(整理)差分方程

第三章 差分方程及其应用

在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。

本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。

§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理

一、 基本概念

1、函数的差分

对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。

设自变量t 取离散的等间隔整数值：，

，，，Λ210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。显然，t y 的取值是一个序列。当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ?，即

)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+?。

由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。

例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是

)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，

若将上式写作

)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，

则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记

))()1()(t R t R t R -+=?，

并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。

按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数)(t f y t =在t 的一阶差分的差分为函数在t 的二阶差分，记作t y 2?，即

)()()(11212t t t t t t t t y y y y y y y y ---=-==++++?????

t t t y y y +-=++122。

依次定义函数)(t f y t =在t 的三阶差分为

t t t t t t t y y y y y y y ????????+-=-==+++12212232)(

t t t t y y y y -+-=+++12333。

一般地，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分定义为

t n t n t n t n y y y y 1111-+---==?????）（ ∑=-++---=

n k k n t k y k k n n n 0!

)1()1()1(Λ。 上式表明，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分是该函数的n 个函数值，t n t n t y y y ，，

，Λ1-++的线性组合。

例1 设322-+=t t y t ，求t y ?，t y 2?。

解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ?。

t t t t t y y y y y +-==++1222)(???

232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。

2、 差分方程的基本概念

先看例题。

设0A 是初始存款（0=t 时的存款），年利率)10(<

在该问题中，如将时间t （t 以年为单位）看作自变量，则本利和t A 可看作是t 的函数：)(t f A t =。这个函数是要求的未知函数。虽然不能立即写出函数关系)(t f A t =，但可以写出相邻两个函数值之间的关系式

t t t rA A A +=+1，),2,1,0(Λ=r ， （1-1）

如写作函数)(t f A t =在t 的差分t t t A A A -=+1?的形式，则上式为

t t rA A =?，),2,1,0(Λ=r ， （1-2）

由（1-1）式可算出t 年末的本利和为

01A r A t t ）（+=，),2,1,0(Λ=r 。 （1-3）

在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数)(t f A t =，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值t A 和1+t A ，在方程（1-2）中含有未知函数的差分t A ?，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数

值)(t f A t =的一阶差分，在方程（1-1）中，未知函数的下标最大差数是1，即

11=-+t t ）（，故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。

（1-3）式是t A 在t 之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1）或（1-2），这个函数称为差分方程的解。

由上例题分析，差分方程的基本概念如下：

含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。

由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。

例如 0332=---t y y y t t t ??就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数)(t f y t =在不同点的函数值的线性组合，因此上差分方程又可分别表示为0512=-+-++t y y y t t t 。正因如此，差分方程又可定义为

含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。

n 阶差分方程的一般形式可表示为

0),,,,(2=t n t t t y y y y t ???ΦΛ， （1-4）

或0),,,(1=++n t t t y y y t F Λ， （1-5）

由于经济学中经常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5）式的差分方程。

若把一个函数)(t y t ?=代入差分方程中，使其成为恒等式，则称)(t y t ?=为差分方程的解。含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。

一阶差分方程的初始条件为一个，一般是00a y =（0a 是常数）；二阶差分方程的初始条件为两个，一般是00a y =，11a y =（0a ，1a 是常数）；依次类推。

二、线性差分方程解的基本定理

现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。

二阶线性差分方程的一般形式

）t f y t b y t a y t t t ()()(12=++++， （1-6）

其中)(t a ，)(t b 和)(t f 均为t 的已知函数，且0)(≠t b 。若0)(≠t f ，则（1-6）式称为二阶非齐次线性差分方程；若0)(≡t f ，则（1-6）式称为

0)()(12=++++t t t y t b y t a y ， （1-7）

定理1 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（1-7）的解，则

)()()(2211t y C t y C t y +=，

也该方程的解，其中1C 、2C 是任意常数。

定理2(齐次线性差分方程解的结构定理) 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（1-7）的线性无关特解，则)()()(2211t y C t y C t y C +=是该方程的通解，其中1C 、2C 是任意常数。

定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理） 若)(*t y 是二阶非齐次线性差分方程（1-6）

的一个特解，)(t y C 是齐次线性差分方程（1-7）的通解，则差分方程（1-6）的通解为

)()(*t y t y y C t +=。

定理4 (解的叠加原理) 若函数)(*1t y ，)(*

2t y 分别是二阶非齐次线性差分方程 )()()(112t f y t b y t a y t t t =++++与)()()(212t f y t b y t a y t t t =++++

的特解，则)()(*2*1t y t y +是差分方程)()()()(2112t f t f y t b y t a y t t t +=++++的特解。

§2 一阶常系数线性差分方程的迭代解法

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

)(1t f ay y t t =++， （2-1）

其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2-1）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程

