原创2021年高考数学试题分类汇编- 函数(含答案)
2021高考数学函数概念与基本初等函数五年真题分类汇编(含答案解析)
2021届高考数学-五年真题汇编：函数概念与基本初等函数一、选择题1.2016年高考真题——文科数学（新课标Ⅰ卷） 若a>b>0，0<c<1，则A.log a c <log b cB.log c a <log c bC.a c <b cD.c a >c b2.2016年高考真题——文科数学（新课标Ⅰ卷） 函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为A. B.C. D.3.2016年高考真题——文科数学（天津卷） 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）A.)21,(-∞B.),23()21,(+∞-∞ C.)23,21( D.),23(+∞4.2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A.（0，23] B.[23，34] C.[13，23]{34} D.[13，23）{34}5.2017年高考真题——数学理（全国Ⅰ卷）已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．A B =R C ．{}1=>A B x xD ．A B =∅6.2017年高考真题——数学理（全国Ⅰ卷）函数f (x )在(－∞，+∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)= －1，则满足－1≤f (x －2) ≤1的x 的取值范围是（）A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]7.2017年高考真题——数学理（全国Ⅰ卷）设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（） A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x <<D ．325y x z <<8.2017年高考真题——数学文（全国Ⅰ卷） 函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为9.2018年高考真题——理科数学（全国卷II ） 函数()2e e x xf x x--=的图像大致为10.2018年高考真题——文科数学（全国卷Ⅰ）设函数f (x )=x 3+(a －1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为（ ）A.y =－2xB. y =－xC. y =2xD. y =x设函数⎩⎨⎧>≤=-,0,1,0,2)(x x x f x 则满足f (x +1)＜f (2x )的x 的取值范围是（ ） A ．(－∞,1] B ．(0,+∞)C ．(－1,0)D ．(－∞,0)12.2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A.[－1,0)B. [0,+∞)C. [－1,+∞)D. [1,+∞)13.2019年高考真题——文科数学（全国卷Ⅰ）设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则A ．f （log314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log314）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log314）14.2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<15.2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<17.2020年高考真题——数学（全国卷Ⅰ）数学（理）试题若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D. 2a b <18.2020年高考真题——数学（全国卷Ⅰ）数学（文）试题 设3log 42a =，则4a -=（ ）A.116B.19C. 18D. 1619.2020年高考真题（全国卷Ⅰ）数学（理）试题 设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减20.2020年高考真题（全国卷Ⅰ）数学（理）试题 若2233x y x y ---<-，则（ ） A. ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<二、填空题21.2020年高考真题（江苏卷）数学试题已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (－8)的值是____. 22.2019年高考真题——数学（江苏卷）函数y =_____. 23.2018年高考真题——理科数学（天津卷）已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 24.2017年高考真题——文科数学（全国Ⅰ卷）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________。
【5年高考3年模拟】（新课标版）2021年高考数学真题分类汇编 2.2 函数的大体性质 文(1)
函数的大体性质考点一函数的单调性1.(2021北京,2,5分)以下函数中,概念域是R且为增函数的是( )=e-x=x3=ln x =|x|答案 B2.(2021湖南,4,5分)以下函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )(x)= (x)=x2+1(x)=x3(x)=2-x答案 A3.(2021天津,12,5分)函数f(x)=lg x2的单调递减区间是.答案(-∞,0)考点二函数的奇偶性与周期性4.(2021课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的概念域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,那么以下结论中正确的选项是( )(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C5.(2021重庆,4,5分)以下函数为偶函数的是( )(x)=x-1 (x)=x2+x(x)=2x-2-x(x)=2x+2-x答案 D6.(2021广东,5,5分)以下函数为奇函数的是( )=2x- =x3sin x=2cos x+1 =x2+2x答案 A7.(2021大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的概念域为R.假设f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,那么f(8)+f(9)=( )-1答案 D8.(2021课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,那么f(-1)= .答案39.(2021湖南,15,5分)假设f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,那么a= .答案-10.(2021四川,13,5分)设f(x)是概念在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=那么f= .答案111.(2021安徽,14,5分)假设函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=那么f+f= .答案。
2021年高考数学 三角函数题组 含解析 (2)
题组层级快练(二十三)1．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.3．函数y ＝2sin(π6－2x)(x∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．4．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析 由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C. 5．(2021·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f(π7)，b ＝f(π6)，c ＝f(π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 答案 B解析 f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f(π7)<f(π6)，而c ＝f(π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f(π7)，所以c<a<b. 6．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A ．f(0)＝1 B ．f(0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f(x)＝sin (ωx＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.7．(2021·天津)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π 答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx＋π6)，令f(x)＝1，得sin (ωx＋π6)＝12.∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4 C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.9．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]答案 C解析 由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.10．已知函数f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ，则函数f(x)的图像( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点(π8，－24)对称C ．最小正周期为2πD ．在区间(0，π8)上为减函数答案 A解析 化简f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ＝(22cosx －22sinx )·sinx ＝24(sin2x ＋cos2x －1)＝12sin(2x ＋π4)－24，则该函数图像的对称轴为直线x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，A 正确；其对称中心(－π8＋k π2，－24)，k ∈Z ，B 不正确；其最小正周期为π，C 不正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，D 不正确，故选A.11．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8B.