山东省青岛五中届九年级数学10月月考试题含解析新人教版含答案
山东省青岛市局属四校联考2025届九上数学期末统考试题含解析
山东省青岛市局属四校联考2025届九上数学期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的坐标为（-1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，-4）B．（1，-4）C．（-1，4）D．（-4，2）2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是()A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D3．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？A．5 B．6 C．7 D．104．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为()2,3-、()1,3，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A ．1-B ．3-C ．5-D ．7-6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE ＝65°，∠ABC ＝68°，则∠A 的度数为（ ）.A ．112°B ．68°C ．65°D ．52°7．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120ABC ∠=︒，E 是AD 的中点，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转至点B 与点D 重合，此时点E 旋转至F 处，则点B 在旋转过程中形成的BD 、线段DF 、点E 在旋转过程中形成的EF 与线段EB 所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．32πC ．2πD ．3π8．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=1．∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）A ．aB ．aC ．aD ．a9．如图，123////l l l ，两条直线与三条平行线分别交于点,,A B C 和,,D E F ．已知32DE EF =，则AB AC 的值为（ ）A ．32B ．23C ．35D ．2510．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%二、填空题(每小题3分,共24分)11．请写出“两个根分别是2，-2”的一个一元二次方程：_______________12．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A ，然后过点A 作AB 与残片的内圆相切于点D ，作CD ⊥AB 交外圆于点C ，测得CD ＝15cm ，AB ＝60cm ，则这个摆件的外圆半径是_____cm ．13．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．14．对于实数a ，b ，定义运算“⊗”： ()22{()ab b a b a b a ab a b -≥⊗=-< ，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣1x+8=0的两个根，则x 1⊗x 2=________．15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．16．如图，已知半⊙O 的直径AB ＝8，将半⊙O 绕A 点逆时针旋转，使点B 落在点B '处，AB '与半⊙O 交于点C ，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC 的长为_____．17．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE⊥AC于E交AB于F，若BC=2CD，AE=2，则线段BF=______.18．如图，圆形纸片⊙O半径为52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出4个最大的小正方形，则4 个小正方形的面积和为_______．三、解答题(共66分)19．（10分）永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品．（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料吨；（2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．21．（6分）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）22．（8分）在一个不透明的盒子里装有4个分别标有：﹣1、﹣2、0、1的小球，它们的形状、大小完全相同，小芳从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，作为点M的横坐标：小华在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，作为点M的纵坐标．（1）用画树状图或列表的方式，写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝2x的图象上的概率．23．（8分）某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x.（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？24．（8分）（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：成绩分组频数频率50≤x＜60 8 0.1660≤x＜70 12 a70≤x＜80 ■0.580≤x＜90 3 0.0690≤x≤100 b c合计■ 1（1）写出a，b，c的值；（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．25．（10分）如图，已知四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE=OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线．26．（10分）如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．（1）求AB 与CD 之间的距离（结果保留根号）．（2）求建筑物CD 的高度（结果精确到1m ）．（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.3︒≈3 1.7≈）参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】过B 作BC ⊥y 轴于C ，过B 1作B 1D ⊥y 轴于D ，依据△AOB 和△A 1OB 1相似，且相似比为1：2，即可得到112BO B O =，再根据△BOC ∽△B 1OD ，可得OD=2OC=4，B 1D=2BC=2，进而得出点B 1的坐标为（2，-4）． 【详解】解：如图，过B 作BC ⊥y 轴于C ，过B 1作B 1D ⊥y 轴于D ，∵点B 的坐标为（-1，2），∴BC=1，OC=2，∵△AOB 和△A 1OB 1相似，且相似比为1：2， ∴112BO B O =, ∵∠BCO=∠B 1DO=90°，∠BOC=∠B 1OD ，∴△BOC ∽△B 1OD ，∴OD=2OC=4，B 1D=2BC=2，∴点B 1的坐标为（2，-4），故选：A ．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．2、B【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=12∠BOD，从而可对各选项进行判断．【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD =弧BD，∴∠C=12∠BOD．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3、C【解析】依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7，故选C4、D【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；B 、不是轴对称图形，故B 不符合题意；C 、不是轴对称图形，故C 不符合题意；D 、是轴对称图形，故D 符合题意．故选D.【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5、C【分析】根据顶点P 在线段AB 上移动，又知点A 、B 的坐标分别为()2,3-、()1,3，再根据AB 平行于x 轴，MN 之间距离不变，点N 的横坐标的最大值为4，分别求出对称轴过点A 和B 时的情况，即可判断出M 点横坐标的最小值．【详解】根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为()2,0-，当对称轴过A 点时，点M 的横坐标最小，此时的N 点坐标为()1,0，M 点的坐标为()5,0-，故点M 的横坐标的最小值为5-，故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象与性质．解答本题的关键是理解二次函数在平行于x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．6、C【分析】由四边形ABCD 内接于⊙O ，可得∠BAD+∠BCD ＝180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD ＝∠DCE ．继而求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，∵∠BCD+∠DCE ＝180°，∴∠A ＝∠DCE ＝65°．故选：C ．【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．7、C【分析】根据菱形的性质可得AD=AB=4，∠DAB=180°－60ABC ∠=︒，AE=122AD =，然后根据旋转的性质可得：S △ABE =S △ADF ，∠FAE=∠DAB=60°，最后根据S 阴影=S 扇形DAB ＋S △ADF ―S △ABE ―S 扇形FAE 即可求出阴影部分的面积.【详解】解：∵在菱形ABCD 中，4AB =，120ABC ∠=︒，E 是AD 的中点，∴AD=AB=4，∠DAB=180°－60ABC ∠=︒，AE=122AD =， ∵ABE ∆绕点A 逆时针旋转至点B 与点D 重合，此时点E 旋转至F 处，∴S △ABE =S △ADF ，∠FAE=∠DAB=60°∴S 阴影=S 扇形DAB ＋S △ADF ―S △ABE ―S 扇形FAE= S 扇形DAB ―S 扇形FAE=22604602360360ππ⨯⨯- =2π故选：C.【点睛】此题考查的是菱形的性质、旋转的性质和扇形的面积公式，掌握菱形的性质定理、旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.8、C【详解】解：∵∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∵AB=4，AD=1，∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，∵△ABD 的面积为a ，∴△ACD 的面积为a ，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．9、C【分析】由123////l l l 得,DE AB EF BC=设3,AB k =可得答案． 【详解】解： 123////l l l ，32DE EF =， 3,2DE AB EF BC ∴== 设3,AB k = 则2,BC k =5,AC k ∴=33.55AB k AC k ∴== 故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，比例线段，掌握这两个知识点是解题的关键．10、A【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设平均每次降价的百分率为x ，依题意，得：30（1﹣x ）2＝24.3，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（不合题意，舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、240x -=【分析】可先分别写出解为2,-2的一元一次方程（此一元一次方程的等式右边为0），然后逆运用因式分解法即可.【详解】解：因为x +2=0的解为x =-2,x -2=0的解为x =2，所以(2)(2)0x x +-=的两个根分别是2，-2，(2)(2)0x x +-=可化为240x -=.故答案为：240x -=.【点睛】本题考查一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程.因式分解法是令等式的一边为0，另一边分解为两个一次因式乘积的形式，这两个一次因式为0时的解为一元二次方程的两个解.而本题可先分别写出两个值为0时解为2和-2的一次因式，这两个一次因式的乘积即可作为一元二次方程等式的一边，等式的另外一边为0.12、37.1【分析】根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．【详解】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，∵CD＝11cm，AB＝60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD＝12AB＝30cm，∴设半径为rcm，则OD＝(r﹣11)cm，根据题意得：r2＝(r﹣11)2+302，解得：r＝37.1，∴这个摆件的外圆半径长为37.1cm，故答案为37.1．【点睛】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．13、2π【解析】试题分析：如图，∠BAO=30°，3在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=BO AO，∴3tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴22(3)12-=，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=121222ππ⨯⨯⨯=．考点：圆锥的计算．14、±4【解析】先解得方程x2﹣1x+8=0的两个根，然后分情况进行新定义运算即可. 【详解】∵x2﹣1x+8=0，∴（x-2）（x-4）=0，解得：x=2，或x=4，当x1＞x2时，则x1⊗x2=4×2﹣22=4；当x1＜x2时，则x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4.故答案为：±4.