不定方程与不定方程组.教师版

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

一、知识点说明历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点（能被

2、3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

模块一、利用整除性质解不定方程

例题精讲

知识精讲

教学目标

不定方程与不定方程组

【例 1】求方程 2x －3y ＝8的整数解

【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答

【解析】方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋3

y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，

并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：

342x k

y k

=+??

?=?，其中k 为任意数．说明由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，

当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

【巩固】求方程2x ＋6y ＝9的整数解

【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答

【解析】因为2x ＋6y ＝2(x ＋3y)，所以，不论x 和y 取何整数，都有2|2x ＋6y ，但2?9，因此，不论x 和y

取什么整数，2x ＋6y 都不可能等于9，即原方程无整数解．说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

【例 2】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解

【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答

【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种

情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……

x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3， x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1， x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解

所以方程有两组整数解为：16

,31x x y y ==????==??

【答案】16

,31x x y y ==????==??

【巩固】求方程3x ＋5y ＝12的整数解

【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答

【解析】由3x ＋5y ＝12，3x 是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y 也为3的倍数，所以y 为3的倍数即

可，所以y 的取值为0、3、6、9、12…… y ＝0时，12－5y ＝12，x ＝4， x ＝3时，12－5y ＝12－15，无解

所以方程的解为：4

0x y =??=?

【答案】4

0x y =??=?

【巩固】解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答

【解析】方法一：2x 是偶数，要想和为40（偶数），9y 也为偶数，即y 为偶数，也可以化简方程2940x y +=，

40920522x y

x y -=

=-+知道y 为偶数，所以方程解为：112,24x x y y ==???

?==??

【答案】112

,24x x y y ==????

==??

模块二、利用余数性质解不定方程

【例 3】求不定方程7111288x y +=的正整数解有多少组？【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

【解析】本题无论x 或是y ，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以11y 也是7

的倍数，则y 是7的倍数．

设7y z =，原方程可变为11184x z +=，z 可以为1，2，3，……16．由于每一个z 的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．

【答案】16组

【例 4】求方程3x ＋5y ＝31的整数解

【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x ＝3153y -，即 x ＝10－2y ＋13

+，要使方程有整数解

+必须为整数．取y ＝2，得x ＝10－2y ＋13y

+＝10－4＋1＝7，故x ＝7，y ＝2

当y ＝5，得x ＝10－2y ＋13y

+＝10－10＋2＝2，故x ＝2，y ＝5

当y ＝8，得x ＝10－2y ＋13

+＝10－16＋3无解

所以方程的解为：72

,25x x y y ==????==??

方法二：利用余数的性质

3x 是3的倍数，和31除以3余1，所以5y 除以3余1（2y 除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：

取y ＝1，2y ＝2，2÷3＝0……2（舍） y ＝2，2y ＝4，4÷3＝1……1（符合题意） y ＝3，2y ＝6，6÷3＝2（舍） y ＝4，2y ＝8，8÷3＝2……2（舍） y ＝5，2y ＝10，10÷3＝3……1（符合题意） y ＝6，2y ＝12，12÷3＝4（舍）

当y ＞6时，结果超过31，不符合题意。所以方程的解为：72

,25x x y y ==????==??

【答案】72

,25x x y y ==????

==??

【巩固】解方程7489x y +=，（其中x 、y 均为正整数）

【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：7489x y +=，4y 是4的倍数，和89除以4余1，所以7x 除以4余1（7÷4≡3），可以看成

3x 除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x ＜13） x ＝1，3x ＝3，3÷4≡3（舍） x ＝2，3x ＝6，6÷4≡2（舍） x ＝3，3x ＝9，9÷4≡1（符合题意） x ＝4，3x ＝12，12÷4≡0（舍） x ＝5，3x ＝15，15÷4≡3（舍） x ＝6，3x ＝18，18÷4≡2（舍） x ＝7，3x ＝21，21÷4≡1（符合题意） x ＝8，3x ＝24，24÷4≡0（舍） x ＝9，3x ＝27，27÷4≡3（舍） x ＝10，3x ＝30，30÷4≡2（舍） x ＝11，3x ＝33，33÷4≡1（符合题意） x ＝12，3x ＝36，36÷4≡0（舍）

所以方程的解为：3711

,,17103x x x y y y ===??????===???

方法二：利用欧拉分离法，由原方程，897122244x x

y x -+==-+，()1x +的取值为4的倍数即可，

所以方程的解为：3711

,,17103x x x y y y ===??????===?

