正项级数收敛的几种判别法
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较
《数学与应用数学》学年论文题目几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。
1 正项级数相关概念 1.1正项级数的定义如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥=则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理： 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。
它的部分和数列的通项2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑，所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑收敛。
正项级数
的敛散性.
故原级数收敛.
例2 判定级数
的敛散性.
解
收敛, 则级数
收敛.
例3 判定级数
的敛散性.
解 因为
发散, 则级数
发散.
定理9.2.3 (比较判别法的极限形式)
若两个正项级数
满足:
(1)当0 < l < +∞时, 级数
同敛散;
(2)当l= 0且级数 收敛时, 级数 也收敛;
(3)当l= +∞且级数
发散时, 级数 也发散.
§9.2 正项级数及其敛散性判别
一. 正项级数的概念 二. 正项级数敛散性的判别法
一、正项级数的概念
定义9.2.1 若数项级数 中的各项 则称此级数为正项级数.
于是正项级数的部分和数列
是一个单増数列, 即
定理9.2.1 正项级数 有上界.
收敛的充要条件是部分和数列
此定理的等价命题: 正项级数发散的充要条件是部分和数列 其等价命题是: “若 无上界, 则 从而正项级数发散.”
故原级数发散.
3. 根值判别法
定理9.2.5 (柯西根值判别法) 若正项级数
满足
则 (1) 当0 ≤ l < 1时, 级数
收敛;
(2) 当 l > 1时, 级数 发散;
(3) 当 l = 1 时, 级数
可能收敛, 也可能发散.
例6 判定级数
的敛散性.
解
故原级数收敛. 练习：
3,(1) 判定级数 解
无上界.
二. 正项级数敛散性的判别法
1. 比较判别法 定理9.2.2 (比较判别法) 设两个正项级数
的对
应项满足:
则 (1)当级数 收敛时, 级数 （大收小收）
正项级数判别 法
正项级数判别法
正项级数是指数列 $a_n$ 项全是正数的级数，即
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $a_n>0$。
对于这种级数，我们有一个非常有用的判别法，叫做正项级数判别法。
正项级数判别法的主要思想是通过比较级数的通项 $a_n$ 与一个已知的收敛级数的通项之间的大小关系，来判断所给级数是否收敛。
根据比较级数的大小关系，我们可以将正项级数分为以下三类。
一、大于等于已知收敛级数的通项
如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的通项 $a_n$ 大于等于已知收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 的通项 $b_n$，即 $a_n\geq b_n$，那么我们可以得到如下的结论：
右边这个级数显然也发散。
因此，如果 $a_n\leq b_n$，则
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 必发散。
三、属于柯西型级数
这个结论比较抽象，需要用到柯西收敛准则。
具体地说，如果对于任意一个正实数$\epsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n\geq N$ 时，有：
$$|a_n-b_n|<\epsilon$$
正项级数判别法的应用非常广泛，尤其对于那些可以化为 $a_n=\dfrac{1}{n^p}$ 的级数，直接运用大小关系即可得出结论。
同时，正项级数判别法也可以用来求极限，提高我们解决问题的效率。
10.3数项级数的收敛性判别法(1)
1+ n 由比较判别法知，级数∑ un = ∑ 发散. 2 n =1 n =1 1 + n
12
∞
∞
n! 例5 判断级数 ∑ n 的敛散性. n =1 n
但
p ≤ 1, 级数发散 .
21
∞
例12 讨论级数
∑n x
n =1
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: ∵ lim n − 1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收 敛 ; 当 x > 1时, 级数发散 ;
n− N
u N +1
k ( ρ + ε ) 收敛 , 由比较判别法可知 ∑
∑ un 收敛 .
20
(2) 当ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N
u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > ⋯ > u N
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1 n =1
∞
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
高等数学8.2正项级数收敛性
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
2020/4/30
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n
kn1k1p1(k11)p11
n1
n1
(3) 当 l =∞ 且vn 发散时, un 也发散.
n1
n1
2020/4/30
例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
数项级数收敛性判别法
2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
28
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
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n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
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20
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二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
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23
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三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
13-2_数项级数的收敛判别法
练习1 判别级数
1 的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n
n2 a2 1
1
(即=1为常数)
n
1
又
是调和级数，它是发散的
n1 n
1
故原级数 n1 n2 a 2
发散.
E-mail: xuxin@
练习2 判别级数 ( 1 cos x )
n1
n
1
n 3n
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
E-mail: xuxin@
例6
判定级数
ln(1
1 )的敛散性.
n1
n2
解：Q
lim
n
ln(1 1
1 n2
)
1,级数
n1
1 n2
收敛,
n2
由定理(2)知级数
n1
ln(1
1 n2
)收敛.
