正项级数收敛的必要条件
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
大一微积分(经管类)第八章 无穷级数
n
S
如果数列{ S n } 没有极限,则称无穷级数
un 发散.
n 1
5
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a Sn a aq aq aq ， 1 q a n 当 | q | 1 时, lim q 0 limS n 收敛 n n 1 q
2
第一节
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
计算圆的面积
a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2 n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an
(un vn ) 收敛推出 un 、 vn
n1 n1 n1
收敛；
(2) 若
un 收敛,而 vn
n1 n1
发散,则
(u
n1
n
vn ) 必发散.
证 假设
而已知
所以
(u v ) 收敛,
n1 n n
由 vn (un vn ) un ,
un 收敛,
所以级数发散.
12
级数收敛的必要条件
定理 若级数 证明
u
n1
n
收敛,则必有lim un 0 .
n
un Sn Sn1 ,
n
lim S n S ，
lim un lim( S n S n1 ) lim S n lim S n 1
n n
正项级数
1.引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分，而正项级数又是级数中最简单，同时也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质，解决级数的问题多半要涉及到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位，所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容，也是十分重要的内容，所以正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要作用. 2.正项级数概念 2.1.正项级数定义设有数列{}n u ，即1u ，2u ，⋅⋅⋅，n u ，⋅⋅⋅，将此数列依次相加起来，即1n n u ∞=∑，称为数值级数，其中n u 称为级数的第n 项或通项.若级数的每一项n u 的符号都是正，则称级数1n n u ∞=∑是正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件部分和数列{n S }有上界,即存在某正数M,对0n ∀>,有n S <M ⇔正项级数1n n u ∞=∑收敛.2.3.正项级数敛散性判别法 2.3.1.比较原则设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n>N 都有n n u v ≤,那么 （1）若级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛； （2）若级数1nn u∞=∑发散,则级数1nn v∞=∑也发散；即1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散.比较原则的极限形式 ：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数.若limnn nu l v →∞=,则（1）当0l <<+∞时, 级数1nn u∞=∑与级数1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；（2）当l =0且级数1nn v∞=∑收敛时, 级数1n n u∞=∑也收敛； （3）当l =+∞且级数1nn v∞=∑发散时，级数1nn u∞=∑也发散.2.3.2.达朗贝尔判别法（或比式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q （0<q<1）(1)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≤q,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.达朗贝尔判别法的极限形式：若1n n u ∞=∑为正项级数,且1limn n nu u +→∞=q(1)当q<1时,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当q>1或q=+∞时,则级数1n n u ∞=∑发散.2.3.3.柯西判别法（或根式判别法）设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在某正数0N 及正常数L(1)若对一切0n N >,≤L<1,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切0n N >,≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.柯西判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数,且n l ,则(1)当l <1时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当l >1时,级数1n n u ∞=∑发散.2.3.4.积分判别法设f(x)为[1,+∞)上非负递减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散. 2.3.5拉贝判别法设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在自然数0N 及常数r,（1） 若对一切n>0N ,成立不等式n 111n n u r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛；（2） 若对一切n>0N ,成立不等式n 11n n u u +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1,则级数1n n u ∞=∑发散.拉贝判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数，且极限1lim 1n n n u u +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 存在，则（1）当r>1时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当r<1时,级数1n n u ∞=∑发散.3.判别方法的比较1.当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时,可以选用正项级数的充要条件进行判断.如：P 级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便. 2.当级数表达式型如1nu ,n u 为任意函数、级数一般项如含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以进行适当的放缩,并与几何级数、P 级数、调和级数进行比较,1lim n n nu u +→+∞、n 易算出或1limn n nu u +→+∞=1、n 等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数证明问题时,应选用比较原则.例：1.1111nn na a ∞=⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭∑(a>1) 级数收敛 2.ln 11(ln )nn n ∞=∑= ln ln ln 1n n e 2ln 211n e n ≤= 级数收敛 比较原则使用的范围比较广泛,适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数.3.当级数含有阶层、n 次幂,型如a!或n a 或分子、分母含多个因子连乘除时,选用达朗贝尔判别法.当通项含(1)n -与n u 的函数可以选用达朗贝尔判别法的极限形式进行判断,例：1. 