海口市高二上学期期中数学试卷D卷(测试)
2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期期中联考数学检测试题(含答案)
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在
答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填写在答题卡相应位置上
2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期期中联考数学检测试题
.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在复平面内，复数z=(2-i)(-1+i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合A={x∣-1A.{x∣2C.{x∣2
3.直线y=3x+3的倾斜角为()A.π6B.2π3C.π4D.π3
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为B1C1中点，若AB=a,AC=b,AA1=c，则下列向量中与BM相
等的是()
A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c
5.已知a=(1,m-1),b=(m,2)，则“m=2”是“a∥b”的()
A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
6.设偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)13的x的范围是()
A.12,23B.-∞,23C.13,23D.12,23
7.已知点A(4,0),B(0,4)，从点P(2,0)射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为()A.45B.210C.25D.10
浙江省嘉兴八校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷含答案
2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过()0,1A -、()10B ,两点，则该直线的斜率为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率.【详解】由题意可知，直线AB 的斜率为10101AB k --==-.故选：C.2.已知直线1l ：10x my +-=与2l ：310mx y +-=，若12l l //，则m 为（）A. B.0C.D.【答案】D 【解析】【分析】由12l l //计算可得m =m =或m =时两直线是否重合即可得.【详解】由12l l //，则有2130m ⨯-=，解得m =，当m =时，1l ：10x +-=与2l 310y +-=，两直线不重合；当m =时，1l ：10x -=与2l ：310y +-=，两直线不重合；故m =.故选：D.3.已知1F ，2F 分别为椭圆22193x y+=的左右焦点，P 为椭圆上一点，若12=PF ，则2PF 为（）A.1B.4C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】由椭圆定义计算即可得.【详解】由椭圆定义可得126PF PF +==，故216624PF PF =-=-=.故选：B.4.已知()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则t 的值为（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由空间向量的知识可知，两平面垂直等价于两法向量垂直，从而利用两法向量数量积为0求值.【详解】因为()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，所以m n ⊥ ，即()()2,,53,2,625630m n t t t t t ⋅=-⋅-=--+=-+=，解得2t =，故选：B.5.经过点()1,2M 作圆225x y +=的切线，则切线方程为（）A.250x y +-=B.250x y --= C.250x y +-= D.250x y --=【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得.【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为()12y k x =-+，即20kx y k --+=，则有d ==，化简得()2210k +=，故12k =-，故该切线方程为()1122y x =--+，即250x y +-=.故选：C.6.如图，在三棱锥O ABC -中，已知E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，则OF =（）A.111234OA OB OC -+B.111263OA OB OC -+C.111234OA OB OC ++D.111263OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量加法，减法和数乘运算法则进行求解.【详解】E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，故111222OF OA AF OA AE OA AC CE=+=+=++1111111111122232266263OA OC OA CB OA OC OB OC OA OB OC =+-+⨯=++-=++ .故选：D7.已知圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，则实数a 的取值范围（）A.,00,33⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.2626,33⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.260,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用公切线问题转化为两圆相交问题，再转化为圆心距范围问题，即可求解.【详解】由圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差，()1,5=，解得：,00,33a ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选：A.8.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若24AB F B =uu u r uuu r，122F A F B =，则椭圆C 的离心率为（）A.15B.5C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】设2F B m = ，结合题目所给条件及椭圆定义可得25m a =，即可表示出2AF 、1AF 、2BF 、1BF ，再借助余弦定理及2121cos cos 0BF F AF F ∠+∠=计算即可得解.【详解】设2F B m = ，则244AB F B m == ，1222F A F B m ==，则23AF m =，由椭圆定义可得1252AF AF m a +== ，故25m a =，即有265AF a = ，145AF a = ，225BF a = ，则128255BF a a a =-= ，则有()()22222221212864225555cos cos 026222255a c a a c a BF F AF F a c a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠+∠=+⨯⨯⨯⨯，整理得2252c a =，即5c e a ===.故选：C.二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．9.已知直线l 0y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,0到直线lB.直线l 的截距式方程为11x +=C.直线l 的一个方向向量为(1,D.若直线l 与圆()2220x y r r +=>相切，则32r =【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，根据点到直线距离公式进行求解即可；对于B 选项，根据直线的截距式进行求解即可；对于C 选项，根据直线方向向量的概念进行求解即可；对于D 选项，根据直线与圆相切的关系，根据圆心到直线的距离等于半径进行求解即可.【详解】对于A 选项，已知直线0l y +-，则点()1,0到直线的距离0d ==，故A 选项错误；对于B 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的截距式方程为11x +=，故B 选项正确；对于C 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的一个方向向量为(1,，故C 选项正确；对于D 选项，已知圆222x y r +=，其圆心()0,0到直线l 2=，由于直线l 与圆相切，可得：32r =，故D 选项正确.故选：BCD10.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为棱AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，则下列说法正确的是（）A.BF DE ⊥B.该三棱柱的体积为4C.直线DE 与平面11ABB A 所成角的正切值的最大值为12D.过1A ，1B ，E 5【答案】ABC 【解析】【分析】利用题设建系，对于A ，通过空间向量证明BF ⊥平面11A EB ，即得BF DE ⊥；对于B ，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C ，设点(),0,2D t ，利用空间向量的夹角公式计算得出关于t 的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值；对于D ，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除D.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,1F ，()1,1,0E ，()12,0,2A ，()10,0,2B ，对于A ，()0,2,1BF = ，()11,1,2EB =-- ，()11,1,2EA =-，因1220BF EA ⋅=-+= ，1220BF EB ⋅=-+=，可得1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，因11EA EB E ⋂=，且两直线在平面11A EB 内，则有BF ⊥平面11A EB ，又D 为棱11A B 上的动点，故BF DE ⊥，即A 正确；对于B ，由题意，该三棱柱的体积为122242V =⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ，如图，因1AA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则1AA BC ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，且两直线在平面内，故得⊥BC 平面11ABB A ，故可取平面11ABB A 的法向量为 =0,1,0，又D 为棱11A B 上的动点，可设(),0,2D t ，[]0,2t ∈，则()1,1,2DE t =--，设直线DE 与平面11ABB A 所成角为θ，则sin cos ,DE n θ==，因[]0,2t ∈，故当且仅当1t =时，()215t -+取得最小值为5，此时sin θ取得最大值为5，因π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而正弦函数和正切函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为增函数，故此时tan θ5152=，故C 正确.对于D ，如图，设经过1A ，1B ，E 三点的截面α交BC 于点G ，连接1,EG B G ，因11∥A B AB ，11A B ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则11//A B 平面ABC ，又11A B α⊂，α 平面ABC EG =，故得11A B EG ∥，即截面为梯形11EGB A ，因1A E=，1B G ==，设梯形11EGB A 的高为h 1+=，解得h =则()1112122EGB A S =⨯+=，故D 错误；故选：ABC.【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题.解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明;利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解.11.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，可以转化为点(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数()f x =，下列结论正确的是（）A.方程()5f x =无解B.方程()6f x =有两个解C.()f x 的最小值为D.()f x 的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合题意可得()f x PA PB =+，取()2,2C 计算可得A 、C 、D ；结合椭圆定义计算可得B.