机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械结构振动特性分析与优化设计研究
机械结构振动特性分析与优化设计研究引言：在机械工程领域，振动是一个重要的研究课题。
机械结构的振动特性对于其性能和寿命有着重要影响。
通过对机械结构的振动特性进行分析和优化设计，可以提高机械设备的稳定性、降低能耗和噪音，同时延长其使用寿命。
本文将探讨机械结构振动特性的分析方法以及优化设计的研究。
一、机械结构振动的来源和分类机械结构的振动可以由多种因素引起，如外部激励、内部失稳等。
按照振动的性质进行分类，可以分为自由振动和强迫振动。
自由振动是指机械结构在没有外部激励下自身固有频率下的振动，而强迫振动是指机械结构受到外界激励而产生的振动。
二、机械结构振动特性的分析方法1. 模态分析模态分析是一种常用的机械结构振动特性分析方法。
通过求解结构的固有频率和振型，可以了解机械结构的振动状况和敏感性。
模态分析可以帮助工程师确定结构的固有频率，并在设计中避开激励频率。
2. 有限元分析有限元分析是一种基于数值计算的机械结构振动特性分析方法。
通过将机械结构分割成有限个小单元，建立结构的有限元模型，可以求解系统的振动模态和固有频率。
有限元分析可以预测结构在不同激励下的振动响应，帮助工程师选取合适的设计参数。
3. 振动响应分析振动响应分析是一种研究机械结构在外部激励下的振动特性的方法。
通过对机械结构的振动响应进行分析，可以得出结构的振动幅值、频率响应等参数。
振动响应分析可以帮助工程师评估结构的可靠性和稳定性，并提出改进意见。
三、机械结构振动特性的优化设计1. 结构参数优化通过对机械结构的设计参数进行优化，可以改善结构的振动性能。
例如，对结构的支撑方式、材料选择和刚度配比进行优化，可以降低结构的振动响应，并提高其自然频率。
2. 激励消除设计对于受到强迫振动的机械结构，可以通过激励消除设计来降低结构的振动幅值。
例如，添加减振器、隔振垫等装置，可以有效减缓结构的振动。
3. 动态平衡设计动态平衡设计是一种处理旋转机械不平衡问题的方法。
机械振动的模型分析与优化
机械振动的模型分析与优化引言：机械振动作为机械工程中重要的研究领域，在实际工程中起着极为重要的作用。
正确分析机械振动的模型，优化振动特性，对于提高机械系统的稳定性、降低噪声和延长设备寿命具有重要意义。
本文将讨论机械振动的模型分析和优化方法，并且给出一些具体的实例来加深我们对机械振动的理解。
一、简单谐振子模型谐振子是机械振动研究的基础模型之一。
在简单谐振子模型中，假设没有任何阻尼和外力作用，振子在平衡位置附近做振动。
振子的振幅和振动周期与振动频率有关，可以通过振动方程进行计算。
在实际工程中，谐振子模型可以用于预测某些系统的固有振动频率和振幅。
二、受迫振动模型考虑到机械系统中会受到外力的作用，我们需要引入受迫振动模型。
在受迫振动中，振动系统受到外部激励力的作用而振动。
典型的受迫振动问题包括弹簧振子受到周期性外力的激励、汽车悬挂系统在行驶过程中受到道路起伏的影响等。
通过对受迫振动模型的分析，可以优化机械系统的振动特性，提高系统的稳定性和性能。
三、阻尼振动模型阻尼是机械振动中不可忽视的因素之一。
在实际工程中，由于材料的本身阻尼、空气阻力、摩擦等因素的存在，机械系统会受到阻尼作用。
阻尼振动模型描述了振动系统在阻尼作用下的振动特性。
阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼。
在分析阻尼振动模型的基础上，我们可以优化机械系统的阻尼设计，以减小振动幅值和提高系统的稳定性。
四、模态分析在机械系统振动分析中，模态分析是非常重要的方法之一。
模态分析考虑了振动系统的固有特性，通过确定系统的模态频率和振型来揭示系统的振动行为。
模态分析可以帮助我们理解系统的固有振动特性，提高系统设计的合理性。
例如，在建筑结构设计中，通过模态分析可以确定结构的固有频率，以确保在地震或其他外部激励下结构的稳定性。
五、有限元分析有限元分析是机械振动模型分析与优化中常用的一种方法。
有限元分析将连续的机械系统离散为有限个小单元，在每个单元中建立数学模型，并通过数值计算方法求解系统的振动特性。
03-3 梁的横向振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固 有振型。 1、简支梁
简支梁的边界条件为
Y 0 0,
d 2Y 0 0, 2 dx
Y L 0,
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
★取微段dx，如图所示， 用 Q(x,t) 表 示 剪 切 力 ， M(x,t)表示弯矩。
★在铅直 y 方向的运动方 程为
2 y x, t Q x A x dx Q Q dx f x, t dx 2 t x
燕山大学机械工程学院
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
等截面均质梁的固有振动为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x
A sin t B cos t
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
机械设备的结构振动与动力学性能分析
机械设备的结构振动与动力学性能分析一、引言机械设备在我们的日常生活中扮演着重要的角色，其结构振动与动力学性能的分析对于设备的设计和运行具有重要的意义。
本文将从机械设备结构振动与动力学性能的基本概念入手，探讨其原理和应用。
