解析几何专题1椭圆方程知识点及椭圆标准方程

高考数学-椭圆知识点

一、椭圆的定义：

（1）第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. （2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<

椭圆定义的表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}

.02,22121>>=+=F F a a PF PF

P M 二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程:

焦点在x 轴:()012222>>=+b a b y a x ； 焦点在y 轴:()0122

22>>=+b a b x a y .

a 是长半轴长，

b 是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足.222

c b a += 2. ()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件为：

122=+C

By C Ax ，12

2=+B

C y A C x .

所以只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；

当

B C

A C >时，椭圆的焦点在x 轴上； 当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 三、椭圆的几何性质（以()0122

22>>=+b a b

y a x 为例）

1. 有限性:b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.

2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--

4. 长轴、短轴、焦距：

21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 21F F 叫椭圆的焦距；为()c 2.

5. 离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比a

c e =

（2）22F OB Rt ?,2

22

22

22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且

22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.

（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），a

b 22.

7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，

21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.

求椭圆解析式典例

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、

F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4， 得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2

3＝1.

练：已知椭圆两个焦点为F 1(－1,0)，

F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆标准方程．答： x 225＋

y 224

＝1.

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，

椭圆的标准方程为：1142

2=+

y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，

椭圆的标准方程为：116

42

2=+

y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29

＋

y 24

＝1

有相同焦点的椭圆的标准方程．

解：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭

圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

a 2－5

＝1.

由点(－3,2)在椭圆上知9

a 2＋4

a 2－5＝1，

所以a 2＝15.

所以所求椭圆的标准方程为x 215

＋

y 210

＝

1.

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为

AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为1222

=+y a

x ，

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ，得()021222=-+x a x a ，

∴2

2

2112a a x x x M +=+=，2

11

1a

x y M M +=

-=， 4

1

12===

a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14

22

=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。

例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：3

1

222??=c a c Θ ∴2

2

3a c =，

∴3

3

31-

=

e ． 练：已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 值． 答：4=k 或4

5

-=k ．

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，

B (4,0)，△AB

C 的周

长为18，求顶点C 的轨迹方程。

解：顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此

顶点C 的轨迹为椭圆，

并且2a ＝10，所以a ＝5, 2c ＝8，所以c ＝4， 所以b 2＝a 2－c 2＝9， 故顶点C 的轨迹方程为

x 225

＋y 2

9

＝1. 又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为

x 225

＋y 2

9

＝1(y ≠0)

练：已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2

25＝1(a >5)，

它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦

AB 过点F 1，求△ABF 2的周长． 答：4a ＝441.

练：设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2

4

＝1的两个焦点，

P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的面积．

答：△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝1

2×2×4

＝4.

七、直线与椭圆的位置问题

例 已知椭圆1222=+y x ，求过点?

?

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．

解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线

方程为??? ??

-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并

整理得

()()

02

3

21222122

2

2

=+-+--+k k x k k

x k ．

由韦达定理得2

2212122k k

k x x +-=+．

∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得

2

1-=k ．

所以所求直线方程为0342=-+y x ．

解法二（点差法）：设过??

?

??2121，P 的直线

与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

?

????????=+=+=+=+④

1.③1②12

①1221212

2222

121y y x x y x y x ，，，

①

②得02

2

2212

221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得

2

1

2121-=--x x y y ， 即直线的斜率为2

1

-．

所求直线方程为0342=-+y x ． 八、椭圆中的最值问题

例 椭圆112

162

2=+

y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为

最小值时，求点M 的坐标．

解：由已知：4=a ，2=c ． 所以2

1

=

e ，右准线8=x l ：． 过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ， 故MF MQ 2=．

显然MF AM 2+的最小值为AQ ，

即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上． 故32=M x ．所以()

332，M ．

课后练习

1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）

A ．21 B.31 C.41 D.4

2

2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一

条准线方程是3

16

-=y ，则此椭圆方程是

（ ）

A ．

191622=+y x B.17162

2=+y x C.

116922=+y x D.11672

2=+y x 3、由椭圆

116

92

2=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。

4、不论k 为何实数值，直线y=kx+1和焦点

在x 轴的椭圆152

2=+βy x 总有公共点，则β

的取值范围是： 。

5、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

6、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

7、 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

8、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过

)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：可设其方程为122=+ny mx (0>m ，

0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

答案：

1、（ A ）

2、（ D ）

3、

5

24

4、51<≤β。

5、故5=m ．

6、

19812

2=+x y ． 7、1103522=+

y x 或151032

2=+y x ． 8、15

152

2=+

y x ．