分数计算(裂项法五年级)
分数计算——裂项法
裂项一：
1
n×（n＋1）
＝
1
n－
1
n＋1
例: 1
6＝
1
2×3
＝
1
2－
1
3
1 110＝
1
10×11
＝
1
10－
1
11
应用1：1
2＋
1
6＋
1
12＋
1
20＋…＋
1
2450
裂项二：
1
n×（n＋d）
＝
1
d×(
1
n－
1
n＋d
)
例：
1
3×5
＝
1
2×(
1
3－
1
5) 1
4×9＝
1
5×(
1
4－
1
9)
应用2：
1
1×3
＋
1
3×5
＋
1
5×7
＋…＋
1
1997×1999
裂项三：
1
n×（n＋1）×（n＋2）
＝
1
2×[
1
n×（n＋1）
－
1
（n＋1）×（n＋2）
]
例：
1
1×2×3
=
1
2×（
1
1×2
－
1
2×3
）
1
11×12×13
=
1
2×（
1
11×12
－
1
12×13
）
应用3：
1
1×2×3
＋
1
2×3×4
＋…＋
1
9×10×11
裂项四：
1
n2－1
=
1
2×(
1
n－1
－
1
n＋1
)
例：
1
22－1
=
1
2×(
1
2－1
－
1
2＋1
)=
1
2×(1－
1
3)
1
102－1
=
1
2×(
1
10－1
－
1
10＋1
)=
1
2×(
1
10－
1
11)
应用4：
1
22－1
＋
1
42－1
＋
1
62－1
＋…＋
1
1002－1
应用5:1＋
1
1＋2
＋
1
1＋2＋3
＋
1
1＋2＋3＋4
＋…＋
1
1＋2＋3＋…＋10
应用6：1－5
6＋
7
12－
9
20＋
11
30－
13
42＋
15
56－
17
72
应用7：计算
（1＋1
2）×（1＋
1
4）×（1＋
1
6）×…×（1＋
1
10）
×（1－1
3）×（1－
1
5）×…×（1＋
1
11）
应用8：5
14＋
5
84＋
5
204＋
5
374＋
5
594＋
5
864
基础夯实：
1.
1
1×2
＋
1
2×3
＋
1
3×4
＋…＋
1
2001×2002
2.
4
1×5
＋
4
5×9
＋
4
9×13
＋
4
13×17
＋…＋
4
25×29
3.
1
12＋
1
20＋
1
30＋
1
42＋
1
56＋
1
72＋
1
90
4.
1998
1998×1999
＋
1998
1999×2000
＋
1998
2000×2001
＋…＋
1998
2049×2050
5.
3
1×5
＋
3
5×9
＋
3
9×13
＋…＋
3
1997×2001
6.
2
1×2×3
＋
2
2×3×4
＋
2
3×4×5
＋…＋2
98×99×100
7.（10－4
55×1）＋（9－
4
55×2）＋（8－
4
55×3）＋…
＋（2－4
55×9）＋（1－
4
55×10）
8.
1
2×5
＋
1
5×8
＋
1
8×11
＋…＋
1
1991×1994
＋
1
1994×1997
能力拓展：
10.（1－
3
2×4
）×（1－
3
3×5
）×（1－
3
4×6
）×（1
－
3
5×7
）×（1－
3
6×8
）×（1－
3
7×9
）×（1－
3
8×10
）
×（1－
3
9×11
）
11.
1×2×3＋2×4×6＋4×8×12＋7×14×21
1×3×5＋2×6×10＋4×12×20＋7×21×35
12.111024 ＋21512 ＋41256 ＋…＋25614 ＋51212
13.1＋316 ＋5112 ＋7120 ＋9130 ＋11142
14. 1
2 1＋12
＋
13
（1＋12 ）（1＋13
）
＋
14
（1＋12 ）（1＋13 ）（1＋14
）
＋…＋
1
1991
（1＋12 ）（1＋13 ）（1＋14 ）＋…＋（1＋11991 ）
15. 13 ＋115 ＋135 ＋163 ＋1
99
16.1＋316 ＋5112 ＋7120 ＋9130 ＋11142 ＋13156 ＋15172
＋17190
17.