113(21)!n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-∑1limn n nu u +→∞=21lim 1n n n →∞++=2 级数发散x级数收敛.4.当级数含有n 次幂,型如n a 或()n n u 或通项1ln n p u n n=即分母含有含lnx 的函数,分子为1,或级数含有多个聚点时,可选用柯西判别法.例如：1. 121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑lim21n n n n →∞=+=12,级数收敛一般来说,当选用柯西判别法无法判断时,我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断,但有时候我们用柯西判别法而不使用达朗贝尔判别法,因为柯西判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优.例如：2.1+b+bc+n n b c ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(0)b c <<比由例题可知,两种判别法都可以用来判断上题,但柯西判别法与达朗贝尔判别法相比得出的收敛范围更小,约束条件更为详细.因此,上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好.在使用判别法时,我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件.同时也存在只能使用柯西判别法,使用达朗贝尔判别法无法判断的情况.例如：3. (1)2nn ---∑n n 12 级数收敛 不可使用达朗贝尔判别法1limn n nu u +→∞=12(1)lim 2n n -+-→∞ 无法判断敛散性 因此,当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时,我们可以选用达朗贝尔判别法或柯西判别法.5.当级数表达式型如1n u ,n u 为含有ln n 的表达式或1nu 可以找到原函数,或级数n u 为[1,)+∞上非负单调递减函数,n u 含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以找到原函数,可以选用积分判别法.例：1.6.当级数同时含有阶层与n 次幂,型如a!与n a 时,或使用比式、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候,选用拉贝判别法.例：不能用达朗贝尔判别法不能用柯西判别法因此,当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断敛散性时,我们可以选用拉贝判别法. 4.应用举例例1 1!2!...!(2)!n n u n +++=分析：本题无法使用柯西判别法与达朗贝尔判别法,因此选择比较原则进行判断. 解!10!(1)(2)(1)(2)(21)(2)n n n n u n n n n n n n ⋅<≤=<+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-,()n →∞且级数11(21)(2)i n n ∞=-∑收敛所以级数收敛. 例2 112(1)(1)...(1)nn na a a a ∞=+++∑分析：本题无法使用柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较原则以及其他的判别法进行判断,因此选用充要条件进行判断.解u所以级数收敛. 例3 1ln n p u n n=分析：本题分母含有ln n的表达式,优先选择积分判别法. +∞例4113135224246p p p⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：本题中通项(21)!!(2)!!nnun-=含有阶层,但不能使用柯西判别法或达朗贝尔判别法进行判断,因此选用拉贝判别法.解12221pnnu nu n++⎛⎫= ⎪+⎝⎭122111112121lim1lim lim112pnn n nnnou pn n nnun n→∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭-===⎪⎝⎭当2p>1,即p>2时,级数收敛.例52(1)2nn+-∑分析：本题中分子含有(1)n-,无法用达朗贝尔判别法或其他方法判别,这种类型也是柯西判别法的典型类型,取上极限进行判断,因此,选用柯西判别法.解112n→∞==<,∴级数收敛.5.总结数学分析作为数学系的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则发散,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法,或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时,则根据其特点选择适用的方法,如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法.当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较原则,若比较雨泽还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断,因此正项级数的判别法有无穷多种.正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性,也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别,在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径.参考文献[1]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法 [J] . 武汉工业学院学报,2002,4.[2]陈金梅.幂级数求和法例谈 [J] . 石家庄职业技术学院报,2005,9.[3]夏学启. 贝努利数的简明表达法 [J] . 芜湖职业技术学院学报,2006,2.[4]吴良森等编著.数学分析习题精解 [M] . 北京：科学出版社,2002,2.[5]费定晖,周学圣编著.吉米多维奇数学分析习题集题解 [M] . 济南：山东科学技术出版社,2005,1.[6]周应编著.数学分析习题及解答 [M] . 武汉：武汉大学出版社,2001,8.[7]王晓敏,李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导[M] . 长春：东北大学出版社,2005,12.[8] B.A zhuo, etc. (JiangFeng, Ritchie. Mathematical analysis [M]. Beijing: higher education press, 2006,12.[9]胡适耕,张显文编著.数学分析原理与方法 [M] .北京：科学出版社,2008,5.[10]陈纪修,于崇华,金路编著. 数学分析下册 [M] . 北京：高等教育出版社,2000,4.致谢我的本科论文是在仝雅娜老师的指导下圆满完成的,仝老师在兢兢业业工作的同时,还要抽出很多时间帮我答疑解惑,细心指导,让我学会了很多东西.在此,特向仝老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意.此外,还要感谢我的许多同学,他们在我的论文写作中给予了大量的帮助,在此,我也深深的感谢他们.同时,我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的老师、同学和朋友,感谢你们！。
正项级数
当p 1时, 收敛 p 级数 当p 1时, 发散
9
使用正项级数的比较判别法时, 需要知道
一些级数的敛散性, 作为比较的标准. 常用的比较级数
当 q 1时, 收敛 (1) 几何级数 aq n 0 当 q 1时, 发散 1 当p 1时, 收敛 (2) p-级数 p n 1 n 当p 1时, 发散
4
3. 比较判别法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
n 1
证 设 vn
n 1
un vn
un 收敛 n 1
5
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
n 1 n 1
(3) 若un是vn的低阶无穷小 , 则级数 vn发 散 时,
级 数 un必 发 散 .