π4 C.3π8D.5π4 答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.12．(2021·东北四校模拟)已知函数f(x)＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( ) A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 D解析 ∵f(π8)＝－2，∴－2sin (2×π8＋φ)＝－2.即sin(π4＋φ)＝1.∵|φ|<π，∴φ＝π4.∴f(x)＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z )．当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.13．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 12>x 22答案 D14．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________． 答案 －π<α≤015．将函数y ＝sin (ωx＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________． 答案 12解析 注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx的初相是________． 答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2x sinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x∈R |x≠kπ，k ∈Z } T ＝π (2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )解析 (1)由sinx ≠0，得x≠kπ(k∈Z )． 故f(x)的定义域为{x∈R |x≠kπ，k ∈Z }． 因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )．18．(2021·重庆理)已知函数f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．答案 (1)T ＝π2－32(2)增区间[π6，5π12]，减区间[5π12，2π3]解析 (1)f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x ＝cosxsinx －32(1＋cos2x)＝12sin2x －32cos2x －32＝sin(2x －π3)－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈[π6，2π3]时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在[π6，5π12]上单调递增；在[5π12，2π3]上单调递减．1．将函数f(x)＝sin2x (x∈R )的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 将函数f(x)＝sin2x (x∈R )的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2(x －π4)＝－cos2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，而满足条件的只有B.2．(2021·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f(x)的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.3．(2021·浙江理)已知函数f(x)＝Aco s(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 f(x)是奇函数时，φ＝π2＋k π(k∈Z )；φ＝π2时，f(x)＝Acos (ωx＋π2)＝－Asin ωx 为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B. 4．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( ) A ．[k π－π3，k π＋π6](k∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k∈Z )D ．[k π－π2，k π](k∈Z )答案 C解析 由题意知，f(x)在x ＝π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f(π2)>f(π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f(x)＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f(x)的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k∈Z )．5．若函数f(x)＝Msin (ωx＋φ)(ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos (ωx＋φ)在[a ，b]上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g(x)＝Mcos(wx ＋φ)＝Msin(wx ＋φ＋π2)＝Msin[w(x ＋π2w )＋φ]，∴g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T 2，可知，g(x)的图像由f(x)的图像向左平移b －a2得到的．∴得到g(x)图像如图所示．选C.6．(2021·全国Ⅰ)函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z答案 D解析 由题图知，函数f(x)的最小正周期T ＝(54－14)×2＝2，所以ω＝π，又(14，0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos(π4＋φ)＝0，π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πx ＋π4)，所以由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，选D.7．(2021·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.8．(2021·天津文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.9．(2021·安徽理)已知函数f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋ 2 ＝2sin (2ωx＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减． 10．(2021·安徽文)已知函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f(x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sinxcosx ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1， 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sinx 在[π4，5π4]上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.。
高考数学试题分类汇编：函数 选择题 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学试题分类汇编：函数选择题1、(2021年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1),那么f(x)是〔〕 A 、奇函数但非偶函数B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 答案：B2、(高三综合测试二)函数f (x )满足：f (p +q )=f (p )f (q )，f (1)=3，那么)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9()10()5(2f f f +的值是A.15B.30 C 答案：B3、(高三综合测试三)假设函数f(x)的反函数1-f(x)=1+x 2(x<0)，那么f(2)=A ．1B ．－1C ．1或者－1D ．5答案：B4、(高三综合测试四))(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，那么当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为〔〕A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+xD ．2)4(-x答案：D5、(皖南八校2021届高三第一次联考)将函数12)(1-=+x x f 的反函数的图象的图象按向量)1,1(平移后得到)(x g 的图象，那么)(x g 表达式为〔〕 A ．)2(log )(+=x x g a ；B ．x x g a log )(=；C ．2log )(-=x x g a ；D ．2log )(+=x x g a ；答案：B6、(五校2021届高三开学联考)假设函数2(2)()m x f x x m-=+的图象如下列图，那么m 的范围为A ．〔－∞，－1〕B ．〔－1，2〕C ．〔1，2〕D ．〔0，2〕 答案：C7、(五校2021届高三开学联考)设定义域为R 的函数()()x g x f ,都有反函数，且函数1-x f 和()13g x --图象关于直线x y =对称，假设()52005g =，那么f(4)为A ．2021B ．2004C ．2021D ．2021 答案：D8、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=3x〔x≤2〕的反函数的定义域是A ．(,9]-∞B ．[9,)+∞C ．(0,9]D ．(0,)+∞答案：C9、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)设偶函数f 〔x 〕对任意x∈R，都有f 〔x 〕+f 〔x+1〕=4，当x∈[-3,-2]时，f 〔x 〕=4x+12，那么f 〔11〕的值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A10、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=ax 2+bx+6满足条件f 〔-1〕=f 〔3〕，那么f 〔2〕的值是A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 值有关答案：B11、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=log a 〔x 3–ax 〕〔a>0且a≠1〕在(2,+∞〕上单调递增，那么a 的取值范围是A ．a>1B ．