 100020001?? ????????(D) 100012001?? ??-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题4分，共20分） 1．01 21 0n n -O 。 2．A 为3阶矩阵，且满足=A 3,则1-A =______，*3A = 。 3．向量组1111α?? ?= ? ? ??，2025α?? ?= ? ???，3247α?? ?= ? ???，4120α?? ?= ? ???是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。 4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3， 11234η?? ? ?= ? ? ???，234444ηη?? ? ?+= ? ? ? ??，则方程组Ax b =的通解为 。 5．设 23111503A a -?? ??=?? ????，且秩(A )=2，则a = 。 历年-全国自考线性代数试题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 浙02198# 线性代数试卷 第3页（共59页） 全国2010年7月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 02000 51020 20 3 （ ）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________.同济大学2010-11线性代数B期末考试试卷_A卷_
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