线性规划的应用
运筹学应用例题
运筹学应⽤例题线性规划在⼯商管理中的应⽤⼀、⼈⼒资源分配的问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务⼈员⼈数如下表所⽰：设司机和乘务⼈员分别在各时间段开始时上班；并连续⼯作8⼩时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务⼈员，既能满⾜⼯作需要，⼜使配备司机和乘务⼈员的⼈数最少？例2 ⼀家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所⽰：为了保证售货员充分休息，要求售货员每周⼯作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息⽇期，既能满⾜⼯作需要，⼜使配备的售货员的⼈数最少？⼆、⽣产计划问题例3 某公司⾯临⼀个是外包协作还是⾃⾏⽣产的问题。
该公司有甲、⼄、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加⼯和装配三道⼯序。
甲、⼄两种产品的铸件可以外包协作，亦可以⾃⾏⽣产，但产品丙必须由本⼚铸造才能保证质量。
有关情况如下表所⽰，公司中可利⽤的总⼯时为：铸造8000⼩时，机械加⼯12000⼩时和装配10000⼩时。
为了获得最⼤利润，甲、⼄、丙三种产品各应⽣产多少件？甲、⼄两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？三、套裁下料问题例4 某⼯⼚要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9⽶、2.1⽶、和1.5⽶的圆钢各⼀根。
已知原料每根长7.4⽶，问应如何下料，可使所⽤原料最省？四、配料问题例5某⼯⼚要⽤三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、⼄、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所⽰：问该⼚应如何安排⽣产，才能使利润最⼤？五、投资问题例6 某部门现有资⾦200万元，今后五年内考虑给以下的项⽬投资：项⽬A ：从第⼀年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项⽬B ：从第⼀年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最⼤投资额不能超过30万元；项⽬C ：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最⼤投资额不能超过80万元；项⽬D ：第⼆年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最⼤投资额不能超过100万元。
线性规划模型的应用分析
第3章线性规划模型的应用1.某企业制造三种仪器，甲种仪器需要17小时加工装配，8小时检测，售价300元。
乙种仪器需要10小时加工装配，4小时检测，售价200元。
丙种仪器需要2小时加工装配，2小时检测，售价100元。
三种仪器所用的元件和材料基本一样，可供利用的加工装配时间为1000小时，检测时间为500小时。
又根据市场预测表明，对上述三种仪器的要求不超过50台、80台、150台。
试求企业的最优生产计划。
解：首先将问题中的数据表示到如下表格：imaxZ=300x1+200x2+100x317x1+10x2+2x3≤10008x1+4x2+2x3≤500x1≤50x2≤80x3≤150x1,x2,x3≥02. 某铸造厂要生产某种铸件共10吨，其成分要求：锰的含量至少达到0.45%，硅的允许范围是3.25%~5.5%。
目前工厂有数量充足的锰和三种生铁可作为炉料使用。
这些炉料的价格是：锰为15元/公斤，生铁A为340元/吨，生铁B为380元/吨，生铁C为280元/吨。
这三种生铁含锰和含硅量（%）如表3.22所示，问工厂怎样选择炉料使成本最低。
表3.22成分锰有部分是纯锰，部分是从生铁中提炼出来的，所以改进表格如下：设铸件中含有三种生铁和锰的量分别为xi（i=1，2，3，4）吨，则数学模型如下：maxZ=340x1+380x2+280x3+15000x4x1+x2+x3+x4=100.45%x1+0.5%x2+0.35%x3+x4≥0.45%*104%x1+1%x2+0. 5%x3≥3.25%*104%x1+1%x2+0. 5%x3≤5.5%*10xi≥0（i=1，2，3，4）3. 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。
已知原料每根长7.4m，问应如何下料，可使所用原料最省。
解：4. 绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。
这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。
产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价见表3.23、表3.24。
线性规划：建模与应用
什么是线性规划模型
线性规划模型的一般形式
4
线性规划问题的分类
资源分配问题(resource-allocation)：资源 约束。伟恩德玻璃制品公司产品组合问题
成本收益平衡问题(cost-benefit-trade-off)： 收益约束。利博公司广告组合问题，大沼 泽地金色年代公司的现金流问题
网络配送问题(distribution-network)：确 定需求约束。
混合问题(mix)：多种约束。
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主要内容
Super Grain Corp. Advertising-Mix Problem (Section 4.1)(超级食品公司的广告 组合问题)
Resource Allocation Problems & Think-Big Capital Budgeting (Section 4.2)(资源分配问 题和梦大发展公司的资金预算问题)
Question: At what level should they advertise Crunchy Start in each of the three media?