n 1
n 1
15
un l un l lim l , vn 2 n v n (1) 当0 l 时,两级数有相同的敛散性
un 证 (1) 由lim l n v n
收敛
故级数 1 cos 收敛. n n 1
20
ln n ( 2) 判 定 级 数 的敛散性 . 2 n 1 n
ln n 2 ln n n 解 lim lim 0 n n n 1
n3 2
ln x lim 0 x x ln n ln n 1 1/ 2 3 / 2 2 n n n
解 因为 un
而
1 1 2 n( n 1) n 1 3
正项级数敛散性的判断及其应用
正项级数敛散性的判断及其应用摘要级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分,敛散性问题级数理论的一个基本问题，判别正项级数敛散性的方法很多.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法;简单介绍了它们强弱性关系,给出了典型例题验证上述判别法的有效性.关键词正项级数；判别法；敛散性The Convergence Tests and Applicationfor Series of Positive Terms!AbstractHigher Mathematics series is an important part of teaching, The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many paper has summarized a variety of convergence judge methods for positive terms series, including comparison principle and its extension, integrated judge method and its extension, derivate judge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D’Alembert Test, Kummer Test and Gauss Test come from Comparison principle; given a brief introduction of their week and strong relationship of convergence, set examples for identifying the effectiveness of these judge methods.Key wordspositive terms series; judge methods; convergence1 前言历史上，人们曾把无穷个实数相加12n u u u +++看成无穷个数的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在《庄子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：2311112222n ++++，从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”111111-+-+-的和是多少如果写成()(11)11(11)00-+-+-=++其结果是0.如果写成1(11)(11)(11)100------=---其结果是1.两个结果完全不同.因此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”如果存在,“和”是多少十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前n 项和形成一个数列12341,0,1,0,S S S S ====，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平均数01122+=为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然111111-+-+-是一个数，记为S ，由于11(1111)1111S S -=--+-+=-+-+=，即为1S S -=，得12S =.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：23111q q q q ++++=-，把1q =-代入得到111+112=--+，他用同样的讨论得到其他的一些结果.例如把2q =-代入得112483=-+-+，而这些结果现在看起来都是荒谬的.后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数---正项级数.定义在区间I 的函数项级数()1n n u x ∞=∑，当在I 内任意取定一点0x 时, 便得到一个数项级数.自然,对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass 判别法(M 判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性. 1 正项级数的定义和收敛的充要条件正项级数的定义如果级数1n n u ∞=∑中各项均有0n u ≥,这种级数称为正项级数.正项级数收敛的充要条件如果级数1n n u ∞=∑中，部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0,n ∀>有{}n S M <.2 比较判别法及其推广比较判别法【 1】设n u ∑和n v ∑是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对一切n>N 都有n un v ≤，那么(1) 若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； (2) 若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散.推论：比较判别法的极限形式：设n u ∑和n v ∑是两个正项级数.