线性规划典型例题整理与归纳
六种经典线性规划例题,DOC
线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
例1、若x、y满足约束条件
2
2
2
x
y
x y
≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则z=x+2y的取值范围是（）
A、
解：如
l向
2，
二、
例2、
（）
解：如
三、
例3、
都是整
A
解：
0)
0,0)
y
≥
作（包括边界）得到整
四、
例4、
为
A、－3
B、3
C、－1
D、1
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x、y满足以下约束条件
220
240
330
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪--≤
⎩
，则z=x2+y2的最大值和最小值
分别是（）
A
C
解
点的距
离的平
－2=0
六
例
（A）
（C）
解析
（0，0
A
仅供个人学习参考。
线性规划的常见题型及其解法(教师版-题型全-归纳好)
线性规划问题是高考の重点，而线性规划问题具有代数和几何の双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题の解答变得更加新颖别致．归纳起来常见の命题探究角度有： 1．求线性目标函数の最值． 2．求非线性目标函数の最值． 3．求线性规划中の参数． 4．线性规划の实际应用．本节主要讲解线性规划の常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y の取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数の最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线の斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线の截距zbの最值，间接求出z の最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示の平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23． 【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z の最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z の取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z の取值范围．点(x ，y )在不等式组表示の平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎫x －12表示点(x ，y )和⎝⎛⎭⎫12，0连线の斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离の平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)の距离の平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )の可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝y2x －1＝y －0x －12×12∴z の值即是可行域中の点与⎝⎛⎭⎫12，0连线の斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2の几何意义是可行域上の点到原点O の距离の平方． 结合图形可知，可行域上の点到原点の距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2の几何意义是： 可行域上の点到点(－3,2)の距离の平方． 结合图形可知，可行域上の点到(－3,2)の距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．1．求目标函数の最值の一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数の意义．2．常见の目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数の最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线の斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线の截距zb の最值，间接求出z の最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点の距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点の距离の平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线の斜率．【提醒】 注意转化の等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数の最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y の最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应のz 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y の最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应の平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成の封闭区域，则2x －y の最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成の封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标の最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示の区域上一动点，则直线OM 斜率の最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知の不等式组表示の平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM の斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率の最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1の取值范围 ． 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1の取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线の斜率加上2の取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线の斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线の斜率为－1，所以z の取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2の取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示の平面区域是△ABC の内部(含边界)，x 2＋y 2表示の是此区域内の点(x ，y )到原点距离の平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC の距离，其值为1；最远の距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2の取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示の平面区域，区域D 上の点与点(1,0)之间の距离の最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0の距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255．【答案】2558．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示の平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中の任意点A 与Ω2中の任意点B ，|AB |の最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示の平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0の距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |の最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中の参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示の平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等の两部分，则k の值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组表示の平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73． 【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x の最小值为－4，则k の值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0の可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0の右上方、直线kx －y ＋2＝0の右下方の区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意． 当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成の三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12． 