确定各种媒介的广
告力度以获得最有 效的广告组合？
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Algebraic Formulation (数学模型)
Let (设定) TV = Number of commercials for separate spots on television (电视上的广告时段数目) M = Number of advertisements in magazines. (杂志上的广告数目) SS = Number of advertisements in Sunday supplements. (星期天增刊上的广告数目)
线性规划论文 (5)
线性规划论文简介线性规划是数学规划领域的一种重要方法，用于优化线性目标函数在一系列线性约束条件下的取值。
由于其广泛的应用性和高效的计算方法，线性规划在工程、经济、物流等领域中被广泛应用。
背景线性规划的出现与发展源于对优化问题的研究。
在过去的几十年中，随着计算机技术的进步和算法的优化，线性规划在实践中得到了广泛的应用。
线性规划的主要优点是能够处理大规模的问题，并且提供了一种可行的方式来解决复杂的决策问题。
定义和模型线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数：Z = c₁x₁+ c₂x₂ + ... + cₙxₙ在约束条件下：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的右侧常数。
算法和求解线性规划问题的求解可以使用多种算法，包括单纯形法、内点法等。
这些算法基于不同的思想和技巧，通过迭代计算来逼近最优解。
其中，单纯形法是最常用的算法之一，它通过不断地改变基变量和非基变量的组合来寻找最优解。
内点法则是近年来发展起来的一种新的算法，通过在可行域内部搜索最优解。
应用领域线性规划在众多领域中都有广泛的应用。
以下是线性规划常见的应用领域：生产计划与调度通过线性规划，可以优化生产计划和调度问题。
通过设置合理的约束条件和目标函数，可以最大程度地提高生产效率，减少生产成本。
运输与物流规划线性规划在运输和物流规划中也得到了广泛应用。
通过优化物流路径和运输计划，可以降低运输成本，提高物流效率。
金融与投资管理在金融领域中，线性规划可以用于优化投资组合和资产配置，以最大化收益或降低风险。
运筹学模型的类型
运筹学模型的类型运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。
根据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型：1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性函数取得最大或最小值。
线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。
2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。
3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。
排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。
6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。
总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
高三线性规划知识点
高三线性规划知识点线性规划是高中数学中的一个重要知识点，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将全面介绍高三线性规划的相关知识，包括定义、基本概念、解题步骤以及一些典型例题。
一、线性规划的定义线性规划是一种数学模型，用于求解一个线性函数在一组线性约束条件下的最优值。
在实际生活中，我们常常需要在一定的条件下寻找最优解，例如：生产成本最小、收益最大、资源利用最佳等等。
线性规划通过建立数学模型，帮助我们找到最优解。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标通常是最大化或最小化一个线性函数。
这个函数被称为目标函数，记作Z。
2. 线性约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了变量的取值范围。
3. 变量：线性规划的变量是我们要求解的未知数，可以用任意字母表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解的集合称为可行域。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取到最大值或最小值的解称为最优解。
三、线性规划的解题步骤1. 建立数学模型：根据问题的描述，将目标函数和约束条件用代数式表示出来。
2. 确定可行域：将约束条件化为不等式形式，并将它们表示在坐标系中，找出它们的交集，确定可行域的范围。
3. 确定最优解：在可行域内寻找目标函数的极值点，得出最优解。
4. 检验最优解：将最优解代入原问题中，检验是否满足所有约束条件。
四、典型例题例题1：某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每吨利润为1000元，乙产品每吨利润为1200元。