2
1×（1＋2）
＋
3
（1＋2）×（1＋2＋3）
＋4
（1＋2＋3）×（1＋2＋3＋4）
＋
…
＋
100
（1＋2＋3＋…＋99）×（1＋2＋3＋…＋99＋100）
计算后化简得到一个最简分数，它的分母与分子的差是多少？
综合创新：
18.先教你一个计算方式：1×2＋2×3=
1×（2×3）
3
＋
3×（2×3）3 =2×3×4
3 ；1×2＋2×3＋3×
4=
2×（3×4）3 ＋3×（3×4）3 =3×4×5
3
那么，计算
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k
(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)
六年级分数除法练习题 班次 姓名 一、分数除以整数 53÷3= 74÷2= 72÷3= 5 2 ÷2= 103÷6= 65÷4= 107÷7= 10 1÷2= 73÷4= 85÷5= 119÷6= 6 5 ÷10= 98÷12= 31÷2= 75÷15= 9 5 ÷5= 12 11÷11= 31÷3= 54÷4= 53 ÷9= 21÷4= 74÷8= 145÷5= 13 10 ÷1= 二、整数除以分数 6÷72= 4÷158= 5÷21= 6÷43=8÷2516 = 7÷ 83= 36÷4027= 6÷65= 7÷57= 4÷52= 24÷98= 3÷75= 12÷25 16= 9÷91= 2÷10 1= 3÷57= 1÷54=
11÷1211= 5÷1415= 4÷74= 4÷47= 10÷ 13 10= 36÷49= 5÷52 = 三、分数除以分数 185÷18 5= 98÷2710= 49÷23= 87÷43 = 51÷32= 74÷47= 21÷113= 31÷3 2 = 65÷85= 107÷6 5= 75÷65= 98÷72= 2516÷98= 51÷41= 72÷75= 61÷36 19= 158÷2516= 1514÷1415= 1310÷9 5= 34÷ 25 16 = 三、分数混合运算 1-21×31 41×51÷41×51 113×（43－43） 31＋32－31＋3 2 1÷ 75－1÷65 0×72＋1×53 107－72－7 5 （21－31）÷65＋3 1
87＋32×101＋81 85×41＋41×83 247÷154×0.32 6－2.4÷9 8 10－（1－ 21）÷21 （32－0.4）÷（61＋0.5） 54×（65－43）－15 1 43×91＋158÷2516 （5－43÷83）×3619 （0.75＋61）÷1011÷0.4×8 5 41×0.8＋21÷43－0.8 0.25÷（1－95）＋83 97÷1514＋92×14 15 5132 17247 ??++÷? ??? 5121 6436 ??-?÷ ??? 311314162020??????÷+?÷ ? ?????????
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+
（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
分数 乘除 法计算 练 习 题 5 24 ×12 6× 5 24 49 ×27 10 23 ＋34 225 ×56 72÷89 617 －1351 56 ÷12 1320 ÷91100 78 ÷47 83÷169 6×5 21 12× 3 48 1317 ＋417 25 7 ×101 11 13 ×13 33 36×9 37 11 12 ×9 10 1113 ÷813 38 ×413 53÷32= 45÷5 12= 20÷65= 54÷2 1= 9 8÷4= 45÷54 = 5÷65 = 32÷3 2= 16 ÷23 = 34 ÷1 8 ＝ 2÷16 = 14 ÷34 = 1÷34 = 15 ÷19 ＝ 45 ÷34 = 23 ÷94 ＝ 45 ÷1 4 = 37 ÷7 10 = 2 3 ÷12= 14÷37 = 12 ÷14 ＝ 23 ÷58 ＝ 49 ÷19 = 3 5 ÷15= 13 ÷18 ＝ 511 ÷611 = 710 ÷127 ＝ 13 ÷1 8 ＝ 1÷4= 12 ÷13 = 7 16 ×167 ＝ 1635 ÷47 = 5 18 ÷1227 = 14 ÷14 = 15÷35 ＝ 7 20 ÷1415 ＝ 8÷916 ＝ 47 ÷114 = 23 ÷415 = 4÷15 ＝ 10 7 ÷7＝ 5÷75= 274169 = 32 ÷2= 12 ÷ 16 = 53÷54= 43÷5 1= 12÷83= 54÷23= 21÷2 1=
32÷43= 12÷32= 4 1 ÷3= 54÷21 = 9 8 ÷4= 45÷5 4= 5÷6 5= 32÷32= 41÷3 1= 13 2 ÷2= 26 5 ÷13=（ 94 － 32 ）× 83 926 ÷ 813 ×8 27 52×（43＋51）÷1019 136÷[11 7×（1－73）] 127-(41-12 5) 43－43÷3＋5 3 5-23×2110-72 1 4 ×1 5 ×10 1 30 ÷15 ÷1 5 47 ÷32 +4 7 ÷3 (1-21-41)÷81 12÷（1+31-6 5 ） 47 ×1522 ×712 52×4÷5 2 5 12 X = 57 X ÷3 5 = 5 12 5 2 +X = 57 3 4 x ＝18 8 15 ÷X=4
