第三章-非惯性参考系-习题解答

3.1、一船蓬高4m ，在雨中航行时，它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后2m 的甲板；但当停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m 处。如果雨点的速率是8/m s 。求船航行的速率u

解：由题意设雨的绝对速度为v ，雨的相对速度为'v ，船航行的速度为u ，数据如图所示。

则有'b v v v =+

在速度三角形ABC ?中，正弦定理：

'

sin()sin(/2)

sin u v

v αβπαπγ

==

+-- sin()sin()(sin cos cos sin )sin(/2)

cos cos v

v v u αβαβαβαβπαπαα=

+=

+=+--

由图中数据知：cos α==

sin α==

4cos 5β=

=

，3

sin 5

β=

= 已知雨的绝对速率8/v m s =

代入前面数据可得：

8(sin cos cos sin )/8/2cos v u m s m s αβαβα=

+=+=

3.2、河的宽度为d ，水的流速与离开河岸的距离成正比。岸边水的流速为0，河中心处水的流速为c ，河中一小船内的人，以相对于水流恒定的速率u ，垂直于水流向岸边划去。求小船的航行轨迹和抵达对岸的地点。

解：建立如图坐标系-o xy ，取小船的出发点为0x 。x 轴垂直于河岸，y 轴平行于河岸 因河流中心水流速度为c ，水的流速与离开河岸的距离成正比 所以水流速度t v 为：

河的左侧(02d x ≤≤)水流速率为：2t c

v x d

=

河的右侧(2d x d ≤≤)水流速率为：2()t c

v d x d

=

- 由速度变换关系知：t t v v u xi yj v j ui =+=+=+ 小船位于河岸的左侧内(002

d

x ≤≤

)： x u =

αβv 'v u

A

d

y

x

o

c

河岸

河岸

t v u

v

2t c y v x d ==

积分有

0000222t

t

x x x x c c dt c ydt xdt x dx xdx d

d dx ud ===??

?? 解得220c c y x x ud ud =- ，(00,2

d

x x ≤≤)

小船位于河岸的右侧内(02

d

x d ≤≤)：

x u =

2()t c

y v d x d ==-

积分有0000222()()()t t x x x x c c dt

c ydt

d x dt d x dx d x dx d d dx ud =-=-=-????

解得220[()()]c y x d x d ud =---，(0,2

d

x x d ≤≤)

所以小船的航行轨迹为：

220c c y x x ud ud =

- ，(00,2d x x ≤≤) 220[()()]c y x d x d ud =---，(0,2

d

x x d ≤≤)

若小船位于河岸的左侧内(002d x ≤≤)，当抵达河的中心时有：2

d

x =

那么2

104cd c y x u ud

=-

若小船位于河的中心(02d x =)，当抵达河岸时，x d =，那么24cd

y u

=

所以小船位于河岸的左侧内(002d x ≤≤)，当抵达河岸时，2

1202cd c y y y x u ud

=+=-

若小船位于河岸的右侧内(02d x d ≤≤)，当抵达河岸时，x d =，那么20()c

y x d ud

=-

若小船从河岸的左侧出发，00x =，那么2cd

y u

=

3.3、一圆盘以匀角速度ω绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点M 沿圆盘上的弦，以恒定的相对速度u 运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为b 。求在以地面为参考系时，质点M 的速度和加速度(表示成质点M 离弦中点的距离x 的函数)。 解：在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角坐标系O xyz -，地面为惯性系。则：

''''()()M O v v v r v r ui k xi bj u b i xj

ωωωωω=++?=+?=+?+=-+

*22[()]

(2)M M

M M dv d v a v uj k u b i xj dt dt

xi u b j

ωωω

ωωωωω==+?=+?-+=-+- x

M ω

或利用''(')2'M O a a a r r v ωωωω=++?+??+?可直接求出。

3.4、一飞机在赤道上空以速率1000/km h 水平飞行，考虑到地球的自转效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系，不随地球转动的坐标系)的速率： (i)向北飞行 (ii)向西飞行

(iii)向东飞行。已知地球半径为6370km

解：建立如图所示的直角坐标系O xyz -，使飞机位于x

则5

7.2910/()k rad s k ωω-=≈?

