【第9周】除法及集合并交差关系代数及SQL表达应用举例及主要概念
第四章 数据库设计基础——关系运算
3. 交（Intersection） ）
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成 R∩S = { t|t ∈ R∧t ∈S } R∩S = R –(R-S）
An Introduction to Database System
交 (续) 续
An Introduction to Database System
(c)
An Introduction to Database System
1. 选择（Selection） 选择（ ）
1) 选择又称为限制（Restriction） 2) 选择运算符的含义 在关系R中选择满足给定条件的诸元组 σF(R) = {t|t∈R∧F(t)= '真'} F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：
学生-课程数据库: 学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
Student
学号 Sno 200215121 200215122 200215123 200215125 姓名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 性别 Ssex 男 女 女 男 (a) 年龄 Sage 20 19 18 19 所在系 Sdept CS IS MA IS
An Introduction to Database System
(b)
专门的关系运算(续 专门的关系运算 续)
SC
学号 Sno 200215121 200215121 200215121 200215122 200215122 课程号 Cno 1 2 3 2 3 成绩 Grade 92 85 88 90 80
200215121 200215121 200215122 200215122
ACCESS第2章关系代数讲解
2.2 特殊的关系运算
∏(红色,兰色)
2.2 特殊的关系运算
∏(年龄, 成绩,特长)
学号 年龄 性别 班级 成绩 评价 特长 101 22 男 01 90 优 数学 102 21 女 01 91 良 外语 103 21 男 01 90 优 数学 201 21 男 02 90 优 数学 202 22 女 02 91 良 外语 203 22 男 02 90 优 数学 301 21 男 03 90 优 数学 302 21 女 03 91 良 外语 303 22 男 03 90 优 数学
第二章：关系代数
本章要点
掌握并运算、 差运算、交运算、 笛卡尔积运算规则，及其集合运算的应 用，掌握投影运算、选择运算和连接运 算规则，及其关系运算的应用。
2.1 集合运算
并运算
定义:
集合A和B的并，由集合A和B的所有元素组成的集合。记 作：A∪B 逻辑描述: 如果R∪S=X ,那么对任意的一个元素a有,如果a属于R或 者a属于S,那么a一定属于X。
2.2 特殊的关系运算
有R和S两个关系 ２）查询关系 １）查询关系 ３）查询关系R中属性B C 与关系 与 小于关系 S S 中属性 关系 中属性 S中属性 BE 相等的相等连接。 的连接。 B相等的自然连接。
2.2 特殊的关系运算
两个关系R和s在做自然连接时，选择两个关系在公共 属性上值相等的元组构成新的关系。此时，关系R中某些 元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造 成及中这些元组在操作时被舍弃了，同样，S中某些元组也 可能被舍弃。例如，在上个例子的自然连接中，R中的第4 个元组，S中的第5个元组都被舍弃掉了。 如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属 性上填空值(Null)，那么这种连接就叫做外连接(outer join)。如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左 外连接(LEFT OUTER JOIN 或 LEFT JOIN)，如果只把右边 关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(RIGHT OUTER JOIN 或 RIGHT JOIN)。
关系代数表达式总结-数据库
关系代数表达式总结一、并例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。
分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号。
本例也可以使用或条件来表示。
πSno(σCno=’1’(SC))∪πSno(σCno=’2’(SC)) 或πSno(σCno=’1’∨Cno=’2’(SC))二、交例2 检索至少选修课程号为2和3的课程的学生学号。
分析：方法一：只涉及到一个表，但不能直接用∧（为什么？）特别注意，本例不能写为：πSno(σCno=’2’∧Cno=’3’(SC))因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2，又为3。
第一步：转换（SC×SC）笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。
选修课程号为2和3的学生：σ1=4∧2=’2’∧5=’3’(SC×SC)最后取出学生的学号：π1(σ1=4∧2=’2’∧5=’3’(SC×SC))方法二：πSno(σCno=’2’(SC))∩πSno(σCno=’3’(SC))三、差例3 将学生信息(‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。
分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。
因此，该删除操作可表示为：Student-{‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’}注意：但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了，就要用到差操作或除操作。
例4 求没有选修课程号为2的课程的学生学号。
分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学生学号，就得出没有选修课程号为2的学生学号。
由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的，故应当先投影，再进行差运算。
πSno(Student)- πSno(σCno=’2’(SC))特别注意，本题不能写为：πSno(σCno≠’2’(SC))。