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。
六年级分数乘除法计算题练习题 姓名： 分数乘除法计算题专项练习1 一、直接写出得数 ＝4375? ＝7997÷ ＝3 456? ＝21575÷ ＝4398? ＝165 ÷ ＝38152019? ＝23 109÷ 15 －16 = 47 ×1= 12 ＋17 = 1953 ×0= 878?= 9763÷= 5 341+= 43÷4 3 = 10÷10%= 12÷32= 1.8× 61= 5210965??= 1517 ×60= 二、看谁算得又对又快 111471685÷÷ 35246583?? 11555382619?÷ 25 3 5312?÷ 38 ×4÷38 ×4 43 853485÷?＋ 58 ÷ 712 ÷ 710 12 ÷ 54 × 23 6÷103－103÷6 31×43÷（43－125） [35－(52＋43)]÷4 31 （ 78 + 1316 ）÷ 1316 187×41＋43×187 14×75÷14×7 5 36×（ 79 ＋ 34 － 56 ） (94+231)×9+23 14 2 1 ×3.2＋5.6×0.5＋1.2×50% 11 9 523121÷??? ??+÷ [2－（ 65＋85）]×127
三、解方程 322187＝x 152498＝ x 3 215254＝＋x x 65 x =30 8x －31=91 6x ＋5×4.4=40 （1－60%）÷x ＝5 21x ＋52x ＝20 21 四、求下面各比的比值 1052:87 467:46.7 10 63 :30 45 ：0.6 210：140 91:21 五、化简下面各比 65:13 123:3 1.1:11 4.9:0.7 2 1：65 15:0.12 六、列式计算 1．4个118 的和除以3 8 ，商是多少？ 2．21减去21乘3 2 的积，差是多少？ 3．一个数的 56 比它的 3 4 多 4，求这个数。 4． 12加上23的和，等于一个数的2 3 ，这个数是多少？ 5．比一个数多12%的数是112，这个数是多少？ 七、已知正方形的面积是9平方厘米，求阴影部分面积。
分数乘除法计算练习题 524 ×12 6×524 49 ×2710 23 ＋3 4 225 ×5 6 72÷8 9 617 －13 51 56 ÷12 1320 ÷91100 78 ÷47 83÷169 6×5 21 12× 348 1317 ＋417 257×101 1113 ×1333 36×937 1112 ×910 1113 ÷8 13 38 ×413 53÷3 2 = 45÷5 12 = 20÷65= 54÷2 1= 98÷4= 45÷54= 5÷65= 32÷32= 16 ÷2 3 = 3 4 ÷1 8 ＝ 2÷16 = 14 ÷3 4 = 1÷3 4 = 15 ÷19 ＝ 45 ÷3 4 = 23 ÷94 ＝ 45 ÷14 = 37 ÷710 = 2 3 ÷12= 14÷3 7 = 12 ÷1 4 ＝ 23 ÷5 8 ＝ 49 ÷19 = 3 5 ÷15= 13 ÷18 ＝ 511 ÷611 = 710 ÷127 ＝ 13 ÷18 ＝ 1÷4= 12 ÷13 = 71 6 ×16 7 ＝ 1635 ÷47 = 51 8 ÷1227 = 14 ÷14 = 15÷35 ＝ 720 ÷1415 ＝ 8÷9 16 ＝ 47 ÷114 = 23 ÷415 = 4÷15 ＝ 10 7 ÷7＝ 5÷75= 274169 = 32 ÷2= 12 ÷ 16 = 53÷5 4 = 4 3 ÷51= 12÷83= 54 ÷2 3= 2 1 ÷21= 32÷43= 12÷ 3 2= 4 1 ÷3= 54÷21= 98 ÷4= 45÷5 4= 5÷ 6 5 = 32÷32 = 41÷3 1= 13 2 ÷2= 26 5 ÷13=
2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；
小学五年级下册数学计算题：分数乘除法 这篇关于小学五年级下册数学计算题：分数乘除法，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！ 一、口算 12×2/3 = 8/9÷12= 18÷9/20 = 9/11×3= 3/20×4/9 = 4/15×15/16 = 5/6 ÷10= 7×5/14 = 9/40 ×2/3 = 12÷1/5 = 3/5 ÷3= 27÷ 9/20= 1/5÷1/3 = 6÷ 3/5 = 6/11 ÷2= 3/4 ÷ 4/3 = 二、计算，能简便可以简便。 (5/7 - 5/8)÷5/32 24×(3/8 +1/4 ) ( 3/4+1/6 -3/24 )÷1/24 (1/4 - 1/9)×4×9 5/11 ÷9+6/11 ×1/9 42÷( 1/6÷2/9 ) 三、解方程 3/8X+1/4 = X- 1/7 X = 3/16 X-40%X=40 四、填空 1.2/5 × 3/4○2/5 4/5÷3○4/5 1/2÷2/5 ○2/5 12×5/4 ○12 8/9÷2/5 ○8/9 12÷3/4 ○12×3/4 5/8 ÷ 5/2○ 5/8÷2/5 1÷5/12 ○12/5 ×1 2. 3/2的倒数是( )，10与( )互为倒数。 3.4个1/7 的和是( );3米的1/8 等于1米的( )( ) 。 4.1又1/2 的倒数是( )，0.25的倒数是( )。 5.60的1/6 是( )，( )的8/9 是72。 6.一个数的倒数是7/12 ，这个数的5/6 是( )。 7.( )的倒数是它本身，( )没有倒数。 8.30里面有( )个5/6 。 9.两个因数的积是28，一个因数是7/12 ，求另一个因数，列式为( )