1<a<12C ．1<a≤12D ．1<a≤4答案：D12、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a=，)2(f b =，)2(f c =，那么c b a ,,大小关系是A ．c b a>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>答案：D13、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数11231+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 值域为A ．〔-∞，1〕B ．〔31，1〕C ．[31，1〕D ．[31，+∞〕 答案：C14、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考))91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，那么函数[])()(22x f x f y +=的最大值为A ．6B ．13C ．22D ．33 答案：B15、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是A ．)31(log 13≥+=x x y B ．)31(log 13≥+-=x x yC ．)131(log 13≤<+=x x yD ．)131(log 13≤<+-=x x y答案：D16、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数11-+-=x x y 是()答案：D17、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R 上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是()A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数答案：A18、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数)6(log )(231x x x f --=的单调递增区间是()A.［-21，+∞)B.［-21，2) C.(-∞，-21)D.(-3，-21)答案：B19、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)假设把函数)(x f y =的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，那么函数)(x f y =的图像经此变换后所得图像对应的函数为()A.2)1(+-=x f y B.2)1(--=x f yC.2)1(++=x f y D.2)1(-+=x f y答案：A20、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考))13(log -a a 恒为正数，那么实数a 的取值范围是()A.a ＜31B.31＜a ≤32 C.a ＞1D.31＜a ＜32或者a ＞1 答案：D21、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)定义在R 上的奇函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，假设当x ∈(0，3)时，x x f 2)(=，那么当x ∈(-6，-3)时，)(x f =()A.62+x 62+xC.62-x62-x答案：B22、(新都一中高2021级一诊适应性测试)函数f (x )=l og a x (a >0,a ≠1)，假设f (x 1)－f (x 2)=1，那么)()(2221x f x f -等于〔〕A ．2B ．1C ．12D ．l og a 2 答案：A23、(新都一中高2021级一诊适应性测试)奇函数f x ()的反函数是fx -1()，假设f a a ()=-，那么f a fa ()()-+-1的值是〔〕A ．0B ．-2aC ．2aD ．无法确定答案：A24、(新都一中高2021级一诊适应性测试)假设二次方程x 2-px -q =0(p ,q ∈N *)的正根小于3,那么这样的二次方程有〔〕A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个答案：C25、(新都一中高2021级一诊适应性测试)函数,,y kx b k b =+其中〔0k ≠〕是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数．对于非线性可导．．．．．函数()x f ，在点0x 附近一点x 的函数值()x f ，可以用如下方法求其近似代替值：()()()()000'≈+-f x f x f x x x ．利用这一方法，9983.m =的近似代替值〔〕A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小关系无法确定答案：A26、(一诊)假设函数4y x x=+在(0,)x a ∈上存在反函数，那么实数a 的取值范围为 A ．〔1，4〕B ．〔0，2]C ．〔2，4]D ．[2，+∞〕答案：By ＝x ＋在x ∈(0，a)上为单调函数，利用图象可知a ∈(0,2].选B27、(一诊)对任意的实数a 、b ，记{}()max,()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩．假设{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数y=f(x)在x=l 时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数y=g(x)的图象如下列图．那么以下关于函数()y F x =的说法中，正确的选项是A ．()y F x =为奇函数B ．()y F x =有极大值F 〔-1〕且有极小值F 〔0〕 C ．()y F x =的最小值为-2且最大值为2 D ．()y F x =在〔-3，0〕上为增函数答案：B 在图形种勾画出y ＝F(x)的图象，易知选B28、(2021届六校第二次联考)假设函数()y f x =的定义域为[0,1],那么以下函数中可能是偶函数的是().A.()y f x =- B.(3)y f x = C.()y f x =- D.2()y f x =答案：D29、(一中2021届高三上期期末考试)假设函数cbx x x f ++=2)(对任意的实数x ，都有)()1(x f x f -=+，那么〔〕A ．)2()0()2(f f f <<- B ．)2()2()0(f f f <-< C ．)2()0()2(-<<f f fD ．)2()2()0(-<<f f f答案：D30、(2021届第一次调研考试)假设函数()()1(01)x x f x k a a a a -=-->≠且在R 上既是奇函数，又是减函数，那么()()log x k a g x +=的图象是〔〕答案：A31、(2021届第一次调研考试)函数()235()f x x x x R =--∈，o yx o yxoyx2-1-2111233DCBoy x 1-2-A那么()f x 的反函数1()f x -的解析式为〔〕A.131(),22f x x x R -=-∈ B.171(),44f x x x R -=-∈；C.131,122()71,144x x f x x x --≤-⎧⎪=⎨->-⎪⎩；D.131,122()71,144x x f x x x ---⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥； 答案：C32、(新都一中高2021级12月月考)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开场交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开场交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的选项是()ABCD解析：刚开场交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开场交易后，平均价格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B 、D 均错误. 答案：C33、(新都一中高2021级12月月考)关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中正确()A 、4B 、1C 、2D 、3答案：A取k ＝－12，可得(|x2－1|－4)(|x2－1|＋3)＝0只有|x2－1|＝4有解，得x2＝5或者x2＝－3(舍去),∴x ＝±，此时原方程有两个不同的实数根.①正确取k ＝，得(|x2－1|－)2＝0|x2－1|＝x2＝或者x2＝∴x ＝±或者x ＝±，有四个不同的实数根.②正确取k ＝0，得|x2－1|＝0或者|x2－1|＝1，所以x2＝1或者x2＝0或者x2＝2得x ＝0或者x ＝±1或者x ＝±，有五个不同的实数根.③正确取k ＝，得(|x2－1|－)(|x2－1|－)＝0，所以x2－1＝±或者x2－1＝±∴x2＝或者x2＝或者x2＝或者x2＝，有八个不同的实数根.④正确 答案：A34、(2021届高三第一次模拟考试)函数的y =222-x (x ≤－1)反函数是〔▲〕A.y =－1212+x (x ≥0) B.y =1212+x (x ≥0) C.y =－1212+x (x ≥2)D.y =1212+x (x ≥2)答案：A35、(2021届高三第一次模拟考试)设函数f (x )是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，假设f (2)>１，f (2021)=33-+a a ，那么a 的取值范围是〔▲〕 A.(－∞,0)B.(0,3)C.(0,+∞)D.(－∞,0)∪(3,+∞)答案：B36、(2021届高三第二次教学质量检测)函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)f x -＝(3)f x -，当12x ≤≤时，()f x ＝2x ，那么()f x 的单调减区间是〔〕A.[2k ，2k +1](k Z ∈)B.[2k -1，2k ](k Z ∈)C.[2k ，2k +2] (k Z ∈)D.[2k -2，2k ](k Z ∈) 答案：A37、(2021届高三第二次教学质量检测)设1(1)1() 1 (1).x x f x x ⎧≠⎪|-|=⎨⎪=⎩，假设关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x ，，，那么222123x x x ++等于〔〕A.5B.222b +C.13D.213c+ 答案：A38、(区2021年高三数学一模)函数lg(1)y x 的反函数的图象为答案：D39、(崇文区2021年高三统一练习一)|log |)(3x x f =，那么以下不等式成立的是〔〕A ．)2()21(f f > B ．)3()31(f f > C ．)31()41(f f > D ．)3()2(f f >答案：C40、(东城区2021年高三综合练习一〕“0=a 〞是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数〞的〔〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A41、(东城区2021年高三综合练习二)函数)6()21(,9)2(),(,log )(11f f f x f x x f a +==--则若其反函数为的值是〔〕A ．