已知生产一吨甲产品需要材料A 30千克，材料B 10千克；生产一吨乙产品需要材料A 20千克，材料B 40千克。
工厂每天可以使用材料A 600千克，材料B 200千克。
问如何安排生产，使得利润最大化？解：首先，我们定义两个变量x和y，分别表示甲、乙产品的生产量（吨）。
目标函数Z表示利润的最大值，即Z=1000x+1200y。
约束条件如下：30x+20y ≤ 60010x+40y ≤ 200x，y ≥ 0我们可以将该问题转化为图形解法，将约束条件绘制在坐标系中，确定可行域的范围。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法和应用进行详细阐述。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，用于表示需要最大化或者最小化的目标。
1.2 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，用于限制变量的取值范围。
1.3 可行解与最优解：线性规划问题存在无穷多个可行解，但惟独一个最优解，即使满足所有约束条件且使目标函数取得最大（或者最小）值的解。
二、线性规划模型构建2.1 决策变量：线性规划模型中的决策变量是需要优化的变量，可以是实数、整数或者二进制数。
2.2 目标函数的构建：根据问题的具体要求，将目标转化为线性函数的形式，并确定是最大化还是最小化。
2.3 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式的形式，并确定约束条件的数学表达式。
三、线性规划的求解方法3.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解点。
3.2 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法进行求解。
该方法将线性规划问题转化为整数规划问题，并采用分支定界等算法求解最优解。
四、线性规划的应用4.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化产量或者最小化成本。
4.2 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如确定最佳的人力资源配置、物资采购策略等。
4.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，如确定最佳的货物运输路线和运输量，以降低运输成本。
4.4 金融投资：线性规划可以用于优化金融投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z=c1x1+c2x2+...+cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a1x1+a2x2+...+anxn≤b，其中ai为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，例如生产数量、销售数量等。
2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的形式，并确定系数。
3. 约束条件：根据问题要求确定约束条件的形式，并确定系数和常数。
4. 非负约束：线性规划中的决策变量通常要求非负，即xi≥0。
四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线来求解最优解。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要为整数时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更加复杂，求解时间也更长。
五、应用案例1. 生产计划：某公司有两种产品A和B，每单位产品A需要2小时加工时间和3小时装配时间，每单位产品B需要1小时加工时间和2小时装配时间。
公司每天有8小时的加工时间和10小时的装配时间可用。
产品A的利润为100元，产品B 的利润为80元。
如何安排生产计划，使利润最大化？2. 资源分配：某公司有三个项目需要分配资源，每个项目需要的资源量不同。
高中数学人教A版必修5课件线性规划
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CONTENTS
01 添加目录标题 02 线性规划的基本概念 03 线性规划的求解方法 04 线性规划的软件实现 05 线性规划的案例分析
06 线性规划的扩展知识
单击添加章节标题
第一章
线性规划的基本概念
第二章
线性用于求解线性目 标函数在满足一 组线性约束条件 下的最大值或最 小值。
运输问题
问题描述：某公司需要在多个城市之间运输货物，如何安排运输路线以最小化运输成本？ 线性规划模型：建立线性规划模型，包括目标函数和约束条件 求解方法：使用单纯形法或其他优化算法求解模型 案例分析：分析某公司实际运输问题，计算最优运输方案，并比较不同方案的成本差异
资源分配问题
问题背景：某公司需要分配资源给多个项目，以实现最大收益 目标函数：最大化总收益 约束条件：资源有限，每个项目所需的资源数量不同 线性规划模型：通过建立线性规划模型，求解最优资源分配方案
线性规划的几何意义
线性规划是一种数学方法，用于解决线性约束条件下的优化问题
线性规划的目标是找到一组最优解，使得目标函数值最大或最小
线性规划的几何意义在于，它可以将线性规划问题转化为几何问题，通过图形直观地表示和解 决
线性规划的几何意义可以帮助我们更好地理解和解决线性规划问题，提高解决问题的效率和准 确性