【详解】()f x ==+，设(),1P x ，−2,0，()2,0B ，则()f x PA PB =+，如图，取()2,2C ，则()f x PA PB PA PC AC =+=+≥==，当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，又当2x ≥时，()f x 随x 增大而增大，故()f x 无最大值，故C 正确、D 错误；由5>，故()5f x =有解，故A 错误；()6f x =，则64PA PB AB +=>=，则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此时26a =，2c =，即3a =，2945b =-=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =-=，得2365x =，即5x =±，即方程()6f x =有两个解，故B 正确.故选：BC .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线2230x y +-=的倾斜角为______．【答案】34π【解析】【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【详解】由于直线的斜率为1-，故倾斜角为3π4.【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.13.点N 在椭圆2212510x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，M 为NF 的中点，若4OM =，则NF =_________．【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义结合中位线性质即可求解.【详解】如图，设椭圆的另一焦点为1F ，则1210NF NF a +==，由中位线可知：112OM NF =，所以18NF =，所以2NF =，故答案为：214.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1,AD BB 的中点.点P 为正方体表面上的动点，满足1A P EF ⊥.给出下列四个结论：①线段1A P 长度的最大值为；②存在点P ，使得//DP EF ；③存在点P ，使得1B P DP =；④EPF 是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断B ，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,2,1,0,0,2,2,1,0,2,0,0,0,0,2,2,2A E F C D B ，对①，由正方体性质知当P 在C 时，线段1A P 长度的最大值为此时()()12,2,2,1,2,1A P EF =--= ，12420A P EF ⋅=-+-=，所以1A P EF ⊥，即满足1A P EF ⊥，故①正确；对②，取正方形11BB C C 的中心M ，连接,DM MF ，易知//,MF DE MF DE =，所以四边形DMFE 为平行四边形，所以//DM EF ，故P 运动到M 处时，//DP EF ，此时()1,2,1P ，()11,2,1A P =-- ，114120A P EF ⋅=-+-=≠，即不满足1A P EF ⊥，综上不存在点P ，使得//DP EF ，故②错误；对③，设(),,P x y z ，则()12,,2A P x y z =-- ，()1,2,1EF =，若存在，由1B P DP =，1A P EF ⊥可得方程组2220x y z -++-=⎧=化简可得243x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得2,1x z y +==，显然当0,2,1x z y ===时满足题意，即存在点P ，使得1B P DP =，故③正确；对④，设(),,P x y z ，若PE PF =，=24x y z ++=，由③知1A P EF ⊥时可得24x y z ++=，所以不妨取0,1,2x y z ===，此时()0,1,2P 在正方体表面上，满足题意，故④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间三点()2,0,1A -，()1,0,1B -，()3,1,2C -，设a AB = ，b AC = .（1）求2a b +的值；（2）若向量()a kb + 与()a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）23a b +=；（2）3k =±.【解析】【分析】（1）先由题意求出,a b，再结合向量坐标形式的加法运算和模长公式即可计算求解；（2）由向量垂直的表示结合a， b 即可计算求解.【小问1详解】由题得()1,0,0a AB ==，()1,1,1b AC ==- ，所以()21,2,2a b +=- ，所以23a b +=.【小问2详解】因为()()a kb a kb +⊥- ，所以()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= ，又21a = ，2223b === ，所以2130k-=，解得3k =±.16.已知直线1l ：350x y ++=，2l 经过点()3,1M ．（1）若12l l ∥，求直线2l 的方程；（2）在（1）的条件下，求1l 与2l 之间的距离；（3）若2l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的最小值．【答案】（1）360x y +-=（2）10（3）6【解析】【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解；（2）直接由平行线间距离公式即可求解；（3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解.【小问1详解】直线350x y ++=的斜率为13-，所以过点()3,1M 且与直线350x y ++=平行的直线方程为()1133y x -=--，即360x y +-=．【小问2详解】因为10d ==，所以两直线间的距离为10．【小问3详解】设直线方程为()13y k x -=-，0k <．当0x =时，13=-y k ；当0y =时，13=-x k．则()13,0,0,13A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则6MA MB ⋅=，当且仅当221kk =，即1k =-时，等号成立．所以MA MB ⋅的最小值为6．17.已知点32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C ：226210x y x y +--+=．（1）求圆C 过点P 的最短弦所在的直线方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=相交于A ，B 两点，O 为原点，且OA OB ⊥，求a 的值．【答案】（1）4250x y --=（2）1a =-【解析】【分析】（1）过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可；（2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到124x x a +=-+，()21212a x x -=.再由OA OB ⊥转化为向量数量积，综合韦达定理构造方程计算即可.【小问1详解】过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，圆226210x y x y +--+=的圆心()3,1C ，则1322312PCk k -=-=-=-，所以过点P 的最短弦所在的直线方程为()3222y x -=-，即4250x y --=．【小问2详解】()()220,319,x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 得()()22319x x a -++-=，化简后为()()2222810x a x a +-+-=．因为圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，所以()()22Δ28810a a =--->，即24140a a +-<，解得22a --<<-+设1,1，2,2，则124x x a +=-+，()21212a x x -=．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．由1122,,y x a y x a =+⎧⎨=+⎩得()()()()2222212121212161422a a a y y x a x a x x a x x a a a a -++=++=+++=++=．从而()()2221611022a a a a -+++=+=，解得1a =-．18.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，12BC AB AA AC ===，M 是11BC 中点，N 是AC 中点．（1）证明：直线//MN 平面11ABB A ；（2）证明：直线MN BC ⊥；（3）求平面MNA 与平面11BB C C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】【分析】（1）构造中位线判定四边形EMNA 为平行四边形，利用线线平行判定线面平行即可；（2）根据线段关系判定 ABC 为直角三角形，结合棱柱的特征判定11B N C N =，得出11MN B C ⊥即可证明；（3）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】取11A B 中点E ，连接AE ，EM ，E ，M 分别为11A B ，11B C 的中点，11EM A C ∴//，且1112EM A C =，111ABC A B C - 为直三棱柱，N 为AC 中点，//EM AN ∴，且EM AN =，∴四边形EMNA 为平行四边形，AE MN ∴//，AE ⊂ 平面11ABB A ，MN ⊄平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A ；【小问2详解】连接BN ，1B N ，1C N ，2AB BC AC ==，ABC ∴ 为直角三角形，BN NC ∴=111ABC A B C - 为直三棱柱，易得11B BN C CN ≅ ，11B N C N ∴=，M 为11B C 中点，11MN B C ∴⊥，MN BC ∴⊥；【小问3详解】易知1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，分别以AB ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，设12AB BC AA ===，则2,0,0，()0,1,2M ，()1,1,0N ，()2,1,2AM =- ，()1,1,0AN =-，设平面AMN 的一个法向量为 =s s ，则220m AM x y z m AN x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()2,2,1m = ，易得平面11BB C C 的一个法向量为()1,0,0n =，设平面11BB C C 与平面AMN 所成角为θ，则2cos cos ,3m n θ===.19.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 过点()3,1H，离心率为3，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点H 的M ，N 两点，且HM ，HN 均不与x 轴垂直．（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =P 为椭圆的上顶点，求PMN 的面积；（3）记直线HM ，HN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．【答案】（1）221124x y +=（2）6（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得22222911a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解出即可得；（2）借助弦长公式计算可得2m =或2m =-，再利用点到直线的距离公式计算点()0,2P 到直线l 的距离后结合面积公式计算即可得；（3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出12k k 并计算即可得.【小问1详解】根据题意得到22222911a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=；【小问2详解】因为MN ==，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 的方程123y x =-+经过点()3,1H ，不符合题意，舍去；当2m =-时，123y x =--，点()0,2P 到直线l的距离6105d ==，故PMN的面积116225S MN d =⋅==；【小问3详解】设1,1，2,2，直线l 的方程为13y x m =-+，联立方程22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22469360x mx m -+-=，由()()22Δ614440m m =-->，得33m -<<，则1232m x x +=，2129364m x x -=，因为直线HM ，HN 均不与x 轴垂直，所以13x ≠，23x ≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()()22121221212111136193399183x x m x x m m m x x x x m m --++--===-++-，故12k k 为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2023-2024学年山东省普高联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（ ）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ ．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ ． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 ．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)． 