?? 【答案】3711

,,17103x x x y y y ===??????===???

模块三、解不定方程组

【例 5】解方程1800120080016000

a b c a b c ++=??

++=? （其中a 、b 、c 均为正整数）【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得96480

a b c a b c ++=??++=?，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相

减后为：(964)4()80415a b c a b c ++-++=-?，整理后得5220a b +=，根据等式性质，2b 为偶数，

20为偶数，所以5a 为偶数，所以a 为偶数，当2a =时，52220b ?+=，5b =，所以8c =，当4a =时，54220b ?+=，5b =，所以无解。所以方程解为258a b c =??

=??=?

【答案】

8 a

?=?

【例6】解不定方程

53100

100

x y z

++=

?++=

(其中x、y、z均为正整数)

【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得

159300

100

x y z

++=

，根据消元思想与第二个式子相减得

148200

x y

+=，根据等式的性质两边同时除以2得：74100

x y

+=，根据等式性质4y为4的倍数，

100为4的倍数，所以7y为4的倍数，所以y为4的倍数试值如下

4812

18,11,4

788184 x x x

y y y

z z z

===???

???

===???

???

===???

【答案】

4812

18,11,4

788184 x x x

y y y

z z z

===???

???

===???

???

===???

2020-2021学年必修2第三章测试卷直线与方程（一）注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行，则实数m 的值为（） A ．6- B ．6 C ． 3 2 D ．32 - 【答案】B 【解析】因为直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行，所以321m ?=?且82(2)m ?≠?-，解得6m =且1 2 m ≠-，所以6m =，故选B ． 2．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（） A ．25 B ．26 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】根据题意画出图形，如图所示：

设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且 A B ' 故选B ． 3．下面说法正确的是（） A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示 B ．不经过原点的直线都可以用方程 1x y a b +=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示 D ．经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示【答案】D 【解析】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程 1x y a b +=表示，所以B 错；经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错；当12x x ≠时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程()21 1121 y y y y x x x x --= --，即 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示；当12x x =时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程1x x =，即()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对，故选D ． 4．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=，则m n +=（） A ．0 B ．1 C ．2- D ．1- 【答案】C

一中2012~2013学年度第二学期六年级数学第1周周末小卷班级姓名学号成绩一、填空题 ⒈在 3x-2y=6中，若用x 表示y ，则y= ；用y 表示x ，则x= ⒉若???==1 2 y x 是方程123=-y mx 的一个解，则=m ⒊方程2x+y=5有个解，有个正整数解，它们是 ⒋已知方程332 1 2=+-+n m y x 是二元一次方程，则=m ，=n 。 ⒌二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y= 当y=0时，则x= ； ⒍若m-n=5,则15-m+n= ；若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+y= ． ⒎已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2．当k= 时，方程为一元一次方程；当k= 时，方程为二元一次方程．二、选择题 ⒈下列各式：（1）;72=-+y x xy （2）y x x -=+14（3）51 =+y x （4）y x 2= （5）22 2 =-y x （6）y x 25-（7）1=++z y x 中属于二元一次方程的个数有（） A ．1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个 ⒉有一个两位正整数，它的十位上的数字与个位上的数字和为6，则这样的两位正整数有（） A ．3个； B ．5个； C ．6个； D ．无数个 ⒊若m y x 25与y x n m 14-+是同类项，则n m -2的值为（） A ．1； B ．-1； C ．-3； D ．以上答案都不对．三、用代入消元法解下列方程组： ⒈ ⒉ 3、?? ?=-=+256923y x y x 4、 ???????-=-=+654 36 123x y y x 四、解答题：已知,2:3:=y x 并且,273=+y x 求y x 、的值五、已知满足方程组???=++=+m y x m y x 322 53的y x 、的值的和等于2，求122+-m m 的值（此题双数班必做，单数班选做）

二元一次方程组练习题一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2 4 y- 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 二、填空题

【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0 ③倾斜角α的范围0 0180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是21 21 y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式21 2121 ()y y k x x x x -= ≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式【知识点四直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点