若limnn nu l v →∞=，则 （1）当0l <<+∞时，n u ∑和n v ∑同时收敛或同时发散； （2）当0l =时，若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； （3）当l =+∞，若级数n v ∑发散，则级数n u ∑也发散.定理[]1（达朗贝尔判别法或比值判别法）设为n u ∑正项级数，且存在某正整数0N 及常数(01)q q << （1） 若对一切0n N >，成立不等式1n nu q u +≤，则级数n u ∑收敛； （2）若对一切0n N >，成立不等式11n nu u +≥，则级数n u ∑发散.推论[]1（达朗贝尔判别法的极限形式） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且1limn n nu q u +→∞=，则 (1)当1<q 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1>q 或∞=q 时，级数∑∞=1n n u 发散.推论[4] 若为n u ∑正项级数，则（1）当1lim1n n n u u +→∞<时，级数n u ∑收敛；（2）当1lim1n n nu u +→∞≥时，级数n u ∑发散.例 讨论级数()()()()()()()1111110,0,0!11n n n n n αααβββαβγγγγ∞=++-++-+>>>++-∑的敛散性.解 令()()()()()()1111!11n n n u n n αααβββγγγ++-++-=++-，则()()()()111111lim lim lim 11n nn n n n n n n n n n n u e e n n e u n n e e n n γγαβαβγγαβαβ+--→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎡⎤++⎛⎫⋅⎝⎭⎝⎭====⎢⎥ ⎪++⋅⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以,当11γαβ+-->时，即0γαβ-->时，∑∞=1n n u 收敛，故原级数收敛；当11γαβ+--<时，即0γαβ--<时，∑∞=1n n u 发散，故原级数发散.例 讨论级数1!nn n n n e∞=∑的敛散性.解 令!nn n nu n e =，()()1111!!111nnnn n n n n n nn n e u n e H u n e n n ++⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎛⎫⎢⎥==⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥+⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则 ()()()20001ln 1111lim ln lim 1ln 1lim1ln 11ln 1lim lim 11lim 212n n n n x x x n n H n n n nx x x x x x x →∞→∞→∞→→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭-⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+--+====+. 则12lim n n H e e →∞=<，由推论得级数1!nn n n n e∞=∑发散. 定理[]1（柯西判别法） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ,(1)若对一切0N n >，不等式1<≤l u nn 成立，则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)若对一切0N n >，不等式1≥nn u 成立，则级数∑∞=1n n u 发散.推论[]1（柯西判别法的极限形式） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且n l =.则(1)当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散.定理[]2 设∑∞=1n n u 为正项级数，若2211limlim n n n n n n u u u u ρ+→∞→∞+==，则当21<ρ时，∑∞=1n n u 收敛;当21>ρ时，∑∞=1n n u 发散.证明 当21<ρ时，取0>ε，使()121><=+s r sερ，则 212n s n u r u ρε<+=<，21112n s n u r u ρε++<+=<.取sn n b 1=，则21111lim lim 212sn s n n n b n b n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭，21lim lim 22sn s n n n b n b n →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，由极限保号性得r b b n n >++112， 2nn b r b >，故112112++++>n n n n u u b b ，n n n n u u b b 22>，而∑∞=1n n b 收敛，由引理知∑∞=1n n u 收敛；当21>ρ时，由2211lim lim n n n n n n u uu u ρ+→∞→∞+==，对任意的0ε>当n 充分大时，有2n n u u ρερε-<<+与211n n u u ρερε++-<<+，取11-=n b n ，则2111limlim 22n n n n b n b n +→∞→∞+==，211lim lim 212n n n n b n b n →∞→∞-==-，对任意的0ε>当n 充分大时，有2111122n n b b εε++-<<+与21122n n b b εε-<<+，取1202ρε-<<，则当n 充分大时，有22n n n n b u b u <，212111n n n n b u b u ++++<，由引理知∑∞=1n n u 发散.例 判断正项级数21ln n nn∞=∑的敛散性. 