飞机位于赤道上空以速率1000/km h 水平飞行， 则2

'1000/ 2.7810/v km h m s =≈?

6'' 6.3710()r r i m i ==? ''''t v v v r v r ωω=++?=+?

(i)向北飞行，那么''v v k =

2562

'' 2.7810/()7.2910/() 6.3710()2.7810/()464.37/()

v v r m s k rad s k m i m s k m s j ω-=+?=?+???≈?+

所以/541/v s m s =≈ (ii)向西飞行，那么''v v j =-

2562

'' 2.7810/()7.2910/() 6.3710()2.7810/()464.37/()186/()

v v r m s j rad s k m i m s j m s j m s j ω-=+?=-?+???≈-?+≈

(iii)向东飞行，那么''v v j =

2562

'' 2.7810/()7.2910/() 6.3710()2.7810/()464.37/()742/()

v v r m s j rad s k m i m s j m s j m s j ω-=+?=?+???≈?+≈

3.5、一契子，顶角为α，以匀加速度0α沿水平方向加速运动。质量为m 的质点沿楔子的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度'a 及质点对楔子斜面的压力F 解：建立如图所示的直角坐标系附着在楔子上。 在O xyz -中的受力分析如图所示。则有：

0cos sin 0N F j mg j ma j αα--= (1)

m αO

N F mg 0

ma

0sin cos 'mg i ma i ma αα-= (2)

由(1)式可求得：0(cos sin )N F j m g a j αα=+

所以质点对楔子斜面的压力0(cos sin )N F F m g a j αα=-=-+ 由(2)式可求得：0'(sin cos )a g a i αα=-

3.6、一缆车，以大小为0a ，与地平线成α角的匀加速度上升，缆车中一物体自离缆车地板高度h 处自由下落。求此物体落至地板处的位置。 解：建立如图所示的直角坐标系O xyz -附着在缆车上 取物体开始落的位置为原点。质点运动的平面为O xy - 受力分析如图示。

设质点自由下落到地板的时间为t ，则有：

x 方向：201

(sin )2g a t h α+=

y 方向：201

cos 2

a t y α-=

联立求得00cos sin ha y g a αα=-

+，即物体落到初始位置在地板的投影点后面00cos sin ha g a α

α

+处。

3.7、一单摆摆长为l ，悬挂点'O 在水平线上作简谐振动：sin x a pt =。这里x 是悬挂点离开水平线上的固定点O 的距离，如图，开始时摆锤铅直下垂，相对于'O 的速度为零。

证明单摆此后的微小振动规律为222(sin sin )()ap p pt kt l k p k θ=--，式中2

g k l

=

解：以'O 点为极点，竖直向下为极轴，受力分析如图所示。 因sin x a pt =，所以cos x ap pt =，2

sin x ap pt =- 当θ角度很小时，有sin θθ≈，2

2cos 12sin

112

2

θ

θ

θ=-≈-

≈

由牛顿第二定律，在横向有：cos sin mx mg ml θθθ--=

代入x ，sin θ，cos θ可得：2

sin 0g ap pt l l

θθ+-

= 易知0g

l

θθ

+

=的通解为：1)A θ?=+，式中A ，?为积分待定常数

ma

l mx

T

设2

sin 0g ap pt l l

θθ+-

=的特解为2ipt Be θ=的虚部，代入有： 220ipt

ipt ipt

g ap Bp e Be e l l

-+-=，解得：22ap B g p l =-，故特解为222

sin ap pt g p l θ=- 所以2

sin 0g ap pt l l

θθ+-

=的通解为： 2

122

)sin ap A pt g p l θθθ?=+=++- 3

2

sin()cos g ap A pt l g p l

θ?=-++- 代入初始条件，0t =时，

0θ=，0l θ=可得：2π

?=

，

A =

所以有：22(sin )ap pt g p l θ=--

3.8、一竖直放置的钢丝圆圈，半径为r ，其上套有一质量为m 的光滑小环。今若钢丝圈以匀加速度a 竖直向上运动，求小环相对于钢丝圈的速率u 和钢丝圈对小环的作用力大小