初一数学下第8章《二元一次方程组》试题及答案 §8.1二元一次方程组一、填空题 1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y= 2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ，用y 表示x ，则x= 3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当 k=______时，方程为二元一次方程。 4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=____；当y=0时，则x=____。 5、方程2x+y=5的正整数解是______。 6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2= 。 7、方程组?? ?==+b xy a y x 的一个解为???==3 2 y x ，那么这个方程组的另一个解是。 8、若2 1 =x 时，关于y x 、的二元一次方程组 ? ? ?=-=-21 2by x y ax 的解互为倒数，则=-b a 2 。二、选择题 1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33 =+y x ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（）个。Ａ、１Ｂ、２Ｃ、３Ｄ、４ 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（） A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=6 4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为（） A 、1 B 、－1 C 、－3 D 、以上答案都不对 5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 值为（） A 、2 B 、-2 C 、2或-2 D 、以上答案都不对．

二元一次方程组题型总结类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1 ＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．（2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．类型二：二元一次方程组的求解例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2 互为相反数，则a ＝______，b ＝______．（4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．类型三：已知方程组的解，而求待定系数。例（5）．已知???==1 2y x －是方程组???=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2 的值为_________．（6）．若满足方程组?? ?=-+=-6 )12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______．练习：若方程组?? ?=++=-10 )1(23 2y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为。若方程组?????=+=+52243y b ax y x 与?????=-=-524 3y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12 1 ，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______．（8）．解方程组?? ???=+=+=+63432 3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．练习：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c = 。由方程组? ? ?=+-=+-04320 32z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1）说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．例（9）．若???-==20y x ，?? ? ??==311 y x 都是关于x 、y 的方程|a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为（10）．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是?? ?-==11 y x ，???==1 2y x ，则这个二

荣辱榜 10.5用二元一次方程组解决问题（1）班级姓名成绩（一）创设情境导入新课情境一《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树枝欢歌，另一部分在地上觅食，树枝的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的3 1　；若从树枝飞下去一只，则树止、树下的鸽子主一样多。”你知道树枝、树下各有多少只鸽子吗？思考：你能解决这个问题吗？用什么方法？用二元一次方程组解决问题.。情境二小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了上0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个 0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？你能用方程组解决这个问题吗？

（二）合作交流解读探究（用二元一次方程组解决生活实际问题）例1.国庆长假期间,某旅行社接待一日游和三日游的旅客共2200人,收旅游费200万元,其中一日游每人收费200元,三日游每人收1500元.该旅行社的一日游和三日游旅客各有多少人? 想一想如何设未知数?表达实际问题的两个相等关系是什么? ; . ※※归纳列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 1、“”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数； 2、“”：找出能够表达应用题全部含义的两个相等关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 3、“”：解这个方程组，求出未知数的值； 4、“”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意； 5、“”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称；注意（1）题目中给出的量单位不统一，解题时应化为统一单位. （2）解二元一次方程组的过程不再展开. 例2.为保护环境,某校环保小组成员收集废旧电池.第一天收集5节1号电池,6节5号电池,总质量为500克;第二天收集3节1号电池,4节5号电池,总质量为310克.1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少? 试一试试按用方程组解决问题的一般步骤和方法解决问题2 交流 1.“找”两个相等关系: ; . 2.“设”、“列”、“解、“验”“答”.

直线与方程考纲展示考情汇总备考指导直线与方程 ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 2017年1月T5 2019年1月T5 2020年1月T4 本章的重点是根据所给条件求直线的方程，难点是两条直线的位置关系的判定，易错点是在根据两直线的位置关系求参数的值时，容意漏解或出现增根，出错的根本原因是没有掌握两直线平行或垂直的充要条件. 直线的倾斜角、斜率和位置关系1．直线的倾斜角和斜率

(1)倾斜角当直线l 与x 轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°. 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫直线l 的倾斜角．注：倾斜角的取值范围为[)0°，180°. (2)直线的斜率当直线l 的倾斜角θ≠90°时(即直线与x 轴不垂直)，直线l 的斜率存在，且斜率k ＝tan θ. 当直线的倾斜角为θ(θ≠90°)，斜率为k ，则k ≥0?θ∈?????0，π2；k <0?θ∈ ?? ??π2，π. (3)直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的斜率k ＝y 1－y 2 x 1－x 2 . 注：任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． 2．两条直线平行和垂直的判定 (1)当直线l 1∥l 2或l 1与l 2重合，倾斜角α1＝α2. 若斜率存在，则k 1＝k 2. 若斜率不存在，则k 1与k 2都不存在． (2)直线l 1∥l 2，若斜率存在，则k 1＝k 2，且在y 轴上的截距不同，若斜率不存在，则l 1 与l 2都垂直于x 轴且在x 轴上的截距不同． (3)若斜率存在，且直线l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1. 若其中有一条斜率不存在，且l 1⊥l 2，则另一条直线斜率为0. (4)若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，且A 1，A 2，B 1，B 2都不为零． ①l 1∥l 2?A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 . ②l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. ③l 1与l 2相交?A 1A 2≠B 1B 2 . ④l 1与l 2重合?A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2 . [学考真题对练] 1．(2019·1月广东学考)直线3x ＋2y －6＝0的斜率是( ) A ．32 B ．－32 C ．23 D ．－23