2B ．1C ．21D ．31答案：B42、(东城区2021年高三综合练习二)假设函数),4()(+∞在x f 上为减函数，且对任意的)4()4(,x f x f R x -=+∈有，那么〔〕D-1 xCABA ．)3()2(f f >B ．)5()2(f f >C ．)5()3(f f >D ．)6()3(f f >答案：D43、(海淀区2021年高三统一练习一)假设函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2},那么函数()y f x =的图象可能是〔〕答案：B44、(西城区2021年4月高三抽样测试)函数(2)2xy x x =>-的反函数的定义域为〔〕 A.(1)+∞， B.(0)+∞， C.(01)， D.(12)，答案：A45、(西城区2021年5月高三抽样测试)设1a >，函数log a y x =的定义域为[](),m n m n <，值域为[]0,1，定义“区间[],m n 的长度等于n m -〞，假设区间[],m n 长度的最小值为56，那么实数a 的值是 〔〕 A ．11B ．6 C ．116D ．32答案：B46、(宣武区2021年高三综合练习一)函数=)(x f 1log +x a 〔0<a<1〕的图像大致为以下列图的〔〕ABC Dx答案：A47、(宣武区2021年高三综合练习一)给出定义：假设2121+≤<-m x m 〔其中m 为整数〕，那么m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x =m.在此根底上给出以下关于函数{}x x x f -=)(①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y=)(x f 的图像关于直线2kx =〔Z k ∈〕对称； ③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数。
2021年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分 函数与导数2
2021年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分 函数与导数2三、解答题：21．(江西省“八校” 2011年4月高三联合考试理科)（本小题满分14分）已知函数满足当，当的最大值为。
（1）求时函数的解析式；（2）是否存在实数使得不等式对于若存在，求出实数 的取值集合，若不存在，说明理由．21．解析：（1）由已知得： ………………2分()10,2()ln ()2x f x x ax a ∈=+<-因为时，， ()()()4,2+40,2(+4)=ln(+4)++4x x f x x a x ∈--∈设时，则，所以∴()()4,2()=4(+4)4ln(+4)+4+4x f x f x x a x ∈--=时, ………………4分∴，，∴， ∴当144()0()x f x f x a ⎛⎫'∈---> ⎪⎝⎭，时，，为增函数， 当142()0()x f x f x a ⎛⎫'∈--< ⎪⎝⎭，-时，，为减函数， ∴111()(4)4ln()4()4max f x f a a a a=--=-+-=-，∴ ∴当时， ………………6分（2）由（1）可得：时，不等式恒成立，即为恒成立， ………………7分 ①当时，，令则令，则当时，∴，∴，∴，故此时只需即可； ………………10分②当时，，令则令，则当时，∴，∴，∴，故此时只需即可， ………………13分综上所述：，因此满足题中的取值集合为： ………………14分20. (江西省“八校”2011年4月高三联合考试文科)（本小题满分13分）已知函数2()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+，且对于任意实数，恒有。
（1）求函数的解析式；（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；（3）函数有几个零点？20 。
（1）由题设得，，则,所以 ……………………2分所以对于任意实数恒成立.故 ……………………3分（2）由x a x x x a x x f x g ln 2ln )1(2)()(2++=+++=，求导数得……………………4分在上恒单调，只需或在上恒成立，即或恒成立，所以或在上恒成立……………………6分 记，可知：，或 ……………………8分(3) 令),0(2,121ln 2)(21ln 22'2>-=+-=-=x xx y x x x f x y ……9分 令02ln 22,0',20,0'>=∴><<<>有极大值时，得得y x x y x y………………………………………11分有两个零点时，有一个零点时，无零点，时，)(2ln )(2ln )(2ln x h k x h k x h k <=>∴ …..13分21．(江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考理科)（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.（1）求的最大值；（2）若上恒成立，求t 的取值范围；（3）讨论关于x 的方程的根的个数．21.（本小题满分14分）解：（1），上单调递减，在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为……4分（3）由令…………10分当上为增函数；当时，为减函数；当 …………12分而 方程无解；当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. …………14分19. (江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考文科)（本题满分12分） 已知函数32213()(3)2.32a f x x x a a x a -=++-- （Ⅰ）若在处有极值，求的值及单调区间（Ⅱ）如果对任意恒成立，求实数的取值范围.19.解： （Ⅰ）∵在处有极值，∴ 解得： 此时令，则；令，则∴在上单调递增，在上单调递减。
三年(2021-2023)年高考数学真题分类汇编专题：函数的基本概念与基本初等函数I
三年（2021-2023）年高考真题分类汇编专题02 函数的基本概念与基本初等函数I考点一 函数的值域1．（2023•上海）已知函数1,0,()2,0x x f x x ⎧=⎨>⎩…，则函数()f x 的值域为 ．【解析】当0x …时，()1f x =， 当0x >时，()21x f x =>， 所以函数()f x 的值域为[1，)+∞． 故答案为：[1，)+∞．2．（2022•上海）设函数()f x 满足1()()1f x f x=+对任意[0x ∈，)+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =剟，则a 的取值范围为 ．【解析】法一：令11x x =+，解得x =（负值舍去），当1x ∈时，2111x x =∈+，当1)x ∈+∞时，2111x x =∈+，且当1)x ∈+∞时，总存在2111x x =∈+，使得12()()f x f x =，故|(),0f y y f x x A ⎧⎪==⎨⎪⎪⎩⎭剟，若a <{}|(),0f y y f x x a ∉=剟，所以a ， 即实数a的取值范围为)+∞； 法二：原命题等价于任意10,()()1a f x a f x a>+=++， 所以11(1)1a x a x a a⇒-+++剠恒成立，即1(1)0a a-+…恒成立，又0a >，所以a ，即实数a 的取值范围为)+∞．故答案为：1[,)2+∞．考点二 函数的图象与图象的变换3．（2021•浙江）已知函数21()4f x x =+，()sin g x x =，则图象为如图的函数可能是( )A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数， 因为21()4f x x =+为偶函数，()sin g x x =为奇函数， 函数21()()sin 4y f x g x x x =+-=+为非奇非偶函数，故选项A 错误； 函数21()()sin 4y f x g x x x =--=-为非奇非偶函数，故选项B 错误； 函数21()()()sin 4y f x g x x x ==+，则212sin ()cos 04y x x x x '=++>对(0,)4x π∈恒成立，则函数()()y f x g x =在(0,)4π上单调递增，故选项C 错误．故选：D ．考点三．复合函数的单调性4．（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]-B ．[2-，0)C ．(0，2]D ．[2，)+∞【解析】设2()t x x a x ax =-=-，对称轴为2ax =，抛物线开口向上， 2t y =是t 的增函数，∴要使()f x 在区间(0,1)单调递减，则2t x ax =-在区间(0,1)单调递减， 即12a …，即2a …， 故实数a 的取值范围是[2，)+∞． 故选：D ．考点四 函数的最值及其几何意义5．（2021•新高考Ⅰ）函数()|21|2f x x lnx =--的最小值为 ． 【解析】法一、函数()|21|2f x x lnx =--的定义域为(0,)+∞． 当102x <…时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=-+-， 此时函数()f x 在(0，1]2上为减函数，当12x >时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=--， 则22(1)()2x f x x x-'=-=， 当1(2x ∈，1)时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在(0,)+∞上是连续函数，∴当(0,1)x ∈时，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递增． ∴当1x =时()f x 取得最小值为f （1）211211ln =⨯--=．故答案为：1．法二、令()|21|g x x =-，()2h x lnx =，分别作出两函数的图象如图：由图可知，()f x f …（1）1=， 则数()|21|2f x x lnx =--的最小值为1． 故答案为：1．考点五 函数奇偶性的性质与判断6．（2023•新高考Ⅱ）若21()()21x f x x a ln x -=++为偶函数，则(a = ) A ．1- B ．0C ．12D ．1【解析】由21021x x ->+，得12x >或12x <-， 由()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=， 得2121()()2121x x x a ln x a ln x x ----+=+-++，即121212121()()()()()21212121x x x x x a lnx a ln x a ln x a ln x x x x -+----+=-+=-=+-+++， x a x a ∴-=+，得a a -=，得0a =． 故选：B ．7．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3x y =【解析】3y x =-在R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意； 因为3y x =在R 上是增函数，B 不符合题意；3log y x =，3x y =为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A ．