解 ()()212ln 1lim lim 11ln n n n nn n a a n n +→∞→∞+==+，故由达朗贝尔判别法无法判断，而()()222ln 211lim lim 422ln nn n nn n a a n n →∞→∞==<，()()()()221211ln 2111lim lim 4221ln 1n n n n n n a a n n +→∞→∞+++==<++，由定理得21ln n nn∞=∑收敛. 推论[]3 设∑∞=1n n u 为正项级数，若()1lim0,1,21kn in nu i k u ρ-+→∞==-,当k 1<ρ时，∑∞=1n n u 收敛，当1k ρ>时，∑∞=1n n u 发散.推论[]3 设∑∞=1n n u 为正项级数，若1lim1n n n u u +→∞=且2lim n n nu u ρ→∞=，则当21<ρ时，∑∞=1n n u 收敛；当21>ρ时，∑∞=1n n u 发散.推论[]3 设∑∞=1n n u 为正项级数，且1limn n nu u ρ+→∞=，若1<ρ,则2211limlim 0n n n n n n u u u u +→∞→∞+==；若1>ρ，则2211lim lim n n n n n n u uu u +→∞→∞+==+∞. 3 积分判别法引理[]1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件是：部分和数列{}n S 有界，即存在某正整数M ，对一切正整数n 有M S n <.定理[]1 设f 为[)+∞,1上非负递减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分dx x f ⎰+∞1)(同时收敛或同时发散.例 讨论级数()21ln pn n n ∞=∑的敛散性.解 由定理知级数与反常积分()2ln pdx x x +∞⎰具有相同的敛散性，而()()()22ln =ln ln pppInn d x dx du u x x x +∞+∞+∞=⎰⎰⎰， 当1p >时收敛，当1p ≤时发散.故当1p >时级数收敛，当1p ≤级数时发散.定理[]5 设函数()x f 是单调递减的正值函数，如果存在充分大的N ，当N x >时，有()()x f e f e x x ρ<，则当01ρ<<时，级数∑)(n f 收敛；若()()x f e f e x x ≥，级数∑)(n f 发散.证明 当N x >时，有()()x f e f e x x ≥，对任意正数1n x x x -<，有()()dx x f dx e f e nn nn x x x x xx⎰⎰--<11ρ，变量替换后得()()dx x f dx x f nn nx n x x x e e ⎰⎰--≥11ρ.取如下序列{}n x ， ,,,,,112321-====n x n x e x e x e x x ，故上述积分变为()()()111,2,3,n nnn x x xx f x dx f x dxn ρ+-≥=⎰⎰故有()()() ,3,2,111=≥⎰⎰+n dx x f dx x f e x x n nρ故有()()()()∞→∞→≥=⎰∑⎰⎰=+n dx x f n dx x f dx x f enk x x x k kn当1111ρ所以dx x f ⎰+∞1)(发散，由引理知∑)(n f 发散.若()()x f e f e x x ρ<，则()()()()1111221nkk ennx x ex k k f x dx f x dx f x dx f x dx ρ-===<<<+∞-⎰∑∑⎰⎰⎰,由比较判别法，dx x f ⎰+∞1)(收敛，由定理知∑)(n f 收敛.推论[]5 设函数()x f 是单调递减的正值函数，又设()()limx x x e f e f x λ→+∞=，则当1<λ时，级数∑)(n f 收敛；当 1>λ时，级数∑)(n f 发散.例 讨论级数()()11ln ln ln pqn n n n ∞=∑的敛散性.解 令()()()1ln ln ln pqf x x x x =，且()()()()1limlim ln ln ln x x p qqp x x e f e x x x f x --→+∞→+∞=，当10p ->，即1p <，或当1p =，0p q -<时，()()lim01x x x e f e f x →+∞=<，则级数()()11ln ln ln pqn n n n ∞=∑收敛；当1p q ==时，()()lim1x x x e f e f x →+∞=+∞>，则级数发散.4导数判别法定理[]6（导数极限判别法） 设∑)1(nf 为正项级数，)(x f 是一连续实函数，若级数∑)1(nf 收敛，则()00f =.定理[]6设∑)1(nf 为正项级数，)(x f 是一连续实函数且在0x =处二阶可导，则级数∑)1(nf 收敛的充分必要条件是0)0()0(='=f f .证明 必要性.由定理 得0)0(=f . 设(0)(0,)f a a '=≠∞，a xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00，由归结原理得an n f n =⎪⎭⎫ ⎝⎛→11lim 0，取a <<ε0，当n N >时，ε<-⎪⎭⎫ ⎝⎛a nn f 11，即1a f n n ε-⎛⎫> ⎪⎝⎭，而11n n∞=∑发散，由比较判别法，得∑)1(nf 发散;当+∞=')0(f ，+∞==-='→→xx f x f x f f x x )(lim )0()(lim)0(00，由归结原理得+∞=⎪⎭⎫⎝⎛→n nf n 11lim 0.对任意正整数M ，存在正整数N ，当n N >时，Mnn f >⎪⎭⎫ ⎝⎛11，即n M n f >⎪⎭⎫ ⎝⎛1，由比较判别法，得∑)1(n f 发散，与条件矛盾，故0)0(='f .充分性 对于任意的01α<<有()()()()()111+00000()()1lim lim lim 0lim 0111+x x x x f x f f x f x x f x x x x ααααααα--→→→→''-'''====++， 于是由归结原理011lim01x f n n α→+⎛⎫⎪⎝⎭=，而()1110n nαα∞+=>∑收敛，故∑)1(n f 收敛. 例 判断级数11sin n n∞=∑的敛散性.解 级数11sin n n∞=∑为正项级数，()sin f x x =为连续二阶可导函数，且(0)10f '=≠,由定理知11sinn n∞=∑发散. 