1.4 古典概率
古典概率(原)
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的
事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为 实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次 实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天 都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
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第一章 概率论的基本概念
所以，
等可能概型 k 1 b Pa b 1 b P A ． k ab Pa b
有放回抽取:
42 22 42 0.556 P( A) 2 0.444 P( B ) 2 6 6
2 P(C ) 1 P(C ) 1 2 0.889 6
2
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无限等可能概型(几何概型)：
若随机试验满足下述两个条件： (1)无限性： 它的样本空间有无限个样本点,且 全体样本点可用一个有度量的几何区域来表示； (2) 等可能性：每个样本点出现的可能性相同.
A1={HTT, THT, TTH},
k = 3，
k 3 P ( A 1) = = , n 8
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第一章 概率论的基本概念
事件 A2为“至少有一次出现正面”，
等可能概型
A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }
k2 = 7 ，
k2 7 P ( A 2) = = , n 8
几何概率的定义
设几何概型的样本空间可表示为有度量的 区域S,事件A所对应的区域仍用A表示,则定义 A的概率为: A的度量 P( A) S的度量
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 3 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
《古典概型的概率计算公式》精品课件
解决上述疑问可以采用两种办法：
（1）亲自动手试验：
课前可以让学生准备好两枚骰子，在上课时让学生分组动手试验并分析试验结果
也可以让学生列表分析：
探究新知
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（2）计算机随机模拟.
教师可以用计算机软件给学生进行模拟演示.
结合前面自主探究中的经验分析：抛掷两枚均匀的骰子，其样本空间共有36个样本点，
上，让学生知道并不是所有的试验都是古典概型，通过思考交流这三个问题，让
学生清楚古典概型必须满足两个特征：有限性和等可能性.第3个问题学生容易出
错，可以通过用列表分析的方法理解每个样本点的出现是否具有等可能性，也可
通过模拟方法进行探究.
典例剖析
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
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概型的概率计
算公式
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问题1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号为0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9的小球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个小球，观察这个
小球的号码.这个随机试验共有多少种可能的结果？这些结果出现的可能性相等吗？
对于一个随机事件A，我们经常用一个数()(0 ⩽ () ⩽ 1)来表示该事件发生的可能
性的大小，这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小，
是对随机事件统计规律性的数量刻画.
2.古典概型的概念和概率计算公式.
一般地，若试验E具有如下特征：
（1）有限性：试验E的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间；
高一数学古典概型试题答案及解析
高一数学古典概型试题答案及解析1.某射手射击一次击中10环，9环，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，则他射击一次命中8环或9环的概率为．【答案】0.5【解析】射击一次命中8环或9环的概率为.【考点】（1）互斥事件的概率；（2）概率的加法公式.2.在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数；（Ⅱ）若等级分别对应分，分，分，分，分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为.在至少一科成绩为的考生中,随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）先求考场人数，再由频率求“阅读与表达”科目中成绩为的人数，注意这里不是频率分布直方图，纵轴就表示频率；（Ⅱ）根据期望公式即可算得平均分；（Ⅲ）通过枚举法算得概率，注意有四名考生得到，得到的有个人次，注意这两者的区别，否则易犯错误.试题解析：（Ⅰ）设该考场有个考生，而“数学与逻辑”科目中成绩等级为的考生有人，频率由，得该考场有人 2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为的人数为4分（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为7分[（Ⅲ）“数学与逻辑”考试中得的有人，“阅读与表达”考试中得的也有人，因为两科考试中，又恰有两人的两科成绩等级均为，所以还有人只有一个科目得分为，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是的同学，则在至少一科成绩等级为的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，有个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为”为事件，所以事件中包含的基本事件有个，则. 12分【考点】统计中的分布及古典概型中的概率计算.3.在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是_________（结果用数值表示）．【答案】．【解析】列举出从已知五个数字中随机取出三数字后剩下的两个数字的所有可能情况：（1.2 ）（1.3）（1.4）（1.5）（2.3）（2.4）（2.5）（3.4）（3.5）（4.5）一共有10种情况，剩下两个数为奇数有：（1.3）（1.5）（3.5）共3种情况，则概率为,故应填入: ．【考点】古典概率.4.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从5个球中随机抽取两个球，共有种取法.满足两球编号之和大于5的情况有（2,4），（3,4）共2种取法.所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为.【考点】1、古典概型及其概率计算公式；2、组合及组合数公式.5.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差，为数据的平均数）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意根据平均数的计算公式分别求出的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些；（3）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“质量合格”的基本事件的个数，即可求得该车间“质量合格”的概率.试题解析：解：（1）由题意得，解得，再由，解得；(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差：，，并由，可得两组技工水平基本相当，乙组更稳定些.（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检查，设两人加工的合格零件数分别为，则所有的有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足的基本事件个数为，所以该车间“质量合格”的概率为.【考点】1、古典概型及其概率计算公式；2、平均数与方差.6.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依次类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .【答案】【解析】由题可知前9组数据共有，第10组共有10数，且第一个为46，其中为3的倍数的数为：48,51,54，故概率为.【考点】古典概型.7.记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程有两个不同实根的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】记分别是投掷两次骰子所得的数字，总事件一共种；方程有两个不同实根则，∴当时，；当时，；当时，；当时，，共9种情况，所以概率为.【考点】古典概型.8.连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】连续抛掷2棵骰子所有基本事件总数为36，其中朝上的点数之和等于6的基本事件有共5中，所以所求概率为。
1-4-等可能概型(古典概型)
解： 64 个人生日各不相同的概率为
365 364 (365 64 1) . 64 365
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 364 (365 64 1) 0.997. 1 64 365
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
为 E 的任意一个事件，且包含 k 个样本点，则事
件 A 出现的概率记为:
k A 所包含样本点的个数 P( A) . n 样本点总数
称此为概率的古典定义.