故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内， 再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小， 因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4． 故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1， 它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ， 设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1）， 则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底 解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确； 又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)， 所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确； 因为|OA →|=√1+4+1=√6， 所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误； 假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ）， 所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确． 故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角， 又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确； 选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ， 因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33， 故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ， 则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误； 若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直， 则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部， 所以直线l 与圆O 相交，故C 正确； 当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0， 圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2， 因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确； 对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4， 又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误； 对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)， 因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2， 因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4； 当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确． 对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1， 则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|， 所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)， 同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ． 解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°， 则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1． 故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ． 解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →， 又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)， 所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0）， 所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点， 所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆， 所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆， 所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)， 因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214． （2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程． 解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0． （2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形， 故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2）， 设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以BF ∥CE ， 所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ， 所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ， 所以BF ⊥平面BCG ， 因为BF ⊂平面BFD ， 所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)， 设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ． （ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3， 所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆， 焦距2c =|EF|=2√3， 此时b 2＝a 2﹣c 2＝1， 则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ）， 由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页） 则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6， 因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2， 所以m =2y 1x 1−2， 所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112， 故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0， 由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4， 由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112， 即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112， 整理得n 2−44n 2+16n+16=−112， 解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。
2024-2025学年海南省海口市海南中学高一(上)期中数学试卷+答案解析
2024-2025学年海南省海口市海南中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则()A.或B.或C.或D.或2.命题“，”的否定是()A.，B.，C.，D.，3.“小明是海南人”是“小明是中国人”的()A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4.不等式的解集为()A. B.C. D.5.若函数的定义域为，那么的定义域是()A.B.C.D.6.下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是()A.B.C. D.7.已知函数，若，则()A.B. C.0D.28.已知定义在上的函数满足，对任意的，，且，恒成立，则不等式的解集为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是()A.由1，2，3组成的集合可表示为或B.与是同一个集合C.集合与集合是同一个集合D.集合与集合是同一个集合10.下列选项正确的是()A.若，则的最小值为4B.若，则的最大值为C.若，则函数的最大值是2D.若，则的最小值为211.函数称为狄利克雷函数.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，利用其独特性质可以构造许多数学反例.狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来.这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.以下结论正确的有()A.对任意，都有B.对任意，都有C.对任意，都存在，D.若，，则有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在上单调递减，则______.13.若，求的最小值是______.14.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
2024-2025学年四川省自贡市高二上学期期中考试数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年四川省自贡市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ()22125C x y ++=()2222(2)5C x y -+-=1C 2C ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切2．直线的倾斜角为（ ）310y --=A ．B ．C ．D ．30︒135︒60︒150︒3．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．231213144．椭圆的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ）221y x m +=A ．B ．2C ．D ．412145．已知直线，双曲线，则（ ）:28l y x =-22:14x C y -=A ．直线与双曲线有且只有一个公共点l C B ．直线与双曲线的左支有两个公共点l C C ．直线与双曲线的右支有两个公共点l C D ．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点l C 6．已知两点，，过点的直线与线段AB （含端点）有交点，则()3,2A -()2,1B ()0,1P -l 直线的斜率的取值范围为（ ）l A ．B ．(][),11,-∞-+∞ []1, 1-C ．D ．[)1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于30 l ()2222100x y a b a b -=＞，＞1F 两点，线段的垂直平分线过右焦点 ）,A B AB 2FA ．B ．C ．D ．y x =±12y x=±y =y =8．已知，直线，直线，若为(0,0),(0,1)O Q 1:240l kx y k -++=2:420l x ky k +++=P 的交点，则的最小值为（ ）12,l l 2||||PO PQ +A ．B ．C ．D．6-9-3二、多选题（本大题共3小题）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）{},,a b cA ．B ．,2,3a b c,,a b b c c a+++ C ．D ．2,23,39++-a b b c a c,,a b c b c c+++10．如图，已知点，是以OD 为直径的圆上的一段()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,CD 圆弧，是以BC 为直径的圆上的一段圆弧，是以OA 为直径的圆上的一段圆弧，CBBA 三段圆弧构成曲线，则（ ）ΩA ．曲线与轴围成的面积等于Ωx 3π2B ．与的公切线的方程为 CBBA 10x y +-=C ．所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为BA CB 0x y -=D ．所在圆截直线所得弦的弦长为CD y x=11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心C 22219x y b +=0b >1F 2F C 率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（）eM (N A ．