2020高考数学新题分类汇编 平面向量(高考真题+模拟新题)
2020高考数学新题分类汇编 平面向量（高考真题+模拟新题）
大纲文数7.F1[2020·四川卷] 如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )
图1－2
A ．0 B.BE →
C.AD →
D.CF →
大纲文数7.F1[2020·四川卷] D 【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →
，所以选D.
大纲理数4.F1
图1－1
[2020·四川卷] 如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )
A ．0 B.BE →
C.AD →
D.CF →
大纲理数4.F1[2020·四川卷] D 【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →
，所以选D.
课标理数10.F2[2020·北京卷] 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.
课标理数10.F2[2020·北京卷] 1 【解析】 因为a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线，有k 3＝3
3，可得k ＝1.
课标文数11.F2[2020·北京卷] 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________________________________________________________________________.
课标文数11.F2[2020·北京卷] 1 【解析】 因为a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线，有k 3＝3
3，可得k ＝1.
课标文数3.F2[2020·广东卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．2 课标文数3.F2[2020·广东卷] B 【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb )∥c ，
所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝1
2
.
课标文数13.F2[2020·湖南卷] 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
课标文数13.F2[2020·湖南卷] (－4，－2) 【解析】 因为a 与b 的方向相反，根据共线向量定义有：a ＝λb (λ<0)，所以a ＝(2λ，λ)．
由||a ＝25，得2λ2＋λ2
＝25?λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．
课标理数12.F2[2020·山东卷] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，
已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C 、
D 可能同时在线段AB 上
D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上
课标理数12.F2[2020·山东卷] D 【解析】 若C 、D 调和分割点A ；B ，则AC →＝λAB →
(λ
∈R )，AD →＝μAB →
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2.
对于A ：若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →
?λ＝12?1μ
＝0，故A 选项错误；同理B 选
项错误；
对于C ：若C 、A 同时在线段AB 上，则0<λ<1,0<μ<1?1λ＋1
μ
>2，C 选项错误；对于D ：
若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则λ>1，μ>1?
1
λ＋1
μ
<2，故C 、D 不可能同时在线段
AB 的延长线上，D 选项正确．
课标文数12.F2[2020·山东卷] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，
已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C 、
D 可能同时在线段AB 上
D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上
课标文数12.F2[2020·山东卷] D 【解析】 由新定义知，AC →＝λAB →
，即(c,0)＝λ(1,0)，
∴λ＝c .同理AD →＝μAB →
，即(d,0)＝μ(1,0)，∴μ＝d ，又1λ＋1μ＝2，∴1c ＋1d
＝2.若点C
为线段AB 中点，则1λ＝2，与1λ＋1
μ
＝2矛盾，所以C 不为线段AB 中点，同理D 不为线段
AB 中点．若点C ，D 同在线段AB 上，则1c ＋1
d
>2，∴只能一个点在线段AB 上，另一个点在线
段AB 的延长线上．
课标理数14.F2[2020·天津卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，
BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →
|的最小值为________．
课标理数14.F2[2020·天津卷] 5 【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．
设P (0，y )，(0≤y ≤h ) 则PA →＝(2，－y )，PB →
＝(1，h －y )，
∴||
PA →＋3PB
→＝25＋3h －4y 2≥25＝5.
图1－7
课标文数14.F2[2020·天津卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，
BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →
|的最小值为________．
课标文数14.F2[2020·天津卷] 5 【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )，(0≤y ≤h )
则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴|PA →＋3PB →|＝25＋3h －4y 2
≥25＝5.
图1－6
课标理数14.F2[2020·浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量
α，β为邻边的平行四边形的面积为1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
课标理数14.F2[2020·浙江卷] ??
????π6
，5π6
【解析】 由题意得：||α||βsin θ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sin θ＝12||β≥1
2
.
又∵θ∈(0，π)，∴θ∈??????π6
，5π6.