8．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①1212()()()f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数． 【解析】2()f x x =时，22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===；当(0,)x ∈+∞时，()20f x x '=>；()2f x x '=是奇函数． 故答案为：2()f x x =．另解：幂函数()(0)a f x x a =>即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③， 综上所述，取2()f x x =即可．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，则a = ． 【解析】函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，3y x =为R 上的奇函数，故22x x y a -=⋅-也为R 上的奇函数， 所以000|2210x y a a ==⋅-=-=， 所以1a =．法二：因为函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数， 所以()()f x f x -=，即33(22)(22)x x x x x a x a ---⋅-=⋅-， 即33(22)(22)0x x x x x a x a --⋅-+⋅-=， 即3(1)(22)0x x a x --+=， 所以1a =． 故答案为：1．9．（2023•上海）已知a ，c R ∈，函数2(31)()x a x c f x x a+++=+．（1）若0a =，求函数的定义域，并判断是否存在c 使得()f x 是奇函数，说明理由； （2）若函数过点(1,3)，且函数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，求此时c 的值和a 的取值范围．【解析】（1）若0a =，则2()1x x c cf x x x x++==++，要使函数有意义，则0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠， cy x x=+是奇函数，1y =是偶函数，∴函数()1cf x x x=++为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c ，使得()f x 是奇函数．（2）若函数过点(1,3)，则f （1）13132311a c a ca a+++++===++，得3233a c a ++=+，得321c =-=，此时2(31)1()x a x f x x a+++=+，若数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，即2(31)1()0x a x f x x a+++==+，得2(31)10x a x +++=，当0x <时，有两个不同的交点，设2()(31)1g x x a x =+++，则21212(31)4010(31)03102a x x x x a a ⎧=+->⎪=>⎪⎪⎨+=-+<⎪+⎪-<⎪⎩，得312312310a a a +>+<-⎧⎨+>⎩或，得11313a a a ⎧><-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩或，即13a >，若0x a +=即x a =-是方程2(31)10x a x +++=的根， 则2(31)10a a a -++=，即2210a a +-=，得12a =或1a =-， 则实数a 的取值范围是13a >且12a ≠且1a ≠-，即1(3，11)(22⋃，)+∞．考点六 奇偶性与单调性的综合10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为(()R f x 不恒为0)，(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则( ) A ．1()02f -=B ．(1)0f -=C ．f （2）0=D ．f （4）0=【解析】函数(2)f x +为偶函数，(2)(2)f x f x ∴+=-， (21)f x +为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，用x 替换上式中21x +，得(2)()f x f x -=-，(2)()f x f x ∴+=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()(4)f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，(21)f x +为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，即(21)(21)0f x f x ++-+=， 用x 替换上式中21x +，可得，()(2)0f x f x +-=，()f x ∴关于(1,0)对称， 又f （1）0=，(1)(21)f f f ∴-=-+=-（1）0=． 故选：B ．考点七 分段函数的应用11．（2022•上海）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为 ．【解析】函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)f f ∴-=-（1），21(1)a a ∴--=-+，即(1)0a a -=，求得0a =或1a =． 当0a =时，1,0()0,0,0x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，不是奇函数，故0a ≠；当1a =时，1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，是奇函数，故满足条件，综上，1a =， 故答案为：1．考点八 抽象函数及其应用12．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，f （1）1=，则221()(k f k ==∑ )A ．3-B ．2-C ．0D ．1【解析】令1y =，则(1)(1)()f x f x f x ++-=，即(1)()(1)f x f x f x +=--，(2)(1)()f x f x f x ∴+=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+， (3)()f x f x ∴+=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴的周期为6，令1x =，0y =得f （1）f +（1）f =（1）(0)f ⨯，解得(0)2f =， 又(1)()(1)f x f x f x +=--，f ∴（2）f =（1）(0)1f -=-， f （3）f =（2）f -（1）2=-， f （4）f =（3）f -（2）1=-，f （5）f =（4）f -（3）1=， f （6）f =（5）f -（4）2=， ∴61()1121120k f k ==---++=∑，∴221()30(19)(20)(21)(22)k f k f f f f f ==⨯++++=∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）3=-．故选：A ．13．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则()A ．(0)0f =B ．f （1）0=C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【解析】由22()()()f xy y f x x f y =+， 取0x y ==，可得(0)0f =，故A 正确；取1x y ==，可得f （1）2f =（1），即f （1）0=，故B 正确； 取1x y ==-，得f （1）2(1)f =-，即1(1)2f f -=（1）0=， 取1y =-，得()()f x f x -=，可得()f x 是偶函数，故C 正确； 由上可知，(1)(0)f f f -==（1）0=，而函数解析式不确定， 不妨取()0f x =，满足22()()()f xy y f x x f y =+， 常数函数()0f x =无极值，故D 错误． 故选：ABC ．考点九 函数恒成立问题14．（2021•上海）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的．（1）判断和证明()21f x x =-是否在[0，)+∞关联？是否有[0，1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x 剟． （3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”． 【解析】（1）()f x 在[0，)+∞关联，在[0，1]不关联，任取12[0x x -∈，)+∞，则1212()()2()[0f x f x x x -=-∈，)+∞，()f x ∴在[0，)+∞关联； 取11x =，20x =，则121[0x x -=∈，1]，1212()()2()2[0f x f x x x -=-=∉，1]，()f x ∴在[0，1]不关联；（2）()f x 在{3}关联，∴对于任意123x x -=，都有12()()3f x f x -=，∴对任意x ，都有(3)()3f x f x +-=，由[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，得()f x 在[0x ∈，3)的值域为[1-，3)，()f x ∴在[3x ∈，6)的值域为[2，6)，2()3f x ∴剟仅在[0x ∈，3)或[3x ∈，6)上有解，[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，令2223x x -剟13x +<…， [3x ∈，6)时，2()(3)3818f x f x x x =-+=-+，令228183x x -+剟，解得35x 剟，∴不等式2()3f x 剟的解为1，5]，（3）证明：①先证明：()f x 是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的()f x ⇒在[1，2]是关联的，由已知条件可得，(1)()1f x f x +=+，()()f x n f x n ∴+=+，n Z ∈， 又()f x 是在[0，)+∞关联的，∴任意21x x >，21()()f x f x >成立， 若2112x x -剟， 12112x x x ∴++剟，121(1)()(2)f x f x f x ∴++剟，即121()1()()2f x f x f x ++剟， 211()()2f x f x ∴-剟，()f x ∴是[1，2]关联，②再证明：()f x 在[1，2]是关联的()f x ⇒是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，()f x 在[1，2]是关联的，∴任取12[1x x -∈，2]，都有12()()[1f x f x -∈，2]成立， 即满足1212x x -剟，都有121()()2f x f x -剟， 下面用反证法证明(1)()1f x f x +-=， 若(1)()1f x f x +->，则(2)()(2)(1)(1)()2f x f xf x f x f x f x +-=+-+++->，与()f x 在[1，2]是关联的矛盾，若(1)()1f x f x +-<，而()f x 在[1，2]是关联的，则(1)()1f x f x +-…，矛盾，(1)()1f x f x ∴+-=成立，即()f x 是在{1}关联的， 再证明()f x 是在[0，)+∞关联的，任取12[x x n -∈，)()n N +∞∈，则存在n N ∈，使得任取12[x x n -∈，1]()n n N +∈， 121(1)2x n x ---剟，1212[(1)]()()(1)()[1f x n f x f x n f x ∴---=---∈，2]， 12()()[f x f x n ∴-⊆，1][0n +⊆，)+∞，()f x ∴是在[0，)+∞关联的；综上所述，()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”， 故得证．