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于利用因式分解法求得方程的解.15、14．【解析】试题分析：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率=14．故答案为14．考点：列表法与树状图法．16、2π【分析】设∠OAC＝n°．根据S阴＝S半圆＋S扇形BAB′−S半圆＝S扇形ABB′，构建方程求出n即可解决问题．【详解】解：设∠OAC＝n°．∵S阴＝S半圆+S扇形BAB′﹣S半圆＝S扇形ABB′，∴28360nπ•＝8π，∴n＝45，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠BOC＝90°，∴BC 的长＝904180π••＝2π， 故答案为2π．【点睛】本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式，弧长公式．175【分析】连接BD ，延长BA ，CD 交于点G ，根据∠BAD=∠BCD=90°可得点A 、B 、C 、D 四点共圆，根据圆周角定理可得CBD CAD ∠=∠，根据DE ⊥AC 可证明△AED ∽△BCD ，可得112DE AE ==，利用勾股定理可求出AD 的长，由∠ABC=45°可得△ABG 为等腰直角三角形，进而可得△ADG 是等腰直角三角形，即可求出AG 、DG 的长，根据BC=2CD 可求出CD 、BC 、AB 的长，根据ADE FDA ∠=∠，90FAD AED ∠=∠=︒可证明△AED ∽△FAD ，根据相似三角形的性质可求出AF 的长，即可求出BF 的长.【详解】连接BD ，延长BA ，CD 交于点G ，∵90BAD BCD ∠=∠=︒，∴A B C D 、、、四点共圆，∴CBD CAD ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AED BCD ∠=︒=∠，∴△AED ∽△BCD ，∴::2:1AE DE BC CD ==，∴112DE AE ==， ∴22AE DE +5∵45,90ABC BCD ∠=︒∠=︒∴BCG ∆是等腰直角三角形，∵BC=2CD ，∴22BC CG CD DG ===∴CD=DG ，∵45,90G GAD ∠=︒∠=︒，∴ADG ∆是等腰直角三角形， ∴5,10AG AD DG ===，∴10,210,245CD BC BG BC ====， ∵ADE FDA ∠=∠，90FAD AED ∠=∠=︒，∴△AED ∽△FAD ，∴::2:1AF AD AE DE ==， ∴225AF AD ==∴5BF BG AF AG =--=.【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 18、16【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB ，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.【详解】解：如图，点A 为上面小正方形边的中点，点B 为小正方形与圆的交点，D 为小正方形和大正方形重合边的中点，由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD 为等腰直角三角形，∵⊙O 半径为 2，根据垂径定理得：∴522=5， 设小正方形的边长为x ，则AB=12x ，则在直角△OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2，即()()22215=522x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 解得x=2，∴四个小正方形的面积和=242=16⨯.故答案为：16.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）54x ；（2）y ＝﹣4x 2+800x ；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．【分析】（1）根据“每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨”，即可求出；（2）根据总利润＝总售价－总成本即可求出y 关于x 的函数关系式；（3）先求出y=38400元时，x 的值，然后根据二次函数图象的开口方向和增减性即可求出x 的取值范围.【详解】（1）x ÷0.8＝54x 吨， 故答案为：54x ； 故答案为：54x ； （2）根据题意得，y ＝x [1600﹣4（x ﹣50）]﹣54x •800＝﹣4x 2+800x ， 则y 关于x 的函数关系式为：y ＝﹣4x 2+800x ；（3）当y ＝38400时，﹣4x 2+800x ＝38400，x 2﹣200x +9600＝0，（x ﹣120）（x ﹣80）＝0，x ＝120或80，∵﹣4＜0，∴当y ≥38400时，80≤x ≤120，∴100≤54x ≤150， ∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和二次函数的增减性是解决此题的关键.20、（1）抛物线的解析式为211y=x +x 22-；（2）①P 点坐标为P 1（44-）或P 2（3344-，）或P 2（3322-，）；②D （33 28-，）． 【分析】（1）首先解方程得出A ，B 两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可．（2）①首先求出AB 的直线解析式，以及BO 解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP 时，当OP=PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，当OC=PC 时分别求出x 的值即可．②利用S △BOD =S △ODQ +S △BDQ 得出关于x 的二次函数，从而得出最值即可．【详解】解：（1）解方程x 2﹣2x ﹣2=0，得 x 1=2，x 2=﹣1．∵m ＜n ，∴m=﹣1，n=2．∴A （﹣1，﹣1），B （2，﹣2）．∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax 2+bx ．∴a b=1{9a 3b=3----，解得：1a=2{1b=2-． ∴抛物线的解析式为211y=x +x 22-． （2）①设直线AB 的解析式为y=kx+b ．∴k+b=1{3k+b=3---，解得：1k=2{3b=2--． ∴直线AB 的解析式为13y=x 22--．∴C 点坐标为（0，32-）． ∵直线OB 过点O （0，0），B （2，﹣2），∴直线OB 的解析式为y=﹣x ．∵△OPC 为等腰三角形， ∴OC=OP 或OP=PC 或OC=PC ．设P （x ，﹣x ）．（i ）当OC=OP 时，()229x +x =4-， 解得123232x =x =44-，（舍去）． ∴P 1（323244-，）． （ii ）当OP=PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，∴P 2（3344-，）． （iii ）当OC=PC 时，由2239x +x+=24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 解得123x =x =02，（舍去）． ∴P 2（3322-，）． 综上所述，P 点坐标为P 1（323244-，）或P 2（3344-，）或P 2（3322-，）． ②过点D 作DG ⊥x 轴，垂足为G ，交OB 于Q ，过B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ．设Q （x ，﹣x ），D （x ，211x +x 22-）． S △BOD =S △ODQ +S △BDQ =12DQ•OG+12DQ•GH=12DQ （OG+GH ） =2111x+x +x 3222⎡⎤⎛⎫-⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=23327x +4216⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵0＜x ＜2， ∴当3x=2时，S 取得最大值为2716，此时D （33 28-，）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．21、（1）树AB 的高约为；（2）【解析】（1）AB=ACtan30°=12×3=．答：树高约为（2）如图（2），B 1N=AN=AB 1sin45°=×2=．NC 1=NB 1tan60°==．AC 1=AN+NC 1= 当树与地面成60°角时影长最大AC 2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB 的⊙A 相切时影长最大）AC 2=2AB 2=（1）在直角△ABC 中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB 的长；（2）在△AB 1C 1中，已知AB 1的长，即AB 的长，∠B 1AC 1=45°，∠B 1C 1A=30°．过B 1作AC 1的垂线，在直角△AB 1N 中根据三角函数求得AN ，BN ；再在直角△B 1NC 1中，根据三角函数求得NC 1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．22、（1）见解析；（2）16【分析】（1）画树状图即可得到12种等可能的结果数；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到点（﹣2，1）和点（1，﹣2）满足条件，然后根据概率公式计算，即可．【详解】（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，它们为（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（0，﹣1），（0，﹣2），（0，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0）；（2）∵点M（x，y）在函数y＝2x-的图象上的点有（﹣2，1），（1，﹣2），∴点M（x，y）在函数y＝2x-的图象上的概率＝212＝16．【点睛】本题主要考查简单事件的概率和反比例函数的综合，画树状图，是解题的关键.23、（1）y= -3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【分析】（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式；（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况．【详解】（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)= -3x2+330x-8568；（2）y=-3x2+330x-8568= -3(x-55)2+507因为-3<0，所以x=55时，y有最大值为507.答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）25人.【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c 的值；（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）a=12÷50=0.24，70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）c=2÷50=0.04所以a=0.24，b=2，c=0.04；（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：1000×0.6=600（人）∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，∴抽取的2名同学来自同一组的概率P=820=25【点睛】本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．25、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】(1)先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；(2)根据等腰三角形的性质得到∠3=∠COD=∠DEO=60°，根据平行线的性质得到∠4=∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO=∠CDO=90°，于是得到结论；【详解】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠COD ，∴DE=OE ；(2)∵OD=OE ，∴OD=DE=OE ，∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，∴∠2=∠1=30°，∵AB ∥CD ，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，∴∠BOC=∠DOC=60°，在△CDO 与△CBO 中，OD OB DOC BOC OC OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDO ≌△CBO(SAS)，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，判断出△CDO ≌△CBO 是解本题的关键．26、（1）；（2）51m【分析】（1）作AM CD ⊥于M ，根据矩形的性质得到16CM AB ==，AM BC =，根据正切的定义求出AM ； （2）根据正切的定义求出DM ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：（1）作AM CD ⊥于M ，则四边形ABCM 为矩形，16CM AB ∴==，AM BC =，在Rt ACM 中，tan CM CAM AM ∠=，则)16tan tan 30CM AM m CAM ︒===∠， 答：AB 与CD之间的距离；（2）在Rt AMD △中，tan DM DAM AM∠=， 则tan 16 1.7 1.335.36DM AM DAM =⋅∠≈⨯⨯=，()35.361651DC DM CM m ∴=+=+≈，答：建筑物CD 的高度约为51m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。
2024年青岛版六三制新九年级数学下册阶段测试试卷含答案
2024年青岛版六三制新九年级数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9 500 000 000 000km，这个数字用科学记数法可表示为（）A. 950×1010 kmB. 95×1011 kmC. 9.5×1012 kmD. 0.95×1013 km2、若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则它的对称轴是( )A.B. x＝1C. x＝2D. x＝33、【题文】在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数的图像没有公共点，则A. k1+k2＜0B. k1+k2＞0C. k1k2＜0D. k1k2＞04、下列计算中，正确的是（）A.B.C.D.5、学校用一笔钱买奖品；若1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，这笔钱全部用来买日记本，可买（）A. 400本。
