第三章-非惯性参考系-习题解答

3.1、一船蓬高4m ，在雨中航行时，它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后2m 的甲板；但当停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m 处。如果雨点的速率是8/m s 。求船航行的速率u

解：由题意设雨的绝对速度为v r ，雨的相对速度为'v r ，船航行的速度为u r

，数据如图所示。 则有'b v v v =+r r r

在速度三角形ABC ?中，正弦定理：

'

sin()sin(/2)

sin u v

v αβπαπγ

==

+-- sin()sin()(sin cos cos sin )sin(/2)

cos cos v

v v u αβαβαβαβπαπαα=

+=

+=+--

由图中数据知：cos α==

sin α==

4cos 5β=

=

，3

sin 5

β=

= 已知雨的绝对速率8/v m s =

代入前面数据可得：

8(sin cos cos sin )/8/2cos v u m s m s αβαβα=

+=+=

3.2、河的宽度为d ，水的流速与离开河岸的距离成正比。岸边水的流速为0，河中心处水的流速为c ，河中一小船内的人，以相对于水流恒定的速率u ，垂直于水流向岸边划去。求小船的航行轨迹和抵达对岸的地点。

解：建立如图坐标系-o xy ，取小船的出发点为0x 。x 轴垂直于河岸，y 轴平行于河岸 因河流中心水流速度为c r

，水的流速与离开河岸的距离成正比 所以水流速度t v r

为：

河的左侧(02d x ≤≤

)水流速率为：2t c v x d

= 河的右侧(2d x d ≤≤)水流速率为：2()t c

v d x d

=-

由速度变换关系知：t t v v u xi

yj v j ui =+=+=+r r r r r r r

&& 小船位于河岸的左侧内(002

d x ≤≤

)： x u =& 2t c

y

v x d

==&

r

d

y

x

o

c

r 河岸

河岸

t

v r u

r v

r

积分有0000222t

t

x x x x c c dt

c ydt

xdt x dx xdx d d dx ud ===????&

解得220c c y x x ud ud =- ，(00,2

d

x x ≤≤)

小船位于河岸的右侧内(02

d

x d ≤≤)：

x u =&

2()t c

y

v d x d ==-& 积分有0000222()()()t t x x x x c c dt c ydt d x dt d x dx d x dx d d dx ud =-=-=-????& 解得220[()()]c y x d x d ud =---，(0,2

d

x x d ≤≤)

所以小船的航行轨迹为：

220c c y x x ud ud =

- ，(00,2d x x ≤≤) 220[()()]c y x d x d ud =---，(0,2

d

x x d ≤≤)

若小船位于河岸的左侧内(002d x ≤≤)，当抵达河的中心时有：2

d

x =

那么2

104cd c y x u ud

=-

若小船位于河的中心(02d x =)，当抵达河岸时，x d =，那么24cd

y u

=

所以小船位于河岸的左侧内(002d x ≤≤)，当抵达河岸时，2

1202cd c y y y x u ud

=+=-

若小船位于河岸的右侧内(02d x d ≤≤)，当抵达河岸时，x d =，那么20()c

y x d ud

=-

若小船从河岸的左侧出发，00x =，那么2cd

y u

=

3.3、一圆盘以匀角速度ωr

绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点M 沿圆盘上的弦，以

恒定的相对速度u r

运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为b 。求在以地面为参考系时，质点M 的速度和加速度(表示成质点M 离弦中点的距离x 的函数)。 解：在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角坐标系O xyz -，地面为惯性系。则：

''''()

()M O v v v r v r ui k xi bj u b i xj ωωωωω=++?=+?=+?+=-+r r r r r r r r r

r r r r r

*22[()]

(2)M M M M dv d v a v uj k u b i xj dt dt

xi u b j

ωωωωωωωω==+?=+?-+=-+-r r r r r r r r r r r 或利用''(')2'M O a a a r r v ωωωω=++?+??+?r r r r r r r r r r

&可直接求出。

3.4、一飞机在赤道上空以速率1000/km h 水平飞行，考虑到地球的自转效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系，不随地球转动的坐标系)的速率： (i)向北飞行 (ii)向西飞行

(iii)向东飞行。已知地球半径为6370km

解：建立如图所示的直角坐标系O xyz -，使飞机位于x

则5

7.2910/()k rad s k ωω-=≈

?r r r

飞机位于赤道上空以速率1000/km h 水平飞行， 则2

'1000/ 2.7810/v km h m s =≈?

