课时跟踪检测(十二)

课时跟踪检测（十二）

A 组——12＋4提速练

一、选择题

1．(2017·云南统考)在???

?x －1x 10的二项展开式中，x 4的系数为( ) A ．－120

B ．－60

C ．60

D ．120

解析：选A ????x －1x 10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10x 10－r ·???

?－1x r ＝(－1)r C r 10x 10－2r ，令10－2r ＝4，得r ＝3，所以该二项展开式中x 4的系数为－C 310＝－120.

2．(2017·长沙调研)???

?12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20

解析：选A ????12x －2y 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5????12x 5－r ·(－2y )r ＝C r 5·???

?125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r ，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35·????122·

(－2)3＝－20. 3．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有( )

A ．24种

B ．18种

C ．16种

D ．10种

解析：选D 若甲景区在最后一个体验，则有A 33种方案；若甲景区不在最后一个体验，

则有A 12A 22种方案．所以小李旅游的方案共有A 33＋A 12A 22＝10(种)．

4．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )

A ．288种

B ．144种

C ．72种

D ．36种

解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式

有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)．

5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )

A ．30种

B ．36种

C ．60种

D ．72种

解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的

课程中完全相同的选法有C 24＝6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

36－6＝30(种)．

6．(x 2－2)???

?1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( ) A ．60

B ．50

C ．40

D ．20

解析：选A 依题意，????1＋2x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5·2r ·x －r ，????1＋2x 5的展开式中含

x －1(当r ＝1时)，x －3(当r ＝3时)项的系数分别为2C 15，23C 35，所以(x 2－2)????1＋2x 5的展开式中

x －1的系数为23C 35－2×2C 15＝60.

7.?

???ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A ．－20

B ．－10

C ．10

D ．20

解析：选C 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以????ax ＋1x (2x －1)5＝???

?x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.

8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )

A ．70种

B ．140种

C ．840种

D ．420种

解析：选D 从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排

方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的

不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．

9．已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( )

A ．945

B ．－945

C ．1 024

D ．－1 024

解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得

a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－945.

10．(2017·合肥质检)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )

A ．－1

B ．1

C ．32

D ．64

解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，

则由题意可得?????

C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，令x ＝1，得(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64，故选D.

11．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )

A ．－80

B ．－40

C ．40

D ．80

解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，

当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数

为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.

12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为( )

A ．232

B ．252

C ．472

D ．484

解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，从16张卡片中任取3张共有C 316种取法，其

中取出的这三张卡片是同一种颜色有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，

故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝472(种)，故选C.

二、填空题

13．(2018届高三·湘中名校联考)设1＋x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5(x －1)5，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.

解析：令x ＝2，得1＋25＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝33.

答案：33

14．(2017·浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.

解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33

×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.

答案：16 4

15．“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“共享单车”“中印对峙”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“共享单车”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序有________种．

解析：先从“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“中印对峙”这4个热点中选出3

个，有C 34种不同的选法，在调查时“共享单车”安排的顺序有A 13种可能情况，其余3个热

点安排的顺序有A 33种可能情况，故有C 34A 13A 33＝72种不同的调查顺序．

答案：72

16.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，

要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在4号，5号，B 球必须

放在与A 球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．

解析：根据A 球所在的位置可分三类情况：①若A 球放在1号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；②若A 球放在3

号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同

的放法；③若A 球放在2号盒子内，则B 球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，

余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有C 13·

A 33＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．

答案：30

B 组——能力小题保分练

1．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( ) A ．2

B ．0

C ．－1

D ．－2 解析：选C 令x ＝0，得a 0＝1.

令x ＝12，得1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0. 则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1. 2．(2017·武昌调研)若?

????3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为( )

A ．－270

B ．270

C ．－90

D ．90 解析：选C ? ????3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于? ??

??3x ＋3x n 的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n ＝1 024，∴n ＝5.则?

????3x －3x n ＝? ????3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 53x

5－r ·(－3x )r ＝C r 5·35－r ·(－1)r ·x 523r r +－，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·

32·(－1)3＝－90，故选C. 3．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )

A ．18个

B ．16个

C ．14个

D ．12个

解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.

4．若?

???ax ＋1x ????2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________. 解析：????2x ＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·????1x r ＝C r 525－r x 5－2r ，因为?

???ax ＋1x ????2x ＋1x 5的展开式中的常数项为－40，所以ax C 3522x －1＋1x

C 2523x ＝－40，即40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.

答案：－3

5．福州大学的8名学生准备拼车去湘西凤凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．

解析：可分两类：第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则可再分三步：第一步，从大

二、大三、大四三个年级中任选两个年级，有C 23种不同的选法；第二步，从所选出的两个

年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的4名同学乘乙车有C 44种不

同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 23C 12C 12C 44种不同的乘坐方式．第二类，大一的

孪生姐妹乘坐乙车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选一个年级(此年级的2名同学乘甲车)，有C 13种不同的选法；第二步，余下的两个年级中各抽取一

名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的2名同学乘乙车有C 22种不同的选法，根据

分步乘法计数原理，可知有C 13C 12C 12C 22种不同的乘坐方式．根据分类加法计数原理，满足要

求的乘坐方式种数为C 23C 12C 12C 44＋C 13C 12C 12C 22＝24.

答案：24

6．(2017·陕西质检)从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．

解析：依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k 10

种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10

－45＝968.

答案：968