分数乘除法计算题专项练习1 一、直接写出得数 ＝ 4375? ＝7997÷ ＝3456? ＝ 21575÷ ＝4398? ＝165÷ ＝38152019? ＝ 23 109÷ －= ×1= ＋= ×0= 878? = 9763÷= 53 41+ = 43÷43 = 10÷10%= 12÷32= 1.8×61= 5210965? ?= 1517 ×60= 二、看谁算得又对又快 111471685÷÷ 35246583?? 11555382619?÷ 2535312?÷ ×4÷×4 43853485÷ ?＋ ÷ ÷ ÷ × 6÷103－103÷6 31×43÷（43－125 ） [35－(52＋43)]÷431 （ + ）÷ 187×41＋43×187 14×75÷14×75 36×（ ＋ － ） (94+231)×9+2314 21 ×3.2＋5.6×0.5＋1.2×50%
119523121÷ ??? ??+÷ [2－（ 65＋85）]×127 三、解方程 322187＝x 152498＝÷x 3215254＝＋x x 65x =30 8x －31=91 6x ＋5×4.4=40 （1－60%）÷x ＝5 21x ＋52x ＝2021 四、求下面各比的比值 1052:87 467:46.7 :30 ：0.6 210：140 91:21 五、化简下面各比 65:13 123:3 1.1:11 4.9:0.7 21：65 15:0.12 六、列式计算 1．4个的和除以，商是多少？ 2．21减去21乘32 的积，差是多少？ 3．一个数的 比它的 多 4，求这个数。 4．12加上23的和，等于一个数的2 3，这个数是多 少？ 5．比一个数多12%的数是112，这个数是多少？
五年级分数乘除法计 算题
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 分数乘除法计算 练习 题 5 24 ×12 6×524 49 ×27 10 23 ＋3 4 22 5 ×5 6 72÷89 61 7 －13 51 5 6 ÷12 1320 ÷91100 78 ÷47 83÷16 9 6×521 12× 348 1317 ＋ 417 257×101 1113 ×13 33 36×937 1112 ×910 1113 ÷813 38 ×413 53÷32= 45÷5 12= 20÷6 5 = 54÷2 1 = 98 ÷4= 45÷54 = 5÷65 = 32÷32= 16 ÷23 = 34 ÷18 ＝ 2÷16 = 14 ÷34 = 1÷34 = 15 ÷19 ＝ 45 ÷34 = 23 ÷94 ＝ 45 ÷14 = 37 ÷710 = 2 3 ÷12= 14÷3 7 = 12 ÷1 4 ＝ 23 ÷5 8 ＝ 49 ÷19 = 35 ÷15= 13 ÷18 ＝ 511 ÷611 = 710 ÷127 ＝ 13 ÷18 ＝ 1÷4= 12 ÷13 = 716 ×167 ＝ 1635 ÷47 = 518 ÷1227 = 14 ÷14 = 15÷35 ＝ 720 ÷1415 ＝ 8÷916 ＝ 47 ÷114 = 23 ÷415 = 4÷15 ＝ 10 7 ÷7＝ 5÷75= 274169 = 32 ÷2= 12 ÷ 16 = 53÷54= 43÷5 1= 12÷8 3= 54÷23= 21÷2 1= 32÷43= 12÷3 2= 4 1 ÷3= 54÷21= 9 8 ÷4= 45÷54= 5÷6 5= 32÷32= 41÷3 1= 13 2 ÷2= 26 5 ÷13=（ 94 － 32 ）× 83 926 ÷ 813 ×8 27 52×（43＋51）÷10 19
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 分数计算 1.化简：（1） （）（）=1812 （2）32=14（） （3）（）（）=1221（4）0.45（）（） = 转化：（1）（）（）=1121 （2）=1 2 （ ）（3）（）（）（）=723（4）（）（）=632 通分：（1） （）（）（）（）=2+3=31+21 （2）+12=43+32（）12（）=（） （） 约分：（1）21 14×43×32=（）（） =21×4×314×3×2 （2）（）（）=12×1214×74=2×1214×74 (3) =××32=43÷98÷32（） （） （）（） （4） 51198322÷÷=（） （）（）（）=×89×38 2.（1）224846232? ? （2）282794?? （3）24 9 181232÷÷ （4）5 13920313?÷ （5）2382174÷? （6）95 151265÷?