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
数据库——关系运算
3.1 集合运算 刘鹤年编写
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R
Sname
Sex
李敬
女
高全英
女
吴秋娟
女
穆金华
男
张欣欣
女
王婷
女
喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写
Sname
Sex
赵成刚
男
张峰
男
吴秋娟
女
穆金华
男
孙政先
男
王婷
女
吕文昆
男
孙炜
女
既喜欢跳舞也喜欢唱歌的学生R∩S
Sname
Sex
有相同的域。
则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R
也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。
由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3 交运算（续）
交操作的示意图，如图3-3所示。
刘鹤年编写
第3章 关系代数
3.1.3 交运算(续)
李敬
16020010 C语言程序设计
李敬
16020011 图像处理
李敬
16020012 网页设计
第3章 关系代数
3.2 特殊的关系运算
3.2 特殊的关系运算 刘鹤年编写
关系数据库是用数学方法处理数据的，关系 间可以进行各种运算，以支持对数据库的各种操 作。我们介绍其中最基本的三种运算：
选择（Selection）
从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
第三章 关系运算
3、自然联接(natural join)---特殊的等值连接
将关系R和S中公共属性组满足对应分量相等的元组 联接起来， 并且要在结果中将重复的属性去掉。
R ⋈ S≡πi1,...im(σR.A1=S.A1∧... ∧R.AK=S.AK(R×S))
举例：
第17页，本讲稿共63页
4、 除(division)
A a
B b
abc bcd
a
b
bbf bce c a
cad adb
b
b
关系R
e f g null e
关系S
ABC D
AB
abc d
ab
abc e
ab
cad b
ca
b
b
f null
null e
CD cd ce db f null fg
CD cd ce db fg
第28页，本讲稿共63页
2. 外部并（outer union）
第26页，本讲稿共63页
i、如果R和S做自然联接时，把R中原该舍弃的元组放 到新关系中，那么这种操作称为“左外联接”操作， 用符号: R S表示。
ii、如果R和S做自然联接时，把S中原该舍弃的元组 放到新关系中，那么这种操作称为“右外联接”操作， 用符号: R S表示。
第27页，本讲稿共63页
ABC BCD
举例：
第10页，本讲稿共63页
2. 差(differedce)：设关系R和关系S具有相同的元数，
且相应的属性列具有相同的特征：
R―S≡{t︱t∈R∧tS}
其中：t是元组变量，R和S的元数相同。
举例：
第11页，本讲稿共63页
3. 笛卡儿积（cartesian product）
第4章 关系运算
自学考试《数据库原理》
连接（Join） 1）连接也称为θ连接 2）连接运算的含义 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的 元组 R S = { | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] } A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 θ：比较运算符 连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关 系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比 较关系的元组。
自学考试《数据库原理》
3）两类常用连接运算 等值连接（equijoin） 什么是等值连接 θ为“＝”的连接运算称为等值连接 等值连接的含义 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等 的那些元组，即等值连接为： R S = { | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] } 自然连接（Natural join）
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
外连接 为避免自然连接时因失配而发生的信息丢失，可以假 定往参与连接的一方表中附加一个取值全为空值的行，它 和参与连接的另一方表中的任何一个未匹配上的元组都能 匹配，称之为外连接 外连接 = 自然连接 + 失配的元组 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
自学考试《数据库原理》
专门的关系运算符 不仅涉及行而且涉及列 算术比较符 辅助专门的关系运算符进行操作 逻辑运算符 辅助专门的关系运算符进行操作 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product） R n目关系，k1个元组 S m目关系，k2个元组 R×S 列：（n+m）列的元组的集合
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
示例： 找出工资在800元以上的老师 {t | tPROF t[SAL] > 800} 找出工资在800元以上的老师的姓名 {t | sPROF ( t[PNAME] s[PNAME] s[SAL] > 800 )} 给出计算机系老师的姓名 {t | uDEPT ( u[DNAME] = “计算机系” sPROF ( s[DNO] = u[DNO] t[PNAME] s[PNAME] ))} 求选修了全部课程的学生号 {t | uC ( sSC ( s[CNO] = u[CNO] t[SNO] s[SNO] ))} 求选修了张军同学所选修的全部课程的学生姓名 课程，张军选之 所求同学选之 {t | uC ( sSC wS ( s[CNO] = u[CNO] w[SNO] s[SNO] w[SNAME] = “张军” )) 元组关系演算与关系代数的等价性
关系代数 运算符对应select语句
关系代数运算符对应select语句关系代数是关系数据库查询操作的理论基础，它提供了一组运算符来描述查询操作。
以下是一些关系代数运算符及其在SQL（结构化查询语言）中的对应关系：1. 选择（σ） - 选择运算符用于从关系中选择满足特定条件的元组。