离心率的取值范围为e ⎛ ⎝B ．不存在点，使得M 120MF MF += C ．当时，的最大值为12e =1MF MN +152D ．的最小值为11211MF MF +三、填空题（本大题共3小题）12．若，，则.()1,2,1a =()2,1,3b =-()()a b a b -⋅+=13．在平面直角坐标系中，已知点点的轨xOy ())1212,,2F F MF MF-=，M 迹为.则的方程为.C C 14．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一C ()222210+=>>x y a b a b 1F 2F P C 点，的重心为G ，I 是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心12F PF 12IG F F λ=λC 率.e =四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.M 2y x =-(2,1)P -10x y +-=(1)求圆的方程；M (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.(2,1)l M ,A B ||2AB =l 16．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图[]50,100所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取[)80,90[]90,1007人组成两会知识宣讲团．①求应从和学生中分别抽取的学生人数；[)80,90[]90,100②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试A =成绩位于区间”，求事件A 的概率．[]90,10017．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>(),0(0)F c c >y =离为(1)求的方程；C (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求l C ,A B O ()4,2M AB 的面积.OAB 18．如图，在四棱锥中，PA 平面P ABCD -⊥ABCD ，AD CD ，AD BC ，PA =AD =CD =2，BC=3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，⊥//且.13PF PC =(1)求证:CD 平面PAD ;⊥(2)求二面角的余弦值;F AE P --(3)设点G 在线段PB 上，且直线AG 在平面AEF 内，求的值.PGPB 19．已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为2222:1(0)y x E a b a b +=>>12(0,),(0,)F c F c -，过点且平行于的直线与椭圆交于，且1F x ,M N MN =(1)求椭圆的方程；E (2)过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.2F E AB CD 、①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过AB A :2l y =H BH 定点，并求出定点坐标；②求四边形面积的取值范围.ACBD答案1．【正确答案】D求出两圆圆心以及半径，再由圆心距与两圆半径的关系确定位置关系.【详解】由题意圆的圆心，半径的圆心，半径1C 1(2,0)C -1r =2C 2(2,2)C 2r =，即两圆外切1212C C r r ===+故选：D2．【正确答案】A【详解】设直线的倾斜角为，α因为该直线的斜率为，所以，所以，tan 180αα=︒≤<︒30α=︒故选：A3．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.【详解】记2名男生为，2名女生为，,a b 1,2任意选出两人的样本空间，共6个样本点，{,1,2,1,2,12}ab a a b b Ω=恰好一男一女生的事件，共4个样本点，{1,2,1,2}A a a b b =所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.42()63P A ==故选A.4．【正确答案】D【分析】根据椭圆标准方程的形式，求出，根据，解出的值即可.,a b 2a b =m【详解】椭圆的焦点在y 轴上，∴，可得.∵长轴长是221y x m +=221y x m +=a 1b =短轴长的2倍，，解得2=4m =故选：D.5．【正确答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画()4,0Q ()2,0A 出图形即可得到答案.【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：:28l y x =-22:14x C y -=由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，:28l y x =-()4,0Q ()2,0A 联立直线与双曲线方程得，解得或，222814y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩10343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩265125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线与双曲线的右支有两个公共点.l C ,B C 故选：C.6．【正确答案】A【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.PA PB l 【详解】，而，12103PA k --==-+11102PB k --==-故直线的取值范围为.l (],1(1,)-∞-+∞ 故选A.7．【正确答案】A【分析】由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形知识和双曲线的定22AF BF =义，求得，结合勾股定理，可得a ，c 的关系，进而得到a ，b 的关系，即可4AB a=得到所求双曲线的渐近线方程．【详解】解：如图为线段AB 的垂直平分线，2MF 可得，22AF BF =且，1230MF F ∠=可得，，22sin30MF c c=⋅=12cos30MF c =⋅=由双曲线的定义可得，，122BF BF a-=212AF AF a-=即有，()1122224AB BF AF BF a AF a a=-=+--=即有，，2MA a=2AF =112AF MF MA a =-=-由，可得，212AF AF a-=)22a a -=可得，即，22243a c c +=c =，则渐近线方程为．b a ==y x =±故选A ．本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．【正确答案】B【详解】直线过定点，1:240l kx y k -++=(2,4)M -直线过定点，2:420l x ky k +++=(2,4)N --且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，1l 2l P MN 故圆心是，半径为则点的方程是(2,0)C -4P 22(2)16x y ++=令，因为，2||||PO PA =22(2)16x y ++=所以，2222441212163438x y x y x x +=⇔+++++=则2222424361y x y x x ++=-+所以，可得点=()6,0A则2||||PO PQ +=||||||PA PQ AQ +≥==9．【正确答案】ABD【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面，{},,a b c,,a b c 对于A ，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；2,3b c ,b c ,2,3a b c 对于B ，不存在实数满足，因此不共面，能构,x y ()()a b x b c y c a+=+++r r r r r r ,,a b b c c a +++ 成空间一个基底；对于C ，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底.()()322339a b b c a c+-+=- 对于D ，不存在实数满足，因此不共面，能构,x y ()x a b b c y c c ++=++ ,,a b c b c c +++ 成空间一个基底.故选：ABD10．【正确答案】BC【详解】对于A ，，，所在圆的方程分别为，，CD CB BA 22(1)1x y ++=22(1)1y x +-=，曲线与轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，22(1)1x y -+=Ωx 14其面积为，故A 错误；ππ22π224++⨯=+对于B ，设与的公切线方程为，则，CBBA y kxb =+0k <0b >1==所以，与的公切线的方程为，1k =-1b = CBBA 1yx =-+即，故B 正确；10x y +-=对于C ，由及两式相减得，22(1)1y x +-=22(1)1x y -+=0x y -=即公共弦所在直线方程，故C 正确；对于D ，所在圆的方程为，圆心为，CD 22(1)1x y ++=(1,0)-圆心到直线的距离为(1,0)-y x =d=则所求弦长为，故D 错误.=故选BC.11．【正确答案】ABC 【分析】A ：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从(N 24219b +<2b 而可求离心率的取值范围；B ：根据相反向量的概念即可求解；C ：求出c 和，利2F 用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D ：利用可得1MF 2MF 122MF MF a+=，利用基本不等式即()2112121212111111222MF MF MF MF MF M M a F a MF MF F MF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求解.【详解】对于A ，由已知可得，，所以，24219b +<2185b >则A 正确；c e a ===<=对于B ，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B 正确；120MF MF += M 对于C ，由已知，，所以，．12c e a ==3a =32c =23,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又，则．(N 232NF ==根据椭圆的定义可得，1226MF MF a +==所以，126MFMN MF MN+=-+由图可知，，222NF MN MF NF -≤-≤所以126MF MN MF MN +=-+21562NF ≤+=当且仅当，，三点共线时，取得等号．M N 2F 故的最大值为，故C 正确；1MF MN +152对于D ，因为，126MF MF +=所以()2112121************MF MF MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12263⎛⎫ ⎪≥=⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立．2112MF MF MF MF =123MF MF ==所以，的最小值为，故D 错误．1211MF MF +23故选：ABC本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.12．【正确答案】8-【详解】,()()1,3,23,1,4a b a b -=--+= ，则，()()()()1331248a b a b -⋅+=-⨯+⨯+-⨯=-故8-13．【正确答案】()22119y x x -=≥【详解】由题，点M 的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，12,F F 故可设C 的方程为，22221(,0,0)x y x a a b a b -=≥>>由题：，解得：,22222,10a c a b ==+=1,3a b ==故C 的方程为.221(1)9y x x -=≥故．221(1)9y x x -=≥14．【正确答案】/0.512【详解】设为的重心，点坐标为，00(,),P x y G 12F PF G ∴00,33x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，∴IG ∥x 轴或 IG 两点重合， ∴I 的纵坐标为，12IG F F λ=03y 在中，，12F PF 1212||||2,||2PF PF a F F c +==，121201||||2F PF F F y S =⋅⋅∴△又∵I 为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标 即知内切圆半径，3y 内心I 把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，12F PF 12F PF 12011221(||||||)||.23F PF y S PF F F PF ∴=++△，0120112211||||(||||||)||223y F F y PF F F PF ∴⋅⋅=++即，， 00112||(22)||223y c y a c ⨯⋅=+2a c ∴= ∴椭圆C 的离心率12c e a ==故答案为: 1215．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)或2x =4350x y --=【详解】（1）由题意，设圆心，半径，(),2M a a -r ∵圆M 经过点，∴(2,1)P -r MP ==∵圆M 与直线相切，10x y +-=∴圆心到直线的距离，M 10xy +-=d r，解得，2210a a -+=1a =则圆心，半径()1,2M -r MP ===所以圆M 的方程为．