高一数学春季讲义 第6讲 常见不等式通用解法 教师版

当前形势解不等式在近五年北京卷（理）考查5～10分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 含参不等式解法√运用不等式的性质熟练解决含参不等式以及恒成立问题解不等式的其它方法√理解二次函数、二次方程与二次函数图象之间的关系，并会从函数的角度解决不等式问题，考虑单调性和图象法．北京 高考 解读2009年 2010年（新课标）2012年（新课标） 2013年（新课标）第13题5分第1题5分 第7题5分第14题5分第8题5分<教师备案> 不等式的解法是高考中的必考内容，由于教学要求的变化，考查要求有所降低，直接考查主要以选择题，填空题为主，题目小巧灵活新颖；主要以导数解答题的形式出现，考查含参数不等式的解法．间接解法考查更多，往往与函数，导数，数列等内容结合，以求取值范围的设问方式呈现，有一定的难度和综合性．知识切片新课标剖析满分晋级第6讲常见不等式 通用解法不等式1级 不等式初步不等式2级 常见不等式通用解法不等式3级 均值不等式三大难点突破<教师备案> 在寒假班的时候解不等式部分我们重点讲了变形后转化为一元二次不等式，已知解的结构进而处理系数问题．我们在这里简单回顾一下．1、 解不等式：①2260x x --<； ②2210x x -->； ③1392x x +->；④()()222log 43log 211x x x +->-+．【解析】 ①不等式的解集为322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．②不等式的解集为(()112-∞++∞，，③()30,log 2x ∈．④不等式解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．2、 已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(14)，，求2a b +的值． 【解析】 214a b +=．3、 当不等式2230x px ++≤恰好只有一实数解时，实数p 的值为________．【解析】 ±4、 关于x 的不等式2432x ax>+的解集是非空集合()()22,m -，则am 的值等于_____．【解析】 386.1含参一元二次不等式寒假知识回顾考点1：解含参不等式对于含有参数的一元二次不等式，解法步骤总结如下： ①首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论；②在二次项系数不为零的条件下，将二次项系数化为正的，讨论对应的二次方程是否有根，即讨论判别式的正负；③在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出二次方程对应的根； ④比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集． ⑤最后将可以合并的合并，并按参数的范围分别写出解集．<教师备案>含参数的一元二次不等式的解答是以后要学习的求导数的单调性的基础，在高考中是必考的，需要对参数进行各种分类讨论，不重不漏，遵循一定的原则，养成良好的分类习惯．【例1】 ⑴求关于x 的不等式210x ax ++>的解集．⑵求关于x 的不等式2(2)20x a x a -++>的解集． ⑶求关于x 的不等式22(1)40ax a x -++>的解集．【解析】 ⑴不等式的解集为a a ⎛⎛⎫-+-∞+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ⑵ 当2a >时，不等式的解集为： ()()2a -∞+∞，，； 当2a =时，不等式的解集为： (2)(2)-∞+∞，，； 当2a <时，不等式的解集为： ()()2a -∞+∞，，．⑶ 综上知：当0a =时，不等式的解集为(2)-∞，；当0a <时，不等式的解集为22a ⎛⎫⎪⎝⎭，；当01a <<时，不等式的解集为2(2)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，；当1a =时，不等式的解集为(2)(2)-∞+∞，，； 当1a >时，不等式的解集为2(2)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，．考点2：已知一元二次不等式解集求参数范围此类题型一般有两种处理方法：⑴ 由一元二次不等式的解集的形式考虑对应的二次函数的图象，把解集转换为二次函数的图象与x 轴的交点问题，进而转化为对应的关于参数的不等式，从而解出参数的范围．⑵ 我们把含参数的不等式看成一个含有两个变量的不等式．若通过整理，可以将这个不等式中的两个变量分别调整到不等号的两端，使之每一边仅含有一个变量，这个方法通常叫做分离参数．对于一个含参不等式，如果我们可以对它分离参数，那么我们不论知道哪一个变量的取值范围，去求另一个的范围都很容易了，因为我们要研究的都只是一个含有一个自变量的函数的值域问题． 此类问题的一部分具体处理方式我们在本讲第三板块讲解，全面的类型在高二导数部分和高三复习知识点睛经典精讲的时候会重点讲解．【例2】 ⑴已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(123)i =，，都成立的x 取值范围是（ ）A ．110a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．120a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．310a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．