课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节) 一、内容和内容解析 1．教学内容《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．2．地位与作用本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．二、目标和目标解析本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下： 1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系； 2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义； 3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力； 4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．三、教学问题诊断分析 1．问题诊断学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面；（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用． 2．重难点重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解

二元一次方程组培优讲义类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ______，b _____．如果25mx y x -=+是关于x 、y 的二元一次方程，则m _____．（2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．类型二：二元一次方程组的求解例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2 互为相反数，则a ＝______，b ＝______．（4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．类型三：已知方程组的解，而求待定系数例（5）．已知???==1 2y x －是方程组???=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________．（6）．若满足方程组???=-+=-6 )12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______．练习：若方程组? ??=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为。若方程组?????=+=+52243y b ax y x 与?????=-=-5 243y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12 1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______．（8）．解方程组?? ???=+=+=+63432 3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．练习：若450x y -=，那么125125x y x y -+=_________．由方程组? ??=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1）说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。

二元一次方程组（二）综合练习 1．填空题：（1）二元一次方程3x ＋y ＝5在有理数范围内有______个解，在正整数范围内有______个解；（2）方程组? ??=+=-5,123y x y x 的解是否为方程3x －2y ＝1的解（不解方程组判断）______；（3）已知方程12 341=-y x ．用含x 的代数式表示y 为______；（4）已知? ??==3,2y x 是方程4kx －3y ＝1的一个解，则k 的值＝______；（5）若???==1,2y x 是方程组?????+=--=+y x ny x y x y mx 3,21的解，则m 的值＝______，n 的值＝______；（6）已知?????==27,0y x 和?????==0 ,37y x 都是方程kx ＋2y ＝b 的解，则k 的值＝______，b 的值＝______；（7）若x ＝2是方程2232=++m mx x 的解，则m m 22-的值＝______；（8）若x y x b a +3与23b a 是同类项，则x 的值＝______，y 的值＝______；（9）若方程2x ＋3y －4＋3kx －2ky ＋4k ＝0，没有x 项，则k 的值＝______，若方程没有y 项，则k 的值＝______，（10）若方程5)2(1||=--m x m 是关于x 的一元一次方程，则m 的值＝______，此方程的解为x 的值＝______． 2．选择题：（1）下列各方程中，是二元一次方程的是（）． A ．2xy ＝－7 B ．2 2135x y x x +-=+ C ．11+=y x D ．y x y x y x -=++22 （2）下列方程组中，是二元一次方程组的有（）． ①?? ???=+=+=-1,423,3y x y x y x ②???-=++=73,323x y x y x ③?????=-=-52,31112y x y x

直线与方程专题复习一、知识归类 1.直线的倾斜角与斜率 (aH9O0). (1)直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 (2)直线倾斜角的范围是. (3)直线过p(X1，y1),P2(X2，y2)(X1 H X2)两点的斜率公式为：k 2.两直线垂直与平行的判定 (1)对于不重合的两条直线l i,l2，其斜率分别为k i,k2，，则有：I1//I2U ；l i 丄I2 二 (2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线；当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时，两条直线. 3.直线方程的几种形式注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式 4.几个距离公式 (1) 两点P (花，yj, P2(X2, y2)之间的距离公式是：|RP2|= (2) 点P(x。，y。)到直线l : Ax + By + c = 0的距离公式是：d = 两条平行线I : Ax + By +C, = 0,1 : Ax + By + C2 = 0间的距离公式是: 二、典型例题题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1已知坐标平面内三点A(—1,1), B(1,1),C(2」3 +1).( 1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角. (2)若D为MBC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.