22(1)(2)2x y -++=（2）由题意，圆心到直线的距离，()1,2M -l 1d ===若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；l 2x =若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，l l 1(2)y k x -=-120kx yk -+-=则圆心到直线的距离由，解得，()1,2M -l 1d ==43k =则直线的方程为，即，l 41(2)3y x -=-4350x y --=综上，直线的方程为或．l 2x =4350x y --=16．【正确答案】(1)，0.030a =74.5(2)①5人，2人；②.1121【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得(0.0150.0200.0250.010)101a ++⨯++=；0.030a =所以估算这40名学生测试成绩的平均数为；550.15650.2750.3850.25950.174.5++++⨯⨯⨯⨯⨯=（2）①由图可得和这两组的频率之比为，[)80,90[90,100]02550102..=故应从学生中抽取的学生人数为（人），[)80,905757⨯=应从学生中抽取的学生人数为（人）；[)90,1002727⨯=②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，[)80,90,,,,a b c d e [)90,100则这个试验的样本空间，则；,,,,1,2,,,121211,}{2,,,,2,,,,,,12,ab ac ad ae a a bc bd be b b cd ce c c de d d e e Ω=()Ω21n =又，则，{}1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,12A a a b b c c d d e e =()11n A =故.()()()11Ω21n A P A n ==17．【正确答案】(1)22143xy -=【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出c =方程；（2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长l l C 和点到直线的距离，即可求出的面积.ABO l OAB 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以C y =b a =故到渐近线的距离，F d ==所以，所以c =222b a bc a =+=2,a b ==故的方程为.C 22143x y -=（2）设点，因为是弦的中点，则()()1122,,,A x y B x y ()4,2M AB 12128,4,x x y y +=⎧⎨+=⎩由于，所以两式相减得，22221122114343x y x y -=-=,()()()()12121212043x x x x y y y y +-+--=所以，即直线的斜率为，()()1212121233834442x x y y x x y y +-==⨯=-+l 32所以直线的方程为，即.l ()3242y x -=-342y x =-联立消去并整理，得，2234,21,43y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y 2324380x x -+=所以，且，2Δ2443381200=-⨯⨯=>1212388,3x x x x +==所以AB ===点到直线的距离为，O 342y x =-d ==所以的面积为.OAB12=18．【正确答案】(1)证明见解析(3)23【详解】（1）因为PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，⊥⊂所以PA CD ，又因为AD CD ，PA AD =A ，PA ，AD 平面PAD ，⊥⊥⋂⊂所以CD 平面PAD ；⊥（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA 平面ABCD ，AM ，AD 平面ABCD ，⊥⊂所以PA AM ，PA AD ，⊥⊥建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -则，，，，， (0,0,0)A (2,1,0)B -(2,2,0)C (0,2,0)D (0,0,2)P 因为E 为PD 的中点，所以，(0,1,1)E 所以，，，(0,1,1)AE = (2,2,2)PC =- (0,0,2)AP = 所以，，1222(,,)3333PF PC ==- 224(,,)333AF AP PF =+= 设平面AEF 的法向量为，则(,,)n x y z =，即，取，00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩(1,1,1)n =-- 又因为平面PAD 的一个法向量为，(1,0,0)p =所以cos ||||n p n p n p ⋅⋅==⋅ 由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.F AE P --F AE P --（3）因为点G 在PB 上，设，PGPB λ=，，，000(,,)G x y z 000(,,2)PG x y z =- (2,1,2)PB =--由得，PG PB λ=000(,,2)(2,1,2)x y z λ-=--即，所以，000222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩(2,,22)AG λλλ=--由（2）知，平面AEF 的法向量为，(1,1,1)n =--因为直线AG 在平面AEF 内，，得，2220AG n λλλ⋅=-++-= 23λ=综上，的值为.PGPB 2319．【正确答案】(1)2212y x +=(2)①证明见解析，；②302⎛⎫ ⎪⎝⎭，1629S ≤≤【详解】（1）由已知，c a=,a b c ==在方程中，令，则，故2222:1(0)y x E ab a b +=>>yc =-2b xa =±22b a =所以的方程为.1,b c a ===E 2212y x +=（2）设，当直线斜率存在时，设1122()A x y B x y ,,(,)AB :1AB l y kx =+由得：，故，22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩22(2)210k x kx ++-=12122221,22k x x x x k k --+==++①由已知，所以直线的斜率为1(,2)H x BH 22212121BH y kx k x x x x --==--则直线的方程为：，即：BH 212112()kx y x x x x --=--22121211(1)2kx kx x y x x x x x --=+---注意到：由韦达定理有：21211212112212121(1)2222kx x x x kx x x x x kx x x x x x x x ---+---==---，12122x x kx x +=所以:1221212121122121212132()(1)232222x x x x x x kx x x x kx x x x x x x x x x +-------====----故直线的方程为：，所以直线过定点，BH 221132kx y x x x -=+-BH 302⎛⎫⎪⎝⎭，②当斜率存在且斜率，AB 0k ≠则AB ===同理以替代得:1k-k CD =，2242422242422224(1)4(21)4(21)41(21)(2)2522(21)212k k k k k S k k k k k k k k k +++++====++++++++++因为：，当且仅当时，即时，等号成立，22124k k ++≥221k k =1k =±，当轴时，，故.22164219212k k∴≤<+++//MN x 2S =1629S ≤≤。
2024-2025学年浙江省G5联盟高二上学期期中联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年浙江省G5联盟高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x =0的倾斜角是 ( )A. 0B. π2C. πD. 不存在2.已知直线l 1：mx +2y +2=0，l 2：2x +y +4m =0，若l 1//l 2，则m = ( )A. −1B. −4C. 4D. 13.曲线C ：x 2m +1−y 2m +3=1, 则“m >−1”是“曲线C 表示双曲线”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )A. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥n B. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交C. 若m//α，n ⊂α，则m//nD. 若m//α，n//α，则m//n5.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为( )A. 1B.2−1C. 2D.2+16.已知a,b 均为正实数，a−1b =2，则5a −b 的最大值为 ( )A. 52−5B. 3−5C. 3−25D. 3+257.曲线y =sin (ωx +1)与y =−2cos (ωx +2)在x ∈(0,π)内有3个交点，则ω可能的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 18.已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点到y =12的距离为1，M 是抛物线C 上的动点，M 到y =−12的距离与|MP |之和的最小值为1，则点P 的轨迹围成的面积是( )A. 4π3−3B. 8π3C. 4π3+3D. 4π二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z 1=a +bi ，z 2=a−bi (a ∈R,b ∈R )，且b ≠0，则以下四个命题正确的是( )A. z 1+z 2∈R B. z 1−z 2为纯虚数C. z 1z 2为纯虚数D. z 1z 2为虚数10.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，焦距为2c ，直线y =kx 与双曲线C 交于A 、B 两点，点A 位于第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为N ，点F 为双曲线的左焦点，则 ( )A. 若AF⊥BF，则|AB|=2cB. 若k=3，则e>2C. 若e=2，则|AF||AN|>2 D. |AF|−|AN|≥2a11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F是棱CC1、BC的中点，动点P满足AP=λAB+μAD+γAA1，其中λ,μ,γ∈[0,1]，则下列命题正确的是 ( )A. 若λ=2μ,γ=0，则D1B⊥面A B1PB. 若λ=μ，则D1P与A1C1所成角的取值范围为[π4,π2 ]C. 若PD1//面DEF，则λ+2μ−2γ=0D. 若PD1⊥PF，则λ+μ+γ∈[1,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷
镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（ ） A.11 B.13 C.15 D.162.若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（ ） A.1 B.3 C.4 D.53.若点P 到直线1x =−和它到点(1,0)的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A.2x y =B.2y x =C.24x y =D.24y x =4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,n n n n n a a a a a + = + 当为偶数当为奇数，则2024S =（ ） A.4720B.4722C.4723D.4725 5.已知函数()f x 是奇函数，函数)g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x ′>，()0g x ′>，则0x <时，以下说法正确的是（ ） A.()()0f x g x ′+>′ B.()()0f x g x ′−>′C.()()0f x g x ′′>D.()()0f x g x ′′> 6.若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ） A.43k ≥− B.1k ≤− C.1k ≤ D.43k ≤− 7.已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >>8.已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P ，Q ，R ，且23FFQ QFR RFP π∠∠∠===，则123FP FQ FR ++的最小值为（ ）A.43B.43C.43D.43 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（ ） A.1y x=，21y x ′=− B.2x y =，2ln2x y ′= C.ln y x =，1y x ′= D.cos2y x =，sin2y x =−′10.已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（ ） A.若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为(3,1)，则AF AB+的最小值为3 B.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =−相切C.若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅= D.设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关 11.