【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值の最优解不唯一，则实数a の值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值の最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y の最大值の取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴の交点为A (2,0)，与y 轴の交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴の交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示の平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8． 综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y の最大值の取值范围是[7，8]． 【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1の最小值为32，则a の值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线の斜率，易知a ＞0，∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1の最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划の实际应用14．A ，B 两种规格の产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造の最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内の整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产の卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天の利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天の利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产の伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0の两侧，则a の取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24． 【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y の最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示の可行域(如图所示の△ABC の边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P の坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→の最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1の取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示の区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z の取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取の整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝⎛⎭⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取の整数为1． 【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC の顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y の取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围の边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y の取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示の平面区域上一动点，则直线OP 斜率の最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，の交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }の面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示の可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数の范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示の可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)の最大值为4，则abの取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示の区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ωの公共部分为线段AB ，则以AB 为直径の圆の面积の最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示の可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径の圆の面积の最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π． 【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值の最优解有无穷多个，则实数a の取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示の平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值の最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay の最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a＝－5时，z ＝x ＋ay の最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay の最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示の可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示の可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定の平面区域の面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1b (b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定の平面区域是一个边长为1の正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y の不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示の平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m の取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内の点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示の阴影部分为不等式组表示の平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上の点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1の下方即可，即m＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示の平面区域为D ．若指数函数y ＝a x の图象上存在区域D 上の点，则a の取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x の图象上存在区域D 上の点，所以1＜a ≤3． 【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2の最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0の交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2の最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k の取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示の可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示の是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1の斜率の范围为(－∞，－1)，即实数k の取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y の最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y の最大值为8，则实数m の值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点の坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB の最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示の平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示の平面区域の面积为________．【解析】作出不等式组表示の平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y の取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y の最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8の最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内の点の距离の平方．