变式训练1、直线XCOS a +（3y+ 2= 0的倾斜角的范围是（） 2、直线I 经过点A （1 ,2），在x 轴上的截距的取值范围是（—3,3）,则其斜率k 的取值范围是（） 1 1 C. k>-或 k< 1 D . k>-或 k< — 1 5 2 本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点 .当直线绕定点由与 x 轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与 y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到 +比（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到 -比（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围 . 题型二：直线的平行与垂直问题例2已知直线I 的方程为3x+4y -12= 0,求下列直线1’的方程，1’满足变式训练1、已知直线x+a 2y+ 6= 0与直线（a — 2）x + 3ay+ 2a = 0平行，则a 的值为（） A. 0 或 3 或—1 B. 0 或 3 C . 3 或—1 D . 0 或—1 2、已知过点A — 2, m ）和点B （m 4）的直线为I 1, l 3，若l 1 //I 2, I 2丄l 3,贝U 实数m+ n 的值为（） A.— 10 B.— 2 C. 0 与直线Ax + By +C = 0垂直的直线方程可设为 Bx - Ay + C 2 = 0，再由其他条件求出 C 2. 题型三：直线的交点、距离问题例3已知直线I 经过点A （2,4）,且被平行直线h ：x-y +1 =0与12 ：x-y —1 = 0所截得的线段的中点 M 在直线x +y -3=0上，求直线I 的方程. n 〕u 佇，v] B. [0 , n ” 舄‘ n 、 L 5n ] r n 5n ] n J C . !0 , TJ D. ，-FJ A.- 1< k <1 5 B. k> 1 或 k<2 （1）过点（ -1,3），且与I 平行; （2）过（—1,3），且与I 垂直. 直线 2x + y — 1= 0 为 12,直线 x + ny + 1= 0 为 D. 8 本题小结：与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为 Ax + By + C 1 = 0，再由其他条件列方程求出C 1 ；

二元一次方程组解法练习题精选一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．3．解方程组： 4．解方程组：

5．解方程组： 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b 的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？ 7．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组： 9．解方程组：

10．解下列方程组：（1）（2） 11．解方程组：（1）（2） 12．解二元一次方程组：（1）；（2）．

13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解． 14． 15．解下列方程组：（1）（2）．16．解下列方程组：（1）（2）

参考答案一、1，B ；2，B ；3，C ；4，D ；5，B ；6，C ；7，B ；8，C ；9，C ；10，D . 二、11，ax 2+bx +c 、≠0、常数；12，x ＝1；13，y ＝2x 2+1；14，答案不唯一.如：y ＝x 2+2x ； 15，C ＞4的任何整数数；16， 1 12 ；17，二；18，x ＝3、1＜x ＜5. 三、19， 4 3 ；20，（1）设这个抛物线的解析式为c bx ax y ++=2由已知，抛物线过)0,2(-A ，B （1，0）， C （2，8）三点，得??? ??=++=++=+-82400 24c b a c b a c b a 解这个方程组，得 4,2,2-===c b a ∴ 所求抛物线的解析式为y ＝ 2x 2+2x －4.（2）y ＝2x 2+2x －4＝2(x 2+x －2)＝2(x + 12 )2 －92；∴ 该抛物线的顶点坐标为)2 9,21(--. 21，（1）y ＝－x 2+4x ＝－(x 2－4x +4－4)＝－(x －2)2+4，所以对称轴为：x ＝2，顶点坐标：(2，4).（2）y ＝0，－x 2+4x ＝0，即x (x －4)＝0，所以x 1＝0，x 2＝4，所以图象与x 轴的交点坐标为：(0，0)与(4，0). 22，（1）因为AD ＝EF ＝BC ＝x m ，所以AB ＝18－3x .所以水池的总容积为1.5x (18－3x )＝36，即x 2－6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，所以x 应为2或4.（2）由（1）可知V 与x 的函数关系式为V ＝1.5x (18－3x )＝－4.5x 2+27x ，且x 的取值范围是：0＜x ＜6.（3）V ＝－4.5x 2+27x ＝－92(x －3)2+812 .所以当x ＝3时，V 有最大值 81 2 .即若使水池有总容积最大，x 应为3，最大容积为40.5m 3. 23，答案：①由题意得y 与x 之间的函数关系式 30y x =+（1160x ≤≤，且x 整数） ②由题意得P 与x 之间的函数关系式二元一次方程组解法练习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题） 1．求适合的x ，y 的值．考点：解二元一次方程组．分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x ，求出y 的值，继而求出x 的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x ﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x ﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y 的值代入（3）得：x= ， ∴．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法． 2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．

（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册 10.3 《解二元一次方程组》检测题 1．用加减法解下列方程组34152410 x y x y +=??-=?较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未知数_______． 2．已知方程组2 3x x -??+? ，，用加减法消x 的方法是__________；用加减法消y 的方法是________． 3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程． (1) 32155423x y x y -=??-=? 消元方法___________． (2) 731232 m n n m -=??+=-? 消元方法_____________． 4．方程组241x y x y +=?? +=? 的解_________． 5．方程2353x y x -+==3的解是_________． 6．已知方程342--n m x －5143-+n m y =8是关于x 、y 的二元一次方程，则m=_____，n=_______． 7．二元一次方程组941611x y x y +=?? +=-?的解满足2x －ky=10，则k 的值等于( )