二、机械设备结构振动的基本概念1. 结构振动的定义与分类结构振动是机械设备在运行过程中由于受到外力或者内部激励导致的结构变形的现象。
根据振动的性质和机械设备的特点，可以将结构振动分为自由振动、强迫振动和共振现象。
2. 结构振动的影响因素结构振动的影响因素包括外力激励、质量分布、刚度和阻尼等。
外力激励是导致结构振动的主要原因，包括机械设备运行时的载荷和工作环境的振动。
质量分布、刚度和阻尼则会影响结构的振动形态和频率响应。
三、机械设备结构振动分析方法1. 理论方法理论方法是通过建立数学模型来描述机械设备的结构振动。
常用的理论方法包括模态分析、频域分析和时域分析等。
模态分析可以通过求解结构的固有频率和振型来了解结构的振动特性。
频域分析则可以通过傅里叶变换将时域信号转化为频域信号，从而得到结构的频率响应。
时域分析则是通过对结构的振动响应进行时域分析，包括求解力学方程和积分求解等。
2. 实验方法实验方法是通过实际测量机械设备的振动信号来分析其结构振动特性。
常用的实验方法包括模态试验、频域特征分析和时域特征分析等。
模态试验通过激励结构并测量其振动响应，可以得到结构的固有频率和振型。
频域特征分析通过将振动信号进行频谱分析，可以得到结构的频率响应特性。
时域特征分析则是通过分析振动信号的波形和幅值等特征来了解结构的动力学性能。
四、机械设备动力学性能分析1. 动力学性能的定义与指标机械设备的动力学性能是指设备在运行中所表现出的性能，包括稳定性、可靠性、敏感性和精度等。
稳定性是指设备在运行过程中的平衡和抗干扰能力。
可靠性是指设备长时间运行的能力和寿命。
敏感性是指设备对外界激励的响应能力。
精度则是指设备的测量和控制精度。
简支梁的ansys分析
简支梁的ANSYS分析题目：如下图所示一个简支梁及其所受载荷情况，求解材料的最大正应力和切应力，其中b=80mm，h=200mm。
已知结构的最大许用正应力为15MPa，最大许用剪切应力为1MPa。
图1 简支梁尺寸结构及受力情况理论计算：由材料力学可知，按照正应力强度条件计算其中：M max=q*l2/8=10*2*2/8=5KN*mW z=b*h2/6=0.08*0.2*0.2/6=5.33e-4m^3所以最大正应力结果为σ=M max/W z=5e3/5.33e-4=9.38MPa<15Mpa此时结构正应力的安全系数n=15/9.38=1.6结合材料力学公式，校核其剪应力强度如下所示：F qmax=q*l/2=10*2/2=10KNτmax=F qmax*S zmax/（I z*b）=3*F qmax/（2*A）=0.22MPa<1MPa 此时结构正应力的安全系数n=1/0.22=4.55通过理论计算可知，结构满足强度要求，正应力和切应力都小于许用应力。
有限元分析：采用ANSYS软件对上述结构进行分析，得出结构的受力情况。
有限元分析流程如下所示：建立几何模型，该结构为梁结构，在ANSYS中采用梁单元来模拟，那么几何模型为线体，即长度为2m的线，然后赋予梁的截面形状。
单元类型选择beam188单元类型。
该单元类型具有两个节点，每个节点具有六个自由度，分别为空间坐标系下的三个平动自由度和三个转动自由度。
图2 beam188单元类型操作流程如下：GUI：Utility Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete，弹出【Element Types】对话框，单机Add按钮，弹出【Library of Element Types】对话框，设置下面选项：左边列表框中选择Beam；右边列表框中选择 2 node 188；图3 单元类型定义定义梁单元的截面属性，操作流程如下：GUI：Utility Menu→Preprocessor→Sections →Beam→Common Sections，弹出如下对话框，并进行如下所示设置，点击Ok。
机械振动基础作业2
2.29若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即
⎪⎩⎪⎨⎧-=≤=0022＞x x a F x x a F d d
求其等效阻尼系数和共振时的振幅
2.33如图T-2.33所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。
试求W 的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。
2.36试从式（2.95） （ 即
)()/2(12ωωωξH A X n += （2.95） ） 证明：
1).无论阻尼比ξ取何值，在频率比n ωω/=2时，恒有A X =
2).在n ωω/＜2，X/A 随ξ增大而减小，而在n ωω/＞2 ，A X /随ξ增大而增大
2.40求单自由度无阻尼系统对图T-2.40所示激励的响应，设初始条件为零。
1）
2).
3) .
2.43一个高0F ，宽0T 的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图T-2.42所示，用叠加原理求t>0t 后的响应。
2.45证明式（2.136），即卷积积分满足交换律
)(*)()(*)(t h t F t F t h。
简支梁固有频率及振型函数(精)
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导一．等截面细直梁的横向振动取梁未变形是的轴线方向为X轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。
梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为y=y(x,t) (1) 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。
故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。
根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：其中，E是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI为梁的弯曲刚度，M代表x截面处的弯矩。
挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。
关于剪力Q的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。
至于分布载荷集度q的正向则规定与y轴相同。
在这些规定下，有：于是，对方程（2）求偏导，可得：考虑到等截面细直梁的EI是常量，就有：，方程（5）就是在等截面梁在集度为q的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为其中代表梁单位长度的质量。
假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。
将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：其中。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。
假设方程的解为：y(x,t)=X(x)Y(t) (8) 将式（8）代入（7），得：上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x，因此要使对于任何x,t上式均成立，必须二者均等于一个常数。
将这一常数记为-p2.于是有：方程（10）的通解为：Y（t）=Asinpt+Bcospt (12) 其中，A,B为积分常数。
方程（11）的通解为：二．简支梁的固有振型和固有频率简支梁的边界条件为：X（0）=0，X’’(0)=0.X（l）=0，X’’(l)=0 所以有：C1=C2=C3=0特征方程为:sinβl=0 由此得特征值为：βi=与此相应的固有频率为iπ,l=1,2,⋅⋅⋅ lpi=(iπ)而对应的振型函数为 l=1,2,⋅⋅⋅ Xi(x)=sinβix=siniπx,l=1,2,⋅⋅⋅l王舒雅，1130109125。
悬臂梁的振动特性分析
悬臂梁的振动特性分析悬臂梁是一种常见的结构形式，其振动特性对于工程设计和结构安全具有重要影响。
本文将对悬臂梁的振动特性进行分析，以探讨其在不同情况下的振动状况和影响因素。
一、悬臂梁的基本原理悬臂梁是一种单边支承的梁结构，常见于桥梁、楼梯等工程中。
其振动特性与其几何形状、材料性质以及外界作用力密切相关。
二、悬臂梁的自由振动自由振动是指悬臂梁在无外界作用力的情况下，受到初始位移或初始速度激励后的振动情况。
悬臂梁的自由振动可通过求解振动微分方程得到。
三、悬臂梁的固有频率固有频率是指悬臂梁在自由振动时的频率，与悬臂梁的长度、材料性质以及截面形状有关。
较长的悬臂梁会有较低的固有频率，而较短的悬臂梁会有较高的固有频率。
四、悬臂梁的受迫振动受迫振动是指悬臂梁在外界周期性作用力下的振动情况。
对于悬臂梁的受迫振动，可通过求解振动微分方程并考虑外界作用力的影响得到。
五、悬臂梁的阻尼效应阻尼效应是指悬臂梁在振动过程中由于材料内部和外界摩擦、能量耗散等因素而逐渐减小振幅的现象。
阻尼对悬臂梁的振动特性具有重要影响，影响着悬臂梁的振幅和振动时间。
六、影响悬臂梁振动的因素悬臂梁的振动受到多种因素的影响，主要包括悬臂梁的几何形状、材料性质、外界作用力以及悬臂梁的边界条件等。
这些因素对于悬臂梁的振动频率、振幅和振动模态等都会产生重要影响。
七、悬臂梁的应用与优化悬臂梁在工程领域有广泛的应用，如桥梁、楼梯、起重机械等。
对悬臂梁的振动特性进行分析有助于工程设计的合理性和结构的安全性。
通过优化悬臂梁的结构可以减小振动幅值、提高结构的刚度和稳定性。
总结：本文对悬臂梁的振动特性进行了分析，包括悬臂梁的基本原理、自由振动、固有频率、受迫振动、阻尼效应以及影响悬臂梁振动的因素。
悬臂梁的振动分析对于工程设计和结构安全具有重要意义，通过优化悬臂梁的结构和材料，可以提高其振动特性，达到更好的工程效果。
机械振动分析作业.
1.过阻尼状态 此时>1，即<n，（b）式中s1及s2均为负值，则
及是两根下降的指数曲线，故（3-2）式所表示的是 两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图 3-2所示为c1>c2,c1<0时的情况。
（3-7） 式中δ称为对数减幅或对数衰减率。
（3-8-1）
当 <<1时，
δ≈2π
（3-8-2）
因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数enTd，即
故有
因此对数减幅பைடு நூலகம்也可表达为
（3-9）
此外，根据（3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。因为
故
（3-10）
所以只要实测得出衰减振动的周期Td及相邻两次振幅Aj和Aj+1，即可计
（如3m/s以上），阻尼将与速度的平方成正比，即，式中b为常数，此 种阻尼为非粘性阻尼。