投资优化问题
案例背景：某公 司计划投资多个 项目，但资金有 限，需要优化投 资方案
目标函数：最大 化投资回报率
约束条件：投资 总额不超过预算， 每个项目的投资 额不低于最小投 资额
线性规划模型： 通过建立线性规 划模型，求解最 优投资方案
线性规划的扩展知识
线性规划的实际应用
第七届新世纪杯参评论文研究性学习——线性规划的实际应用天津一中高二数学备课组: 吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林申报人姓名:天津一中高二数学备课申报学科:数学学科联系方式:(天津一中高二数学备课组)研究性学习——线性规划的实际应用高二备课组: 吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林摘要本文就是在学生掌握简单的线性规划知识的基础上,结合教材课程安排布置数学研究性学习作业,目的就是对某些数学问题的探讨或者从数学角度对某些日常生活中与其它学科中出现的问题进行研究,充分体现教育新理念——以学生发展为本,调动学生自主学习的积极性与团结协作的意识,使学生注意体验数学活动的过程,以培养学生的创新精神与应用能力。
序言:《研究性学习与实习作业:线性规划的实际应用》就是在学习了“简单的线性规划”之后,安排的一节研究性的活动与实习课。
这就是高二(上)的一节研究性活动课,体现出它的独特地位。
线性规划就是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,就是一门研究如何使用最少的人力,物力去最优地完成任务,它就是解决科学研究、工程设计、经济管理、生产实践等许多方面的实际问题的专门科学。
由于它可以为我们提供最合乎经济原则的科学工作方法,因此在当前知识经济的潮流中,能发挥出越来越重要的作用。
虽然中学数学讲的线性规划就是一些简单初步的知识,但在实际工作中的很多地方都能找到它的应用。
按照教材的课程安排,我们结合学生的实际情况让高二年级同学充分利用“十一”长假的机会进行社会实践,又通过学生自主学习,通过报刊、书籍及其它媒体获取有关资料确定研究主题,用线性规划的知识,在实际问题中提炼数学模型进行分析,独立或合作写出的研究报告。
目的在于启发学生体会与领悟其中的数学思想与方法,提高学生的综合素质、能力与培养学生树立知识的纵横联系、交叉、融合、渗透的学习意识,提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
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线性规划的应用
1. 简介
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、投资组合、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并以一个实际案例来说明其具体应用。
2. 基本概念
2.1 目标函数
在线性规划中，我们需要最大化或者最小化的目标称为目标函数。
目标函数通常是一个线性函数，表示决策变量的加权和。
2.2 约束条件
约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
线性规划的约束条件通常是一组线性等式或者不等式。
2.3 决策变量
决策变量是我们要求解的问题中的未知数，它们的取值将影响目标函数的值。
3. 应用领域
3.1 生产计划
线性规划可以用于优化生产计划，以最大化产出或者最小化成本。
例如，一个工厂需要决定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
我们可以将每种产品的利润作为目标函数，将生产数量的约束条件表示为线性等式或者不等式。
3.2 资源分配
线性规划可以匡助我们合理分配有限资源，以达到最优效益。
例如，一个公司
需要决定如何分配有限的人力资源和资金，以最大化销售额。
我们可以将销售额作为目标函数，将人力资源和资金的约束条件表示为线性等式或者不等式。
3.3 投资组合
线性规划可以用于优化投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
例如，一个
投资者需要决定如何分配资金到不同的投资标的，以最大化投资组合的收益。
我们可以将投资组合的收益作为目标函数，将资金分配的约束条件表示为线性等式或者不等式。
3.4 运输问题
线性规划可以解决运输问题，以最小化运输成本或者最大化运输量。
例如，一
个物流公司需要决定如何安排货物的运输路线和运输量，以最小化运输成本。
我们可以将运输成本作为目标函数，将货物的供应和需求、运输路线的约束条件表示为线性等式或者不等式。
4. 案例分析
假设某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A的生产时间为1小时，产品B
的生产时间为2小时。
公司希翼确定每种产品的生产数量，以最大化每天的总利润。
解决这个问题的线性规划模型如下：
目标函数：最大化总利润 = 100A + 150B
约束条件：A + 2B ≤ 8
A, B ≥ 0
根据以上模型，我们可以使用线性规划软件求解最优解。
假设最优解为A=4，
B=2，那末每天的总利润为100*4 + 150*2 = 700元。
5. 总结
线性规划是一种强大的数学工具，可以用于解决各种最优化问题。
它在生产计划、资源分配、投资组合、运输问题等领域都有广泛的应用。
通过合理建立目标函数和约束条件，我们可以利用线性规划求解最优解，从而优化决策和提高效益。