3.（1）215525314++ (2) 72＋112＋75＋119 （3） 21＋144＋2 3＋ 14 10 （4） 31×95÷65 （5） （178×161）÷（178×162） （6）（53×71）÷（5 2÷7） 4.（1）43÷3＋ 51 (2)158×1615－101÷4 （3） 321×103－10 1÷5 1 （4） 411 ×108＋101÷401 （5）431×218＋301÷101 （6）56×2425－8 1÷10 1 5.（1）98×[43－( 167－41)] (2)32＋(74＋21)×25 7 （3）248 3611551154?++?+）（）（ （4） 652×432－252÷114
奥数裂项法 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把 这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算： 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答： 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =- ? =- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
1 198519861 198619871 198719881 199519961 19961997 11997?+ ?+ ?++ ?+ ?+ … =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996 119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分 数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例2. 计算：1111211231 123100 +++++++ ++++…… 公式的变式 1122 1+++= ?-…n n n () 当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122 23 11232 34 112342 45 1121002 100101 = ?+=?++=?+++= ?+++= ?… 1111211231 12100212 223234299100 21001012112 1231341991001100101211212131314 199 1 100 1100 1101 211101 + ++ +++++++=?+?+?++?+ ?=??+?+?++?+ ?=?-+-+ -++ - + - =?- ……………()() ()
五年级计算——小数乘法、小数除法 一、小数乘法 1、小数乘整数 例1：7?4 0.7 ?4 25? 6 2.5 ?6 85?6 8.5?6 2.05?4 2.3?12 2、小数乘小数 例2: 12?8 1.2?0.8 6.7 ?0.3 2.4?6.2 0.85?0.05 0.37 ?0.07 5.86?8.4 0.35?6.86 3、积的近似数 例3: 0.82?1.3（得数保留二位小数）0.8?0.9（得数保留一位小数）
2.5? 3.2（得数保留整数） 2.06?0.3（得数保留二位小数） 4、连乘、乘加、乘减 例4:0.32?2.3?5.6 72?0.81+11.4 8.06?2.4-5.7 2.5?1.3?10 1.5+2.7?0.9 15.8-6.9?1.5 5、简便计算 例5:0.25?4.78?4 0.78?101 1.2?99 （0.8?3.6）?12.5 1.2?4.5+0.8?4.5 4.8?0.25 1.5?105 50.4?99+50.4 3.76 ?11-3.76
练习：计算下列各题。 2.33?8 0.86?1.2 1. 2? 1.4 0.37 ?8.4（保留二位小数） 3.05?1.6 2.83?0.09 3.57?1.03 2.34?0.15（保留二位小数）3.76?0.25+25.8 50.4?1.9-1.8 0.8 ?（5?0.9） 3.4?0.5+3.6?0.5 0.035?0.5?6 102?5.5 0.95?99 0.95?99+0.95 101?3.7 101?3.7-3.7 2.5 ?36+2.5?63+2.5 32?2.5?12.5 72?1.25 3.5?3.9+6.5?3.9 7.3?2.6+3.7?2.6-2.6 8.8?12.5
16×98 = 38×516 = 15×15 = 23 ×21= 527 ×36= 56×38 = 85 ×2= 34 ×9 = 27 ×3 = 1×34 = 38 ×4 = 28×67 = 45×89 = 5×815 = 56 ×2= 15×35= 542×6 = 5×15= 64×38 = 8 9 ×12= 56×37 = 829 ×29= 8×89 = 313 ×5= 12×23 = 1321 ×7= 48×112 = 524 ×30 = 60×15 = 10×38 = 1516 ×4 = 143 ×6错误!未指 定书签。 = 9 8 ×18= 2×4 5 = 0×17 9 = 18×4 9 = 7 10 ×2 = 7 12 ×15= 13 ×16= 4×25 = 14×320 = 58 ×16= 5×59 = 34×617 = 12×56 = 730 ×12= 715 ×21= 14×310 = 23 ×33 = 76 ×7 = 524 ×3= 516 ×8 = 57 ×35 = 59 ×5 = 100×14 = 7×421 = 20×65 = 34 ×8= 21×57 = 27 ×23 = 518 ×3= 611 ×22= 415 ×6= 111 ×11= 134 ×8= 48×56 = 4×1 10 = 22×311 = 21×5 3 = 1 4 × 28= 1 ×1312 = 313 ×26= 724×32= 522 ×24= 16×78 = 138 ×24= 15 ×3=