考点十 对数的运算性质15．（2022•浙江）已知25a =，8log 3b =，则34(a b -= ) A ．25B ．5C ．259D ．53【解析】由25a =，8log 3b =， 可得3823b b ==， 则22333224(2)52544(2)39a a a bb b -====， 故选：C ．考点十一 对数值大小的比较16．（2022•新高考Ⅰ）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【解析】构造函数1()f x lnx x=+，0x >， 则211()f x x x '=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取最小值f （1）1=， ∴11lnx x>-，(0x >且1)x ≠， 110.910.99ln ∴>-=-，10.99ln ∴-<，c b ∴<；10910.9191010ln ln -=>-=，∴0.1109e >， 0.110.19e ∴<，a b ∴<； 设()(1)(01)x g x xe ln x x =+-<<，则21(1)1()(1)11x xx e g x x e x x -+'=++=--， 令2()(1)1x h x e x =-+，2()(21)x h x e x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，(0)0h =，∴当01x <<时，()0h x <，当01x <<时，()0g x '>，()(1)x g x xe ln x =+-单调递增，(0.1)(0)0g g ∴>=，0.10.10.9e ln ∴>-，a c ∴>， c a b ∴<<．故选：C ．17．（2021•新高考Ⅱ）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是( ) A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【解析】12551252log log <=，12881382log log >=，a cb ∴<<．故选：C ．考点十二 反函数18．（2021•上海）已知3()2f x x=+，则1f -（1）= ．【解析】因为3()2f x x=+， 令()1f x =，即321x+=，解得3x =-， 故1f -（1）3=-． 故答案为：3-．考点十三 根据实际问题选择函数类型19．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020p pL lg p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则( ) A ．12p p …B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p …【解析】由题意得，10602090p lg p 剟，92010100010p p p 剟，2502060p lg p 剟，52020101000p p p 剟，32040p lgp =，30100p p =， 可得12p p …，A 正确； 230101000p p p =…，B 错误； 30100p p =，C 正确；952210021010010100p p p p =⨯剟，12100p p …，D 正确． 故选：ACD ．20．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” 0F S V =，其中0F 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），0V 为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R ，高度为H ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” S ；（结果用含R 、H 的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为2L f A=，其中A 为建筑物底面面积，L 为建筑物底面周长，又定义T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为13S n．当18f =，10000T =时，试求当该宿舍楼的层数n 为多少时，“体形系数” S 最小． 【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：22002F RH R V R H πππ=+⋅=，所以020(2)2F R H R H RS V R H HRππ++===． （2）由题意可得1133S n n==+，*n N ∈，所以213S n '=-=令0S '=，解得 6.27n =≈， 所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，)+∞单调递增， 所以S 的最小值在6n =或7取得， 当6n =时，10.3136S =≈⨯， 当7n =时，10.1637S +≈⨯， 所以在6n =时，该建筑体S 最小．21．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%． （1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列， 则首项1 1.1a =，公差0.05d =，20120(201)2020 1.110190.0531.52S a d -∴=+=⨯+⨯⨯=， 即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润首次超过该季度营业额的18%， 则0.16(14%)(1.10.05)18%n n ⨯+>+⋅，令()0.16(14%)(1.10.05)18%n f n n =⨯+-+⋅，*()n N ∈， 即要解()0f n >，则当2n …时，1()(1)0.0064(14%)0.009n f n f n ---=⋅+-， 令()(1)0f n f n -->，解得：10n …，即当19n 剟时，()f n 递减；当10n …时，()f n 递增， 由于f （1）0<，因此()0f n >的解只能在10n …时取得， 经检验，(24)0f <，(25)0f >，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%． 解法二：设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润与该季度营业额的比为n a ， 则1 1.04(1.050.05) 1.04261.0410.04(1)1.10.052222n n a n a n n n++==-=+-+++， ∴数列{}n a 满足1234567a a a a a a a >>>=<<<⋯⋯，注意到，250.178a =⋯，260.181a =⋯，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 函数(精解精析)
2012-2021十年全国卷高考真题分类精编 函数（精解精析）一、选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)设2ln1.01a =，ln1.02b =，．则( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 解析：, 所以;下面比较与的大小关系．记()()2ln 11f x x =+,则,()2121x f x x -='=+ 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x+-+>,()1x >+,,所以在上单调递增， 所以,即,即;令()()ln 121g x x =+,则,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<, 所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即,即b <c ; 综上，, 故选：B ．【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )A ．B ．C ．D ．()11f x ++【答案】B解析：由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，不是奇函数； 对于B ，是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，，定义域不关于原点对称，不是奇函数． 故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题．3．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，当时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D解析：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-， 令，由①得：，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手． 所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．4．(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为( )( 1.259≈)A ．1．5B ．1．2C ．0．8D ．0．6【答案】C解析：由5lg L V =+，当时，， 则10.110110100.81.259V --===≈≈． 故选：C ．5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设2()2log x f x x =+，则为增函数，因为 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)aba b +-+=，所以()(2)f a f b <，所以．2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有当时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有，所以C 、D 错误． 