北邮概率论与数理统计随机变量函数的分布2.5

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§2.5 随机变量的函数的分布
在实际问题中，我们经常会遇到推导随机变量函数的概率分布的问
题.比如,如果X是元件的使用寿命,那么X1是元件更换的速率,如果
有了X的概率分布就需要确定X1的概率分布.
一般地,设)(xgy是定义在实数域上的函数，又X是一个随机变
量，那么)(XgY作为X的函数，同样也是一个随机变量.我们感兴趣
的问题是：如果X的概率分布是已知的，如何确定)(XgY的概率分
布.这就是本节要讨论的问题.
2.5.1 离散型随机变量函数的分布.
若X是离散随机变量，那么)(XgY也是离散随机变量.我们需要由
X的分布律导出Y的分布律.这一问题是比较简单的:设X
的分布律
为,2,1,}{ipxXPii,那么Y的分布律为
,2,1,}{)(jpyYPjiyxgij,

这里的,,21yy是Y的所有可能的取值,它由X的可能取值及函数
)(xgy
确定.
例1 设X的分布律为
X 1 0 1 2
P
1.0 2.0 3.0 4.0

求2XY的分布律

2.5.2 连续随机变量的函数的分布.
若X是连续型随机变量，，推导)(XgY的概率分布的过程和离散型
情况是不一样的，而且)(XgY未必是连续型随机变量.无论何种情况,
我们可以由X的概率密度)(xfX确定Y的分布函数:
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)()(})({}{)(yLXYdxxfyXgPyYPyF,
其中})(|{)(yxgxyL.
进一步,当Y是连续型随机变量时，我们可以由上式求出的Y的分布
函数得出Y的密度函数:
dyydFyfYY)()(.
例2.5.2设随机变量X的概率密度为
2,03()90,Xxxfx其他

令1,221,,2,1XXXXY,求Y的分布函数.
解:由于 1]}2,1[{YP,
所以当1y时, 0)(yFY;当2y时, 1)(yFY;
当21y时, )1()1()()(yYPYPyYPyFY


ydxxdxxyXPXP1221299)1()2(

27
183y
因此Y的分布函数为











2,121,27181,0)(3y
yyyyF
Y

注:此例中,Y既不是离散随机变量,也不是连续随机变量.
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例2.5.3设随机变量X～)1,0(N，求2XY的概率密度.
解:先求Y的分布函数)(yFY,由于1}0{YP,可得当0y时,
0)(yF
Y

;

当0y时,
）],[()()()(2yyXPyXPyYPyFY
1)(2)()(yyy
因此Y的分布函数为

0,00,1)(2)(yyyyFY
所以2XY的概率密度为
11
22
1

,0()20,0yYyeyfyy









.

下面考虑一种特别的情形: 函数)(xgy严格单调且可导.在这种
情形下我们可利用以上方法导出)(XgY的概率密度的一般公式.
设X具有概率密度()Xfx，且1)},({baXP.假设)(xgy在),(ba内单
调增加且具有恒不为零的导数, 函数)(xgy在),(ba内的反函数为
)(yhx,并且)(xgy在),(ba内的值域为),(

.为求Y的概率密度，我
们先考虑Y的分布函数，对于),(y,
})({}{)(yXgPyYPyFY


)()()}({yhXdxxfyhXP

,

于是Y的分布函数为

.1,)(,,0)()(yydxxfyyFyhXY，，
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对上面分布函数求导便得Y的概率密度:



其他,0,),())(()(yyhyhf
yf
X

Y
.

同样地,如果)(xgy单调减少且具有恒不为零的导数，同样可得
Y

的概率密度为




其他,0,)],())[(()(yyhyhf
yf
X

Y

将上面结果概括为下面定理.
定理 设连续型随机变量X具有概率密度()Xfx,且1)},({baXP.设
)(XgY,其中函数)(xg满足: )(xg
在),(ba内单调且具有恒不为零的
导数,并且)(xgy在),(ba内的值域为),(.令)(yhx为函数
)(xgy

在),(ba内的反函数,则Y的概率密度为

其他,0,,|)(|))(()(yyhyhfyfXY
注意,在上述定理中a可以是,b可以是.在具体问题中一般
取满足1)},({baXP的最小的区间),(ba.同样,可以是,可以
是.为导出上面公式的方便，我们要求条件“)(xgy在),(ba内严
格单调且具有恒不为零的导数”，事实上该条件改为“)(xgy在
),(ba

内严格单调且可导”.
例2.5.4 设随机变量X～),(2N，
（1）求baXY)0(a的概率密度；
（2）求XeY的概率密度。
解：（1）函数baxy严格单调且可导，反函数为abyx，adydx1，
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所以baXY的概率密度为
()(())|()|YXfyfhyhy
22222
2
2)(2)(||21|1|21abaya
bay

eaae

可见,Y～))(,(2abaN,也就是说,对于正态变量,其任意线性变
换仍是正态变量.特别地X～）1,0(N.

（2）函数xey严格单调且可导，反函数为yxln)0(y，ydydx1，
所以在0y时，XeY的概率密度为
()(())|()|YXfyfhyhy
222
2
2)(ln2)(ln21121
yy

eyye
，0y,

总之，XeY的概率密度为
22(ln)21,0()20,0yYeyfyyy
以上分布称为对数正态分布,也是一个重要的分布.
例2.5.5 设随机变量X的概率密度为

,02()20,Xxxfx其他

求42XY的概率密度。
解：当0y或1y时，()0Yfy，

4
2
x

y
在)2,0(内严增，反函数为yx2，ydydx1，所以当)1,0(y时，

21()12Yy
fyy
.

所以Y的概率密度为
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1,01()0,Yyfy其他.
例2.5.6 设随机变量X的分布函数)(xFX为严格单调增加的连续函
数，求)(XFYX的概率密度()Xfx。
解：当0y时, 0)(yFY;当1y时, 1)(yFY;当10y时,
))(())(()()(1yFXPyXFPyYPyFXXYyyFFXX))((
1
因此Y的分布函数为

1,110,0,0)(yyyyyFY
所以Y的概率密度为
1,01()0,Yyfy






其他

也即)(XFYX～)1,0(U。
这个结果表明：均匀分布)1,0(U在连续分布类中占有特殊地位.任
一连续型随机变量X都可通过其分布函数)(xF与均匀分布)1,0(U的随
机变量U相联系：)(XF～)1,0(U；)(1UF～F。例如，若X～)(Exp，
其分布函数为
xexF
1)(
)0(x

，

该函数的反函数为
)1ln(1yx ))1,0((y,
从而有
Xe
1

～)1,0(U;

)1ln(1U



～)(Exp,其中U～)1,0(U.
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后一结论可用于产生指数分布的随机数:先产生均匀分布)1,0(U的
随机数nuuu,,,21,那么)1ln(1iu),,2,1(ni便是指数分布)(Exp的
随机数.又由于U～)1,0(UU1～)1,0(U,故iuln1),,2,1(ni也是指
数分布)(Exp的随机数(这种产生随机数的方法称为逆变换法). 均
匀分布)1,0(U的随机数(简称为随机数)在任一统计软件中都可产生,
而各种分布的随机数的获得是统计模拟的基础.