48×23 = 13×1239 = 47 ×14= 518 ×9= 76 ×3= 219 ×0= 2331 ×0= 516 ×6= 35 ×3= 119 ×8= 7×17 35 = 38 ×8= 7×914 = 32 ×3= 5×94 = 23 ×4= 49 ×5= 13 ×22= 44×511 = 7 ×314 = 92 ×4= 5 ×730 = 14 15 ×5= 310 ×100= 13 ×165 = 32×98 = 12×94 = 109 ×3= 38 ×24= 35×35 = 28×37 = 4×5 6 = 821 ×7= 75 ×325 = 56 ×6= 15×53 = 1×316 = 3×79 = 12×43 = 125×725 = 8×712 = 5 6 ×2= 524 ×12= 3 38 ×19= 2 11 ×2= 4 21 ×7= 34 ×8= 67 ×21= 513 ×26= 100×34= 7 36 ×9= 54 ×6= 511 ×55= 3 8 ×5= 3 25 ×50= 8 9 ×4= 4×34 = 42×17 = 4 5 ×20= 4×14 = 4×316 = 1 6 ×12= 3 14 ×3= 1 3 ×2= 3 14 ×56= 5×211 = 26×1213 = 5 24 ×15= 7 40 ×6= 4 19 ×3= 4 13 ×91= 5 16 ×2= 11 25 ×5= 23 ×6= 7 10 ×16= 6×17 = 11 25 ×5= 4 19 ×3=
分数的速算与巧算—裂项 知识导航 分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项 可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是 将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需 复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它 们消去才是最根本的。 1.分数裂差型运算公式： (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面， 即 ，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： ， 形式的，我们有： 裂差型特征： (1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是 只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 2.分数裂和型运算公式： （1） （2） 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵 消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 3.整数裂项运算公式： (1) (2) 精典例题1: 思路点拨 观察分数特征，此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积，可直接运用公式。 模仿练习1: 精典例题2: 思路点拨
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子 不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的 等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 模仿练习2: 精典例题3: 思路点拨 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可 以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即： 原式
分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数
六年级分数乘除法计算及简 算(总2页) 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