故选：B ．【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．6．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )AB ．C ．D ．ln y a b x =+ 【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是ln y a b x =+． 故选：D ．【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题． 7．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若2233x y x y ---<-，则 ( )A ．B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A解析：由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23t t f t -=-，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ，，，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误； 与的大小不确定，故CD 无法确定． 故选：A ．【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想． 8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f (x )( )A ．是偶函数，且在单调递增B ．是奇函数，且在单调递减C ．是偶函数，且在单调递增D ．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 解析：由()ln 21ln 21f x x x =+--得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC ； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B ； 当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．9．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 ( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B解析：由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x 名， ，,故需要志愿者名． 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题．10．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则 ( )A a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 【答案】A解析：由题意可知、、，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得． 综上所述，． 故选：A ．【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题．11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病例数．当I ()=0．95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为 ( )(ln19≈3)A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C解析：，所以，则()0.235319te *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得． 故选：C ．【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题． 12．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】是上的偶函数，．230323log 412220--∴>=>>>，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键． 13．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)822f -⨯=≈+，排除选项A 、D ，故选B ．【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。
高考数学试题汇编 函数课标 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年全国各地高考数学试题汇编函数1．〔2021年卷〕函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是〔A 〕〔A 〕2(0)21x xy x =>-〔B 〕2(0)21xx y x =<-〔C 〕21(0)2x x y x -=>〔D 〕21(0)2x x y x -=< 2．〔2021年卷〕函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是〔〕 A．,020x x y x ⎧≥⎪=<B．2,00x x y x ≥⎧⎪=<C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩2．解：有关分段函数的反函数的求法，选C 。
3．〔2021年卷〕函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，假设()15,f =-那么()()5f f =__________。
3．解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，那么()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。
4．〔2021年卷〕函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞-B.)1,31(-C.)31,31(-D.)31,(--∞ 4．解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，应选B.5．〔2021年卷〕以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.R x x y ∈-=,3B.R x x y ∈=,sinC.R x x y ∈=,D.R x x y ∈=,)21(5、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;应选A.7．〔2021年卷〕函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，那么方程0)(=x f 的根是=xA.4B.3 C7．0)(=x f 的根是=x 2，应选C7．〔〕设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，那么a b+等于〔C 〕〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5〔D 〕68．〔〕函数2()24(03),f x ax ax a =++<<假设1212,1,x x x x a <+=-那么〔A 〕 〔A 〕12()()f x f x >〔B 〕12()()f x f x <〔C 〕12()()f x f x =〔D 〕1()f x 与2()f x 的大小不能确定9．〔〕为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文→密文〔加密〕，接收方由密文→明文〔解密〕，加密规那么为：明文,,,a b c d对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，那么解密得到的明文为〔C 〕〔A 〕7,6,1,4〔B 〕6,4,1,7〔C 〕4,6,1,7〔D 〕1,6,4,710．(2021年卷)如下列图，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，那么函数y =f (x )的图象是(D)题〔９〕图11.〔2021年春卷〕方程1)12(log 3=-x 的解=x 2. 12.〔2021年卷〕函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f[]8,5),5(31∈-x x .13.〔2021年春卷〕函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数.当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，那么当),0(∞+∈x 时，=)(x f 4x x --.14．〔2021年全国卷II 〕函数y ＝ln x －1(x ＞0)的反函数为(B) 〔A 〕y ＝e x ＋1(x ∈R )〔B 〕y ＝e x －1(x ∈R )〔C 〕y ＝e x ＋1(x ＞1)(D )y ＝ex －1(x ＞1)15．〔2021年全国卷II 〕函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点 对称，那么f (x )的表达式为(D)(A )f (x )＝(x ＞0)(B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) (C )f (x )＝－log 2x (x ＞0)(D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 16．〔2021年卷〕函数)(x f y =的图象与函数x a y =〔0>a 且1≠a 〕的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．假设)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，那么实数a 的取值范围是〔D 〕A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0( 17.〔2021年卷〕设()xx x f -+=22lg，那么⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为〔B 〕 A.()()4,00,4 - B.()()4,11,4 -- C.()()2,11,2 -- D.()()4,22,4 --17．解选B 。
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1 2021年高考数学试题分类汇编-函数 一、选择题 1.(2020模拟年广东卷)若函数()yfx是函数1xyaaa（0，且）
的
反函数，且(2)1f，则()fx
A．x2log B．x21 C．x21log D．22x
【答案】A 【解析】函数1xyaaa（0，且）
的反函数是()logafxx,又(2)1f,即
log21a, 所以,2a,故2()logfxx,选A.