数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（ ） A.1050a >B.20500a <C.10100a <D.20500a > 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知1n a +=11a =，则100a =__________.13.已知双曲线22221x y a b −=与直线1y x =−相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23−，则该双曲线的离心率为_____.14.已知函数()()()5ln 155x f x e a x a x =++−+−，若()0f x ≥在()0,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()x f x xe =. （1）求()f x 的最小值；（2）求()f x 在点()1,e 处的切线方程.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =−，122n n n S S S ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）求数列()1n n n a −⋅的前n 项和n T . 17.已知双曲线22:13y C x −= （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点()0,4P ，()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A ，B 两点，1PQ QA λ= ，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.18.已知函数()()21ln f x mx x m R x =+−∈，()211x g x xe x x =−−−，其中()f x 在1x = （1）求m 的值；（2）求函数()f x 的单调区间； （3）若()()nx g x f x ≤−恒成立，求实数n 的取值范围.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数()yf x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线()yf x =在点()()(),n n x f x n ∈N 处的切线为1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =−的大于零的零点r 的近似值，取02x =.（1）求1x 和2x ；（2）求n x 和1n x −的关系并证明()*n N ∈；（3()*11n i i x n N =<<+∈∑.。
2024-2025学年山东省聊城市高二上学期期中数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年山东省聊城市高二上学期期中数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1．（5分）已知空间两点A（0，1，2），B（﹣2，3，1），则A、B两点间的距离是（ ）A．2B．3C．4D．92．（5分）若直线l经过点，则直线l的斜率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A．B．C．D．4．（5分）已知直线x+y＝0与圆C：x2+（y﹣2）2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．4C．D．25．（5分）已知空间三点P（2，0，0），O（0，0，0），A（﹣1，1，2），则点P到直线OA的距离是（ ）A．B．C．D．6．（5分）若过两点A（m2+2，m2﹣3），B（﹣m2﹣m+3，2m）的直线l的倾斜角为45°，则m＝（ ）A．﹣2或﹣1B．1C．﹣1D．﹣27．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AB的中点，BC1与B1C交于点E，若AB＝AA1，则B1D与A1E所成角的余弦值是（ ）A．B．C．D．8．（5分）若过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的两条切线，切点为A，B，则|PC|•|AB|的最小值是（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设直线l1：x﹣ay+2a＝0，l2：ax+y+a＝0的交点为M（x0，y0），则（ ）A．l1恒过定点（0，2）B．l1⊥l2C．的最大值为D．点（3，﹣2）到直线l1的距离的最大值为5（多选）10．（6分）直线l的方程为x﹣y sinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的可能取值？（ ）A．B．C．D．π（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P满足，其中x∈[0，1]，y∈[0，1]，则（ ）A．存在唯一点P，使得C1P⊥平面B1D1CB．存在唯一点P，使得A1P∥平面B1D1CC．当x+y＝1时，点B1到平面PA1D1的距离的最小值为D．当时，三棱锥P﹣ACB1的体积的最小值为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．（5分）若实数x，y满足方程x+2y﹣5＝0，则的最小值为 ．13．（5分）由曲线x2+y2＝|x|+|y|所围成的图形面积为 ．14．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2AD＝4，O为对角线AC1的中点，过点O的直线与长方体表面交于E，F两点，M为长方体表面上的动点，则的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
海南省海口市海南观澜湖双优实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
海南观澜湖双优实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟本试卷分选择题和非选择题两个部分，共19题150分，共2页，考试结束后，只交答题卡第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式为A. B. C. D.2. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）AB.C.D.3. 等差数列中，，则该数列的前11项和A. B. C. D.4. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D.5. 等比数列中，，是方程的两根，则等于 A. 8B. C. D. 以上都不对6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值.n a =2n 21n -21n +12n +()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆()y f x =()()22f ,4π3π34π23π{}n a 3910a a +=11S =58554433()ln f x x x =+()y f x =(1,(1))f 10x y --=210x y --=20x y --=220x y --={}n a 2a 6a 234640x x -+=4a ()8-8±()y f x =()1,3-()y f x =()3,5()y f x =()y f x =5x =D. 函数在处取得极大值7. 数列的前99项和为（ ）A. B. C D. 8. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. （多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）A. B. C. D. 10. 函数在上的最值情况为（ ）A. 最大值为12 B. 最大值为5C. 最小值 D. 最小值为11. 下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ）A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．.为()y f x =0x =2211,12,122,,1222,n -+++++++ 100299-1002101-99299-992101-()f x '()f x ()y f x =()y f x '=()f x 0x ()0f x '()()0002lim2x f x f x x x ∆→--∆∆()()000limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆3223125y x x x =--+[]2,1-8-15-1x =()1f x x=()()ln 21f x x =+()32f x x x=-()exf x -=12. 已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．13. 已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为______．14. 已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当，求函数的最大值与最小值.16. 正项数列{a n }满足：a n 2﹣（2n ﹣1）a n ﹣2n ＝0．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令b n ，求数列{b n }的前n 项和Tn ．17. 已知函数．（1）若，求曲线在点处切线方程；（2）求函数的单调区间．18. 已知数列满足，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列前项和19. 设函数，其中．（1）当时，证明：函数没有极值点；（2）当时，试判断函数零点的个数，并说明理由．的的1{}n a 2312a a +=416a ={}n a q ={}n a n 1,2n S a =23n n n S a +={}n a ()312f x x x =-()f x ()2,1m m +m ()32883f x x x =-+()f x []0,3x ∈()f x ()11n an =+()3222f x x ax a x =+-+1a =()y f x =()()1,1f ()f x {}n a 11a =121n n a a +=+{}1n a +{}n a 3(1)n n b n a =⋅+{}n b n n T ()()n e l 1xx x a x f =--a R ∈0a ≤()f x 1e>a ()f x海南观澜湖双优实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）增区间为：和，减区间为：；（2）最大值为8，最小值为.【16题答案】【答案】（1）（2）【17题答案】【答案】（1） （2）答案略【18题答案】【答案】（1）略（2）【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）当时，函数在上有两个零点，理由略2()1n a n n =+[)1,1-(),2-∞-()2,+¥()2,2-83-2n a n =2(1)n n T n =+410x y --=1(33)26n n T n +∴=-⋅+1e>a ()f x ()0,∞+。
湖北省部分普通高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试数学试卷（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分考试时间：2024年11月22日）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线tan45y =的倾斜角是（）A.0B.90C.135D.45【答案】A 【解析】【分析】根据直线与x 平行，即可求解.【详解】1tan45y == ，直线与x 平行，故倾斜角为0 ，故选:A2.第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为40,40,20,18,16,15,14,13,12,12，则这10个数的60%分位数是（）A.14.5B.15C.16D.17【答案】D 【解析】【分析】将这10个数据从小到大排列，根据1060%6⨯=，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】将这10个数据从小到大排列得：12,12,13,14,15,16,18,20,40,40，因为1060%6⨯=，所以这10个数的60%分位数是1618172+=.故选：D.3.如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在线段OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A.111322a b c ++ B.111322a b c -+C.111222a b c +-D.111322a b c-++【答案】D 【解析】【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.【详解】依题意，1111()3232MN MO OB BN OA OB OA OB OC OB =++=-++=-++-111111322322OA OB OC a b c =-++=-++.故选：D4.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数＝中位数＞众数B.图（2）的众数＜中位数＜平均数C.图（2）的平均数＜众数＜中位数D.图（3）的中位数＜平均数＜众数【答案】B 【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 错误；图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B 正确，C错误；同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D 错误.