在SQL 中，这对应于`SELECT`语句。
例如，在关系代数中，`σ_name='John' (R)` 选择所有在关系R中name属性为'John'的元组。
在SQL中，这可以表示为：`SELECT FROM R WHEREname='John';`2. 投影（π） - 投影运算符用于从关系中选择指定的属性。
在SQL中，这对应于`SELECT`语句，但不包括`WHERE`子句。
例如，在关系代数中，`π_name,age (R)` 选择关系R中name和age属性的所有元组。
在SQL中，这可以表示为：`SELECT name, age FROM R;`3. 并（∪） - 并运算符用于合并两个关系的元组。
在SQL中，这对应于`UNION`操作。
例如，在关系代数中，`R ∪ S` 合并关系R和S的所有元组。
在SQL中，这可以表示为：`SELECT FROM R UNION SELECT FROM S;`4. 差（-） - 差运算符用于从一个关系中减去另一个关系的元组。
在SQL中，这对应于`EXCEPT`操作。
例如，在关系代数中，`R - S` 删除在关系R中但不在S中的所有元组。
在SQL中，这可以表示为：`SELECT FROM R EXCEPT SELECT FROM S;`5. 笛卡尔积（×） - 笛卡尔积运算符用于计算两个关系的所有可能的元组组合。
在SQL中，这对应于没有`JOIN`条件的两个表的笛卡尔积。
例如，在关系代数中，`R × S` 计算关系R和S的所有可能的元组组合。
在SQL中，这可能不会直接对应于一个操作，但在多个表查询时可能隐式发生。
第四章 关系运算
A a c
B b b
C c d
4.1.2 关系代数的四个组合操作
1、交操作(Intersection)
关系R与关系S的交记作：R∩S={ t|t∈R∧t∈S } 其结果仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。 关系的交可以用差来表示，即R∩S=R-(R-S)。 它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组。记作：
三、关系模型的数据结构
例：职工登记表写成关系模式 U={工号, 姓名, 性别, 年龄, 工资}, D1={4021,3678,6874,2568}， D2={王一,张强,李龙,覃晓}， D3={20,30,40}， D4={男,女}， D5={1000,2000,2500,3000}， D= {D1, D2, D3, D4, D5},
关系数据库的数据操纵语言（DML）
关系查询语言的分类
关系运算
主要内容
4.1关系代数 4.2关系演算 4.3关系代数表达式的优化
4.1关系代数
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4
关系代数的五个基本操作 关系代数的四个组合操作 关系代数的应用实例 关系代数的扩充操作
1、并操作
例：假定有如下关系
A a d c B b a b 关系R C c f d 关系S D b d E g a F a f
R ∪ S的结果？
a d c b b a b g c f d a
4.1.1 关系代数的五个基本操作
2、差操作
设R和S具有相同的关系模式，则 R－S={t | t∈R ∧ tS } 属于R但不属于S 例：假定有如下关系
抽象代数电子教案
《抽象代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。
教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。
教学措施：黑板板书与口授教学法。
教学时数：12学时。
教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。
若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。
表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。
2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
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1 第9周【201201106/08】除法及集合并交差的SQL表达 第一部分 关系代数除法的SQL表达举例【例12-14】 【例12】【教材P111例46】查询选修了全部课程的学生姓名 所表达的语义：查询这样的学生，不存在 没有选的课程（即选了所有课程）
*问题：给出其关系代数表达式
*SQL表达式 准备： ***执行【4讲】删除并建立数据库jsj建表插入元组
***【教材P109例44以及P110例45】带存在（EXISTS）谓词的子查询举例 【P109例44】查询所有选修了1号课程的学生姓名 思路：循环依次指定一学生，循环体判断此学生是否选修了一号课程（选是） use jsj Select sno,sname from s where exists(select * from sc where sc.sno=s.sno and sc.cno=1)
【P110例45】查询没有选修1号课程的学生姓名 思路：循环依次指定一学生，内循体环判断此学生是否选修了一号课程（选非） use jsj Select sno,sname from s where Not exists(select * from sc where sc.sno=s.sno and sc.cno=1)
问题：查询没有选修课程学生的学号姓名 2
use jsj Select sno,sname from s where Not exists(select * from sc where sc.sno=s.sno )
【例12求解】查询不存在没有选修课程（即选修了所有课程）学生的学号姓名 use jsj select sno,sname from s --可以理解为外循环依次选定S表中的一条记录 where not exists --不存在没有选修课程 ( select * from c --可以理解为内循环，依次选定C表中的一条记录 where not exists -- 外循环的学生没有选修一门课程 ( select * from sc where sno=s.sno and cno= c.cno ) )
***执行下述两语句使得表内容如下图（为了更直观说明问题）： use jsj delete from c where cno=4 update sc set sno=97002 where cno=1 and sno=97001 3
【例13】【教材P111例47】查询至少选修了学生97001选修的全部课程的学生号码 所表达的语义：对于每个学生sno来说 ，不存在这样的课程y，97001号同学选修了y 而学生sno没有选