2.(2020模拟年广东卷)函数xexxf)3()(
的单调递增区间是
A. )2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(胡文 【答案】D 【解析】()(3)(3)(2)xxxfxxexexe,令()0fx,解得2x,故选
D 3.（2020模拟全国卷Ⅰ） 已知直线y=x+1与曲线yln()xa相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点00(,)Pxy，则0000ln1,()yxayx,又0'01|1xxyxa
00010,12xayxa.故答案选B 4.（2020模拟全国卷Ⅰ）函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx 2
都是奇函数，则( D ) (A) ()fx是偶函数 (B) ()fx是奇函数 (C) ()(2)fxfx (D) (3)fx是奇函数 解: (1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx， 函数()fx关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数()fx是周期2[1(1)]4T的周期函数.(14)(14)fxfx，(3)(3)fxfx，即(3)fx是奇函数。故选D 5.（2020模拟浙江）对于正实数，记M为满足下述条件的函数
()fx构成的集合：12,xxR且21xx，有 212121()()()()xxfxfxxx．下列结论中正确的是 ( ) A．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxM
B．若1()fxM，2()gxM，且()0gx，则12()()fxMgx
C．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxM胡文
D．若1()fxM，2()gxM，且12，则12()()fxgxM
答案：C 【解析】对于212121()()()()xxfxfxxx，即有
2121()()fxfxxx，令2121
()()fxfxkxx
，有k，不妨设
1()fxM，
2()gxM，即有11,fk22gk，因此有 3
1212fgkk，因此有12()()fxgxM． 6.（2020模拟浙江）若函数2()()afxxaxR
，则下列结论正确的
是（ ） A．aR，()fx在(0,)上是增函数胡文 B．aR，()fx在(0,)上是减函数 C．aR，()fx是偶函数 D．aR，()fx是奇函数 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问． 【解析】对于0a时有2fxx
是一个偶函数
7.（2020模拟北京）为了得到函数3lg10xy的图像，只需把函数
lgyx的图像上所有的点 （ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 4
A．lg31lg103yxx， B．lg31lg103yxx， C．
3lg31lg10xyx
，
D．
3lg31lg10xyx
.
故应选C. 8.（2020模拟北京）为了得到函数3lg10xy的图像，只需把函数
lgyx的图像上所有的点 （ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.胡文 A．lg31lg103yxx， B．lg31lg103yxx， C．
3lg31lg10xyx
，
D．
3lg31lg10xyx
.
故应选C.
9. (2020模拟山东卷)函数xxxxeeyee的图像大致为( ). 5
【解析】:函数有意义,需使0xxee
,其定义域为0|xx,排除C,D,
又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee,所以当0x时函数为减函数,故选A. 答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 10.(2020模拟山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
0),2()1(0),1(log2xxfxfxx
，则f（2020模拟）的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,
(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff, (4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2020模拟）= f（5）=1,故选C.
1x
y
1O A xyO11B xyO1 1 C x
y 1 1
D O 6 答案:C. 【命题立意】:本题考查归纳推以及函数的周期性和对数的运算.
11.(2020模拟山东卷)函数xxxxeeyee的图像大致为( ).
【解析】:函数有意义,需使0xxee
,其定义域为0|xx,排除C,D,
又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee,所以当0x时函数为减函数,故选A. 答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 12. (2020模拟山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
0),2()1(0),4(log2xxfxfxx
，则f（3）的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得
2(1)log5f,2(0)log42f,2(1)(0)(1)2log5fff,
1x
y
1O A xyO11B xyO1 1 C x
y 1 1
D O 7
2(2)(1)(0)log5fff,22(3)(2)(1)log5(2log5)2fff,故选B. 答案:B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推过程. 13.(2020模拟山东卷)已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.(25)(11)(80)fff B. (80)(11)(25)fff C. (11)(80)(25)fff D. (25)(80)(11)fff 【解析】:因为)(xf满足(4)()fxfx,所以(8)()fxfx,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在R上是奇函数， (0)0f,得0)0()80(ff,)1()1()25(fff,而由(4)()fxfx得)1()41()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(ff,所以0)1(f,即(25)(80)(11)fff,故选D. 答案:D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 14.（2020模拟全国卷Ⅱ）函数y=x(x0)的反函数是 （A）2yx（x0） （B）2yx
（x0）
（B）2yx（x0） （D）2yx
（x0）
答案：B 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.