'N F

已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角

??=，小环的相对速率

0u u =

解：以O 点为极点，竖直向下为极轴，建立平面极坐标系。

受力分析如图，则有：

径向：2

()cos '/N m g a F mu r ?+-= (1) 横向：()sin m g a mu ?+= (2) 初始条件：0t =时，0??=，0u u = (3) 对(2)变形：()sin du d du d du u du m g a mu m m m m dt dt d dt d r d ??????

+===== 分离变量：()sin g a r d udu ??+=

21()cos 02u g a r C ?+++=，代入(3)有：2001

()cos 2

C u g a r ?=--+ '

N F mg

ma

所以u =(负根舍去)

代入(1)有2

00'()(3cos 2cos )N mu F m g a r

??=+--

3.9、一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度ω绕固定的圆盘中心转动。有一质量为m 的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率u 向圆盘的边缘走动。试分别利用： (a)地面惯性系

(b)圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力。

解：受力分析如图示，左图为地面惯性系中人受力情况，右图为圆盘非惯性系中人受力情况

地面惯性系中建立极坐标系，取圆心为原点，初始时刻人走的半径为极轴，方向,,r b e e e θ 那么相对速度：'r v u ue ==，相对位移为：'r r r re ==，角速度为：b e ωω= (a)地面惯性系中，由受力图示分析可知： 圆盘对人的作用力为：N f +

''r b r r v v r u r ue e re ue re θωωωω=+?=+?=+?=+

*22()()()

2r r b r r r

dv d d a ue re ue re e ue re dt dt dt

re ue re ue re θθθθθθωωωωωωωωω==+=++?+=+-=- 由牛顿第二定律知：

0N mg +=，即b N mge =

22(2)2r r N f mg f ma m ue re m re m ue θθωωωω++===-=-+

所以圆盘对人的作用力为：22r b N f m re m ue mge θωω+=-++ 由于,,,m u g ω都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟r 有关。 (b)圆盘非惯性系中，受力分析如图所示，人匀速行走。所以有：

0N mg +=，即b N mge = ()0f m u m r ωωω-?-??=

man ωdisk mg f man

disk mg N

()m r ωω??ωm u ω?f

即22()2()2b r b b r r f m u m r m e ue m e e re m re m ue θωωωωωωωω=?+??=?+??=-+ 所以圆盘对人的作用力为：22r b N f m re m ue mge θωω+=-++ 由于,,,m u g ω都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟r 有关。

3.10、

半径为r 竖直放置的光滑圆环，绕通过其圆心的铅直轴以恒定的角速度ω转动。在此圆环上套有一质量为m 的小环，自/4θπ=处相对于圆环无初速地沿环下滑。问小环的位置θ为何值时，它的滑动将开始反向？这里θ是圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角。

解：以圆环为参考系。受力分析如图所示。小环受到重力，大圆环的支持力，科里奥利力

2'2cos C F mv m r ωωθθ=?=和惯性离心力2(')sin i F m r m r ωωωθ=??=。

在整个运动过程中只有重力mg 和惯性离心力i F 做功。对小环由动能定理有：

2/41

(

cos )22

i mgr F

ds mv θπθ-+?=?

即222/41

cos )sin cos 2

mgr m r d mv θπθ

ωθθθ-+=? 开始反向时，0v =

即222

cos cos 0224

r

r

g g

ωω

θθ+--=

解得：2222

cos [1(122

g r g r θωω?

??=-±+=?

?--??