use jsj select sno from sc scx --可以理解为外循环依次选定S表中的一条记录Rsno where not exists -- 对于每一个选定的学生，不存在这样的课程y（） ( select * from sc scy --可以理解为内循环，依次选定scy表中的一条记录 where scy.sno='97001' -- 97001同学选修的课程， and not exists -- 学生Rsno没有选 ( select * from sc scz where scz.sno=scx.sno and scz.cno=scy.cno ) )
use jsj select sno from s --可以理解为外循环依次选定S表中的一条记录，假设为Rsno where not exists -- 对于每一个选定的学生，不存在这样的课程y（） ( select * from sc scy --可以理解为内循环，依次选定scy表中的一条记录 where scy.sno='97001' -- 97001同学选修了， and not exists -- 学生Rsno没有选 ( select * from sc scz where scz.sno=s.sno and scz.cno=scy.cno ) 4
) 【例14】【教材作业P75第5题（5）】求至少使用了供应商s1所供应的全部零件的工程号JNO 所表达的语义：不存在这样的零件号y，供应商S1供应的零件号y，工程X没有使用
create table s75 ( sno char(10) primary key, sname char(20) not null, status int, city char(10) );
create table p ( pno char(10) primary key, pname char(20) not null, color char(10), weight int );
create table j ( jno char(10) primary key, jname char(20) not null, city char(10) );
create table spj ( sno char(10), pno char(10), jno char(10), qty int, primary key(sno, pno, jno), foreign key(sno) references s75(sno), foreign key(pno) references p(pno), foreign key(jno) references j(jno) );
--增加记录： use jsj insert into s75 values('S1', '精益',20,'天津') insert into s75 values('S2', '盛锡',10,'北京') insert into s75 values('S3', '东方红',30,'北京') 5
insert into s75 values('S4', '丰泰盛',20,'天津') insert into s75 values('S5', '为民',30,'上海') insert into p values('P1','螺母','红',12) insert into p values('P2','螺栓','绿',17) insert into p values('P3','螺丝刀','蓝',14) insert into p values('P4','螺丝刀','红',14) insert into p values('P5','凸轮','蓝',40) insert into p values('P6','齿轮','红',30) insert into j values('J1','三建','北京') insert into j values('J2','一汽','长春') insert into j values('J3','弹簧厂','天津') insert into j values('J4','造船厂','天津') insert into j values('J5','机车厂','唐山') insert into j values('J6','无线电厂','常州') insert into j values('J7','半导体厂','南京') insert into spj values('S1','P1','J1',200) insert into spj values('S1','P1','J3',100) insert into spj values('S1','P1','J4',700) insert into spj values('S1','P2','J2',100) insert into spj values('S2','P3','J1',400) insert into spj values('S2','P3','J2',200) insert into spj values('S2','P3','J4',500) insert into spj values('S2','P3','J5',400) insert into spj values('S2','P5','J1',400) insert into spj values('S2','P5','J2',100) insert into spj values('S3','P1','J1',200) insert into spj values('S3','P3','J1',200) insert into spj values('S4','P5','J1',100) insert into spj values('S4','P6','J3',300) insert into spj values('S4','P6','J4',200) insert into spj values('S5','P2','J4',100) insert into spj values('S5','P3','J1',200) insert into spj values('S5','P6','J2',200) insert into spj values('S5','P6','J4',500)
【思考题：指出网上下载答案存在的问题？】 use jsj select distinct jno from spj spjx --可以理解为外循环依次选定SPJ表中的一条记录，假设为Rjno where not exists -- 对于每一个选定记录Rjno，不存在这样的零件y（） ( select * from spj spjy --可以理解为内循环，依次选定spjy表中的一条记录 where spjy.sno='S1' --S1供应的零件号 and not exists --工程Rjno没有使用