讲评
对于古典概型应注意以下几点：
(1) 古典概型是学习概率统计的基础，因此它是非
常重要的概率模型；
(2) 计算古典概型概率时，首先要判断有限性和等
因此 P ( A 2 ) 7 8 .
3. 摸球问题
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球，现从袋中无 放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率. 解： A {摸得 2 只球都是白球 设 },
6 基本事件总数为 , 2
4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
可能性是否满足；其次要弄清楚样本空间是怎样
构成的。对于复杂问题只要求基本事件的总数n，
同时求出所讨论事件A包含的基本事件数k，再利
用公式计算出P(A)。
(3) 判断是否古典概型的关键是等可能性。有限性较
容易看出，但等可能性较难判定。
一般在包含有n个样本点的样本空间中，如果没 有理由认为某些基本事件发生的可能性与另一些基本
于排列与组合的基本知识，事件间的关系及运算亦
概率论课件之古典概率
分别就上面两种方式求：
1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
第一章 概率论的基本概念
例3 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。 从袋中取球两次。 解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
例5. 从52张牌中抽出13张，求 （1）全是红桃的概率； （2）各4-4-4-1张的概率.
解：
1 P ( A1 ) 13 C52
4 4 4 1 C13 C13 C13 C13 P ( A2 ) 13 C52
第一章 概率论的基本概念
例6. 20个黑白棋子，随机抽出10个，求 （1）10个一色（2）9个一色（3）8个一色 （4） 7个一色（5）6个一色（6）5个一色 的概率。 解：
3
P Ai Aj An
1 n!
1 1 n 1 1 P B P A1 A2 An 1 (1) 1 e 1 2! 3! n!
第一章 概率论的基本概念
例 9. n 个 不 可 分 辨 的 球 放 入 N 个 盒 子 中 (n N)，问没有一个盒子是空的概率是多少。 解：这是可重复的组合问题，“可重复”：盒子 可放多个球，“组合”：球不可分辨
P B P A1 A2 A3 P A1 P A1 P A1 P A1 A2 P A1 A3 P A2 A3 2 P A1 A2 A3 3
第一章 概率论的基本概念
例8：将编号为1,…,n 的n本书任意地排列 在书架上，求至少有一本书自左到右的 排列序号与它的编号相同的概率。
第三章 概率 第二讲 古典概率
第三章概率第二讲古典概率【考点透视】1．基本事件：在实验中所有可能的结果都是随机事件，我们把这类随机事件称为基本事件．基本事件有两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型：将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等3．古典概型概率计算公式P(A)＝mn.m表示事件A包含的基本事件的个数，,n表示基本事件的总数。
3．古典概型的适用条件：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.4．古典概型的解题步骤：(1)求出总的基本事件数；(2)求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数【新知探究】探究点一基本事件问题1抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？答(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)；(正，正，正)，(正，正，反), (正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).问题2上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？答由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系．问题3在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？答(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)；(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．例1从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?事件“取到字母a”是哪些基本事件的和?解所求的基本事件有6个，A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.小结基本事件有如下两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．探究点二古典概型问题1抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能性相等吗？答基本事件有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．问题2抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？答这个试验的基本事件有6个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相等的．问题3上述试验的共同特点是什么？答(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2) 每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．例2某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？解不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.小结判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．探究点三古典概型概率公式导引在古典概型下，每一基本事件的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？问题1在抛掷硬币试验中,如何求正面朝上及反面朝上的概率?解出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1，因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝1 2，即P(出现正面朝上)＝12=“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数基本事件的总数.问题2在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？解出现各个点的概率相等，即P(“1点”)＝P(“2点”)＝P(“3点”)＝P(“4点”)＝P(“5点”)＝P(“6点”)，反复利用概率的加法公式，我们有P(“1点”)＋P(“2点”)＋P(“3点”)＋P(“4点”)＋P(“5点”)＋P(“6点”)＝P(必然事件)＝1.所以P(“1点”)＝P(“2点”)＝P(“3点”)＝P(“4点”)＝P(“5点”)＝P(“6点”)＝1 6.进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P(“出现偶数点”)＝P(“2点”)＋P(“4点”)＋P(“6点”)＝16＋16＋16＝12.即P(“出现偶数点”)＝“出现偶数点”所包含基本事件的个数”/基本事件的总数；P(“出现不小于2点”)＝“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数”/基本事件的总数．P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数/基本事件的总数.问题3从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P(A)等于什么？特别地，当A＝U，A＝∅时，P(A)等于什么？答P(A)＝mn；当A＝U时，P(A)＝1；当A＝∅时，P(A)＝0.