B. 300本。
C. 200本。
D. 100本。
6、若如图是某个几何体的三视图；则该几何体是（）A. 长方体。
B. 三棱柱。
C. 圆柱。
D. 圆台。
评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、（2014秋•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设=，=，如果用表示向量，那么=____．8、若圆内接正三角形的边长为2，则圆的半径为____．9、计算：+=____．10、在△ABC中，∠C=90°，tanA= AC=3，则AB=____．11、若的值是整数，则自然数x的值为____．12、分解因式：（1）x2－9＝____；（2）4x2－4x＋1＝____．13、如果关于x的方程x2+bx+4=0有两个相等的实数根，那么b的值为____．14、已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2+m-6=0的一个根为0，则m的值为____．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)15、对角线互相垂直的四边形是菱形．____．（判断对错）16、两条对角线相等的四边形是矩形．____．（判断对错）17、有一个角相等的两个菱形相似．____．（判断对错）18、一条直线的平行线只有1条．____．19、三角形三条角平分线交于一点20、定理不一定有逆定理21、在学习代数式的值时，介绍了计算框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）（1）①如图1，当输入数x=-2时，输出数y=____；②如图2，第一个运算框“”内，应填____；第二个运算框“”内，应填____；（2）①如图3，当输入数x=-1时，输出数y=____；②如图4，当输出的值y=37，则输入的值x=____；（3）为鼓励节约用水；决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费．请设计出一个“计算框图”，使得输入数为用水量x，输出数为水费y．22、三角形的外角中，至少有1个是钝角____．23、如果y是x的反比例函数，那么当x增大时，y就减小。
2024-2025学年青岛十九中高一数学上学期10月检测试卷附答案解析
2024-2025学年青岛十九中高一数学上学期10月检测试卷说明：1．本试卷分第I 卷和第II 卷。
满分150分。
答题时间120分钟。
2．请将第I 卷题目的答案选出后用2B 铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第II 卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废。
第I 卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合}22|{<<-∈=x N x A ，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （）A ．)1,0(B ．)2,0(C ．}1,0{D ．}2,1,0{2．已知集合)}(02|{R a a x x A ∈<-=，且A A ，∉∈21，则（）A ．4≤a B ．2>a C ．42<<a D ．42≤<a 3．给出下列命题中正确命题的是（）A ．若a b <,0c >，则bca c >B ．若b a >，则22a b >C ．若110a b<<，则33a b >D ．若33ac bc >，则a b>4．已知集合{|13}A x x =≤≤，非空集合{|215}B x a x =-<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为（）A ．2a ≥B ．2a >C ．23a ≤<D ．23a ≤≤5．若41≤≤x ，则)2)(6(+-x x 的最大值为（）A ．4B ．15C ．32D ．26．已知a ∈R ，则“1a >”是“12a a+>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．负实数y x ,，满足1-=+y x ，则yx 1-的最小值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．4-8．关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个正整数，则实数a 的取值范围是（）A ．[3，4]B ．（3，4]C ．（3，4）D ．[2，4）二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合{}20A x x x =-=，{}B x x A =⊆.则下列表示正确的是（）A ．B ∅⊆B ．B∅∈C ．A B ⊆D ．A B∈10．下列说法正确的是（）A ．“1>a ”是“11<a”的充要条件B ．“4a =”是“集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素”的充分不必要条件C ．“A x ∈”是“B A x ∈”的必要不充分条件条件D ．“1≠x ”是“0232≠+-x x ”的充分不必要条件11．已知b a ,为正实数，且216ab a b ++=，则（）A ．ab 的最大值为8B ．2a b +的最小值为8C ．1112+++a b 的最小值为2D ．19b a +-的最小值为110-第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是______________.13．已知0,0>>y x ，且21121=++y x ，则y x +的最小值为_________．14．已知集合}0)1)((|{2=-+--=a ax x a x x M 各元素之和等于3，则实数a =________．四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知集合{}2560A x x x =-+=，}02)1(|{2=+-+=x x m x B ．(1)若B =∅，求实数m 的取值范围；(2)若B ≠∅，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 取值集合的所有子集．16．（15分）已知集合{}260A x x x =+-≥，5{|0}1x B x x -=<-，{}12C x m x m =-≤≤(1)求B A ，)(B C A R ；(2)定义{}A B x x A x B -=∈∉且，求A B -，B A -；(3)若B C C = ，求实数m 的取值范围．17．（15分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，2AD =米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．18．（17分）已知函数6()3f x ax x=+-．(1)R x ∈∀，0)(>x xf 恒成立，求a 的取值范围；(2)若()4xf x <的解集为{}1x x b <<，①求a ，b 的值；②解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<．19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知1ab =，求证：11111a b+=++．证明：原式111111ab b ab a b b b=+=+=++++．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：(1)已知1ab =，求221111a b +++的值；(2)若1abc =，解方程5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++；(3)若正数,a b 满足1ab =，求11112M a b=+++的最小值．2024-2025学年青岛十九中高一数学上学期10月检测试卷一、单选题：CDCD AAAB 二、选择题：ABDBC ABD三、填空题：12.01,12≥-≥∃x x 13.614.232或四、解答题:15．（13分）【详解】（1）因为B =∅，所以方程02)1(2=+-+x x m 无实数根，当01=+m ，即1-=m 时，原方程可化为20x -+=，有实数根2，不满足题意；当01≠+m 时，一元二次方程02)1(2=+-+x x m 无实数根，则0181<+-=∆）（m ，解得87->m ，即实数m 的取值范围为}87|{->m m ．（2）{}{}25602,3A x x x =-+==，由题意可得，B 是A 的真子集．当2B ∈时，得1-=m ，此时{}2B =，满足题意；当3B ∈时，得98-=m ，此时{}3,6B =不满足题意．综上，m 的取值集合为{}2-，其所有子集为{},2∅-．16．（15分）【详解】（1）依题意，集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，则{|25}A B x x =≤< ，}5,1|{≥≤=x x x B C R 或，则}2,1|{≥≤=x x x B C A R 或 .（2）{|}{|32}{|15}{|35}A B x x A x B x x x x x x x x x -=∈∉=≤-≥⋂≤≥=≤-≥且或或或；{|}{|15}{|32}{|12}B A x x B x A x x x x x x -=∈∉=<<⋂-<<=<<且.（3）由B C C = 可知C B ⊆,当C =∅时,则12m m ->，解得1m <-；当C ≠∅时，须使122511m mm m -≤⎧⎪<⎨⎪->⎩，解得522m <<.综上，实数m 的取值范围是5(,1)(2,2-∞- .17．（15分）【详解】（1）设AN 的长为x 米()2x >，由题意可知：∵DN DCANAM =，∴23x x AM -=，∴32x AM x =-，∴232AMPN x S AN AM x =⋅=-，由32AMPN S >，得23322x x >-，∵2x >，∴()233220x x -->，即()()()38802x x x -->>,解得：823x <<或8x >，即AN 长的取值范围是()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）∵2x >，∴()()()2232122123123212222AMPNx x x S x x x x -+-+===-++---1224≥=，当且仅当()12322x x -=-，即4x =时，取“=”号，即AN 的长为4米，矩形AMPN 的面积最小，最小为24平方米．18．（17分）（1）恒成立对R x x ax x xf ∈∀>+-=063)(2 ，恒成立时，当060>=∴a ，满足题意0=∴a ；⎩⎨⎧<-=∆>≠∴024900a a a 时，当249>∴a ；综上所述，a 的取值范围为}0,249|{=>a a a 或（2）①因为函数6()3f x ax x=+-，所以不等式()4xf x <，即为2320ax x -+<，由于不等式的解集为{}1x x b <<可得，31b a+=，且21b a ⨯=，求得1,2a b ==．（2）关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<，即2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<．当2c =时，不等式即2(2)0x -<，它的解集为∅；当2c <时，不等式(2)()0x x c --<的解集为(,2)c ；当c ＞2时，不等式(2)()0x x c --<的解集为(2,)c ．19．（17分）【详解】（1）222211111ab ab b aa b ab a ab b a b a b+=+=+=++++++．（2）1abc = ∴原方程可化为：55511(1)ax bx bcxab a abc bc b b ca c ++=++++++即：5551111x bx bcxb bc bc b bc b++=++++++5(1)11b bc x b bc ++∴=++，即51x =，解得：15x =．（3）2221122111111211223123123ab b b b b M ab a b b b b b b b b b ++=+=+==-=-++++++++++12b b +≥= 12b b =，即12,b a b===时，等号成立，12b b∴+有最小值，此时1123b b++有最大值3-从而11123b b-++有最小值2，即11112M a b=+++有最小值2．。
2024年山东省青岛市即墨区九年级中考一模数学试题(含答案)
2023—2024学年度第二学期学业水平诊断性测试九年级数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26道题．第Ⅰ卷1～10题为选择题，共30分：第Ⅱ卷11～16题为填空题，17题为作图题，18～26题为解答题，共90分，要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．第Ⅰ卷一、选择性（本题满分30分，共有10道小题。
每小题3分）下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论。
其中只有一个是正确的。
每小题选对得分：不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，在不考虑图中阴影及拼接线的情况下，下列由七巧板拼成的图案中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．据新闻网报道：截止2023年12月底，我国在轨运行的北斗系列卫星已经达到48颗，完成组网已覆盖全球。
北斗导航系统的建成，是我国经济增长的催化剂，预计2025年，北斗导航对我国经济的贡献可达156亿美元。
将“156亿”用科学记数法表示为：（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是（ ）AB ．100.15610⨯91.5610⨯101.5610⨯915.610⨯20212︒-=842a a a +=C ．D ．5．如图，在中，直角顶点C 的坐标为，点A 在x 轴正半轴上，且，将先绕C 顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点A 的对应点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．6．小亮在网上销售某种笔记本，最近一周，每天销售该笔记本的本数为：12，13，14，15，14，16，21．关于这组数据，小亮得出如下结果，其中错误的是（ ）A．方差是B ．众数是14本C ．平均数是15本D ．中位数是14本7．如图，在中，，点D 为BC 中点，过点D 作BC 的垂线，交AB 于点E ，连接CE ，作的平分线，与DE 的延长线交于点F ，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于，连接BD ，若，，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，，，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC ，BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F ，下列4个判断：①；②；③；④若点G 是线段OF 的中点，则为等腰直角三角形．其中，判断正确的是（）235a a a +=3256(3)8a a a a -⋅=Rt ABC △()1,03AC =ABC △90︒A '()1,3()1,3-()1,3--()1,3-447ABC △70A ∠=︒ACE ∠F ∠30︒35︒40︒55︒O AC BC =50BDC ∠=︒ADC ∠125︒130︒135︒150︒45BOD ∠=︒BO DO =OE BD ⊥30ADB ∠=︒DF =AEG △A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．③④10．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11______．12．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务。