E-mail: xuxin@
n1
E-mail: xuxin@
推论2 设un为正项级数,如果存在p 1, n1
使得un
1 np
(n
1, 2,),则级数
n1
un收敛;
如果un
1 n
(n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2) n1 n2 1
n1
E-mail: xuxin@
例 1 考察级数
1
n1 1 2n
1
1
2
1
1 22
L
1
1 2
n
L
的收敛性.
正项级数的审敛法
k 1
即 un收敛. n1
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铃
(2)若 1,取正数 0,使 1, N 0,当n N时有
un1 1,
un
也即un1 un , 从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
2
N,
当n>N时, 有不等式
l 1 l un l 1 l , 2 vn 2
即
1 2
lvn
un
3 2
lvn
,
再根据比较审敛法, 即得所要证的结论.
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❖定理4(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 ,
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
例
1
讨论
p级
数
n 1
1 np
( p 0) 的 收 敛 性 .
而级
数
n 1
1 n 1
发散
,
故级数 n 1
1 也发散. n(n 1)
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级数收敛发散的判断方法总结
级数收敛发散的判断方法总结
级数是数学分析中的一种重要概念，指的是把一个无穷序列的项相加的过程。
在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是非常重要的，因为这关系到许多数学应用和问题的解决。
下面是几种常见的判断级数收敛发散的方法：
1. 比较法：比较法是一种常用的判断级数收敛发散的方法。
其基本思想是将待判断的级数与一个已知的级数进行比较，如果待判断的级数的通项比已知的级数的通项小于等于某个正数，那么待判断的级数收敛，否则发散。
2. 比值法：比值法也是一种常用的判断级数收敛发散的方法。
其基本思想是将待判断的级数的相邻两项之比取极限，如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则比值法不适用。
3. 根值法：根值法是一种比值法的变形。
其基本思想是将待判断的级数的每一项取绝对值后开根号，然后取极限，如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则根值法不适用。
4. 积分判别法：积分判别法是一种适用于正项级数的方法。
其基本思想是将待判断的级数中的每一项变成一个函数，然后对这个函数进行积分，如果积分收敛，则级数也收敛；如果积分发散，则级数也发散。
5. Abel定理：Abel定理是一种特殊情况下使用的方法。
其基本思想是将待判断的级数写成一个幂级数的形式，然后使用幂级数的性质来判断级数的收敛性。
总之，判断级数收敛发散的方法有很多种，不同的方法适用于不同的情况。
熟练掌握这些方法，能够更好地解决数学问题和应用。
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正项级数收敛的几种判别法
一：比较判别法：设两个正项级数
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
间成立着关系：0>∃c ，
使得n n cv u ≤，,...,3,2,1=n （或自某项以后，即N ∃当N n >时）成立以上关系式，那么
(1)当级数∑∞
=1n n v 收敛时，∑∞
=1n n u 也收敛。
(2)当级数∑∞
=1
n n u 发散时，∑∞
=1
n n v 也发散。
比较判别法的极限形式：设两个正项级数∑∞
=1
n n u 和
∑∞
=1n n
v
，如果n u 和n v 是同阶无
穷小量，即)0(lim
∞<<=∞
→l l v u n
n n ,则∑∞
=1
n n u 和
∑∞
=1
n n
v
同时收敛或同时发散。
二：Cauchy 判别法：设∑∞
=1
n n u 为正项级数，n n
n u r ∞
→=lim ，则： (1)当1<r 时，级数∑∞
=1n n u 收敛；
(2)当1>r 时，级数∑∞
=1
n n u 发散；
(3)当1>r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
三：D ’Alembert 判别法：设∑∞
=1
n n u )0(≠n u 是正项级数，则
(1)当1lim
1
<=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞
=1n n u 收敛； (2)当1lim
1
>=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞
=1
n n u 发散； (3)1≥r 或1≤r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
引理：设∑∞
=1n n u 为正项级数，则
n
n n n n n n n n n n n u u
u u u u 11lim lim lim lim
+∞→∞→∞→+∞→≤≤≤
上述引理说明：若一个正项级数的收敛情况可以由D ’Alembert 判别法判定，
则它一定也能用Cauchy 判别法判定，但是，能用Cauchy 判别法判定的，却未必能用D ’Alembert 判别法判定。
四：积分判别法：对正项级数∑∞
=1
n n u ，设n u 为单调减少的数列，做一个
连续的单调减少的正值函数)0)((>x x f ，使得当x 为自然数n 时，其值恰为n u ，亦即n u n f =)(，那么级数∑∞
=1n n u 与数列}{n A ，这里⎰=n
n dx x f A 1
)(同为收敛或同
为发散。