课标文数15.F2[2020·浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量
α，β为邻边的平行四边形的面积为1
2
，则α和β的夹角θ的取值范围是________．
课标文数15.F2[2020·浙江卷] ??????π6
，5π6 【解析】 由题意得，|α||β|sin θ＝12，
∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈??????π6
，5π6.
课标文数14.F3[2020·安徽卷] 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．
课标文数14.F3[2020·安徽卷] 【答案】 π
3
【解析】 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2
＝－7＋
2cos θ＝－6，所以cos θ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π
3
.
课标理数13.F3[2020·安徽卷] 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．
课标理数13.F3[2020·安徽卷] π
3
【解析】 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋
2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2
＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12
.因为0≤θ≤π，故θ
＝π3.
大纲文数3.F3[2020·全国卷] 设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1
2
，则|a ＋2b |
＝( )
A. 2
B. 3
C. 5
D.7
大纲文数3.F3[2020·全国卷] B 【解析】 ||a ＋2b 2＝(a ＋2b )2＝||a 2
＋4a ·b ＋4||b 2
＝3，则||a ＋2b ＝3，故选B.
课标理数8.E5，F3[2020·福建卷] 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为
平面区域????
?
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2
上的一个动点，则OA →·OM →
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D ．[－1,2]
课标理数8.E5，F3[2020·福建卷] C 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，
又OA →·OM →
＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，
图1－2
当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.
∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →
的取值范围是[0,2]，故选C.
课标文数13.F3[2020·福建卷] 若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a·b 等于________． 课标文数13.F3[2020·福建卷] 1 【解析】 由已知a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，得a·b ＝1×(－1)＋1×2＝1.
课标理数3.F3[2020·广东卷] 若向量a ，b ，c 满足a∥b 且a⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
课标理数3.F3[2020·广东卷] D 【解析】 因为a∥b 且a⊥c ，所以b⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0.
课标文数2.F3[2020·湖北卷] 若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )
A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4
课标文数2.F3[2020·湖北卷] C 【解析】 因为2a ＋b ＝()2，4＋()1，－1＝()3，3，a －b ＝()0，3，所以||2a ＋b ＝32，||a －b ＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝()2a ＋b ·()a －b ||2a ＋b ||a －b ＝()3，3·()0，332×3
＝22，又θ∈[]0，π，所以θ＝π4.
课标理数14.F3[2020·湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →
，则AD →·BE →
＝________.
课标理数14.F3[2020·湖南卷] －1
4 【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分
点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ? ?
?
??0，
32，D (0,0)，B ?
??
??－1
2
，0，E ? ????13，36，故AD →＝? ?
???0，－32，BE →＝? ??
??56，36， 所以AD →·BE →
＝－32×36＝－14
.
课标理数11.F3[2020·江西卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．
课标理数11.F3[2020·江西卷] 【答案】 π
3
【解析】 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )(a －b )＝－2得
|a |2＋a ·b －2|b |2
＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，
解得cos θ＝12，∴θ＝π
3
.
课标文数11.F3[2020·江西卷] 已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3
，若向量b 1＝e 1
－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.
课标文数11.F3[2020·江西卷] －6 【解析】 由题设知|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝1
2
，
所以b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 2
2＝3－2×12
－8＝－6.
课标理数10.F3[2020·课标全国卷] 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p 1：|a ＋b |＞1?θ∈?
?????0，2π3；
p 2：|a ＋b |＞1?θ∈?
???
?2π3，π
p 3：|a －b |＞1?θ∈??????0，π3；
p 4：|a －b |＞1?θ∈? ??
??π3，π. 其中的真命题是( )
A ．p 1，p 4
B ．p 1，p 3
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
课标理数10.F3[2020·课标全国卷] A 【解析】 因为||a ＋b >1?||a 2
＋2a ·b ＋||
b 2
>1?a ·b >－12
?||a ||b cos θ＝cos θ>－12?θ∈?
?????0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题．
又因为||a －b >1?||a 2－2a ·b ＋||b 2
>1?a ·b <12?||a ||b cos θ＝cos θ<12
?θ∈
? ??