01=++t t ay y 。 （2-2）

称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。

下面给出差分方程（2-2）的迭代解法。

一、求齐次差分方程的通解

把方程（2-2）写作t t y a y )(1-=+，假设在初始时刻，即0=t 时，函数t y 取任意常数C 。分别以Λ,2,1,0=t 代入上式，得

Λ

Λ

Λ,2,1,0)()()()(),

()(020201=-=-=-=-=-=-=t a C y a y a C y a y a C y a y t t t ，，

最后一式就是齐次差分方程（2-2）的通解。特别地，当1-=a 时，齐次差分方程（2-2）的通解为 C y t =，Λ,2,1,0=t 。

二、求齐次线性差分方程的通解

1、设b t f =)(为常数

此时，非齐次差分方程（2-1）可写作

b y a y t t +-=+)(1。

分别以Λ,2,1,0=t 代入上式，得

]

)()()(1[)(])()(1[)()()]

(1[)()()(12020323021201--++-+-++-=-+-++-=+-=-++-=+-=+-=t t t a a a b y a y a a b y a b y a y a b y a b y a y b

y a y ΛΛ

Λ。 （2-3）

若1≠-a ，则由（2-3）式用等比级数求和公式，得

a a

b y a y t

t

t +--+-=1)(1)(0，Λ,2,1,0=t ， 或

a b a C a b a b y a y t t t ++-==+++-

-=1)(1)1()(0，Λ,2,1,0=t ， 其中a

b y C +-=10为任意常数。 若1=-a ，则由（2-3）式，得

bt C bt y y t +=+=0，Λ,2,1,0=t ， 其中0y C =为任意常数。

综上讨论，差分方程b ay y t t =++1的通解为

?????-=+-≠++-=。，1,

1,1)(a bt C a a b a C y t （2-4） 上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程（2-2）的通解，第二项是非齐次差分方程（2-1）的一个特解。

这里，当1-≠a 时，由上式所确定的解序列)2,1(Λ=t y t 的特性作两点说明：

例1 求解差分方程5

1321=-

+t t y y 。 解：由于32-=a ，51=b ，531=+a b 。由通解公式（2-4），差分方程的通解为

5

3)32(+=t t C y ，（C 为任意常数）。 2、)(t f 为一般情况

此时，非齐次差分方程可写作

)()(1t f y a y t t +-=+。

分别以Λ,2,1,0=t 代入上式，得

。，

，

，

)1()()()

1()2()()1()()0()()()2()1(0()0()()()2()()1()0()()()1()()0()(1021020323021201---+-=-+--++-+-+-=+-+-+-=+-=+-+-=+-=+-=∑-=--k t f a a C t f t f a f a f a y a y f f a f a y a f y a y f f a y a f y a y f y a y t k k t

t t t t ΛΛ

Λ （2-5）

其中0y C =是任意常数。（2-5）式就是非齐次差分方程（2-1）的通解。其中第一项是齐次差分方程（2-2）的通解，第二项是非齐次线性差分方程（2-1）的一个特解。

例1 求差分方程t t t y y 21=++的通解。

解 由于1=a ，t t f 2)(=。由通解式（2-5）得非齐次线性差分方程的特解

()t t t t t k k t k t t k k t y 1312312

11)21(12)21(22)1()(1101110*

--=+-==-=-=--=----=∑∑， 于是，所求通解为

t t t t t t C C y 23

1)1()1(31231)1(1+-=--+-=。 其中3

11-

=C C 为任意常数。

§2 一阶常系数线性差分方程

一、一阶常系数线性差分方程的解法

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

)(1t f ay y t t =++， （3-1）

与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程为

01=++t t ay y 。 （3-2）

1、求齐次线性差分方程的通解

为了求出一阶齐次差分方程（3-2）的通解，由上节定理2，只要求出其一非零的特解即可。注意到方程（3-2）的特点，1+t y 是t y 的常数倍，而函数t t λλλ