显然取22cos 2g r θω=-

-，即22arccos(2

g r θω=--时，小环开始反向运动。 3.11、一内壁光滑的管子，在水平面内绕通过其端点O 的的铅直轴，以恒定的角速度ω转

动。管内有一质量为m 的质点，用一自然长度为l ，劲度系数为k 的弹簧和管子的端点O 相连，

设初始时质点到O 的距离为x l =且0x =。求质点在管中的运动方程及它对管壁的压力

N F

解：取O 点为原点，建立附着在管子上的直角坐标系O xyz -。 质点受到重力mg ，管壁的压力N F ，弹簧的张力()T F k x l i =--，

科里奥利力2'2C F mv m xj ωω=?=-和惯性离心力2(')i F m r m xi ωωω=-??

=

mg

i

若假定质点偏离平衡位置向x 轴正向移动，受力分析如图示，由牛顿第二定律知：

0C F mg N ++= T i F F mxi +=

即2C N mg F mgk m xj ω=--=+

2

()k x l i m xi mxi ω--+=

化简：2(

)0k kl x x m m

ω+--= 2(

)0k

x

x m

ω+-=的通解为：1)x A ?=+，,A ?为积分待定常数。 设2()0k kl

x x m m

ω+--=的特解为2x B =，其中B 为常数 代入可得：22

kl

x B k m ω

==- 所以2

()0k kl

x

x m m

ω+-

+=的通解为：122)kl x x x A k m ?ω=+=

++- )k x A

m ?=-+ 代入初始条件，0t =时，x l =，0x =可得：

20,1,2...k k ?π

==，222

kl m l

A l k m k m ωωω

=-=

--- 所以有2

x l

k ω=-，222m l kl x k m

k m ωω

ω=-+--

32

N mgk m

ω=+

因弹簧振子的圆频率

Ω=

22222222222

()l l l x ωωωωωωΩΩ=-

+=-

Ω-Ω-Ω- 3

2N mgk ml

=+

3.12、质量为m 的小环套在半径为r 的光滑圆圈上，若圆圈在水平面内以匀角速度ω绕其

k

C

F mg

圆周上的一点转动。试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程(以小环相对于圆圈绕圆心转过的角度θ为参量写出)。设圆圈对小环的作用力大小用N F 表示，并可略去小环的重力。

解：由于略去了小环的重力，所以在选取圆圈为参考系中， 小环的受力如图所示，小环受到圆圈的作用力N n F e ， 科里奥利力2'2'2C n n F mv m v e m r e ωωωθ=?=-=- 小环相对O 点的惯性离心力2(')i n F m r m re ωωω=??=-

O 相对A 点有向心加速度，小环的惯性力：2O O AO F ma m re ω=-=

那么小环的运动学方程为：

切向：sin()O F mr πθθ-=，即2

sin 0θωθ-=

法向2cos()N C i O F F F F mr πθθ----=，即222

2cos N F m r m r m r mr ωθωωθθ--+=

事实上，也可通过'O AO Om v v v r r ωθ=+=?+?，N

F dv a dt m

=

=求得。 3.13、一质量为m 的质点，位于光滑的水平平台上，此平台以匀角速度ω绕通过平台上一定点O 的铅直轴转动。若质点受到O 点的吸引力2

F m r ω=-作用，这里r 是质点相对于

O 点的径矢。试证明：质点在任何起始条件下，将绕O 点以角速度ω作圆周轨道运动。

证明：水平台以匀角速度ω绕通过平台上一定点O 的铅直轴转动。取水平平台为参考系。

水平平台光滑，质点受到重力mg 、平台的支持力N F 和O 点的吸引力2

F m r ω=-以及惯性离心力2

'F m r ω=。

质点在竖直方向上没有离开水平平台，有：0N mg F +=，在水平方向'0F F += 所以质点相对水平平台静止，故小球绕O 点以角速度ω作圆周轨道运动。 或者利用0v F ?