6

'' 6.3710()r r i m i ==?r r r ''''t v v v r v r ωω=++?=+?r

r

r r r r r r

(i)向北飞行，那么''v v k =r r

2562

'' 2.7810/()7.2910/() 6.3710()

2.7810/()464.37/()

v v r m s k rad s k m i m s k m s j ω-=+?=?+???≈?+r r r r r r r

r r 所以/541/v s m s =≈ (ii)向西飞行，那么''v v j =-r

r

256

2

'' 2.7810/()7.2910/() 6.3710()

2.7810/()464.37/()186/()

v v r m s j rad s k m i m s j m s j m s j ω-=+?=-?+???≈-?+≈r r r r r r r r r r (iii)向东飞行，那么''v v j =r r

256

2

'' 2.7810/()7.2910/() 6.3710()

2.7810/()464.37/()742/()

v v r m s j rad s k m i m s j m s j m s j ω-=+?=?+???≈?+≈r r r r r r r r r r 3.5、一契子，顶角为α，以匀加速度0αr

沿水平方向加速运动。质量为m 的质点沿楔子的

光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度'a r

及质点对楔子斜面的压力F r

解：建立如图所示的直角坐标系附着在楔子上。 在O xyz -中的受力分析如图所示。则有：

0cos sin 0N F j mg j ma j αα--=r r r

(1) 0sin cos 'mg i ma i ma αα-=r r r

(2)

O

由(1)式可求得：0(cos sin )N F j m g a j αα=+r r

所以质点对楔子斜面的压力0(cos sin )N F F m g a j αα=-=-+r r r

由(2)式可求得：0'(sin cos )a g a i αα=-r r

3.6、一缆车，以大小为0a ，与地平线成α角的匀加速度上升，缆车中一物体自离缆车地板高度h 处自由下落。求此物体落至地板处的位置。 解：建立如图所示的直角坐标系O xyz -附着在缆车上 取物体开始落的位置为原点。质点运动的平面为O xy - 受力分析如图示。

设质点自由下落到地板的时间为t ，则有：

x 方向：201

(sin )2g a t h α+=

y 方向：201

cos 2

a t y α-=

联立求得00cos sin ha y g a αα=-

+，即物体落到初始位置在地板的投影点后面00cos sin ha g a α

α

+处。

3.7、一单摆摆长为l ，悬挂点'O 在水平线上作简谐振动：sin x a pt =。这里x 是悬挂点离开水平线上的固定点O 的距离，如图，开始时摆锤铅直下垂，相对于'O 的速度为零。证明

单摆此后的微小振动规律为222(sin sin )()ap p pt kt l k p k θ=--，式中2

g k l

=

解：以'O 点为极点，竖直向下为极轴，受力分析如图所示。

因sin x a pt =，所以cos x ap pt =&，2

sin x ap pt =-&

& 当θ角度很小时，有sin θθ≈，2

2

cos 12sin

112

2

θ

θ

θ=-≈-

≈

由牛顿第二定律，在横向有：cos sin mx mg ml θθθ--=&&&&

代入x

&&，sin θ，cos θ可得：2

sin 0g ap pt l l

θθ+-=&& 易知0g

l

θ

θ+=&&

的通解为：1)A θ?=+，式中A ，?为积分待定常数

设2

sin 0g ap pt l l

θθ+-

=&&的特解为2ipt Be θ=的虚部，代入有：

220ipt

ipt ipt

g ap Bp e Be e l l

-+-=，解得：22ap B g p l =-，故特解为222sin ap pt g p l θ=

- 所以2

sin 0g ap pt l l

θθ+-

=&&的通解为：

2

122

)sin ap A pt g p l θθθ?=+=++-

3

2

)cos ap pt g p l

θ?=-++-& 代入初始条件，0t =时，0θ=，0l θ

=&可得：2π

?=

，A =

所以有：22

(sin )ap pt g p l θ=-- 3.8、一竖直放置的钢丝圆圈，半径为r ，其上套有一质量为m 的光滑小环。今若钢丝圈以匀加速度a r

竖直向上运动，求小环相对于钢丝圈的速率u 和钢丝圈对小环的作用力大小'N F 已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角0??=，小环的相对速率

0u u =

解：以O 点为极点，竖直向下为极轴，建立平面极坐标系。

受力分析如图，则有：

径向：2

()cos '/N m g a F mu r ?+-= (1)

横向：()sin m g a mu ?+=& (2)

初始条件：0t =时，0??=，0u u = (3)

对(2)变形：()sin du d du d du u du

m g a mu

m m m m dt dt d dt d r d ??????