?=+1恰满足这个特

点。不妨设方程有形如下式的特解 t t y λ=，

其中λ是非零待定常数。将其代入方程（3-2）中，有

01=++t t a λλ，

即

0)(=+a t λλ。

由于0≠t

λ，因此t t y λ=是方程（3-2）的解的充要条件是0=+a λ。所以a -=λ时，一阶齐次差分方程（2）的非零特解为

t t a y ）（-=。 从而差分方程（3-2）通解为

t c a C y )(-=（C 为任意常数）

。 称一次代数方程0=+a λ为差分方程（3-1）或（3-2）的特征方程；特征方程的根为特征根或特征值。

由上述分析，为求出一阶齐次差分方程（2）的通解，应先写出其特征方程，进而求出特征根，写出其特解；最后写出其通解。

2、求非齐次线性差分方程的特解和通解

下面仅就函数)(t f 为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程（3-1）的特解。

根据)(t f 的形式，按表1确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解)(*t y 。

表1：

说明：当)sin cos ()(t b t a t f t θθρ+=时，因ρ和θ为已知，令)sin (cos t i t θθρδ+=，

则可计算出δ。

例1 求差分方程t t t y y 21=++的通解。

解：特征方程为01=+λ，特征根1-=λ。齐次差分方程的通解为

t C C y )1(-=。

由于)(2)(0t P t f t t ρ==，2=ρ不是特征根。因此设非齐次差分方程特解形式为

t B t y 2)(*=。

将其代入已知方程，有

t t t B B 2221=++，

解得31=B ，所以t t y 23

1)(*=。于是，所求通解为 t t C t C t y y y 23

1)1()(*+-=+=，（C 为任意常数）。 例2 求差分方程t y y t t 231+=++的通解。

解：特征方程为01=-λ，特征根1=λ。齐次差分方程的通解为

C y C =。

由于)(23)(1t P t t f t ρ=+=，1=ρ是特征根。因此非齐次差分方程的特解为

)()(10*t B B t t y +=。

将其代入已知差分方程得

t t B B B 232110+=++，

比较该方程的两端关于t 的同次幂的系数，可解得20=B ，11=B 。故2*2)(t t t y +=。

于是，所求通解为

2*2t t C y y y c t ++=+=，

（C 为任意常数）。 例3 求差分方程13331+=--t t t t y y 的通解。

解：已知方程改写为13)1(3311++=-++t t t t y y ，即3

13)1(1+

+=-+t t t t y y 。求解如下两个方程 )1(31+=-+t y y t t t ， （3-3）

3

11=-+t t y y ， （3-4） 对方程（3-3）：特征根1=λ，)()1(3)(1t P t t f t t ρ=+=，3=ρ不是特征根，设特

解为)(3)(10*1t B B t y t +=，将其代入方程（3-3）有

[])1(3)(3)1(310101+=+-+++t t B B t B B t t t ， 可解得410-

=B ，211=B 。故)2

141(3)(*1t t y t +-=。 对方程（3-4）：特征根1=λ，)(3

1)(0t P t f t ρ==，1=ρ是特征根，设特解为Bt t y =)(*2。将其代入方程（3-4）解得31=B 。于是，t t y 31)(*2=。 因此，齐次差分方程的通解为C t y C =)(。所求通解为

