人教版高中数学选修2-1教案学案：抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

课前预习学案

一、 预习目标

回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程，预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质 二、 预习内容 1、 复习回顾 (1) 抛物线定义

叫作抛物线； 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线

（2）抛物线的标准方程

①相同点 ；②不同点 ； （3）回顾练习

①已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的弦与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作AP ⊥l ，BQ ⊥l ，M 为PQ 的中点，求证：MF ⊥AB ②在抛物线y 2＝2x 上方有一点M （3，

3

10），P 在抛物线上运动，|PM|=d 1,P 到准线的距离为d 2，求当d 1 +d 2最小时，P 的坐标。 2、预习新知

（1）根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质

①范围 ： ； ②对称性： ； ③顶点： ； ④离心率： ； （2）自我检测：

1．已知点1(,0)4

F -，直线l ：4

1

=

x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是（ ）

()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线

图形

x

y

O F

l

x

y

O F

l

方程 焦点

准线

x

y O

F l x y

O

F l

l y P A

M

O F x Q B 图①

2．设抛物线2

2y x =的焦点为F ，以9(,0)2

P 为圆心，PF 长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于,M N ，则||||MF NF +的值为 （ ）

()A 8 ()B 18 ()C 22 ()D 4

3．过点(3,1)--的抛物线的标准方程是 ． 焦点在10x y --=上的抛物线的标准方程是 ．

4．抛物线2

8y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ，当||||MA MF +为最小时，则M 点的坐标 ，当||||||MA MF -为最大时，则M 点的坐标 ． 三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线

图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 二、学习过程

1、定义 ；

2、标准方程 ；

3、几何性质

①范围 ： ； ②对称性： ； ③顶点： ； ④离心率： ； 4标准方程

图形

顶点 对称轴

焦点

准线

离心率

()

022>=p px

y

()0,0

2

p x -

= 1=e

x

y

O F

l

()0,0

x 轴

??

? ??-0,2p 1=e

()

022>=p py

x

()0,0

2

p y -

= 1=e

()0,0

y 轴

1=e

思考问题：抛物线是双曲线的一支吗？为什么？ 5、分析例题

例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．

例3 过抛物线px y 22

=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，

求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．

例4． 已知抛物线2

4x y =与圆2

2

32x y +=相交于,A B 两点，圆与y 轴正半轴交于C 点，直线l 是圆的切线，交抛物线与,M N ，并且切点在ACB 上．

（1）求,,A B C 三点的坐标．（2）当,M N 两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线l 的方程．

课后练习与提高

1．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果

x

y

E O

F B A

D

C H

621=+x x ，那么||AB =（ B ）

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4

2．已知M 为抛物线x y 42

=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则

||||MF MP +的最小值为（ B ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．过抛物线()02

>=a ax

y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的

长分别是p 、q ，则

q

p 1

1+=（ C ） （A ）a 2 （B ）

a 21 （C ）a 4 （D ）a

4 4．过抛物线x y 42

=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案：()122

-=x y )

5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2

上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标

（答案：???

?

??±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45） 6．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．

7．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于

8．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

9．以椭圆15

22

=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

10．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

抛物线的简单几何性质

教学目的：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用

授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用

研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p

本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程：

一、复习引入： 1．抛物线定义：

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛

物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程：

相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与

图形

x

y

O F

l

x

y

O F

l

方

程 )0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x

焦点 )0,2

(p )0,2(p -

)2,0(p

)2,0(p -

准线

2

p x -=

2

p x =

2p y -=

2

p y =

x

y O F

l

x

y

O

F l

焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

4

1

，即2

42p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x

（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号

二、讲解新课：

抛物线的几何性质 1．范围

因为p ＞0，由方程()022

>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不

等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性

以－y 代y ，方程()022

>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线

的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022

>=p px y 中，当y=0时，x=0，

因此抛物线()022

>=p px y 的顶点就是坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．

对于其它几种形式的方程，列表如下：

标准方程

图形

顶点 对称轴 焦点 准线 离心率

()

022>=p px

y

x

y

O F

l

()0,0

x 轴

??

? ??0,2p 2

p x -

= 1=e

()

022>-=p px

y

x

y

O F

l

()0,0

x 轴

??

? ??-0,2p 2

p x =

1=e

()

022>=p py

x

()0,0

y 轴

??

? ??2,0p 2

p y -

= 1=e

()

022>-=p py

x

()0,0

y 轴

??? ?

?

-2,0p

2

p

y =

1=e

p 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）

假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛

物线上一点，

A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，

则有px y 2±=和y 1＝mx ＋n ． ∴ px n mx y y 21

+=-

x

p

x n

m x 2 +

?= 当m ≠0时，若x →＋∞，则+∞→-y y 1 当m ＝0时，px n y y 21

=-，当x →＋∞，则+∞→-y y 1

这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2

＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线 三、讲解范例：

例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．

解：由题意，可设抛物线方程为px y 22

=，因为它过点)22,2(-M ，

x

y A 0A O

所以 22)22(2

?=-p ，即 2=p

因此，所求的抛物线方程为x y 42

=．

将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得

x 0 1 2 3 4 … y

2

2.8

3.5

4

…

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分

点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．

例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．

设抛物线的标准方程是px y 22

= (p ＞0)．

由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302

?=p ， 即 4

45=

p 所求的抛物线标准方程为x y 2

45

2

=

． 例3 过抛物线px y 22

=的焦点F 任作一条直线m ，交这

抛物线于A 、B 两点，

求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则

｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜

∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜

所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切． 四、课堂练习：

1．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果

621=+x x ，那么||AB =（ B ）

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4

2．已知M 为抛物线x y 42

=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则

x

y

E O

F

B A D

C H

||||MF MP +的最小值为（ B ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．过抛物线()02

>=a ax

y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的

长分别是p 、q ，则

q

p 1

1+=（ C ） （A ）a 2 （B ）

a 21 （C ）a 4 （D ）a

4 4．过抛物线x y 42

=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案：()122

-=x y )

5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2

上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标

（答案：???

?

??±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45） 五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等

六、课后作业：

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

4．以椭圆15

22

=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？ 习题答案：

1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y （3）x 2

＝－8y 2．90°

3．x 2

＝±16 y 4．54 5．520米

七、板书设计（略）

八、课后记：