??π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题．
课标理数10.F3[2020·辽宁卷] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )
A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2
课标理数10.F3[2020·辽宁卷] B 【解析】 |a ＋b －c |＝a ＋b －c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，由于a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·a ＋b ，又由
于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2
＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·a ＋b ≤1，故选B.
课标文数3.F3[2020·辽宁卷] 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝( )
A ．－12
B ．－6
C ．6
D ．12
课标文数3.F3[2020·辽宁卷] D 【解析】 a ·(2a －b )＝2a 2
－a ·b ＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选D.
课标文数13.F3[2020·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.
课标文数13.F3[2020·课标全国卷] 1 【解析】 由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2
＝k ＋(k －1)a ·b －1
＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，
因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0， 解得k ＝1.
课标理数18.F3，C8[2020·陕西卷] 叙述并证明余弦定理．
课标理数18.F3，C8[2020·陕西卷] 【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
证法一：如图1－9，
图1－9
a 2＝BC →·BC →
＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2
，
即a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A .
同理可证b 2＝c 2＋a 2
－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
证法二：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1－10)，
图1－10
则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2 ＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2
－2bc cos A .
同理可证b 2＝c 2＋a 2
－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
课标文数18.F3，C8[2020·陕西卷] 叙述并证明余弦定理．
课标文数18.F3，C8[2020·陕西卷] 【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．
或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
证法一： 如图1－10，
图1－10
a 2＝BC →·BC →
＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2
即 a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，
同理可证 b 2＝c 2＋a 2
－2ca cos B ，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
证法二： 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直
线为x 轴建立直角坐标系，则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，
图1－11
∴a 2
＝|BC |2
＝(b cos A －c )2
＋(b sin A )2
＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2
－2bc cos A .
同理可证 b 2＝c 2＋a 2
－2ca cos B ，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
课标数学10.F3[2020·江苏卷] 已知e 1，e 2是夹角为2π
3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，
b ＝k e 1＋e 2, 若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．
课标数学10.F3[2020·江苏卷] 54
【解析】 因为a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 2
1＋
(1－2k )(e 1·e 2)－2e 2
2，
且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以2k －12－2＝0，即k ＝5
4
.
大纲理数12.F3[2020·重庆卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝________.
大纲理数12.F3[2020·重庆卷] 3 【解析】 |2e 1－e 2|2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 2
2
＝4|e 1|2－4|e 1||e 2|·cos60°＋|e 2|2
＝4×12
－4×1×1×12＋12＝3，
∴|2e 1－e 2|＝ 3.
大纲文数5.F3[2020·重庆卷] 已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
大纲文数5.F3[2020·重庆卷] D 【解析】 由条件知a ＋b ＝(3，k ＋2)， ∵a ＋b 与a 共线，
∴3×k －1×(k ＋2)＝0，得k ＝1， ∴a·b ＝1×2＋1×2＝4.故选D.
大纲理数12.F4[2020·全国卷] 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1
2
，〈a －c ，b
－c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
大纲理数12.F4[2020·全国卷] A 【解析】 设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是
3
sin120°
＝2，||c 的最大值是2，故选A.
[2011·北京海淀一模] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →
＝0，则四边形ABCD 是( )
A ．矩形
B ．菱形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
[2020·佛山模拟] 已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
[2020·淄博二模] 设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17 D.26
[2020·惠州三调] 已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是A (2，－1)，B (3,2)，C (－
3，－1)，BC 边上的高为AD ，则AD →
的坐标是__________．
[2020·南昌期末] 已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动
点P (x ，y )满足不等式0 ≤OP →·OM → ≤1,0≤OP →·ON → ≤1，则z ＝OQ →·OP →
的最大值为____________．
[2020·合肥一模] 若e 1，e 2是夹角为π
3
的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，
则a·b ＝( )
A ．1
B ．－4
C ．－72
D.72
[2020·合肥质检] 已知平面向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角为135°，c 与b 的夹角为120°，|c |＝2，则|a |＝__________.