t t C y y y y t c t 3

1)4121(3*2*1+-+=++=，（C 为任意常数）。 例4 求差分方程t y y t t 2sin 31π

=-+的通解。

解：因特征根3=λ，齐次差分方程的通解t C C y 3=。

)sin cos (2sin )(t b t a t t f t θθρπ

+==，0=a ，1=b ，1=ρ，2π

θ=。令

i i i =+=+=2

sin 2cos )sin (cos ππθθρδ。 因为i =δ不是特征根，设特解t B t A t y 2sin 2cos )(*π

π

+=。将其代入原方程有

t t B t A t B t A 2

sin 2sin 2cos 312sin 12cos πππππ=+-+++）（）（）（。 （3-5） 因为t t 2sin 12cos π

π-=+）（，t t 2cos )1(2sin π

π=+，将其代入（3-5）式，并整理得 t t B A t A B 2

sin 2sin )3(2cos )3(π

ππ=+--。 比较上式两端的系数，解得101-=A ，10

3-=B 。故非齐次差分方程的特解 t t t y 2

sin 1032cos 101)(*ππ--=。 于是，所求通解为 t t C y y y t C t 2

sin 1032cos 1013*ππ--=+=，（C 为任意常数）。

§3 二阶常系数齐次线性差分方程

二阶常系数线性差分方程的一般形式为

)(12t f by ay y t t t =++++， （3-6）

其中a ，b 为已知常数，且0≠b ，)(t f 为已知函数。与方程（7）相对应的二阶齐次线性差分方程为

012=++++t t t by ay y 。 （3-7）

1、求齐次线性差分方程的通解

为了求出二阶齐次差分方程（3-7）的通解，首先要求出两个线性无关的特解。与一阶齐次差分方程同样分析，设方程（3-7）有特解

t t y λ=，

其中λ是非零待定常数。将其代入方程（3-7）式有

0)(2=++b a t λλλ。

因为0≠t

λ，所以t t y λ=是方程（3-7）的解的充要条件是 02=++b a λλ 。 （3-8）

称二次代数方程（3-8）为差分方程（3-7）或（3-8）的特征方程，对应的根称为特征根。

（1）、特征方程有相异实根1λ与2λ

此时，齐次差分方程（3-7）有两个特解t t y 11)(λ=和t t y 22)(λ=，且它们线性无关。于

是，其通解为

t t C C C t y 2211)(λλ+=，

（1C ，2C 为任意常数）。 （2）、特征方程有同根21λλ= 这时，a 2

121-==λλ，齐次差分方程（3-7）有一个特解 t a t y )2

1()(1-=，

直接验证可知t a t t y )2

1()(2-= 也是齐次差分方程（3-7）的特解。显然，)(1t y 与)(2t y 线性无关。于是，齐次差分方程（8）的通解为

t C a t C C t y )2

1)(()(21-+=，（1C ，2C 为任意常数）。 （3）、特征方程有共轭复根βαi ±

此时，直接验证可知，齐次差分方程（3-7）有两个线性无关的特解

t r t y t ωcos )(1=，t r t y t ωsin )(2= ， 其中22βα+==b r ，ω由α

βω241tan a b a --=确定，),0(πω∈。于是，齐次差分方程（3-7）的通解为

)sin cos ()(21t C t C r t y t C ωω+=，

（1C ，2C 为任意常数）。 例5 求差分方程09612=+-++t t t y y y 的通解。

解：特征方程是0962

=+-λλ，特征根为二重根321==λλ，于是，所求通解为

t C t C C t y 3)()(21+=，

（1C ，2C 为任意常数）。 例6 求差分方程016412=+-++t t t y y y 满足初值条件322,110+==y y 的特解。

解：特征方程为01642=+-λλ，它有一对共轭复根i 32221±=，λ。令416==r ，由αβω241tan a b a --=，得3

πω=。于是原方程的通解为 )3sin 3cos (4)(21t C t C t y t C π

π+=。 将初值条件322,110+==y y 代入上式解得11=C ，12=C 。于是所求特解为

)3sin 3(cos 4)(t t t y t π

π+=。

§4 二阶常系数非齐次线性差分方程

求非齐次线性差分方程的特解和通解

利用待定系数法可求出)(t f 的几种常见形式的非齐次差分方程（3-6）的特解。如表3 表3

例7 求差分方程)12(3612+=--++t y y y t t t t 的通解。

解：特征根为21-=λ，32=λ。

())(123)(1t P t t f t t ρ=+=，其中1=m ，3=ρ。因3=ρ是单根，故设特解为

)(3)(10*t B B t t y t +=。

将其代入差分方程得

[][]()()12336)1()1(3)2()2(310101102+=+?-+++-+++++t t B B t t B B t t B B t t t t t ，

即()1233)331530(101+=++t B B t B t t 。

解得2520-=B ，1511=B ，因此特解为)25

2151(3)(*-=t t t y t 。所求通解为

)25

2151(33)2(21*-++-=+=t t C C y y y t t t C t ，（1C ，2C 为任意常数）。 例8 求差分方程t t t t y y y 39612=+-++的通解。

解：特征根为321==λλ。

)(3)(0t P t f t t ρ==，其中0=m ，3=ρ。因3=ρ为二重根，应设特解为

t Bt t y 3)(2*=。

将其代入差分方程得t t t t Bt t B t B 3393)1(63)2(21222=++-+++，解得18

1=B ，特解为t t t y 318

1)(2*=。通解为 t t C t t t C C y y y 31513)(221*+

+=+=，（1C ，2C 为任意常数）。 例9 求差分方程53312=+-++t t t y y y 满足初值条件50=y ，81=y 的特解。 解: 特征根为i 232321±=