+=====& 分离变量：()sin g a r d udu ??+=

21()cos 02u g a r C ?+++=，代入(3)有：2001

()cos 2

C u g a r ?=--+

所以u =(负根舍去)

代入(1)有200'()(3cos 2cos )N mu F m g a r

??=+--

'

N F r

3.9、一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度ωr

绕固定的圆盘中心转动。有一质量为m 的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率u 向圆盘的边缘走动。试分别利用： (a)地面惯性系

(b)圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力。

解：受力分析如图示，左图为地面惯性系中人受力情况，右图为圆盘非惯性系中人受力情况

地面惯性系中建立极坐标系，取圆心为原点，初始时刻人走的半径为极轴，方向,,r b e e e θr r r

那么相对速度：'r v u ue ==r r r ，相对位移为：'r r r re ==r r r ，角速度为：

b e ωω=r r

(a)地面惯性系中，由受力图示分析可知：

圆盘对人的作用力为：N f +r r

''r b r r v v r u r ue e re ue re θωωωω=+?=+?=+?=+r r r r r r r r r r r r

*22()()()

2r r b r r r dv d d a ue re ue re e ue re dt dt dt

re

ue re ue re θθθθθθωωωωωωωωω==+=++?+=+-=-r

r r r r r r r r

r r r r r & 由牛顿第二定律知：

0N mg +=r r ，即b N mge =r r

22(2)2r r N f mg f ma m ue re m re m ue θθωωωω++===-=-+r r r r r r r r r 所以圆盘对人的作用力为：22r b N f m re m ue mge θωω+=-++r r r r r

由于,,,m u g ω都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟r 有关。 (b)圆盘非惯性系中，受力分析如图所示，人匀速行走。所以有：

0N mg +=r r ，即b N mge =r r ()0f m u m r ωωω-?-??=r r r r r r

即22()2()2b r b b r r f m u m r m e ue m e e re m re m ue θωωωωωωωω=?+??=?+??=-+r r r r r r r r r r r r r 所以圆盘对人的作用力为：22r b N f m re m ue mge θωω+=-++r r r r r

由于,,,m u g ω都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟r 有关。

()m r ωω??r r r

3.10、 半径为r 竖直放置的光滑圆环，绕通过其圆心的铅直轴以恒定的角速度ωr

转动。在此圆环上套有一质量为m 的小环，自/4θπ=处相对于圆环无初速地沿环下滑。问小环的位置θ为何值时，它的滑动将开始反向？这里θ是圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角。 解：以圆环为参考系。受力分析如图所示。小环受到重力，大圆环的支持力，科里奥利力

2'2cos C F mv m r ωωθθ=?=r r r &和惯性离心力2(')sin i F m r m r ωωωθ=??=r r r r 。 在整个运动过程中只有重力mg 和惯性离心力i F r

做功。对小环由动能定理有：

2/41(cos )22

i mgr F ds mv θπθ-+?=?r r

即222/41

(

cos )sin cos 22

mgr m r d mv θπθωθθθ-+=?

开始反向时，0v =

即222

cos cos 024r

r

g g

ωωθθ+=

解得：2222

cos [1(12g r g r θωω???=-±+=?

?--??

