等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点 （一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1nnnnadaaa则常数满足称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1dknadnaakn

3°.前n项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn ②等比数列：1°.定义若数列qaaannn1}{满足（常数），则}{na称等比数列；2°.通项公式：;11knknnqaqaa3°.前n项和公式：),1(1)1(111qqqaqqaaSnnn当q=1时.1naSn

2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321nnaaaaa 1°.若}{na是等差数列，则;23121nnnaaaaaa 2°.若}{na是等比数列，则.23121nnnaaaaaa ②中项及性质： 1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且;2baA 2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且.abG ③设p、q、r、s为正整数，且,srqp 1°. 若}{na是等差数列，则;srqpaaaa 2°. 若}{na是等比数列，则;srqpaaaa ④顺次n项和性质：

1°.若}{na是公差为d的等差数列，nknnknnkkkkaaa121312,,则组成公差为n2d的等差数列； 2°. 若}{na是公差为q的等比数列，nknnknnkkkkaaa121312,,则组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立） ⑤若}{na是等比数列， 则顺次n项的乘积：nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,,组成公比这2nq的等比数列. ⑥若}{na是公差为d的等差数列, 1°.若n为奇数，则,,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶

数项的和）； 2°.若n为偶数，则.2ndSS奇偶 （二）学习要点： 1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题. 3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或

a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或qa，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为

“);3,,,3(3,2,,mamamamamamamaa或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aqaqqaqaaqaqaqa或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题： （Ⅰ）已知cba1,1,1成等差数列，求证： （1）cbabacacb,,成等差数列； （2）2,2,2bcbba成等比数列. [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决， .2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca





[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，. （Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n.

[解析]设公比为2421281024,142531nnaaaaaaaq

)1(24211nqa

.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321nnqanqaaaaannnn得代入得将而

（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121kkkaaankkk其中恰为等比数列

求数列.}{项和的前nkn [解析],,,,171251751aaaaaa成等比数列

.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121nnSnkkdkddkaadaaadaaaqadaddaddaadannnnnnnnknnkknnn项和的前得由而的公比数列

① ②

① ②

①②

①，② [评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题： （Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数. [解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有

.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或adddddaadddadaaadada

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15aaaaa,

2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222amamamam

amamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与

解得),(1262不合或aa所求四数为47，57，67，77 [评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列练习题 一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 2.、在等差数列na中，41a,且1a,5a,13a成等比数列，则na的通项公式为 （ ） （A）13nan （B）3nan （C）13nan或4na （D）3nan或4na 3、已知cba,,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则ycxa的值为 （ ） （A）21 （B）2 （C）2 （D） 不确定 4、互不相等的三个正数cba,,成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么2x，2b，2y三个数（ ） （A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列 （C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列na的前n项和为nS,nnSn24212,则此数列的通项公式为 （ ） （A）22nan （B）28nan （C）12nna （D）nnan2 6、已知))((4)(2zyyxxz，则 （ ） （A）zyx,,成等差数列 （B）zyx,,成等比数列 （C）zyx1,1,1成等差数列 （D）zyx1,1,1成等比数列 7、数列na的前n项和1nnaS，则关于数列na的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 8、数列1,1617,815,413,21,前n项和为 （ ） （A）1212nn （B）212112nn （C）1212nnn （D）212112nnn

9、若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nA 、nB，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为 （ ） （A）97 （B）78 （C）2019 （D）87 10、已知数列na的前n项和为252nnSn,则数列na的前10项和为 （ ） （A）56 （B）58 （C）62 （D）60 11、已知数列na的通项公式5nan为, 从na中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （ ）

（A）2)133(nn （B）53n （C）23103nn （D）231031nn 12、下列命题中是真命题的是 ( )