山东省青岛第五中学2019-2020学年九年级第二学期第一次模拟考试数学试题
第3题图 B . C . D A A ． B ． C ． D ． 青岛五中2019年初三第一次模拟考试九年级数学试题（考试时间：120分钟；满分：120分）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1．6-的绝对值是（ ）． A ．6- B ．16 C ．16- D ．62．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． 3．如图，由5个相同的圆柱搭成的几何体，其左视图是（ ）．4．如图，⊙O 的直径AD =6，∠BAC =30°，则弦BC 的长为 _______ （A ）3 （B ）33 （C ）6 （D ）235．一个不透明的口袋里装有除颜色外完全相同的8个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个． A ．92B ．72C ．80D ．886．现有一块长80㎝、宽60㎝的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x ㎝的小正方形，做成一个底面积为1500㎝2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得（ ）．A ．0825702=+-x x B ．0825702=-+x xC ．033001402=+-x x D ．033001402=-+x x7．如图，把△ABC 经过一定的变换得到△A ′B ′C ′， 如果△ABC 上点P 的坐标为),(y x ，那么这个点在△A ′B ′C ′中的对应点P ′ 的坐标为（ ）． A ．)2,(--y x B ．)2,2(++-y x C ．),2(y x -+- D ．)2,(+-y x8．当k<0时，反比例函数x ky =和一次函数)1(-=x k y 的图象大致是（ ）．题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．=+-01)2(2．10．扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新的学科——纳米技术，若1米=109纳米，83纳米用科学记数法表示为 米．11．下表记录了一位射击运动员在备战奥运会期间的一次训练成绩（单位：环）：号 0 1 2绩 0 0 0 0根据表中的数据可得：这次训练成绩的中位数是 环，众数是 环． 12．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm 。
2023-2024学年山东省青岛市市北区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列等式是一元二次方程的是( )A. B. C. D.2.下列属于等可能随机事件的是( )A. 任意掷一枚图钉钉尖朝上B. 任意掷一枚均匀的硬币字面朝上C. 用两条线段组成一个三角形D. 明天会下雪3.一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的( )A.B.C.D.4.如图所示，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2，坝高，则坡面AB的长度是( )A. 4mB. 5mC. 6mD.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形ABCD的面积是( )A.B. 1C.D. 46.二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有( )①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是______.8.已知，则的值是______.9.一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的9枚白球和若干黑球，进行有放回的随机摸取，每次摸取一球并记录结果.如图是某小组做“用频率估计概率”的摸球试验时，绘制的白球出现的频率分布折线图，由此可估计袋子中有______枚黑球.10.若是关于x的一元二次方程的一个解，则常数k的值为______.11.在中，和均为锐角，且则______度.12.如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所.如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边.若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域阴影部分的面积为192平方米.设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是______.13.已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式______.14.如图，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，点E在边CD上，，作，分别交AC，AB于点G、F，M，N分别是AG，BE的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤正确的是______填写所有正确结论的序号三、解答题：本题共9小题，共78分。
山东省青岛五校联考2022年数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB ＝3：2，CP ：BP ＝1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②2BF ＝PB •EF ；③PF •EF ＝22AD ；④EF •EP ＝4AO •PO ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④2．在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）A ．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地B ．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度C ．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取D ．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要3．在半径为1的⊙O 中，弦AB 2，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．45°B ．60°C ．45°或135°D ．60°或120°4．m 是方程20x nx m ++=的一个根，且0m ≠，则m n + 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．12-D ．125．如图，直线y mx =与双曲线ky x=交于A 、B 两点，过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，连接BM ，若2ABM S ∆=，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-46．已知反比例函数6y x=-，下列结论中不正确的是． （ ） A ．图象必经过点(3，-2) B ．图象位于第二、四象限C ．若2x <-，则3y >D ．在每一个象限内， y 随x 值的增大而增大7．已知O 与ABC 各边相切于点,,D E F ，5,3,2AD cm CE cm BF cm ===，则O 的半径（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．2cm8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为（ ）A ．35B ．34C ．105D ．19．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ’C ’D ’，图中阴影部分的面积为（ ）．A ．12B ．33C ．313-D ．314-10．若气象部门预报明天下雨的概率是65%，下列说法正确的是（ ） A ．明天一定会下雨 B ．明天一定不会下雨 C ．明天下雨的可能性较大 D ．明天下雨的可能性较小二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心，AD 长为半径画AC ，再以BC 为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S 1，阴影部分②的面积为S 2，则图中S 1﹣S 2的值为_____．(结果保留π)12．底角相等的两个等腰三角形_________相似.(填“一定”或“不一定”)13．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点M 是BC 边上的动点（不与B ，C 重合），点N 是AM 的中点，过点N 作EF ⊥AM ，分别交AB ，BD ，CD 于点E ，K ，F ，设BM ＝x ． （1）AE 的长为______（用含x 的代数式表示）； （2）设EK ＝2KF ，则ENNK的值为______．14．如图所示，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（6，10），则点C 的坐标为_____．15．如图，双曲线()20=>y x x经过Rt OAB ∆斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ．过点D 作DE OA ⊥于点E ，连接OC ，则OBC ∆的面积是__________．16．函数25(2)my m x -=-，其中y 是x 的反比例函数，则m 的值是__________.17．若m 是方程22310x x -+=的根，则2692019m m ++-的值为__________． 18．边长为4cm 的正三角形的外接圆半径长是_____cm ． 三、解答题(共66分)19．（10分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a ．七年级成绩频数分布直方图：b ．七年级成绩在7080x ≤<这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c ．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人； （2）表中m 的值为 ；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．20．（6分）在一个不透明的布袋中，有三个除颜色外其它均相同的小球，其中两个黑色，一个红色. (1)请用表格或树状图求出：一次随机取出2个小球，颜色不同的概率.(2)如果老师在布袋中加入若干个红色小球.然后小明通过做实验的方式猜测加入的小球数，小 明每次換出一个小球记录下慎色并放回，实验数据如下表： 实验次数 100 200 300 400 500 1000 摸出红球78147228304373752请你帮小明算出老师放入了多少个红色小球.21．（6分）某活动小组对函数22y x x =-的图象性质进行探究，请你也来参与 （1）自变量x 的取值范围是______；（2）表中列出了x 、y 的一些对应值，则m =______；（3）依据表中数据画出了函数图象的一部分，请你把函数图象补充完整；x3-2- 1- 01 2 3 y3m1- 01- 03（4）就图象说明，当方程22x x a -=共有4个实数根时，a 的取值范围是______．22．（8分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC 斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB ＝2米，若梯子底端C 的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A'D 的长是多少米？（结果保留根号）23．（8分）已知二次函数221.y x kx k =-++-（k 是常数）(1)求此函数的顶点坐标.(2)当1x ≥时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围. (3)当01x ≤≤时，该函数有最大值3，求k 的值.24．（8分）如图，正方形FGHI 各顶点分别在△ABC 各边上，AD 是△ABC 的高， BC=10，AD=6.（1）证明：△AFI ∽△ABC ； （2）求正方形FGHI 的边长.25．（10分）如图1，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE AB =，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG 的形状，并说明理由；（2）如图2，若点E 和点A 在BC 的两侧，BE 、AC 的延长线交于点G ，AD 的延长线交BE 于点F ，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG ＝26，BD ﹣DF ＝7，求AB 的长．26．（10分）问题呈现：如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A 、B 和 C 、D ，AB 和 CD 相交于点 P ，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B 、 E ，可得 BE ∥CD ，则∠ABE=∠CPB ，连接AE ，那么∠CPB 就变换到 Rt △ABE 中．问题解决：（1）直接写出图 1 中 tan ∠CPB 的值为______；（2）如图2，在边长为1 的正方形网格中，AB 与CD 相交于点P，求cos CPB的值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】由条件设，AB=2x，就可以表示出CP=3x，x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．