例 判断级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑为正项级数，()1cos f x x =-为连续二阶可导函数，且0)0()0(='=f f ，由定理知111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.5 两种一般项级数收敛性的方法 阿贝尔判别法定理[]1(阿贝尔判别法) 若{}n a 为单调有界数列，且n b ∑收敛，则n n a b ∑收敛.例 讨论级数()311ln 1ln n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 1ln 1n ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为单调递减有界数列，且()311ln n n ∞=∑收敛，由阿贝尔判别法知级数()311ln 1ln n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛.例 讨论级数211nnn⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调有界，且211n n ∞=∑收敛，由阿贝尔判别法知211nn n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛. 狄利克雷判别法定理[]1 (狄利克雷判别法) 若数列{}n a 为单调递减，且lim 0n n a →∞=，又级数n b ∑的部分和有界，则n n a b ∑收敛.例 讨论2sin12ln n n nπ∞=∑的敛散性.解21cos cos sinsin 1661212ln ln 2ln 2ln 2ln n n n n n n n n nππππ-≥==-. 因为1ln n当n →∞时单调下降趋于零，又 121sin sin 31212cos 62sin 2sin1212k n k πππππ∞=+-=≤∑， ，由狄利克雷判别法知级数1cos6ln n n n π∞=∑收敛.而级数21ln n n ∞=∑发散，故级数2sin12ln n n nπ∞=∑发散. 判断一般项级数收敛性的方法，也适用于正项级数.若正项级数可以看成两级数通项乘积的形式，则可利用上述两种方法判断之. 6 结束语级数理论是数学分析的重要组成部分，无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性是级数重要性质.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若不为0，则发散，若为0，则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法等.同时，根据条件选择积分判别法或导数判别法等.由此，我们可以得到正项级数的判别法是多种多样的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此对正项级数的判别法的探讨无穷无尽.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点选择适宜的方法进行判断，能够节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.本文归纳正项级数收敛性判断的一些典型方法，收集了一些典型例题.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性的判断，也可以推广到函数项级数的敛散性判别中.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006:6-16.[2] 李铁烽.正项级数判敛的一种新的比值判别法[J].北京：数学通报,1990, (1) :46 - 47.[3] 龙艳.关于正项级数收敛性判断的一个推广[J].长春师范学院学报, 2009,28(6):1-3.[4] 冯江浪.关于一些特殊正项级数敛散性的判别法[J].中国科技信息,2009,(1):25.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006:448-452.[6] 刘玉璞.导数在正项级数敛散性判定中的应用[J]. 高等数学研究，1994,(2)：13-14.致谢四年时光飞逝，大学即将毕业，在这里我要向数学系的老师同学们，尤其是我的指导老师王树泽老师表示诚挚的感谢！在写作过程中您对我进行了细心地指导，悉心地点拨，不仅使我接受了新的思想观念，激发了学习兴趣，而且提高了收集整理材料和自学能力，掌握了新的数学思想.另外，感谢校方提供了使我能够独立完成一个课题的机会，并在这个过程中给予我们各种方便，使我们在即将离校的最后一段时间里，能够更多学习一些实践应用知识，增强了我们实践能力和动手能力，提高了独立思考的能力.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的成果来答谢曾经关心、帮助和支持过我的所有领导、老师、同学、和朋友.学无止境.明天，将是我终身学习另一天的开始！%。
级数的收敛与发散
1 (1) sin ; n n 1
二、比式判别法和根式判别法
定理12.7（比式判别法）设 un 为正项级数，且
存在某正整数
N0
及常数 q(0 q 1)
un 1 （1）若对一切 n N0，成立不等式 u q n
则级数 un 收敛；
un1 （2）若对一切 n N0，成立不等式 1 un 则级数 un 发散。
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
比较原则的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
推论（比式判别法的极限形式）
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
un1 N , 当n N时, 有 , un
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
(n N )
由比较原则的推论, 得证.