320a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，⑵关于x 的不等式组()222022550x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的解集中的整数恰好只有一个，则实数k 的取值范围为________．【解析】 ⑴ B⑵ [)(]3,23,4-【铺垫】要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】 8178⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；【例3】设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果[14]M ⊆，，求实数a 的取值范围．【追问】若将本题改为：若[14]M ⊆，，求a 的取值范围，【解析】a 的取值范围是1817⎛⎤- ⎥⎝⎦，． 【追问】a 的取值范围为[3,)+∞．考点3：解分式不等式1．对于含有分式的不等式解法思路：先将不等式整理为()()0f x g x >或()()0f x g x ≥，再化为整式不等式求解． ()()()()00f x f x g x g x >⇔>；()()()()()000f x g x f x g x g x ⎧⎪⇔⎨≠⎪⎩≥≥ 2．数轴标根法使用范围：对于能分解成一些一次因式的乘积或一次因式的商的不等式． 注意事项：每个一次因式中x 的系数都为正；对于高次因式先约去其次数．<教师备案>分式不等式以及很多非常规不等式，主要思路一般都是将不等式转化为整式不等式，然后经典精讲知识点睛6.2分式不等式、绝对值不等式与无理不等式进行因式分解或由求根公式，利用标根法得出解集．需要注意的是，转化时要等价，比如分母不能为0，根号下的式子要非负等等．标根法可以简单的举几个例子，比如求()()()()12340x x x x --++>的解集．【例4】 ⑴关于x 的不等式724x x x -+≥的解集为___________．⑵若10a +>，则不等式221x x ax x ---≥的解集为________．⑶已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式 ()220a ax bx c cx bx a++<++的解集是 ．【解析】 ⑴ 不等式的解集为()[],41,2-∞-．⑵ (](1)a -∞-+∞，， ⑶ 不等式的解集为11|x x x x βααβ⎧⎫><<<⎨⎬⎩⎭或或．【备选】求关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-的解集．【解析】 综上所述可知：当0a <时，原不等式的解集为221a a -⎛⎫⎪-⎝⎭，； 当0a =时，原不等式的解集为∅；当01a <<时，原不等式的解集为221a a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，；当1a >时，原不等式的解集为2(2)1a a -⎛⎫-∞+∞ ⎪-⎝⎭，，．考点4：解绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题的思想如下：1．化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式： ①()()()0f x a a a f x a <>⇔-<<； ②()()()0f x a a f x a >>⇔<-或()f x a >； ③()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<； ④()()()()f x g x f x g x >⇔<-或()()f x g x >．2．构造绝对值函数，通过函数图象的位置关系转化，利用数形结合找到解集的形式，进而转化为方程去解出解集区间的端点．3．用零点分段去绝对值符号来求解．此时需要注意： 经典精讲知识点睛①区间端点处的值不能遗漏；②在各个区间上解出的结果应与本区间求交集； ③各区间上的解集并起来，才得原不等式的解集．<教师备案>解含绝对值符号的不等式，关键是去绝对值，可以分段讨论，可以平方，也可以用图象来处理，或者用绝对值的几何意义，总之就是将含绝对值不等式等价转化，但尽量不要让问题复杂化．【例5】 ⑴解下列不等式：①()()110x x +->；②2341x x x --<+；⑵若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ． ⑶解关于x 的不等式：21x ax -<．【解析】 ⑴ ①不等式的解集为{}11x x x <≠-且．②原不等式解集为()3,5． ⑵ (57)，⑶ 综上所述：当0a <时，原不等式解集为⎝⎭；当0a =时，原不等式解集为∅；当0a >时，原不等式解集为⎛ ⎝⎭．【备选】若不等式43x x a -+-<的解集是空集，求实数a 的取值范围．【解析】1a ≤． <教师备案>对于形如x a x b m -+->或x a x b m -+-<（0m >为常数）的不等式，利用实数绝对值的几何意义，数形结合求解较简便．考点5：解无理不等式无理不等式往往需要转化为有理不等式组进行求解．常见类型及解法如下：()()()00g x g x f x ⎧<⎪>⇔⎨⎪⎩≥或()()()20g x f x g x ⎧⎪⎨>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥；()()()()()200f x g x g x f x g x ⎧⎪⎪⇔>⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥．<教师备案>重点是将无理不等式等价转化，需要注意的是根号下的式子要非负．知识点睛经典精讲【例6】 ⑴2x+； ⑵2x -； ⑶()x a a >-∈R ．【解析】 ⑴ 不等式的解集为[)1,+∞．⑵ 不等式解集为1,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭．⑶ 综上所述，当0a <时，原不等式解集为(),0a ；当0a =时，原不等式解集为∅；当0a >时，原不等式解集为[),a a -．<教师备案>解决含有参数的不等式恒成立问题，一般都可以转化为一元二次不等式相关的问题，其处理方法大致有两种： ①整体分析法：将不等式问题转化为含参的一元二次函数的零点分布问题，再利用根的判别式或数形结合的思想，得到相关不等式，使问题得到解决； ②参数分离法：将参数分离出来，将恒成立问题转化为求函数最大值或最小值的问题．一般参数容易分离时，第②个方法比较容易；当参数不容易分离或分离后得到的函数太复杂时，再考虑用整体分析法，通过数形结合与分类讨论得到结果．还有一种不是很常用的方法，不等式含有两个变量时，可以灵活的将代数式看成其中任一个变量的函数，复杂程度往往有很大的区别．【例7】 ⑴已知210ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．⑵若不等式210x ax ++≥对于一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．2-C ．52- D ．3-【追问】若当[]3,2x ∈--时恒成立，则a 的取值范围为___________．⑶若[]13a ∈，，使得不等式2(2)20ax a x +-->恒成立，则实数x 的取值范围是_________．【解析】 ⑴ 04a ≤≤⑵ C【追问】52a ≤．⑶ 2x >或1x <-【挑战8分钟】① 已知220x ax a --<在()21--，上恒成立，求实数a 的取值范围．经典精讲经典精讲6.3恒成立问题② 若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】 ① 解得43a -≤． ② 34a -<<．【备选】已知二次函数2()f x ax x =+，如果[0,1]x ∈时|()|1f x ≤，求实数a 的取值范围． 【解析】 20a -<≤． 【点评】 [0,1]x ∈时，()1f x ≤⇔max ()1f x ≤且min ()1f x ≤．max ()max (0)(1)f x f f =，，于是有(0)1f ≤且(1)1f ≤，解得20a -≤≤；min ()f x 需要讨论对称轴12x a=-是否在区间[01]，上，得到一些不等式，解得结果． 这是一种整体考虑的思想，解析中是参数分离的思想．设函数2()1f x x =-，对任意32x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【解析】3⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，，．【演练1】已知集合{}12M x x x =-∈R ≤，，511P xx x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭Z ≥，，则M P ∩等于（ ） A ．{}03x x x <∈Z ≤， B ．{}3x x x ∈Z 0≤≤，C ．{}1x x x -∈Z ≤≤0，D ．{}10x x x -<∈Z ≤，【解析】 B【演练2】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（ ）A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<<【解析】 C【演练3】当()12x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 【解析】 5m -≤【演练4】设m ∈R ，求关于x 的不等式22230m x mx +-<的解集． 【解析】 ∴当0m =时，原不等式的解集为R ；当0m >时，原不等式的解集为31m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；实战演练当0m <时，原不等式的解集为13mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【演练5】（2010山东省聊城一中高三模拟）已知关于x 的不等式22221463x kx kx x ++<++的解集为R ，而关于x 的不等式2(2)0kx k x k --+≤的解集为∅，求实数k 的取值范围．【解析】 k 的取值范围为13k <<．（全国高中数学联赛江苏赛区初赛13）+对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．【解析】 显然0k >．∴2222(2)(21)(1)0k x y k x k y +⇒--+-≤≥对于x ，0y >恒成立．令0t =，则得222()(21)2(1)0f t k t t k =--+-≥对一切0t >恒成立． 当2210k -≤时，不等式不可能恒成立，故2210k ->．此时当2121t k =-时，()f t 取得最小值4222222221223(23)121212121k k k k k k k k k ---+-==----． 当2210k ->且2230k -≥，即k且当232k =时，即12t =，40x y =>时，等号成立．∴k ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭．大千世界。