【详解】解：设，AB=2x∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB∴x，CD=2x∵CP：BP=1：2∴，BP=3x∵E为DC的中点，∴CE=12CD=x，∴tan∠CEP=PCECtan∠EBC=ECBC∴∠CEP=30°，∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，∴BE BP EF BF∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴2BF＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=433x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴3∴PF·43x·3x=8x22AD2=23）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误. 在Rt△ECP中，∵∠CEP=30°，∴EP=2PC=3 3x∵tan∠PAB=PBAB3∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，AO=3x，PO=3 3x∴4AO·PO=4×3x·33x=4x2又EF·EP=23x·233x=4x2∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．故选，B【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．2、B【解析】试题分析：根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；故选B．考点：本题考查的是模拟实验的条件点评：解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性．3、C【解析】试题分析：如图所示，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF=FB，∠AOF=∠FOB，∵OA=3，2，∴AF=12，∴sin ∠AOF=AF AO =∴∠AOF=45°，∴∠AOB=2∠AOF=90°， ∴∠ADB=12∠AOB=45°， ∴∠AEB=180°-45°=135°． 故选C.考点: 1.垂径定理；2.圆周角定理；3.特殊角的三角函数值． 4、A【解析】将m 代入关于x 的一元二次方程x 2+nx+m=0，通过解该方程即可求得m+n 的值． 【详解】解：∵m 是关于x 的一元二次方程x 2+nx+m=0的根， ∴m 2+nm+m=0， ∴m （m+n+1）=0； 又∵m ≠0， ∴m+n+1=0， 解得m+n=-1； 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的解一定满足该一元二次方程的关系式． 5、A【解析】由题意得:2ABMAOMS S=，又1||2AOMSk =,则k 的值即可求出. 【详解】设(,)A x y ,∴直线y mx =与双曲线ky x=交于A 、B 两点, (,)B x y ∴--,1||2BOMSxy ∴=，1||2AOMS xy =,BOM AOM S S ∴=, 122||12ABM AOM BOM AOM AOM S S S S S k ∴=+====,则2k =±. 又由于反比例函数位于一三象限,0k >,故2k =.故选A.【点睛】本题主要考查了反比例函数k y x =中k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为||k ,是经常考查的一个知识点.6、C【分析】A ．将x=3代入反比例函数，根据所求得的y 值即可判断；B ．根据反比例函数的k 值的正负即可判断；C ．结合反比例函数的图象和性质即可判断；D ．根据反比例函数的k 值的正负即可判断．【详解】解：A ．当x=3时，623y =-=-，故函数图象必经过点(3，-2)，A 选项正确； B ． 由反比例函数的系数k=-6＜0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项正确；C ． 由反比例函数图象可知：当2x <-，则3y <，故本选项不正确；D ． 由反比例函数的系数k=-6＜0，得到反比例函数图象在各自象限y 随x 的增大而增大，故本选项正确． 故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数k y x=（k ≠0），当k ＞0时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y 随x 的增大而增大．在做本题的时候可根据k 值画出函数的大致图，结合图象进行分析．7、C【分析】根据内切圆的性质，得到OD OE OF r ===，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG ⊥AC 于点G ，然后求出BG 的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.【详解】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，作BG ⊥AC 于点G ，∵O 是ABC 的内切圆，∴OD OE OF r ===，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，∴AC=8，AB=7，BC=5，在Rt △BCG 和Rt △ABG 中，设CG=x ，则AG=8x -，由勾股定理，得：22222BG BC CG AB AG =-=-，∴222257(8)x x -=--， 解得：52x =， ∴52CG =， ∴225535()22BG =-=， ∵11()2ABC S AC BG AB AC BC r ∆=•=•++•， ∴53823875r ==++ 故选：C.【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.8、B【分析】根据网格结构找出∠ABC 所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．【详解】解：∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan ∠ABC ＝34． 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．9、C【分析】设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE ＝∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′＝60°，然后求出∠DAE ＝30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．【详解】如图，设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt △AB ′E 和Rt △ADE 中，AE AE AB AD '=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AB ′E ≌Rt △ADE （HL ），∴∠DAE ＝∠B ′AE ，∵旋转角为30°，∴∠DAB ′＝60°，∴∠DAE ＝12×60°＝30°， ∴DE ＝1×33＝33， ∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（12×1×313 故选C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE ＝∠B ′AE ，从而求出∠DAE ＝30°是解题的关键，也是本题的难点．10、C【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【详解】解：气象部门预报明天下雨的概率是65%，说明明天下雨的可能性比较大，所以只有C 合题意． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1 2π【分析】如图，设图中③的面积为S1．构建方程组即可解决问题．【详解】解：如图，设图中③的面积为S1．由题意：2132231··241··12S SS Sππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得S1﹣S2＝12π，故答案为12π．【点睛】本题考查扇形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.12、一定【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，根据相似三角形的判定定理证明．【详解】如图：∵AB=AC，DE=EF，∴∠B=∠C，∠E=∠F，∵∠B=∠E，∴∠B=∠C=∠E=∠F，∴△ABC∽△DEF，故答案为一定．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．13、212x + x 【分析】（1）根据勾股定理求得AM ，进而得出AN ，证得△AEN ∽△AMB ，由相似三角形的性质即可求得AE 的长；（2）连接AK 、MG 、CK ，构建全等三角形和直角三角形，证明AK ＝MK ＝CK ，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK ＝12AM ＝AN ，然后根据相似三角形的性质求得EN AN ＝BM AB ＝x ，即可得出EN NK＝x ． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD 的边长为1，BM ＝x ，∴AM∵点N 是AM 的中点，∴AN ， ∵EF ⊥AM ，∴∠ANE ＝90°，∴∠ANE ＝∠ABM ＝90°，∵∠EAN ＝∠MAB ，∴△AEN ∽△AMB ，∴AEAM ＝AN AB ， ∴AE ＝212x +， 故答案为：212x +； （2）解：如图，连接AK 、MG 、CK ，由正方形的轴对称性△ABK ≌△CBK ，∴AK ＝CK ，∠KAB ＝∠KCB ，∵EF ⊥AM ，N 为AM 中点，∴AK ＝MK ，∴MK ＝CK ，∠KMC ＝∠KCM ，∴∠KAB ＝∠KMC ，∵∠KMB+∠KMC＝180°，∴∠KMB+∠KAB＝180°，又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，∴∠AKM＝90°，在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，∴KN＝12AM＝AN，∴ENNK＝ENAN，∵△AEN∽△AMB，∴ENAN＝BMAB＝x，∴ENNK＝x，故答案为：x．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN= AN是解题的关键．14、（6，﹣10）【分析】根据菱形的性质可知A、C关于直线OB对称，再根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．【详解】解：∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB对称，∵A（6，10），∴C（6，﹣10），故答案为：（6，﹣10）．【点睛】本题考查了菱形的性质和关于x轴对称的点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握菱形的性质是关键．15、1【分析】先证明△OED ∽△OAB ，得出相似比=12OD OB =，再根据反比例函数中k 的几何意义得出S △AOC =S △DOE =12×2=1，从而可得出△AOB 的面积，最后由S △OBC =S △AOB -S △AOC 可得出结果． 【详解】解：∵∠OAB=90°，DE ⊥OA ，∴DE ∥AB ，∴△OED ∽△OAB ，∵D 为OB 的中点D ，12OD OB ∴=，∴211()24ODE OAB S S ==． ∵双曲线的解析式是y=2x ， ∴S △AOC =S △DOE =12×2=1， ∴S △AOB =4S △DOE =4，∴S △OBC =S △AOB -S △AOC =1，故答案为：1．【点睛】主要考查了反比例函数y=k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点．16、2-【分析】根据反比例函数的定义知m 1-5=-1，且m-1≠0，据此可以求得m 的值．【详解】∵y=（m-1）x m1−5是y 关于x 的反比例函数，∴m 1-5=-1，且m-1≠0，∴（m+1）（m-1）=0，且m-1≠0，∴m+1=0，即m=-1；故答案为：-1．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=k x（k≠0）转化为y=kx -1（k≠0）的形式． 17、1【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m 2−3m+1＝0，∴2m 2−3m ＝-1∴原式＝-3（2m 2−3m ）＋2019＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．18、433． 【分析】经过圆心O 作圆的内接正n 边形的一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠O ＝180n．OC 是边心距r ，OA 即半径R ．AB ＝2AC ＝a ．根据三角函数即可求解． 【详解】解：连接中心和顶点，作出边心距．那么得到直角三角形在中心的度数为：360°÷3÷2＝60°，那么外接圆半径是4÷2÷sin60°＝433； 故答案为：433． 【点睛】本题考查了等边三角形、垂径定理以及三角函数的知识，解答的关键在于做出辅助线、灵活应用勾股定理.三、解答题(共66分)19、（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级的排名更靠前（4）224【分析】（1）根据条形图及成绩在7080x ≤<这一组的数据可得；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．【详解】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人，故答案为23；（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，777877.52m +∴==， 故答案为77.5；（3）甲学生在该年级的排名更靠前，七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，∴甲学生在该年级的排名更靠前．（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为515840022450++⨯=（人）． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．20、（1）P=23；（2）加入了5个红球 【分析】（1）利用列表法表示出所有可能，进而得出结论即可；（2）根据概率列出相应的方程，求解即可.【详解】（1）列表如图，一共有6种等可能事件，其中颜色不同的等可能事件有4种，∴颜色不同的概率为P=3（2）由图表可得摸到红球概率为34设加入了x 个红球 1x 3x ++=34解得x=5经检验x=5是原方程的解答：加入了5个红球。
【初三数学】青岛市九年级数学上(人教版)第22章二次函数单元检测试卷(含答案解析)