例3单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？解由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，所以P(A)＝1 4.小结解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．探究点四与顺序有关的古典概型问题1在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?答这是因为猜对的概率更小,由概率公式可知,分子上的数还是1,因正确答案是唯一的,而分母上的数即基本事件的总数增多了,有(A), (B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D) ,(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),(A,B,C,D)共15个,所以所求概率为115<14.例1同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)向上的点数之和是5的概率是多少？解(1)掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果．(可由列表法得到)由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种．(2)在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝436＝19.问题2为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？若用古典概型公式，所求的概率是多少？答如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别，这时，所有可能的结果将是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1,4)(2,3)，所求的概率为P(A)＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝2 21.问题3在例1中所求的概率和问题2中所求的概率相同吗？哪种求法不符合古典概型？为什么？答求出的概率不相同；问题2中的求法不符合古典概型；因为两个不同的骰子所抛掷出来的点构造的基本事件不是等可能事件.小结古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算．列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时更实用有效．探究点五与顺序无关的古典概型例2现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2 ),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3，C1),(A3,B3,C2)}有18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1) , (A1,B3,C2)}事件M有6个基本事件组成,因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.小结在应用古典概型概率计算公式求概率时,有些事件用文字书写较麻烦,我们常用一些字母或数字来表示事件,为解题带来方便.【知识梳理】1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥．试验中的事件A可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的.2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数基本事件的总数,只对古典概型适用.3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.4．在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．5．解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法；对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．【小露一手】古典概型练习(一)一、基础过关1．下列是古典概型的是 ( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.153．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是( ) A.14 B.12 C.18 D ．无法确定4．一袋中装有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于6”为事件A ，则P (A )等于( )A.14B.16C.38D.49 5．三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．7．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．8．从含有两件正品a ，b 和一件次品c 的三件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率．二、能力提升9．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320B.25C.15D.31010．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．11．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________．12．某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某项活动的志愿服务工作．(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．三、探究与拓展13．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．答案1．C2．D3．B4．C5.13 6.257．解(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝12，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为B，则P(B)＝1－P(B)＝1－12＝12.8．解有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结果组成的样本空间是Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)}，∴n＝9，用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B＝{(a,c)，(b，c)，(c，a)，(c，b)}，∴m＝4.∴P(B)＝4 9.9．D 10.1411.31012．解把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4；2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5), (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能如下：(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率是P1＝615＝2 5.(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能如下：(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖,另一名是绘画比赛一等奖的概率是P2＝815.13．解比赛配对的基本事件共有6个，它们是(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．(1)经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为1 6.(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为1 2.