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
7.2-1 正项级数敛散性的判别
n 1
n 1
Sn s 一般级数收敛 lim n
正项级数收敛 S n 有上界 单调有界数列有极限
1 p 在p >1 时收敛， p 1 时发散. 例1. 证明 n 1 n
证：p =1,原级数为调和级数，发散；
1 1 1 1 p < 1时 n p n , n p 的部分和大于 n 的部分和 n 1 n 1
2 n1 un1 [(n 1)! ] ( 2n)! lim 1 / 4 1 lim lim n 2( 2n 1) n u n ( n! ) 2 [ 2( n 1)]! n
x n 例5. 判别 n( ) ( x 0) 的敛散性 n 1 2 n n 1 x x 解： un n , un1 ( n 1) 2 2 un1 n 1 x lim lim x/2 n u n n 2 n 由0 x / 2 1 0 x 2, 此时原级数收敛
由 x / 2 1 x 2, 此时原级数发散 由 x / 2 1 x 2, 原级数为 n 发散
n 1
当 0< x< 2时，收敛 x n 综上 n( ) ( x 0) n 1 2 当 x 2 时，发散
2. 根值判别法 n u r lim n 定理：设 un 为正项级数，若 n 则 r <1 ,级数收敛；r > 1,级数发散；r =1,此法失效.
则当 p > 1时广义p-级数收敛； p 1 时广义p-级数发散.
上述结论的证明有待于下次课的比较判别法 例10. 下列级数的敛散性如何？
1 1) n1 n( n 1)
D12_1_2正项级数及审敛法
∞
n→ ∞
lim un = 0,
( )n−1 则级数 ∑ −1 un收敛 , 且其和 S ≤u , 其余项满足 1
n= 1
rn ≤un+1 .
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证: QS2n = (u −u2) +(u3 −u4) +L (u2n−1 −u2n) + 1
S2n =u −(u2 −u3) −(u4 −u5) −L (u2n−2 −u2n−1) − 1
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1 1 1 (常数 p > 0) + 例1. 讨论 p 级数 1+ p + p +L p +L 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ≤1, 因为对一切
1 而调和级数 ∑ 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n= n 1
发散 .
∞
1 ≥ n
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2) 若 p >1,因为当 n 1 1 = dx p ∫n− p 1n n n 1 1 1 1 − p− ≤∫ dx = 1 n− xp p −1 (n−1 p− n 1 ) 1
例13. 设 . （A） （B） （C） （D）
则级数（ ）。
C
提示： 提示： 据莱布尼茨判别法， 原级数收敛；
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结束例14. 证明级数 Nhomakorabea是条件收敛的。
(−)n 1 ~ 解: ① Q 显然非绝对收敛 . n n−(−1 ) n
(−)n ②由 效 于 非 调 减 所 L iz 失 ； 单 递 ， 以 eibn n n−(−1 (− ) n n n (−1 ) (−1 (n+(−1 ) ) ) 1 n n 而 = = (−1 2 + 2 ) n 2 n−(−1 ) n −1 n −1 n −1 1 n n 对 敛 件 敛 ∑ ∑(−1) n2 −1条 收 ， n2 −1绝 收 ，
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正项级数收敛的必要条件
正项级数是指级数中的所有项都是非负数的级数。
一个正项级数
的收敛性与其项之间的关系密切相关。
下面是正项级数收敛的必要条件：
1. 单调性：如果一个正项级数的项随着索引的增加而单调减少，那么这个级数收敛。
换句话说，如果存在一个极限值L，使得对于所有的n，都有an >= an+1，并且lim(n→∞) an = L，则级数收敛。
2. 项趋于零：如果一个正项级数的项趋近于零，那么这个级数
收敛。
换句话说，如果lim(n→∞) an = 0，则级数收敛。
这两个条件是正项级数收敛的必要条件，但并不充分。
也就是说，即使一个正项级数满足这两个条件，仍然可能是发散的。
这是因为这
两个条件只是级数收敛的必要条件，还需要其他条件来判断是否收敛。
一个著名的反例是调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。
虽
然它的项趋近于零，但它发散，因为它的偏序和没有一个有限的上界。
要判断一个正项级数是否收敛，还需要使用其他测试方法，如比
较判别法、积分判别法、根值判别法等。
这些方法可以进一步考虑级
数的增长速度和项之间的比较关系来确定级数的收敛性。
正项级数的
收敛需要满足单调性和项趋于零的条件，但这只是必要条件，还需要
进一步使用其他测试方法来判断级数的收敛性。