由实数x ，y 所满足の不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0の距离为其到可行域内点の距离の最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示の区域上一动点，则|OM |の最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0の垂线段长是|OM |の最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】 226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得の最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点の坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜の产量、成本和售价如下表：________亩． 【解析】设黄瓜和韭菜の种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，解得A (30,20)． 【答案】3028．(2015·日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示の平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中の那部分区域の面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a の取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32．所以a の取值范围是1≤a ≤32．【答案】⎣⎡⎦⎤1，3230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形の阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形の边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值の最优解有无穷多个，则k の值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值の最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0の倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my の最大值小于2，则m の取值范围 ．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m <0，不等式组表示の平面区域如图中の阴影部分所示，根据目标函数の几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm 在y 轴上の截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m1＋m ，所以目标函数の最大值z max ＝11＋m ＋m 21＋m<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m の取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y の最小值の取值范围是[－2，－1]，则目标函数の最大值の取值范围是________．【解析】不等式组表示の可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上の截距最大．当z の最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A の坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z の最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A の坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m の取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y の最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数の最大值の取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值の点}，则T 中の点共确定________条不同の直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中の任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中の点共确定6条不同の直线． 【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z の取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示の区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]． 【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示の平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值の最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m の动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值の最优解不可能有无穷多个；若m＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－1m＝－1，则m＝1．综上可知，m＝1．【答案】1。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下求解线性目标函数的最优解的问题。
本文将介绍一个线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解和应用线性规划。
题目描述：某工厂生产两种产品A和B。
每单位产品A需要3个工时和2个材料单位，每单位产品B需要4个工时和1个材料单位。
工厂每天有总共24个工时和10个材料单位可用。
产品A的利润为100元/单位，产品B的利润为80元/单位。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A和产品B，以最大化利润？解答步骤：1. 确定决策变量：设工厂每天生产的产品A的单位数为x，产品B的单位数为y。
2. 建立目标函数：目标是最大化利润，因此目标函数为：Z = 100x + 80y。
3. 建立约束条件：根据题目描述，工厂每天可用的工时为24个，每单位产品A需要3个工时，每单位产品B需要4个工时，因此工时的约束条件为：3x + 4y ≤ 24。
工厂每天可用的材料单位为10个，每单位产品A需要2个材料单位，每单位产品B需要1个材料单位，因此材料单位的约束条件为：2x + y ≤ 10。
另外，生产的产品数量不能为负数，即：x ≥ 0，y ≥ 0。
4. 构建线性规划模型：综合考虑目标函数和约束条件，可以得到线性规划模型如下：Maximize Z = 100x + 80ySubject to:3x + 4y ≤ 242x + y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 05. 解答最优解：通过线性规划求解器或图形法等方法，可以求解出最优解。
假设最优解为x*和y*，则工厂每天应该生产x*单位的产品A和y*单位的产品B，以最大化利润。
答案解析：通过线性规划求解器求解上述线性规划模型，得到最优解为x* = 4，y* = 4。
即工厂每天应该生产4个单位的产品A和4个单位的产品B，以最大化利润。
利润最大化时的最优解下，工厂每天使用的工时为3x* + 4y* = 3*4 + 4*4 = 24个，使用的材料单位为2x* + y* = 2*4 + 4 = 12个。
最全线性规划题型总结
线性规划题型总结1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)=+∈的线性目标函数的最值问z ax by a b R题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1．（2017•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3答案：D解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．2．（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为．答案：﹣1．解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）3．A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）答案：D．解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．4．（2016•河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3答案：C．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x+2y|得z=2×2+2=6。
5．（2016•湖南模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（）A．B．C．3 D．9答案：D．解：约束条件对应的平面区域如图：令2x﹣y=t，变形得y=2x﹣t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直线y=2x﹣t在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为2×1﹣0=2，所以，故。