=∑证明。

3.14、一抛物线形金属丝竖直放置，顶点向下，以匀角速率ω绕竖直轴转动。一质量为m 的光滑小环套在金属丝上。写出小环在金属丝上滑动时的运动微分方程。已知金属丝构成的抛物线方程为2

4x ay =，这里a 为常数。

解：如图，取顶点为原点，建立直角坐标系O xyz -附着在多属丝上。 在O xyz -中，小环受到重力mg mgj =-， 科里奥利力2'2'C F mv m v k ωω=?=-，

惯性离心力2()O F m xi m xi ωωω=??=， 金属丝的作用力N Nx Ny Nz F F i F j F k =-++ 由牛顿第二定律可得：

x 方向：Nx O F i F mxi -+=，即2()Nx F m x x ω=- (1)

y 方向：Ny F j mgj myj -=，即()Ny F m g y =+ (2)

z 方向：0Nz C F k F mzk +==，即222'2Nz F m v m x y ω==+ (3)

又金属丝构成的抛物线方程为2

4x ay =，求一阶导化简得：

2Nx Ny

F dy x

tg dx a F θ=== (4) 二阶导为：2

1()2y x xx a

=

+ 联立(1)、(2)、(4)可求得：

222

12()

2Nx Ny F x x x x x

F g y a g x xx a

ωω--===+++

化简求得小环在金属丝上滑动时的运动微分方程：

222

22

11(1)()044x x xx g x a a

ω+

++-= 3.15、在北纬λ处，一质点以初速率0v 竖直上抛，到达高度h 时又落回地面。考虑地球的自转效应，不计空气的阻力，求质点落地位置与上抛点之间的距离；是偏东还是偏西？为什么

解：取抛点为原点，建立直角坐标系O xyz -附着在地面上。其中Ox 轴指向正南，Oy 轴指向正东，Oz 轴竖直向上。质点只受到重力，故质点的运动学方程为：

2sin mx m y ωλ= (1) 2(sin cos )my m x z ωλλ=-+ (2) 2cos mz mg m y ωλ=-+ (3)

质点初始时刻的运动状态为：0t =时，0x y z ===，0x y ==，0z v = 对(1)、(2)、(3)积分并代入初始条件得：

2sin x y ωλ= (4) 2(sin cos )y x z ωλλ=-+ (5)

02cos z v gt y ωλ=-+ (6)

因5

7.29210ω-≈?，忽略2

ω项。把(5)式代入(1)、(3)式可得：0x ≈，z g ≈- 质点落地时，对于竖直上抛后落地时间为00

22v v t z g

=

=

又0v =t =把(4)、(6)式代入(2)式可得：

2042cos ()0y y v gt ωωλ-+-=，即02cos ()0y v gt ωλ+-≈

积分两次并代入初始条件得：32

01cos ()3

y gt v t ωλ=-

把时间代入可得：83y ωλ=-

，偏西 3.16、在北纬λ的地方，以仰角α向东方发射一炮弹的出口速率为v ，考虑地球的自转效

应，证明炮弹落地点的横向偏离为32

24sin sin cos v d g

ωλαα=

解：取发射点为原点，建立直角坐标系O xyz -附着在地面上。其中Ox 轴指向正南，Oy 轴指向正东，Oz 轴竖直向上。炮弹只受到重力，故炮弹的运动学方程为：

2sin mx m y ωλ= (1) 2(sin cos )my m x z ωλλ=-+ (2) 2cos mz mg m y ωλ=-+ (3)

炮弹初始时刻的运动状态为：0t =时，0x y z ===，0x =，cos y v α=，sin z v α= 对(1)、(2)、(3)积分并代入初始条件得：

2sin x y ωλ= (4)

cos 2(sin cos )y v x z αωλλ=-+ (5) sin 2cos z v gt y αωλ=-+ (6)

因5

7.29210ω-≈?，忽略2

ω项。把(5)式代入(1)、(3)式可得：

2cos sin x v ωαλ≈ (7)

2cos cos z g v ωαλ≈-+ (8)

炮弹落地时间：

2sin 2sin 2sin 2cos cos (1)

v v v t z g v g m ααα

ωαλ=

==-- ，式中

2cos cos v m g

ωαλ

=

因1m ω∝，故

1

11m m

≈+-，所以2sin (1)v t m g α=

+ 对(7)式积分两次并代入初始条件得：32

2

24cos sin sin sin cos v x v t g

ωαλωλαα≈?≈