人教版九年级上册单元检测：第二十二章二次函数（含答案）(1)一．选择题1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+2．抛物线y＝﹣x2+2x+6的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝23．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到4．二次函数y＝﹣x2+mx，对称轴为直线x＝3，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t 为实数）在2＜x＜7的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣7 B．﹣7＜t＜8 C．8＜t≤9 D．﹣7＜t≤95．若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．6．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣17．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定8．若函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个A．3 B．4 C．5 D．69．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点P为线段BC上的动点，以AC，AP为邻边构造▱APEC，连结BE．若△ACP的面积与△BEP的面积之比为1：2时，ED⊥BD，则a 的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣2二．填空题11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，3），那么这个二次函数的解析式可以是．12．某斜拉索大桥主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，桥的宽度CD米．13．某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝．15．抛物线y＝3x2﹣6x+a与坐标轴只有一个公共点，则a取值范围为．16．已知二次函数y＝x2+4x+3的顶点为A，与y轴交于点B，作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，交y轴于点D，则四边形ABCD面积为．三．解答题17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点C的坐标为（﹣3，2），此抛物线交x轴于点A，B两点，交y轴于点D，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴垂足为E，交直线AD于点N，连接AP，PD．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）求线段PN的最大值；（3）当△APD的面积是△ABC的面积的时，求点P的坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．20．如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线型的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立一个以BC为x轴，OE为y轴的直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”例如，点（1，9），（﹣2019，2029）…都是“合适点”．（1）求函数y＝2x+1的图象上的“合适点”的坐标；（2）求二次函数y＝x2﹣5x﹣2的图象上的两个“合适点”A，B之间线段的长；（3）若二次函数y＝ax2+4x+c的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为（4，6），求二次函数y＝ax2+4x+c的表达式；（4）我们将抛物线y＝2（x﹣n）2﹣3在x轴下方的图象记为G1，在x轴及x轴上方图象记为G2，现将G1沿x轴向上翻折得到G3，图象G2和图象G3两部分组成的记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围．参考答案一．选择题1．解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．2．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故选：A．3．解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C．4．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，解得m＝6，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，抛物线的顶点坐标为（3，9），当x＝2时，y＝﹣x2+6x＝8；当x＝7时，y＝﹣x2+6x＝﹣7，∵关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在2＜x＜7的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+6x与直线y＝t在2＜x＜7的范围内有公共点，∴﹣7＜t＜8．故选：B．5．解：∵y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴m＜0，∴二次函数y＝mx2+m的图象的开口向下，与y则交于负半轴上，故选：A．6．解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．7．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．8．解：，解不等式①得：x≤a，解不等式②得：x＞5，∵关于x的不等式组无解，∴a≤5．①当二次函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点时，方程（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣＝0的△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）（a﹣）≥0，解得：a≥，∴≤a≤5．又∵a≠2，整数有1，3，4，5，共4个．②当函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣是一次函数时，a﹣2＝0，此时a＝2．综上所述，整数有1，2，3，4，5，共5个．故选：C．9．解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故⑤正确；故选：A ．10．解：在y ＝a （x +1）（x ﹣3）中，令x ＝0，得x ＝﹣1或3 ∴A （﹣1，0），B （3，0）令x ＝0，得y ＝﹣3a∴C （0，﹣3a ），∵y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x ﹣1）2﹣4a∴D （1，﹣4a ），∵四边形APEC 是平行四边形∴AP ∥CE ，AP ＝CE ，S △ACP ＝S △EPC∵△ACP 的面积与△BEP 的面积之比为1：2∴＝∴＝∴P （1，﹣2a ）∴E （2，﹣5a ），如图，连接BD ，则∠BDE ＝90°∴BD 2+DE 2＝BE 2∴（3﹣1）2+（4a ）2+（1﹣2）2+（﹣4a +5a ）2＝（3﹣2）2+（5a ）2， 解得：a ＝±， ∵a ＜0∴a ＝﹣． 故选：B ．二．填空题11．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，且该抛物线的图象开口向上，∴a＞0，∴y＝（x﹣2）2+3，故答案为：y＝（x﹣2）2+3．12．解：如图，以CD所在直线为x轴，过点E的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据图象知点顶点E的坐标为（0，64），点B的坐标为B（25，﹣36），设解析式为y＝ax2+64，将点B（25，﹣36）代入得：﹣36＝625a+64，解得：a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+64，令y＝0，得：y＝﹣x2+64＝0，解得：x＝±20，∴CD＝20﹣（﹣20）＝40，故答案为：40．13．解：∵二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），∴此二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2，故答案为：直线x＝2．14．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，其中一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为（﹣3，0），故答案为﹣3．15．解：∵y＝3x2﹣6x+a＝3（x﹣1）2﹣3+a，∴抛物线的开口向上，顶点为（1，a﹣3），∵抛物线y＝3x2﹣6x+a与坐标轴只有一个公共点，∴顶点在第一象限，∴a﹣3＞0，即a＞3，故答案为a＞3．16．解：如图所示：过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作CE⊥y轴于点F，令x＝0，则y＝3，故B（0，3）；因为y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，故顶点坐标为A（﹣2，﹣1）．∵作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，∴C点坐标为：（4，1），B点对应点M为（2，﹣3），设二次函数解析式为：y＝a（x﹣4）2+1，﹣3＝a（2﹣4）2+1，解得：a＝﹣1，故y＝﹣（x﹣4）2+1，令x＝0，则y＝﹣15，故交y轴于点D坐标为：（0，﹣15），则四边形ABCD面积为：S△CBD +S△ABD＝EC×BD+×AF×BD＝BD（EC+AF）＝×18×6＝54．故答案为：54．三．解答题17．解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，∵AB2＝22＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，由对称性有AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形；（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，∵A、B两点关于直线x＝2对称，∴PB＝PA，∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），A令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），∵A（1，0），∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，∴P（2，﹣3）．18．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点C的坐标为（﹣3，2），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+2，即y＝﹣x2﹣3x﹣；令y＝0，则0＝﹣x2﹣3x﹣，解得x＝﹣1或x＝﹣5，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣，∴D（0，﹣），设直线AD的解析式为y＝kx+n，则，解得∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣；（2）设点P的坐标为（m，﹣m2﹣3m﹣），则点N的坐标为（m，﹣m﹣）∴PN＝﹣m2﹣3m﹣﹣（﹣m﹣）＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，∴PN的最大值为；（3）∵顶点C的坐标为（﹣3，2），A（﹣5，0），B（﹣1，0），＝（﹣1+5）×2＝4，∴S△ABC∵△APD的面积是△ABC的面积的，∴S＝×4＝5，△APD∴×5×（﹣m2﹣m）＝5，解得：m＝﹣4或m＝﹣1，则点P的坐标为（﹣4，）或（﹣1，0）．19．解：（1）x＝﹣＝﹣1，故b＝2a，故答案为：2a；（2）当a＝﹣1时，函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+c，方程为：x2+2x﹣c＝0，该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即c≥﹣1；同时要满足：当x＝﹣4时，y＜0或x＝1时，y＜0，即﹣16+8+c＜0或﹣1﹣2+c＜0，故c＜8或c＜3，故c＜8，故﹣1≤c＜8；（3）抛物线过点（﹣1，﹣1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，则x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a （1+1）2﹣1或﹣4＝a （1+1）2﹣1，解得：a ＝或﹣．20．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+c ，∵点E （0，6），点A （﹣5，3）在此抛物线上，∴，得，∴此抛物线的解析式为y ＝+6； （2）当x ＝±3时，y ＝+6＝4.92＞4.5，即这辆货运卡车能顺利通过隧道．21．解：（1）由题意得：y ＝80+20×∴函数的关系式为：y ＝﹣2x +200 （30≤x ≤60）（2）由题意得：（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝1800解得x 1＝55，x 2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．（3）设每月获得的利润为w 元，由题意得：w ＝（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝﹣2（x ﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴当x ≤65时，w 随x 的增大而增大∵30≤x ≤60∴当x ＝60时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．22．解：（1）把点B 的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c ＝4，令y ＝0，则，解得x 1＝3，x 2＝﹣4，∴A （﹣4，0），C （0，4）； （2）∵A （﹣4，0），C （0，4），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∴，∴， ∴直线AC 的解析式y ＝x +4，点P 的横坐标为a ，P （a ，），则点Q （a ，a +4）， ∴PQ ＝＝，∵， ∴a ＝﹣2时，PQ 有最大值；（3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC ＝5，AB ＝7，AC ＝4，∠OAC ＝∠OCA ＝45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得：， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4，设BC 的中点为H ，由中点坐标公式可得H （），∴过BC 的中点H 且与直线BC 垂直直线的表达式为：y ＝， ①当BC ＝BQ 时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），（﹣1，3）；故点Q1②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．