，λ。因为3=r ，由33tan =ω，得3

πω=。所以齐次差分方程的通解为 )6sin 6cos ()3()(21t C t C t y t C π

π+=。 )(5)(0t P t f t ρ==，其中0=m ，1=ρ。因1=ρ不是特征根，故设特解B t y =)(*。将

其代入差分方程得533=+-B B B ，从而5=B 。于是所求特解5)(*=t y 。因此原方程通

解为

5)6

sin 6cos ()3()(21++=t C t C t y t π

π。 将8,510==y y 分别代入上式，解得01=C ，322=C 。故所求特解为 56sin

)3(2)(1*+=+t t y t π。

§4 差分方程在经济学中的应用

一、筹措教育经费模型

某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。

设第n 个月投资帐户资金为n S 元，每月存入资金为a 元。于是，20年后关于n S 的差分方程模型为

0001005.11-=+n n S S 。 （4-1）

并且x S S ==0120,0。

解方程（4-1），得通解

000200005.1005

.111000005.1+=--

=C C S n n n ， 以及 ,

000200,

0000200005.10120120x C S C S =+==+=

从而有 45.07390005.1000

200000200120=-=x 。

从现在到20年内，n S 满足的差分方程为

a S S n n +=+005.11， （4-2）

且45.07390,02400==S S 。

解方程（4-2），得通解

a C a C S n n n 200005.1005

.11005.1-=-+

=， 以及

,

0200,

45.0739*******.10240240=-==-=a C S a C S

从而有

95.194=a 。

即要达到投资目标，20年内要筹措资金90 073.45元，平均每月要存入银行194.95元。

二、价格与库存模型

设t P 为第t 个时段某类产品的价格，t L 为第t 个时产品的库存量，L 为该产品的合理库存量。一般情况下，如果库存量超过合理库存，则该产品的价格下跌，如果库存量低于合理库存，则该产品的价格上涨，于是有方程

)(1t t t L L c P P -=-+， （4-3）

其中c 为比例常数。由（4-3）式变形可得

)(2112t t t t t L L c P P P --=+-+++。 （4-4）

又设库存量t L 的改变与产品销售状态有关，且在第1+t 时段库存增加量等于该时段的供求之差，即

11+++-=-t t t t t D S L L ， （4-5）

若设供给函数和需求函数分别为

βαα+--=-=)(),(P b D P a S ，

代入到（4-5）式得

ααb a P b a L L t t t t --+=-++)(1，

再由（4-4）式得方程

α)(]2)([12b a P P b a c P t t t +=+-++++。 （4-6）

设方程（4-6）的特解为A P t =*，代入方程得α=A ，方程（4-6）对应的齐次方程的特征方程为

01]2)([2=+-++λλb a c ， 解得]2)([2

1,122,1-+=-±-=b a c r r r λ，于是 若1||

αθθ++=n B n B P t sin cos 21。

若1||>r ，则21,λλ为两个实根，方程（4-6）的通解为

αλλ++=n n t A A P 2211。 由于1122-<-<---=r r r λ，则当+∞→t 时，n 2λ将迅速变化，方程无稳定解。

因此，当11<<-r ，即210<+

a c +<

<40时，价格相对稳定。其中c b a ,,为正常数。 三、动态经济系统的蛛网模型

在自由市场上你一定注意过这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量远大于需求量时，销售不畅会导致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副产品。过一段时间猪肉上市量减少，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求价格下跌的局面。在没有外界干预的条件下，这种现象将一直循环下去，在完全自由竞争的市场体系中，这种现象是永远不可避免的。由于商品的价格主要由需求关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少，因而价格越低。而下一个时期商品的数量是由生产者的供求关系决定，商品价格越低，生产的数量就越少。当商品数量少到一定程度时，价格又出现反弹。这样的需求和供给关系决定了市场经济中价格和数量必然是振荡的。有的商品这种振荡的振幅越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越大，最后导致经济崩溃。

现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究上述振荡现象。

设第n 个时期（长度假定为一年）猪肉的产量为s n Q ，价格为n P ，产量与价格的关系为

)(s n n Q f P =，本时期的价格又决定下一时期的产量，因此，)(1n d n P g Q =+。这种产销关系可用下述过程来描述：

ΛΛ→→→→→→→→→n s n s s s P Q P Q P Q P Q 332211，

设 Λ),(),,(),,(),,(234223122111P Q A P Q A P Q A P Q A s s s s ====，

),(),,(1212k s k k k s k k P Q A P Q A +-==。以产量Q 和价格P 分别作为坐标系的横轴和纵轴，绘出图1。这种关系很象一个蜘蛛网，故称为蛛网模型。

对于蛛网模型，假定商品本期的需求量d t Q 决定于本期的价格t P ，即需求函数为)(t d t P f Q =，商品本期产量s t Q 决定于前一期的价格1-t P ，即供给函数为)(1-=t s t P g Q 。根据上述假设，蛛网模型可以用下述联立方程式来表示

??

???=+=-=-s t d t t s t t d t Q Q P Q P Q 1μλβα，

其中，γδβα,,,均为常数且均大于零。

蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。现在只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。即当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。

假设，在第一期由于某种外在原因的干

扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平e Q 减少为1Q 。根据需求曲线，消费者愿意支付1P 的价格购买全部的产量1Q ，于是，实际

价格上升为1P 。根据第一期较高的价格水平

1P ，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增