3.结构阻尼、 材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结 构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。 由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性 阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效 粘性的办法作近似计算。
数学建模
单自由度有阻尼振系的力学模型如图所示，包括弹簧、质量及阻尼 器。
以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x。则物体运动微分方 程为 式中 ： 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。 将上式写成标准形式，为
(a) 令p2=, , 则上式可简化为
简支梁横向振动的求解
1 1/ 2 1/ 6 1 1 1/ 2 0 1 1 0 0 1
P 2 F 2 P 1 F 1
两支座之间的状态关系 那么两支间传递矩阵为
X 3L S S S S S X 0R
S S S S S S
F 3
P 2
F 2
P 1
F 1
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传递矩阵法求固有频率
则点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域？
xy 将
M
Fs 代入到点与场矩阵中
T
有
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 0 0 1 0 0 0 1
1 0 SiF 0 0
F 3
12 14 0 则必须满足 32 34
化解上式得
5 2 96可解出 0 108
可得固有频率
ml 3 2 又因为 EI
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为何分段越多越精确呢？
首先推广至n段的传递矩阵，当分为n段时，就有n-1 个集中质量在梁上，此时的传递矩阵应该是
12 0 14 Fs 0 0 32 0 34 Fs 0 0
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传递矩阵法求固有频率
要使方程
12 0 14 Fs 0 0 有非零解 32 0 34 Fs 0 0
2
2
EI EI = S Sl 4
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机械振动大作业姓名:徐强学号:SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布,将其简化为单自由度模型,忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ,其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量.因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤),48EI F -3max l y =为最大挠度，则：eq k =δF=348EIl梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为：m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等，因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：m m eq 258≈所以，质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→1001258m m双自由度简支梁的柔度矩阵：在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为:）（2226EI b -)(b x l lx x y --=则3/l 处的变形为:δ712=a ，同理可求：δ721=a ,δ82211==a a ，其中EIl 4863=δ。
所以，柔度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778δa动力矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778258δm D令特征行列式为零，得到频率方程为:=-=∆→→D I λ其中,21ωλ=，将上式整理得:116158177812=+-=---=∆a a aa a a-其中,2582582δωλδm m a ==。
解上述方程的根为：1511=a ，δωm 2451= 12=a ，δωm 8252=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ,2,1=i其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→)(2)(1i i i X X X）（，分别将1ω、2ω代入上式,得 第一、二阶主振型分别为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→11)1(11X X）（, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→1-1)1(12X X ）（图2 简支梁的双自由度模型三、三自由度简支梁的振动特性如图3，将简支梁简化为三自由度模型,按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：mmm41m231≈≈=因此,质量矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→1114mm由机械振动中文教材例6。