A ．4 B ．－4 C ．8 D ．－8 8．解方程组35123156x y x y +=??-=-?比较简便的方法为( ) A ．代入法 B ．加减法 C ．换元法 D ．三种方法都一样 9．若二元一次方程2x+y=3，3x －y=2和2x －my=－1有公共解，则m 取值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．3 D ．4 10．已知方程组51mx n my m +=??-=?的解是12 x y =??=?，则m=________，n=________． 11．已知(3x+2y －5)2与│5x+3y －8│互为相反数，则x=______，y=________． 12．若方程组22ax by ax by +=?? -=?与234456x y x y +=??-=-?的解相同，则a=________，b=_________． 13．甲、乙两人同求方程ax －by=7的整数解，甲正确的求出一个解为11x y =?? =-?，?乙把ax －by=7看成ax －by=1，求得一个解为12x y =??=?，则a 、b 的值分别为( ) A ． 25a b =??=? B ． 52a b =??=? C ． 35a b =??=? D ． 53a b =??=? 14．解方程组: (1) 2312 3417 x y x y +=??+=? (2)

讲义：直线与方程内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α() 0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ?? ?.当2 π α=时，斜率不存在. （2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -=≠-. 2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠；（2）12121l l k k ⊥??=-；（3）1l 与2l 重合?12k k =且12b b = 3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在）（2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式： 11 21212121 (,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：( ) 22 00x y C A B A +B += +≠ （5）截距式： 1x y a b +=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距） 4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则：（1）1l 与2l 相交1122A B A B ? ≠；（2）1l ∥2l 111 222 A B C A B C ?=≠；（3）1l 与2l 重合

111 222 A B C A B C ? ==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式2 2 122121()()PP x x y y = -+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y = + 6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002 2 Ax By C d A B ++= + （1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A += （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += （3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2 2 C d A B = + 7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122 2 C C d A B -= + 8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为 ()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈ 9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012 022 x x x y y y +?=??? +?=?? （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有 122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C B +=-且12x x =

第五章二元一次方程组知识点整理知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1. (3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程） 2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by |a|－1 ＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22 =-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71 =+y x ⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（） A ．3x-y 2 =0 B ．2x +1y =1 C ．3x -5 2 y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A 、2284 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 【巩固练习】1，已知下列方程组：（1）32x y y =??=-?，（2）324x y y z +=??-=?，（3）1310x y x y ?+=?? ??-=?? ，（4）30x y x y +=??-=?，其中属于二元一次方程组的个数为（） A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 1、若75331 3=+--m n m y x 是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。知识点2：二元一次方程组的解定义

《直线与方程》说课稿一、高中数学总课标 1 、掌握数学基础知识、基本技能、基本方法、基本实践活动 2 、培养空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的能力；培养应用意识、创新意识 3、提高兴趣、树立信心、培养理性认识、辩证唯物主义世界观二、《直线与方程》的课程目标 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式，并能根据条件求出直线方程；掌握交点的求法和点到直线距离公式的推导。 2、培养全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力。 3、激发学生的学习兴趣，拓展学生的视野，培养良好的学习习惯三、新教材编写特点 1．更换教学顺序，更加重视学生的认知规律 ①.两直线的夹角、曲线与方程的关系没有在此出现． ②.两条直线平行与垂直的判定放在了直线方程之前 (学斜率之后的趁热打铁)．旧《大纲》课时安排大约10课时，新《课程标准》课时安排大约9课时，如果增加1课时以复习初中的相关知识，两者基本相当。 2.选用素材更贴近生活，更加凸显了新课程教学内容要密切联系学生生活实际的特点 3.使用“思考”、“探究”等行为动词，更加注重学生的学习过程的培养 4.注重数学文化教学四、教学建议 1．注意把握课标教学教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。但是也不能仅仅停留在书本的教学上，教参在P59、P71、P77、P82-84、P93-96都配备了大量不同类型的例题，从这里也可以看出编者对本章的重视程度，因此，我觉得可以在大纲规定的10课时的基础上增加2节习题课，也为后面圆的方程的学习打好基础。 2．关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。《普通高中数学课程标准（实验）》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对