【精选】人教版八年级数学上册 分式解答题单元培优测试卷

一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：

(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x

+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x

++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．

【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25

【解析】

【分析】

（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x

＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x

++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；

（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．

【详解】

解：（1）当x ＞0时，112x x x x +

≥?= 当x ＜0时，11x x x x ??+=--- ??

? ∵()1122x x x x ??--≥-?-= ???

∴12x x ?

?---≤- ???

∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x

+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x

++==++ ∵x ＞0，

∴163311y x x =+

+≥= 当16x x

= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9

则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD

∴x ：9=4：S △AOD

∴：S △AOD =36x

∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．

【点睛】

本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．

2．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333

+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，2

3

x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x

-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253

x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++

则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，

∴3235a a b +=??+=-?，解得12a b =-??=-?

∴225(3)(1)2(3)(1)22133333

x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253

x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：

2225332(3)(3)2(3)32213333333

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253

x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731

x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；

（2）已知整数x 使分式225112

x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961

x x --

-；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】

【分析】 （1）先变形2731x x x ---=26691

x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；

（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．

【详解】

解：（1）2731x x x ---=26691

x x x x --+-- =

(1)6(1)91

x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132

x x x x +++-+ =

2(2)(2)132

x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112

x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，

∴x=-1或-3或11或-15.

【点睛】

本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．

3．已知11x a b c ??=+ ???，11y b a c ??=+ ???，11z c a b ??=+ ???． （1）当1a =，1b =，2c =时，求

1111x y +--的值； （2）当0ab bc ac ++≠时,求

111111

x y z +++++的值． 【答案】（1）4；（2）1

【解析】

【分析】

（1）分别对x 、y 进行化简，然后求值即可；(2)分别求出1x ＋、1y ＋、和z 1＋值，然后代入化简即可.

【详解】 （1）,,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab

+++===， 当1,1,2a b c ===时， 1211111=;122x ?+?∴-=

-? 1211111=122

y ?+?∴-=-? 1111=411

1122

x y ∴+=+-- （2）11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=

+=， 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=

+=， 11bc ac bc ac ab z ab ab

++++=+=， ∵+0ab bc ac +≠，

∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac

+++++=+++++

++ab bc ac ab bc ac

+=

+ =1.

【点睛】 本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.

4．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？

【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元

【解析】

试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；

（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．

试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23

x 天． 根据题意，得201160()12233

x x x ++=，解得：x =180．

经检验，x =180是原方程的根，∴

23x =23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；

（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，则有11(

)1120180

y +=，解得 y =72． 需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．

∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．

点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．

5．阅读下面的解题过程：已知2113x x =+，求2

41

x x +的值。

解：由2113x x =+知，0x ≠，所以213x x

+=，即13x x +=. 所以2422221112327x x x x x x +??=+=+-=-= ???

.所以24117x x =+. 该题的解法叫做“倒数法”。 已知：21315

x x x =-+ 请你利用“倒数法”求2421

x x x ++的值。求22128x x x -+的值。 【答案】2421=163

x x x ++；22128=61x x x -+ 【解析】

【分析】 计算所求式子的倒数，再将2421

x x x ++代入可得结论；将22128x x x -+进行变形后代入即可.

【详解】

解：∵21315

x x x =-+，且x≠0， ∴2315x

x x -+=， ∴1x 35x +

-=， ∴1x 8x

+=， ∴42222211++1=x+-11x ==63x x x x x ??+? ??

+， ∴2421=163

x x x ++ ∵1x 8x

+= ∴2x -8x=-1 ∴2222221x 1128=+8=+-2-1=64-2-1=61x x x x x x x x ?? ???

-++- 【点睛】

本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型．

6．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？

【答案】 返回时的平均速度是80千米/小时.

【解析】

分析：根据题意，设去时的平均速度是x 千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可.

详解：设去时的平均速度是x 千米/小时.

由题：

90120181.660

x x =+ 解得：50x = 检验：50x =是原方程的解.

并且，当50x =时，1.680x =，符合题意.

答：返回时的平均速度是80千米/小时.

点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.

7．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.

（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：

一个真分数是a b （a 、b 均为正数），给其分子分母同加一个正数m ，得a m b m

++，则两个分数的大小关系是

a m

b m ++_____a b . （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：

（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？

（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？

（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.

【答案】(1) 12；14；16；18；19；23；25；27；29；15

；（2）＞；（3）给一个正的真

分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.

【详解】

解：（1）12、14、16、18、19，23、25、27、29、15；（2）a m a b m b

+>+； （3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数； （4）思路1：如图2所示，

由a b <，得12s s s s +>+，即ab bm ab am +>+，()().a b m b a m +=+，可推出a m a b m b

+>+； 思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：

1a b a b b --=，1a m b a b m b m

+--=++，

因为a 、b 、0m >，且a b <，

故1a b - 1a m b m +>-+，即a m a b m b

+>+ （5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；

（6）数学问题举例：

①若a b

是假分数，会有怎样的结论？

②a、b不是正数，或不全是正数，情况如何？

【点睛】

本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

8．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：

?1

3

22

x x

+=

--

.

（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；

（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2

x=，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

【答案】（1）0

x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.

【解析】

【分析】

（1）“？”当成5，解分式方程即可，

（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.

【详解】

（1）方程两边同时乘以()2

x-得

()

5321

x

+-=-

解得0

x=

经检验，0

x=是原分式方程的解.

（2）设？为m，

方程两边同时乘以()2

x-得

()

321

m x

+-=-

由于2

x=是原分式方程的增根，

所以把2

x=代入上面的等式得

()

3221

m+-=-

1

m=-

所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.

【点睛】

本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

9．某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购进了第二批这种T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．

（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？

（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少元？

【答案】（1）商家购进的第一批恤是40件；（2）每件恤的标价至少40元．

【解析】

【分析】

（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了5元，列出方程求解即可；

（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．

【详解】

（1）解：设购进的第一批恤是x件．

由题意，得12002800

5

2

x x

=-

解得x＝40．

经检验，x＝40是所列方程的解．

所以商家购进的第一批恤是40件．

（2）设每件的标价是y元

由题意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）

解得y≥40．

即每件恤的标价至少40元．

【点睛】

本题考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程．

10．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.

(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？

(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？【答案】

(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.

【解析】

【分析】

(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8；甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程求出方

程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式，再求出不等式的最大整数解即可.

【详解】

(1)设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品，

根据题意得：4872

8

x x

=

+

，

解得：x=16，

检验：x(x+8)=16(16+8)≠0，

∴x=16是原方程的解，

∴x+8=16+8=24，

答：甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件.

(2)解：甲工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷16=60，

所需费用为：60×800+50×60=51000，

乙工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷24=40，

解：设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y元时，有望加工这批产品

则：40y+40×50≤51000

解之y≤1225

∴y的最大整数解为：y=1225

答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.

【点睛】

本题考查分式方程的应用，涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间；分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．