23．解：（1）联立x+y＝10和y＝2x+1并解得：x＝3，y＝7，故“合适点”的坐标为（3，7）；（2）联立x+y＝10和y＝x2﹣5x﹣2并解得：x＝﹣2或6，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，12）、（6，4），则AB＝＝8；（3）将点（4，6）代入二次函数表达式得：16a+16+c＝6…①，联立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：ax2+5x+（c﹣10）＝0，△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，联立①②并解得：a＝﹣，c＝0，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；（4）图象G，如下图所示：G 2的顶点坐标为（n，3），则G2的函数表达式为：y＝﹣2（x﹣n）2+3，x+y＝10，则y＝10﹣x，设直线m为：y＝10﹣x，①当直线m与图象G2只有一个交点时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，联立直线m与G2的表达式得：y＝﹣2（x﹣n）2+3＝10﹣x，整理得：2x2﹣（4n+1）x+（2n2+7）＝0，△＝b2﹣4ac＝8n﹣55＝0，解得：n＝，故当n＜时，图象G恰好有2个“合适点”；②当直线m经过点A、B时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，则在这两个点之间有2个“合适点”，直线m与x轴的交点为（10，0），将（10，0）代入y＝2（x﹣n）2﹣3并解得：n＝10，故10﹣＜n＜10+；综上，n的取值范围为：n＜或10﹣＜n＜10+．人教版九年级上册单元检测：第二十二章二次函数（含答案）(1)一．选择题1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+2．抛物线y＝﹣x2+2x+6的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝23．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到4．二次函数y＝﹣x2+mx，对称轴为直线x＝3，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t 为实数）在2＜x＜7的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣7 B．﹣7＜t＜8 C．8＜t≤9 D．﹣7＜t≤95．若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．6．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣17．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定8．若函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个A．3 B．4 C．5 D．69．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点P为线段BC上的动点，以AC，AP为邻边构造▱APEC，连结BE．若△ACP的面积与△BEP的面积之比为1：2时，ED⊥BD，则a 的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣2二．填空题11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，3），那么这个二次函数的解析式可以是．12．某斜拉索大桥主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，桥的宽度CD米．13．某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝．15．抛物线y＝3x2﹣6x+a与坐标轴只有一个公共点，则a取值范围为．16．已知二次函数y＝x2+4x+3的顶点为A，与y轴交于点B，作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，交y轴于点D，则四边形ABCD面积为．三．解答题17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点C的坐标为（﹣3，2），此抛物线交x轴于点A，B两点，交y轴于点D，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴垂足为E，交直线AD于点N，连接AP，PD．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）求线段PN的最大值；（3）当△APD的面积是△ABC的面积的时，求点P的坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．20．如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线型的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立一个以BC为x轴，OE为y轴的直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”例如，点（1，9），（﹣2019，2029）…都是“合适点”．（1）求函数y＝2x+1的图象上的“合适点”的坐标；（2）求二次函数y＝x2﹣5x﹣2的图象上的两个“合适点”A，B之间线段的长；（3）若二次函数y＝ax2+4x+c的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为（4，6），求二次函数y＝ax2+4x+c的表达式；（4）我们将抛物线y＝2（x﹣n）2﹣3在x轴下方的图象记为G1，在x轴及x轴上方图象记为G2，现将G1沿x轴向上翻折得到G3，图象G2和图象G3两部分组成的记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围．参考答案一．选择题1．解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．2．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故选：A．3．解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C．4．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，解得m＝6，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，抛物线的顶点坐标为（3，9），当x＝2时，y＝﹣x2+6x＝8；当x＝7时，y＝﹣x2+6x＝﹣7，∵关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在2＜x＜7的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+6x与直线y＝t在2＜x＜7的范围内有公共点，∴﹣7＜t＜8．故选：B．5．解：∵y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴m＜0，∴二次函数y＝mx2+m的图象的开口向下，与y则交于负半轴上，故选：A．6．解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．7．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．8．解：，解不等式①得：x≤a，解不等式②得：x＞5，∵关于x的不等式组无解，∴a≤5．①当二次函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点时，方程（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣＝0的△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）（a﹣）≥0，解得：a≥，∴≤a≤5．又∵a≠2，整数有1，3，4，5，共4个．②当函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣是一次函数时，a﹣2＝0，此时a＝2．综上所述，整数有1，2，3，4，5，共5个．故选：C．9．解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故⑤正确；故选：A ．10．解：在y ＝a （x +1）（x ﹣3）中，令x ＝0，得x ＝﹣1或3∴A （﹣1，0），B （3，0）令x ＝0，得y ＝﹣3a∴C （0，﹣3a ），∵y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x ﹣1）2﹣4a∴D （1，﹣4a ），∵四边形APEC 是平行四边形∴AP ∥CE ，AP ＝CE ，S △ACP ＝S △EPC∵△ACP 的面积与△BEP 的面积之比为1：2∴＝∴＝∴P （1，﹣2a ）∴E （2，﹣5a ），如图，连接BD ，则∠BDE ＝90°∴BD 2+DE 2＝BE 2∴（3﹣1）2+（4a ）2+（1﹣2）2+（﹣4a +5a ）2＝（3﹣2）2+（5a ）2，解得：a ＝±，∵a ＜0∴a ＝﹣． 故选：B ．二．填空题11．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，且该抛物线的图象开口向上，∴a＞0，∴y＝（x﹣2）2+3，故答案为：y＝（x﹣2）2+3．12．解：如图，以CD所在直线为x轴，过点E的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据图象知点顶点E的坐标为（0，64），点B的坐标为B（25，﹣36），设解析式为y＝ax2+64，将点B（25，﹣36）代入得：﹣36＝625a+64，解得：a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+64，令y＝0，得：y＝﹣x2+64＝0，解得：x＝±20，∴CD＝20﹣（﹣20）＝40，故答案为：40．13．解：∵二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），∴此二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2，故答案为：直线x＝2．14．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，其中一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为（﹣3，0），故答案为﹣3．15．解：∵y＝3x2﹣6x+a＝3（x﹣1）2﹣3+a，∴抛物线的开口向上，顶点为（1，a﹣3），∵抛物线y＝3x2﹣6x+a与坐标轴只有一个公共点，∴顶点在第一象限，∴a﹣3＞0，即a＞3，故答案为a＞3．16．解：如图所示：过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作CE⊥y轴于点F，令x＝0，则y＝3，故B（0，3）；因为y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，故顶点坐标为A（﹣2，﹣1）．∵作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，∴C点坐标为：（4，1），B点对应点M为（2，﹣3），设二次函数解析式为：y＝a（x﹣4）2+1，﹣3＝a（2﹣4）2+1，解得：a＝﹣1，故y＝﹣（x﹣4）2+1，令x＝0，则y＝﹣15，故交y轴于点D坐标为：（0，﹣15），则四边形ABCD面积为：S△CBD +S△ABD＝EC×BD+×AF×BD＝BD（EC+AF）＝×18×6＝54．故答案为：54．三．解答题17．解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，∵AB2＝22＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，由对称性有AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形；（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，∵A、B两点关于直线x＝2对称，∴PB＝PA，∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），A令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），∵A（1，0），∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，∴P（2，﹣3）．18．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点C的坐标为（﹣3，2），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+2，即y＝﹣x2﹣3x﹣；令y＝0，则0＝﹣x2﹣3x﹣，解得x＝﹣1或x＝﹣5，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣，∴D（0，﹣），设直线AD的解析式为y＝kx+n，则，解得∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣；（2）设点P的坐标为（m，﹣m2﹣3m﹣），则点N的坐标为（m，﹣m﹣）∴PN＝﹣m2﹣3m﹣﹣（﹣m﹣）＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，∴PN的最大值为；（3）∵顶点C的坐标为（﹣3，2），A（﹣5，0），B（﹣1，0），＝（﹣1+5）×2＝4，∴S△ABC∵△APD的面积是△ABC的面积的，∴S＝×4＝5，△APD∴×5×（﹣m2﹣m）＝5，解得：m＝﹣4或m＝﹣1，则点P的坐标为（﹣4，）或（﹣1，0）．19．