故选：B.5.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 为CD 中点，则1B 到平面1AD E 的距离为（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用距离公式即可得到答案.【详解】以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)D A E ,11(0,0,1),(1,2,0),(1,2,1)D B B ，设平面1D AE 的法向量为(,,)m x y z = ，则1(,,)(1,0,1)0(,,)(1,1,0)0m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以(1,1,1)m =，()10,2,1AB = 则点1B 到平面1AD E的距离为1||AB m d m ⋅===，故选：C.6.已知定点()5,0M ，若直线1l 过定点M 且方向向量是()15,5n =-，直线2l 过定点M 且方向向量是()25,3n =-，直线1l 在y 轴上的截距是a ，直线2l 在y 轴上的截距是b ，则a b -=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据M 的坐标以及方向向量分别求解出12,l l 的方程，由此可求结果.【详解】因为()15:55l y x =--，即1:5l y x =-+，所以5a =，因为()23:55l y x -=-，即23:35l y x =-+，所以3b =，所以532a b -=-=.故选：A.7.已知事件A ，B 满足()0.5,()0.2P A P B ==，则（）A.若B ⊆A ，则()0.5P AB = B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C.若A 与B 相互独立，则()0.1P AB = D.若()()1P B P C +=，则C 与B 相互对立【答案】B 【解析】【分析】选项A ：利用事件的关系结合概率求解即可.选项B ：利用概率的加法公式，求解即可，选项C ：若A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立，利用独立事件的公式求解即可.选项D:利用对立事件求解即可.【详解】选项A ：若B ⊆A ，则()()0.2,P AB P B ==选项B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B +==+.故选项B 正确.选项C ：若A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立,()()()0.50.80.4,P AB P A P B =⋅=⨯=故选项C 错误.选项D:若()()1P B P C +=，则由于不确定C 与B 是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D 错误.故选：B.8.设定点()2,1P --，当P 到直线()():131240l x y λλλ+++--=距离最大时，直线l 与x 轴的交点A ，则此时过点A 且与直线l 垂直的直线方程是（）A.32100x y --= B.32100x y +-=C.69100x y +-=D.69100x y --=【答案】D 【解析】【分析】先分析l 所过的定点Q ，然后根据PQ l ⊥时距离最大求出l 的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可.【详解】因为()()()():1312403420l x y x y x y λλλλ+++--=⇔+-++-=，令34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以l 过定点()1,1Q ，当P 到l 的距离最大时，PQ l ⊥，理由如下：当PQ l ⊥时，此时P 到l 的距离为P ，当PQ 不垂直于l 时，过点P 作1PQ l ⊥，显然在1PQQ 中，1PQ PQ >，所以P 即为P 到l 的最大距离，此时()()112123PQ k --==--，所以32l k =-，所以()3:112l y x -=--，即:3250l x y +-=，令0y =，则53x =，所以5,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为2533y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即69100x y --=，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面向上”，事件B =“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）A.A 与B 互为对立事件B.A 与B 为相互独立事件C.A 与B 相等D.()()P A P B =【答案】BD 【解析】【分析】利用对立事件与相互独立事件的概念可判断A 、B ；求出概率可判断C 、D.【详解】由对立事件是在一次试验中，故A 错误；A ，B 为独立事件，B 正确；事件不是在一次试验中，事件不会相等，由()()12P A P B ==，可得C 错误；D 正确.故选：BD ．10.已知直线()1:110l x a y +-+=，直线2:220l ax y ++=，则下列结论正确的是（）A.1l 在x 轴上的截距为1-B.2l 过点()0,1-且可能垂直x 轴C.若12l l ∥，则1a =-或2a =D.若12l l ⊥，则23a =【答案】AD 【解析】【详解】对于A ：根据直线方程求截距即可；对于B ：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C ：举反例说明即可；对于D ：根据直线垂直列式求参即可．【解答】直线()1:110l x a y +-+=，直线2:220l ax y ++=，对于选项A ：因为直线()1:110l x a y +-+=，令0y =，解得1x =-，所以1l 在x 轴上的截距为1-,故A 正确；对于选项B ：因为直线2:220l ax y ++=的斜率2a k =-，即斜率存在，直线2l 不垂直x ，故B 错误，对于选项C ：若2a =，则直线1l 、2l 均为10x y ++=，即两直线重合，不平行，故C 错误；对于选项D ：若12l l ⊥，则2(1)0a a +-=，解得23a =，故D 正确．11.在空间直角坐标系中，已知向量()1,2,3u = ，点()03,1,4P ，设点(),,P x y z ，下面结论正确的是（）A.若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，则14323y z x ---==B.若点0P ，P 都不在直线l 上，直线l 的方向向量是u，若直线0PP 与l 异面且垂直，则()()()332140x y z -+-+-=C.若平面α经过点0P ，且u为平面α的法向量，则平面α外存在一点P 使得0P P u∥成立D.若平面α经过点0P ，且以u为法向量，P 是平面α内的任意一点，则()()()321340x y z -+-+-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量共线即可求解A ，根据垂直即可求解BCD.【详解】对于A ，由于u为l 的方向向量，()03,1,4P P x y z =--- ，故存在实数λ使得0P P u λ=，即可()()3,1,41,2,3x y z λ---=，因此14323y z x ---==，故A 正确，对于B,0PP 与l 垂直,则00P P u ⋅=，即()()()321340x y z -+-+-=，故B 错误，对于C,由于u为平面α的法向量，过0P 作0P P α⊥ ，即可得到0P P u∥，故C 正确，对于D ，由于u 为平面α的法向量，0P P α⊂，故0P P u ⊥ ，即00P P u ⋅= ，则()()()321340x y z -+-+-=，故D 正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一组数据12100,,,x x x 的平均数等于21，方差20s =，则这组数据中12x =______．【答案】21【解析】【分析】根据方差的计算公式分析出结果.【详解】因为()()()2221210022121210100x x x s ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦==，所以()()()222121002121210x x x -+-+⋅⋅⋅+-=，由平方运算的特点可知121002121210x x x -=-=⋅⋅⋅=-=，所以1221x =.13.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 各棱的中点．则1DB 与平面EFG 所成角的余弦值________．【答案】3【解析】【分析】分别取,,H K L 为各边中点，连接,,,,,HK KL LE EF FG GH ，111,,,BD DC C B CB ，且11,C B CB 交于O ，连接DO ，首先证面//EFGHKL 面1BDC ，转化为求1DB 与平面1BDC 所成角余弦值，再利用线面、面面垂直的判定证面1B DO ⊥面1BDC ，由线面角的定义有1DB 与平面1BDC 所成角为1ODB ∠或其补角，最后应用余弦定理求其余弦值.【详解】如下图，分别取,,H K L 为各边中点，连接,,,,,HK KL LE EF FG GH ，111,,,BD DC C B CB ，且11,C B CB 交于O ，连接DO ，由题设，易知1////,//BD EL HG BC FG ，由BD ⊂面1BDC ，HG ⊄面1BDC ，则//HG 面1BDC ，同理可证//FG 面1BDC ，由HG GF G ⋂=，,HG FG ⊂面EFGHKL ，则面//EFGHKL 面1BDC ，所以1DB 与平面EFGHKL 所成角，即为1DB 与平面1BDC 所成角，由11B C BC ⊥，且等边1BDC 中1DO BC ⊥，1B C DO O ⋂=，1,B C DO ⊂面1B DO ，所以1⊥BC 面1B DO ，1B C ⊂面1B DC ，则面1B DO ⊥面1BDC ，面1B DO 面1BDC DO =，故1DB 在面1BDC 的投影在直线DO 上，则1DB 与平面1BDC 所成角为1ODB ∠，若正方体的棱长为1，则1ODB中，11,22DB B O DO ===，所以22111131322cos 023DB DO B OODB DB DO+-+-∠==⋅，故1DB 与平面1BDC 所成角，即1DB 与平面EFGHKL所成角的余弦值为3.故答案为：3.14.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，线段AB 的垂直平分线分别交直线AB 和直线l 于C ，D 两点．若0DA DB ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】【分析】根据题意作出图示，分别求解出,BD OD 点的长度，由此可求OA ，根据cos A x OA α=(α为l 的倾斜角)求得结果.【详解】因为0DA DB ⋅= ，所以DA DB ⊥，又:2:20l y x l x y =⇔-=，所以BD ==又因为CD 垂直平分AB，所以BD AD ==，设l 的倾斜角为α，所以tan 2α=，由22sin 2π0,cos 2sin cos 1ααααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩可得5cos 5α=，所以5cos 55OD OB α==⨯=，所以OA AD OD =+=，所以5cos 35A x OA α===，故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.袋中有形状、大小都相同的编号为1,2,3,4的4只小球，从中随机摸出1只小球，设事件A ：摸出1或2号小球，B ：摸出1或3号小球，C ：摸出1或4号小球．（1）求事件A 发生的概率．（2）求()()()()P ABC P A P B P C 的值．【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式直接求得结果；（2）先分析事件ABC 包含的事件，然后可求其概率值，再根据()()(),,P A P B P C 的值求得结果.【小问1详解】样本空间为{}1,2,3,4Ω=，{}1,2A =，所以()2142P A ==.【小问2详解】因为{}{}{}1,2,1,3,1,4A B C ===，所以{}1ABC =，所以()14P ABC =，又因为()()()2142P A P B P C ====，所以()()()18P A P B P C =，所以()()()()14218P ABC P A P B P C ==.16.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB ，BC 上的中点．（1）求直线1A F 与1D E 所成角的余弦值；（2）求平面1B EF 与平面BEF 夹角的正切值．【答案】（1）49（2）22【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角，（2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值．【小问1详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()11111,0,1,,1,0,0,0,1,1,022A F D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1111,1,1,1,122A F D E ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故1111114cos ,9A F D E A F D E A F D E⋅==设直线1A F 与1D E 所成角为θ，则4cos 9θ=【小问2详解】因为()11,1,1B ，所以11110,,1,,0,122B E B F ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面1B EF 的法向量为(),,m x y z =，则11102102m B E y z m B F x z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，令2x =，得()2,2,1m =-．