答正常情况下，田忌获胜的概率为16，获得信息后，田忌获胜的概率为12.古典概型练习(二)一、基础过关1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为( )A.150B.110C.15D.142．有100张卡片(标号为1～100)，从中任取1张，取到卡片上的号码是7的倍数的概率是( )A.750B.7100C.748D.3203．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12 4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( ) A.14B.13C.38D.125．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是________．7．设袋中有a 1，a 2两支好签，b 1，b 2两支坏签，四人依次从袋中无放回地任抽一签，分别求他们抽到好签的概率．8．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率． 二、能力提升9．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16B.15C.13D.2510．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( )A.49B.13C.29D.1911．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．12．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率． 三、探究与拓展13．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．答案1．C2．A3．C4．C 5.12 6.297．解设事件A1,A2,A3,A4分别表示第一人，第二人，第三人，第四人抽到好签的事件，则A1＝{a1a2b1b2，a1a2b2b1，a1b1a2b2，a1b1b2a2，a1b2a2b1，a1b2b1a2，a2a1b1b2，a2a1b2b1，a2b1a1b2，a2b1b2a1，a2b2a1b1，a2b2b1a1}，共12个基本事件．A2＝{b1a1b2a2，b1a1a2b2，a2a1b1b2，a2a1b2b1，b2a1b1a2，b2a1a2b1，b1a2b2a1，b1a2a1b2，a1a2b1b2，a1a2b2b1，b2a2a1b1，b2a2b1a1}，共12个基本事件．同理，我们可列举出A3，A4也都包含12个基本事件．由古典概型的计算公式，可得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝1224＝12.8．解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316. 故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝13 16.9．C10．D11.131412．解(1)由题意可知：n1＋1＋n＝12，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13.13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.第二次抽取第一次抽取1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型． 用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝15＝0.2.。
1.4(条件概率与乘法公式)
(6) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , L , Bn 是两两不相容 的事件 , 则有 n n P U Bi A = ∑ P ( Bi A). i =1 i =1
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 】设某种动物从出生起活 岁以上的概率 岁以上的概率为40%．如果现在有一 为80%，活25岁以上的概率为 ， 岁以上的概率为 ． 岁的这种动物， 岁以上的概率． 个20岁的这种动物，求它能活 岁以上的概率． 岁的这种动物 求它能活25岁以上的概率 表示“ 的事件， 解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件 岁以上”的事件, 则有所求概率为 P ( B A) = P ( AB ) . P ( A) 因为 P ( A) = 0.8, P ( B ) = 0.4, 由于B⊂ 由于 ⊂A, 所以P(AB)=P(B), 所以
【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 】 某厂的产品中有 的废品， 件 的废品 格品中有 件一等品， 中有75件一等品 格品中有 件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率． 件是一等品的概率． 任取的一件是合格品” 解：设A = “任取的一件是合格品”， 任取的一件是合格品 B = &#;． 任取的一件是一等品 因为 P ( A) = 1 − P ( A ) = 96%, 且B ⊂ A 所以 P ( B ) = P ( AB ) = P ( A) P ( B A)
P ( U Bi | A) = ∑ P ( Bi A)
i =1 i =1
所以,条件概率 所以 条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性 条件概率 也满足概率的所有其他性 质．
古典概率的模型分析与计算方法归纳
古典概率的模型分析与计算方法归
纳
古典概率是以物理解释为基础的概率学模型，它将概率问题表述为一系列有数量关系的事件，由此得出概率结果。
古典概率模型分析和计算方法归纳如下：
1. 构造条件：根据问题背景，将所有可能发生的事件构造成一个条件，使其中包含所有事件的假设。
2. 计算总体：计算出所有可能发生事件的累计总和，即总体大小。
3. 确定概率：计算出每个事件的发生概率，即每个事件的概率为该事件发生的可能性与总体大小的比值。
4. 判断概率：对计算出的概率值进行判断，看该概率值是否符合问题的要求。
古典概率的
古典概率的
（原创实用版）
目录
1.什么是古典概率
2.古典概率的特点
3.古典概率的应用举例
4.学习古典概率的重要性
正文
一、什么是古典概率
古典概率，又称为事前概率，是一种概率计算方法。
它是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。
古典概率强调的是等可能性，即各基本事件发生的可能性相等。
二、古典概率的特点
古典概率的主要特点是等可能性，也就是说，在所有可能发生的事件中，每个事件发生的概率是相等的。
这意味着，如果我们知道每个事件的可能性，就可以很容易地计算出每个事件发生的概率。
三、古典概率的应用举例
以下是一个古典概率应用的例子：
假设有一个罐子，里面有 100 个饼干，其中狮子形状的有 30 个，小猪形状的有 40 个，兔子形状的有 30 个。
如果你从罐子中随机取出一个饼干，那么取出狮子形状饼干的概率是多少？
根据古典概率的计算方法，我们可以知道，取出狮子形状饼干的概率是 30/100，即 3/10。
四、学习古典概率的重要性
古典概率是概率论的基础，它在我们的日常生活中有着广泛的应用。
学习古典概率可以帮助我们更好地理解和应对各种随机事件，提高我们决策的准确性。
同时，学习古典概率也能够为我们提供一种思考问题的方法，帮助我们更好地理解世界。
古典概率的判断方法
古典概率的判断方法
古典概率是由比较简单的、等可能性的事件组成的样本空间中某个事件发生的概率。
在古典概率理论中，一个事件的概率等于这个事件发生的可能性与样本空间大小的比值。
因此，古典概率的判断方法包括以下步骤：
1. 确定样本空间：首先需要确定事件发生的所有可能结果，构成样本空间。
2. 确定事件：明确需要计算概率的事件。
3. 确定可能性：确定样本空间中每个事件的可能性大小，这些可能性大小应该是等可能的。
4. 计算概率：将事件发生的可能性与样本空间的大小进行比较，得出事件发生的概率。
例如，假设一个骰子有六个面，每个面的点数为1-6。
在掷一次骰子的情况下，计算出点数为4的概率，其步骤如下：
1. 样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 事件为“掷出的点数为4”。
3. 每个事件的可能性相等，即1/6。
4. 点数为4的概率为1/6。