六年级分数乘法简便运算习题 一．计算下面各题，能简算的要简算（25×3 = 75分） 23 ×15 ×3 5×47 ×35 25 × 4 × 34 （220 + 15 ）× 5 （89 +427 ）×3 ×9 6 ×（218 ×730 ） （38 - 38 ）× 615 16 ×（7 - 23 ） 56 ×59 + 59 × 16 29 ×34 +527 × 34 613 ×75 - 613 × 25 712 ×6 - 512 × 6 38 +38 ×47 +38 ×37 37× 335 625 × 24 1521 ×34 + 1021 ×34 - 34 710 ×101- 710 89 ×89 —89 ×89 35 × 99 + 35 ( 47 + 89 )×7 ×9 345 ×25 36×3435 ( 56 - 59 )×185 2623 × 15 3225 ×56 二，在□或〇里填上合适的数字或符号。（6×2 = 12分） （1） 25×167 ×78 = ( (15×2931 )= ×( × ) （2） 58 ×23 ×815 =( )4= □ × □ + □ × （3） 145 × □ - 56 )= □ × □ 〇 □ 三．选择题（2× = 3分） （1）计算27×2728 正确合理的方法是（ ） A 、按整数乘法的法则进行计算。 B 、27×2728 =（28-1）×2728 =28×2728 -2728 C 、27×2728 =27-27×128 D 、无法确定 （2）要求：这三种方法都正确吗？你认为第（ ）种算法更合理，更简便一些。 38 +38 ×47 +38 ×37 38 +38 ×47 +38 ×47 38 +38 ×47 +38 ×37 =38 + 314 + 956 = 38 + 38 ×( 47 + 47 ) = 38 ×( 1 + 47 + 47 ) =2156 + 1256 + 956 = 38 + 38 = 38 ×2
分数裂项 （一）“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。 （1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ （3）裂差型裂项的三大关键特征： 1，分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 2，分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 3，分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。
三、常用公式： （1） 2222(1)(21)1236n n n n ?+?+++++= ； （2） () 2223333(1)1231234 n n n n ?+++++=++++= ； （3） 2123421n n ++++++++= ； （4） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-； （5） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+； （6） 等差数列：求和=(首项+末项)×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差 （8）123456799111111111?= （去8数，重点记忆） 711131001??=（三个常用质数的乘积，重点记忆） （9）101ab abab ?= 10101ab ababab ?=
人教版五年级数学下册分数乘除法专项练习 1. （2011秋?株洲期末）12×（ A .乘法交换律 B .乘法分配律 C .乘法结合律 2. 一个长8分米，宽6分米，高5分米的长方体纸盒，最多能放（）个棱长为2分米的正方体木块． A .36 B .30 C .24 D .12 3. 下面各图中，（）中的涂色部分不能用 A . B . C . 4. 一根绳子长3米，每 A .1 B .3 C .9 5. 两个分数通分后的新分母是原来两个分母的乘积，原来的两个分母一定
（）。 A .都是质数 B .是相邻的自然数级 C .是互质数 6. 分子是5的假分数有（）个。 A .3 B .4 C .5 D .6 7. 把 A . B . C . D . 8. 乘积是1的两个数（） A .都是倒数 B .互为倒数 C .不是倒数 9. 下面两个数互为倒数的是（） A .1和0 B . C .3 10. 两位同学踢毽，小明踢了130下，小强踢的是小明的 A .185 B .130 C .195
11. 把一个长是6厘米，宽是5厘米，高是4厘米的长方体加工成一个最大的正方体，这个正方体的体积是______． 12. 一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积增加了56平方厘米，原来这个长方体的体积是______立方厘米． 13. 一个数的倒数不一定比这个数小。 14. 计算下面各题。你认为怎样简便就怎样算。 （1）50×0.78×0.2 （2）0.86×99= （3）13.7×2.8+13.7×7.2= 15. 真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于1。 16. 计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 （1） （2） （3） （4） 17. ______的两个数叫做互为倒数。 18. 真分数一定小于它的倒数。 19. 真分数的倒数都大于1。 20. 4和0.25互为倒数。 21. 分类。