取平面BEF 的一个法向量()0,0,1n =．设平面1B EF 与平面BEF 的夹角为α，则1cos cos ,3m n m n n m α⋅===，故22sin 3α=，tan α=即平面1B EF 与平面BEF夹角的正切值为17.江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）质量指标值[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85[)85,95产品6010016030020010080（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数．（2）经计算这组样本的质量指标值的平均数x 和方差2s 分别是61和241．设[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 精确到个位，55n x ns a -⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭，*5,5n x ns b n +⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦N ，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，16≈）【答案】（1）69（2）可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．【解析】【分析】（1）利用百分位数定义、计算公式直接求解．（2）根据定义先求出1a ，1b ，2a ，2b ，再利用频率分布表能求出结果．【小问1详解】设产品的某项质量指标值的70百分位数为x ，则()60100160300200650.71000100010001000100010x ++++-⋅=⨯，解得69x =．【小问2详解】由2241s =，知16s ≈，则161165455a -⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，161165755b +⎡⎤=⨯=⎢⎥⎣⎦，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，2612165305a -⨯⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，2612165905b +⨯⎡⎤=⨯=⎢⎣⎦，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．18.已知直线1l 过定点()1,1M ，直线2l 的方程是0x y +=．（1）若直线1l 的横截距为纵截距2倍，求直线1l 的方程．（2）若直线1l 与x ，y 轴正半轴分别交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作直线2:0l x y +=垂线，垂足分别是R ，S ．求四边形PQSR 面积的最小值．【答案】（1）0x y -=或230x y +-=（2）4【解析】【分析】（1）分类讨论直线1l 是否经过原点，代入1,1求出参数，由此可求结果；（2）设出1l 的方程，分别表示出,,QOS POR POQ 的面积，结合基本不等式求解出四边形PQSR 面积的最小值.【小问1详解】当1l 经过()0,0时，设y kx =，代入1,1，所以1k =，即1:0l x y -=，当1l 不经过()0,0时，设()1:102x y l a a a +=≠，代入1,1，解得32a =，即1:230l x y +-=，所以直线1l 的方程为0x y -=或230x y +-=.【小问2详解】由题意设()()1:110l y k x k -=-<，令0x =，则1y k =-，所以()0,1Q k -，令0y =，则11x k =-，所以11,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11k PR -==，QS ==，因为2:0l x y +=的倾斜角为3π4，所以π4QOS POR ∠=∠=，所以,QOS POR 均为等腰直角三角形，所以222212121,2424QOS PORQS PR k k kk S S -+-+==== ，所以()22221111211461214424PQSRk k k k k k k k k k S ⎛⎫⎛⎫--+-++-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭=++=四边形2211144244k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，因为0k <，所以()112k k k k ⎡⎤+=--+≤--⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1k k-=-，即1k =-(1k =舍)时取等号，由二次函数性质可知，()221222444k k ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭≥=，当且仅当1k=-时取等号，所以四边形PQSR 面积的最小值为4.19.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和FN 的长度保持相等，记(0CMFN a a ==<<．（1）求MN 的长（用a 表示）；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当平面MNA 与平面MNB 夹角60o 时．求MN 的长．【答案】（1；（2）33；（3）3.【解析】【分析】．（1）以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求得A 、C 、F 、E 、M 、N 的坐标，直接由两点间的距离公式可得||MN ；（2）把（1）中求得||MN 利用配方法求最值；（3）求出两平面的法向量，根据面面夹角列方程求出参数a ，然后代入（1）可得．【小问1详解】因为ABCD ，ABEF 为正方形，所以,AB BC AB BE ⊥⊥，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以BE BC ⊥，如图建立空间直角坐标系，1,0,0，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，分别作,MG AB NH BE ⊥⊥，垂足分别为,G H ，易知,AMG ACB BHN BEF ~~ ，因为CM FN a ==，由相似比可得11BG GM BH HN ==-==-所以M ，1N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．MN ∴==【小问2详解】MN ==当223a =时，||MN 最小，最小值为33；【小问3详解】,1,0,1,11BM AM MN ⎛⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎝⎭，设平面MNB 与平面MNA 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，则1111111101110BM n x z MN n x y z ⎧⎛⋅=+-=⎪ ⎪⎝⎨⎛⎛⎛⎫⎪⋅=-+-+= ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎩，22222221101110AM n x z MN n x y z ⎧⎫⎛⋅=+-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎨⎛⎛⎛⎫⎪⋅=-+-+= ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎩，令11x =-111,n ⎛=- ⎝，令21x =，21n ⎛=-- ⎝ ，因为平面MNA 与平面MNB 夹角60o ，所以121212cos ,cos 60n n n n n n ⋅==︒⋅，12=，解得3a =（增根已舍去），所以此时3MN =.。
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海口市高二上学期期中数学试卷D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. （2分）(2017·内江模拟) 如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB= ，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）
A . ，1，
B . ，1，1
C . 2，1，
D . 2，1，1
3. （2分）半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为
（）
A . 44
B . 54
C . 88
D . 108
4. （2分）如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（）
A . 不存在与l垂直的直线
B . 存在一条与l垂直的直线
C . 存在无数条与l垂直的直线
D . 任一条都与l垂直
5. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若平面A1BCD1上一动点P到AB1和BC的距离相等，则点P 的轨迹为（）
A . 椭圆的一部分
B . 圆的一部分
C . 一条线段
D . 抛物线的一部分
6. （2分）在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（）
A . 异面直线AB与CD所成的角为90°
B . 直线AB与平面BCD成的角为60°
C . 直线EF∥平面ACD
D . 平面AFD垂直平面BCD
7. （2分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=， BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）
A . 4π
B . 12π
C . 16π
D . 36π
8. （2分） (2015高二下·定兴期中) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共7题；共7分)
9. （1分） (2018高一下·长阳期末) 下列命题正确的是________.
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是: ,且当倾斜角增大时,斜率不一定增大；③直线过点，且横截距与纵截距相等，则直线的方程一定为；④过点 ,且斜率为1的直线的方程为 .
10. （1分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的曲线是一段半圆弧，则这个几何体的表面积是________．
11. （1分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a ，，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
12. （1分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2 ，则该球的体积为________．
13. （1分）(2018·栖霞模拟) 如图所示，在四面体中，若截面是正方形，则下列命题中正确的是________．（填序号）
① ；② 截面；③ ；④异面直线与所成的角为 .
14. （1分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为________ cm．
15. （1分） (2016高一下·南京期末) 正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥A﹣CPC1的体积是________．
三、解答题 (共5题；共50分)
16. （15分） (2016高一下·定州期末) 如图，正方形ABCD的边长为2 ，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO= ．
（1）求BF与平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求三棱锥O﹣ADE的体积；
（3）求证：平面AEF⊥平面BCF．
17. （10分） (2019高三上·广东月考) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 .
（1）求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）设点，l和C交于A，B两点，求 .
18. （10分） (2016高一下·黔东南期末) 如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面DEF⊥平面ABC．
19. （10分） (2019高二下·上海月考) 如图，已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点E是BC的中点.
求：
（1）
异面直线PE与AB所成角的余弦值；
（2）点O到平面ABS的距离.
20. （5分）(2017·兰州模拟) 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；
（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足 =m （m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，求实数m 的值．
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共5题；共50分) 16-1、
16-2、
16-3、
17-1、
17-2、18-1、
18-2、19-1、
19-2、
20-1、。