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、假设x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，那么z=x+2y的取值范围是〔〕A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、〔3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A〔2,0〕时，有最小值2，过点B〔2,2〕时，有最大值6，应选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为〔〕A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点〔x，y〕中整点〔横纵坐标都是整数〕有〔〕A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部〔包括边界〕，容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么a 的值为 〔 〕 A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是〔 〕A 、13，1B 、13，2C 、13，45 D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点〔x ，y 〕到原点的距离的平方，故最大值为点A 〔2,3〕到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点〔0,0〕和〔－1,1〕，那么m 的取值范围是 〔 〕 A 、〔-3,6〕 B 、〔0,6〕 C 、〔0,3〕 D 、〔-3,3〕解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划常常用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细解答，帮助您更好地理解和掌握线性规划的基本原理和求解方法。
题目描述：某食品加工厂生产两种产品：A和B。
每单位产品A需要3小时的加工时间和2小时的包装时间，每单位产品B需要2小时的加工时间和4小时的包装时间。
加工厂每天有8小时的加工时间和10小时的包装时间可用。
已知产品A的利润为300元/单位，产品B的利润为400元/单位。
现在需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
解答步骤：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：最大化总利润，即最大化Z = 300x + 400y。
约束条件：加工时间和包装时间的限制。
加工时间约束：3x + 2y ≤ 8。
包装时间约束：2x + 4y ≤ 10。
非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式，并绘制在坐标系中。
然后确定可行域，即满足约束条件的可行解区域。
加工时间约束对应的直线为：3x + 2y = 8。
包装时间约束对应的直线为：2x + 4y = 10。
将两条直线绘制在坐标系中，并找出它们的交点，即可行域的顶点。
3. 确定最优解：在可行域的顶点中，计算目标函数的值，找出使目标函数取得最大值的顶点。
计算Z = 300x + 400y 在可行域的顶点 (x, y) 处的值，并比较得出最大值。
4. 计算最优解：根据计算结果，确定最优解对应的生产数量。
解答过程：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：Z = 300x + 400y。
约束条件：3x + 2y ≤ 8，2x + 4y ≤ 10，x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式：加工时间约束：3x + 2y = 8，即 y = (8 - 3x) / 2。
高三线性规划知识点
高三线性规划知识点线性规划是高中数学中的一个重要知识点，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将全面介绍高三线性规划的相关知识，包括定义、基本概念、解题步骤以及一些典型例题。
一、线性规划的定义线性规划是一种数学模型，用于求解一个线性函数在一组线性约束条件下的最优值。
在实际生活中，我们常常需要在一定的条件下寻找最优解，例如：生产成本最小、收益最大、资源利用最佳等等。
线性规划通过建立数学模型，帮助我们找到最优解。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标通常是最大化或最小化一个线性函数。
这个函数被称为目标函数，记作Z。
2. 线性约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了变量的取值范围。
3. 变量：线性规划的变量是我们要求解的未知数，可以用任意字母表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解的集合称为可行域。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取到最大值或最小值的解称为最优解。
三、线性规划的解题步骤1. 建立数学模型：根据问题的描述，将目标函数和约束条件用代数式表示出来。
2. 确定可行域：将约束条件化为不等式形式，并将它们表示在坐标系中，找出它们的交集，确定可行域的范围。
3. 确定最优解：在可行域内寻找目标函数的极值点，得出最优解。
4. 检验最优解：将最优解代入原问题中，检验是否满足所有约束条件。
四、典型例题例题1：某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每吨利润为1000元，乙产品每吨利润为1200元。
已知生产一吨甲产品需要材料A 30千克，材料B 10千克；生产一吨乙产品需要材料A 20千克，材料B 40千克。
工厂每天可以使用材料A 600千克，材料B 200千克。
问如何安排生产，使得利润最大化？解：首先，我们定义两个变量x和y，分别表示甲、乙产品的生产量（吨）。
目标函数Z表示利润的最大值，即Z=1000x+1200y。
约束条件如下：30x+20y ≤ 60010x+40y ≤ 200x，y ≥ 0我们可以将该问题转化为图形解法，将约束条件绘制在坐标系中，确定可行域的范围。
六种经典线性规划例题,DOC
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、解：如图l 向2，二、求例2、不（ ）A 解：如图由梯可，三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已a 的 A 解：如图取得重合五、求例5、已小值 A 、C 、解：到原点的到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
例已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是（）.（A）[，6]（B）（－∞，]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]解析是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）时，取得最大值6.答案A。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种优化问题求解的方法，广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。
本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相关题目及其答案。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数常用来表示利润、成本等经济指标。
1.2 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或者不等式，称为约束条件。
约束条件可以表示资源限制、技术限制等。
1.3 变量：线性规划的解是一组变量的取值，这些变量表示决策变量，用来描述问题的决策方案。
2. 线性规划的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到目标函数的最优解。
2.2 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。
该方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
2.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解。
这种方法在实际问题中更具实用性。
3. 线性规划题目及答案3.1 例题1：某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。
生产A产品需要2小时，B产品需要3小时。
工厂每天有8小时的生产时间。
求如何安排生产，使得利润最大化。
答案：假设生产A产品x单位，B产品y单位，则目标函数为10x + 15y，约束条件为2x + 3y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
通过计算可得最优解为x = 2，y = 2，最大利润为70元。
3.2 例题2：某公司有两个部门，部门A和部门B。
部门A每月产生利润10万元，部门B每月产生利润15万元。
公司规定，部门A的人数不能超过100人，部门B的人数不能超过80人。
求如何分配人力资源，使得利润最大化。
答案：假设部门A的人数为x人，部门B的人数为y人，则目标函数为10x + 15y，约束条件为x ≤ 100，y ≤ 80，x ≥ 0，y ≥ 0。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，通过这些例题的详细阐述，匡助读者更好地理解线性规划的原理和应用。
一、背包问题1.1 背包问题的定义和目标1.2 线性规划模型的建立1.3 求解背包问题的方法二、产销平衡问题2.1 产销平衡问题的背景和目标2.2 线性规划模型的建立2.3 求解产销平衡问题的方法三、投资组合问题3.1 投资组合问题的定义和目标3.2 线性规划模型的建立3.3 求解投资组合问题的方法四、生产计划问题4.1 生产计划问题的背景和目标4.2 线性规划模型的建立4.3 求解生产计划问题的方法五、运输问题5.1 运输问题的定义和目标5.2 线性规划模型的建立5.3 求解运输问题的方法正文内容：一、背包问题1.1 背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得背包的总分量不超过限定值，同时使得背包中物品的总价值最大化。
1.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述背包问题。
决策变量表示选择放入背包的物品，约束条件包括背包总分量不超过限定值以及每一个物品的数量限制。
1.3 求解背包问题可以使用线性规划的求解算法，如单纯形法或者内点法。
通过对目标函数和约束条件进行线性化处理，可以将背包问题转化为标准的线性规划问题进行求解。
二、产销平衡问题2.1 产销平衡问题是指在给定的一组产品和市场需求的情况下，确定各个产品的生产量和销售量，使得总利润最大化。
2.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述产销平衡问题。
决策变量表示各个产品的生产量和销售量，约束条件包括生产能力限制和市场需求限制。
条件进行线性化处理，可以将产销平衡问题转化为标准的线性规划问题进行求解。
三、投资组合问题3.1 投资组合问题是指在给定的一组投资标的中，确定各个标的的投资金额，使得投资组合的风险最小或者收益最大。
3.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述投资组合问题。