显然取22cos 2g r θω=-

-

，即22arccos(2

g r θω=--时，小环开始反向运动。 3.11、一内壁光滑的管子，在水平面内绕通过其端点O 的的铅直轴，以恒定的角速度ωr

转动。管内有一质量为m 的质点，用一自然长度为l ，劲度系数为k 的弹簧和管子的端点O 相连，

设初始时质点到O 的距离为x l =且0x =&。

求质点在管中的运动方程及它对管壁的压力N F r

解：取O 点为原点，建立附着在管子上的直角坐标系O xyz -。

质点受到重力mg r

，管壁的压力N F r ，弹簧的张力()T F k x l i =--r r ，

科里奥利力2'2C F mv m xj

ωω=?=-r r r r &和惯性离心力2

(')i F m r m xi ωωω=-??=r r r r r 若假定质点偏离平衡位置向x

0C F mg N ++=r r

r T i F F mxi

+=r r r

&& 即2C N mg F mgk m xj

ω=--=+r r r

r r & 2()k x l i m xi mxi

ω--+=r r r

&& i

化简：2(

)0k kl

x x m m

ω+--=&& 2(

)0k

x x m

ω+-=&&

的通解为：1)x A ?=+，,A ?为积分待定常数。 设2(

)0k kl

x x m m

ω+--=&&的特解为2x B =，其中B 为常数 代入可得：22kl

x B k m ω==-

所以2

()0k kl

x x m m

ω+-

+=&&

的通解为：122)kl x x x A k m ?ω=+=++-

)x

?=-+& 代入初始条件，0t =时，x l =，0x =&可得：

20,1,2...k k ?π

==，222

kl m l

A l k m k m ωωω=-=---

所以有2

x ω=&

，222

m l kl x k m k m ωωω=-+--

32N mgk m ω=+r r

因弹簧振子的圆频率Ω=

2222222222

2()l l l x ωωωωωωΩΩ=-+=-Ω-Ω-Ω-

3

2N mgk ml

=+r r

3.12、质量为m 的小环套在半径为r 的光滑圆圈上，若圆圈在水平面内以匀角速度ωr

绕其圆周上的一点转动。试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程(以小环相对

于圆圈绕圆心转过的角度θ为参量写出)。

r

小环的重力。

解：小环的受力如图所示，小环受到圆圈的作用力N n F e r

，

科里奥利力2'2'2C n n F mv m v e m r e ωωωθ=?=-=-r r r r r &

i

F

小环相对O 点的惯性离心力2(')i n F m r m re ωωω=??=-r r r r r

O 相对A 点有向心加速度，小环的惯性力：2O O AO F ma m re ω=-=r r r

那么小环的运动学方程为：

切向：sin()O F mr πθθ-=&&，即2sin 0θωθ-=&&

法向2cos()N C i O F F F F mr πθθ----=&，即2222cos N F m r m r m r mr ωθωωθθ--+=&&

事实上，也可通过'O AO Om v v v r r ωθ=+=?+?r r r r r r r &，N F dv a dt m

=

=r r r 求得。 3.13、一质量为m 的质点，位于光滑的水平平台上，此平台以匀角速度ωr

绕通过平台上一定点O 的铅直轴转动。若质点受到O 点的吸引力2

F m r ω=-r

r 作用，这里r r

是质点相对于O 点的径矢。试证明：质点在任何起始条件下，将绕O 点以角速度ωr

作圆周轨道运动。

证明：水平台以匀角速度ωr

绕通过平台上一定点O 的铅直轴转动。取水平平台为参考系。水平平台光滑，质点受到重力mg r

、平台的支持力N F r 和O 点的吸引力2

F m r ω=-r

r

以及惯

性离心力2'F m r ω=r r 。

质点在竖直方向上没有离开水平平台，有：0N mg F +=r

r ，在水平方向'0F F +=r r

所以质点相对水平平台静止，故小球绕O 点以角速度ωr

作圆周轨道运动。

或者利用0v F ?=∑r r

证明。

3.14、一抛物线形金属丝竖直放置，顶点向下，以匀角速率ω绕竖直轴转动。一质量为m 的光滑小环套在金属丝上。写出小环在金属丝上滑动时的运动微分方程。已知金属丝构成的抛物线方程为2

4x ay =，这里a 为常数。

解：如图，取顶点为原点，建立直角坐标系O xyz -附着在多属丝上。

在O xyz -中，小环受到重力mg mgj =-r r

，

科里奥利力2'2'C F mv m v k ωω=?=-r r r

r ， 惯性离心力2

()O F m xi m xi ωωω=??=r r r r r ， 金属丝的作用力N Nx Ny Nz F F i F j F k =-++r r r r

由牛顿第二定律可得：

x 方向：Nx O F i F mxi -+=r r r

&&，即2()Nx F m x x ω=-&& (1) y 方向：Ny F j mgj myj

-=r r r

&&，即()Ny F m g y =+&& (2)

z 方向：0Nz C F k F mzk +==r r r &&

，即2'2Nz F m v m ω== (3) 又金属丝构成的抛物线方程为2

4x ay =，求一阶导化简得：

2Nx Ny

F dy x

tg dx a F θ=== (4) 二阶导为：2

1()2y x xx a

=

+&&&&& 联立(1)、(2)、(4)可求得：

222

12()2Nx Ny F x x x x x

F g y a g x xx a

ωω--===+++&&&&&&&&&

化简求得小环在金属丝上滑动时的运动微分方程：

22

222

11(1)()044x x xx g x a a

ω+

++-=&&& 3.15、在北纬λ处，一质点以初速率0v 竖直上抛，到达高度h 时又落回地面。考虑地球的自转效应，不计空气的阻力，求质点落地位置与上抛点之间的距离；是偏东还是偏西？为什么 解：取抛点为原点，建立直角坐标系O xyz -附着在地面上。其中Ox 轴指向正南，Oy 轴指向正东，Oz 轴竖直向上。质点只受到重力，故质点的运动学方程为：

2sin mx m y ωλ=&&& (1) 2(sin cos )my m x z ωλλ=-+&&&& (2) 2cos mz mg m y ωλ=-+&&& (3)

质点初始时刻的运动状态为：0t =时，0x y z ===，0x y

==&&，0z v =& 对(1)、(2)、(3)积分并代入初始条件得：

2sin x y ωλ=& (4) 2(sin cos )y

x z ωλλ=-+& (5) 02cos z v gt y ωλ=-+& (6)

因57.29210ω-≈?，忽略2

ω项。把(5)式代入(1)、(3)式可得：0x ≈&&，z g ≈-&

& 质点落地时，对于竖直上抛后落地时间为00

22v v t z g

=

=&&

又0v =

t =