解：（1）x＝﹣＝﹣1，故b＝2a，故答案为：2a；（2）当a＝﹣1时，函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+c，方程为：x2+2x﹣c＝0，该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即c≥﹣1；同时要满足：当x＝﹣4时，y＜0或x＝1时，y＜0，即﹣16+8+c＜0或﹣1﹣2+c＜0，故c＜8或c＜3，故c＜8，故﹣1≤c＜8；（3）抛物线过点（﹣1，﹣1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，则x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a （1+1）2﹣1或﹣4＝a （1+1）2﹣1，解得：a ＝或﹣．20．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+c ，∵点E （0，6），点A （﹣5，3）在此抛物线上，∴，得，∴此抛物线的解析式为y ＝+6； （2）当x ＝±3时，y ＝+6＝4.92＞4.5，即这辆货运卡车能顺利通过隧道．21．解：（1）由题意得：y ＝80+20×∴函数的关系式为：y ＝﹣2x +200 （30≤x ≤60）（2）由题意得：（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝1800解得x 1＝55，x 2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．（3）设每月获得的利润为w 元，由题意得：w ＝（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝﹣2（x ﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴当x ≤65时，w 随x 的增大而增大∵30≤x ≤60∴当x ＝60时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．22．解：（1）把点B 的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c ＝4，令y ＝0，则，解得x 1＝3，x 2＝﹣4，∴A （﹣4，0），C （0，4）； （2）∵A （﹣4，0），C （0，4），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∴，∴， ∴直线AC 的解析式y ＝x +4，点P 的横坐标为a ，P （a ，），则点Q （a ，a +4）， ∴PQ ＝＝，∵， ∴a ＝﹣2时，PQ 有最大值；（3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC ＝5，AB ＝7，AC ＝4，∠OAC ＝∠OCA ＝45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得：， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4，设BC 的中点为H ，由中点坐标公式可得H （），∴过BC 的中点H 且与直线BC 垂直直线的表达式为：y ＝， ①当BC ＝BQ 时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），（﹣1，3）；故点Q1②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．23．解：（1）联立x+y＝10和y＝2x+1并解得：x＝3，y＝7，故“合适点”的坐标为（3，7）；（2）联立x+y＝10和y＝x2﹣5x﹣2并解得：x＝﹣2或6，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，12）、（6，4），则AB＝＝8；（3）将点（4，6）代入二次函数表达式得：16a+16+c＝6…①，联立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：ax2+5x+（c﹣10）＝0，△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，联立①②并解得：a＝﹣，c＝0，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；（4）图象G，如下图所示：G 2的顶点坐标为（n，3），则G2的函数表达式为：y＝﹣2（x﹣n）2+3，x+y＝10，则y＝10﹣x，设直线m为：y＝10﹣x，①当直线m与图象G2只有一个交点时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，联立直线m与G2的表达式得：y＝﹣2（x﹣n）2+3＝10﹣x，整理得：2x2﹣（4n+1）x+（2n2+7）＝0，△＝b2﹣4ac＝8n﹣55＝0，解得：n＝，故当n＜时，图象G恰好有2个“合适点”；②当直线m经过点A、B时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，则在这两个点之间有2个“合适点”，直线m与x轴的交点为（10，0），将（10，0）代入y＝2（x﹣n）2﹣3并解得：n＝10，故10﹣＜n＜10+；综上，n的取值范围为：n＜或10﹣＜n＜10+．人教版九年级数学单元测试（含答案）——第22章二次函数培优测试一．选择题1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致( )2．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（）①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个3．将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（）A．B．C．D．4．抛物线y＝(x＋3)2－4向左平移1个单位，再向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为( )A．y＝(x＋4)2－6 B．y＝(x＋2)2－6C．y＝(x＋6)2－2 D．y＝(x＋2)2－25．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193 B．194C．195 D．1966．若a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，抛物线y=x2﹣2ax+b2交x轴于M（a+c，0），则△ABC是（）。
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1 山东省青岛五中2016届九年级数学10月月考试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．3x+=4 D．x2﹣2=0 2．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等
3．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（ ） A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定
4．下列命题正确的是（ ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
5．方程x2﹣3x=0的解为（ ） A．x=0 B．x=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3
6．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm 7．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
8．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ） A．20 B．16 C．12 D．10
9．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）=256 D．256（1﹣2x）=289
10．如图，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作： 2
（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）； （2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）； （3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．72° D．75° 二、填空题（每空3分，共24分） 11．若方程kx2﹣9x+8=0的一个根为1，则k= ，另一个根为 ．
12．已知E、F、G、H是四边形ABCD各边上的中点，则四边形EFGH的形状是 ． 13．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为 ． 14．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ．
15．已知m，n是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ． 16．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为 cm2．
17．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是 人．
18．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD 其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）． 3
三、解答题 19．解方程 （1）2（x﹣3）2=8； （2）3x2﹣6x=﹣3； （3）x（x﹣2）=x﹣2； （4）（x+8）（x+1）=﹣12．
20．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED为菱形； （2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．
22．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23．在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后△PBQ的面积等于8cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于10cm2？说明理由． 4
24．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF． （1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论． （2）若AE=5，AD=8，求EF的长． （3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF式是正方形？ 5 山东省青岛五中2016届九年级上学期月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．3x+=4 D．x2﹣2=0 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程． 【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故错误； B、方程去括号得：2x2﹣2x=2x2+3， 整理得：﹣2x=3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+=4是分式方程，故错误； D、x2﹣2=0，符合一元二次方程的形式，正确． 故选D． 【点评】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【考点】正方形的性质；菱形的性质． 【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质，即可判断． 【解答】解：正方形的边：四边都相等，菱形的边四边都相等； 正方形的角：四角都相等，都是直角，菱形的角：对角相等； 正方形的对角线：相等，互相平分，且互相垂直，菱形的对角线：互相平分，互相垂直． 则：正方形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等． 故应选B． 【点评】本题考查了正方形与菱形的性质，关键是对性质的正确记忆．
3．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（ ） A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 【专题】计算题． 【分析】将已知的方程x2﹣10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长． 【解答】解：x2﹣10x+21=0， 6
因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0， 解得：x1=3，x2=7， ∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解， ∴三角形的第三边为3或7， 当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去； 当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形， 则第三边的长为7． 故选A 【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．
4．下列命题正确的是（ ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理． 【专题】计算题． 【分析】A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形； B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改为对角线相等的平行四边形为矩形； C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC与BD垂直，但是显然ABCD不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图所示，根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等，得到平行四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形． 【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形， 例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形， 故本选项为假命题； B、对角线相等的四边形不一定是矩形， 例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形， 故本选项为假命题； C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题；
D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，