6可知，系统的柔度矩阵为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→91171116117119δa其中，EIl7683=δ.动力矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→911711161171194δmD令特征行列式为零,得到频率方程为：0=-=∆→→DIλ其中，21ωλ=，将上式整理得：091117111611171191=---------=∆aa a a a a aaa其中，442δωλδm m a ==。
利用Matlab 软件,求解上述方程的根为:0317.01=a ,δωm a 114=5.02=a ，δωm a 224=254.23=a ,δωm a 334=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，3,2,1=i其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→)(3)(2)(1i i i i X X X X）（,分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→121)1(11X X）（， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→1-01)2(12X X ）（，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→12-1)1(13X X ）（图3 简支梁的三自由度模型四、 十自由度简支梁的数值方法将简支梁简化为十自由度模型（如图4）.图4 简支梁的十自由度模型通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：。
为挠度变形矩阵，如表，其中1,63→→→==y EIl y a δδ0。
0137 0。
0240 0.0306 0。
0339 0.0344 0.0324 0。
0284 0。
0227 0.01580。
00810.0240 0。
0443 0。
0579 0.0650 0。
0664 0。
0628 0。
0552 0.04430。
0309 0。
01580。
0306 0。
0579 0.0787 0。
0904 0。
0934 0.0891 0.07870。
06330.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0。
0904 0。
1071 0.1131 0。
1093 0。
0973 0.0787 0.05520。
02840。
0344 0。
0664 0.0934 0。
1131 0.1229 0.12120。
1093 0。
0891 0。
0628 0。
03240.0324 0。
0628 0。
0891 0.1093 0.1212 0.1229 0。
1131 0.0934 0.0664 0.03440.0284 0。
0552 0。
0787 0。
0973 0.1093 0.1131 0。
1071 0。
0904 0。
06500.03390。
0227 0。
0443 0。
0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0。
0787 0。
0579 0.03060。
0158 0.0309 0。
0443 0。
0552 0.0628 0。
0664 0.0650 0.0579 0。
04430.02400.0081 0。
0158 0.0227 0.0284 0。
0324 0。
0344 0.0339 0.0306 0。
02400.0137表1 十自由度挠度变形矩阵→y十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型,每个质量都近似等于m 111，因此，质量矩阵为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→1010000000010000111m m 动力矩阵为：→→=ym D 11δ下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法利用邓克莱法求基频（比准确值小）：nnn m a m a m a +++≈ 222111211ω因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以m 111，可求得：319015ml EIm δ≈≈ω2、瑞利法(1）瑞利第一商柔度矩阵求逆得刚度矩阵：→-→→==z y k δδ3131010，其中，→z 矩阵见表2.2。
0433—1.90030.7778—0。
26490。
1647 0.0356—0。
28170。
2834 -0.0446 -0.0926 —1。
90032.9228 -2.46751。
4375—0.68620.0299 0.5193 -0。
6226 0.3193—0。
04460.7778 -2.4675 3。
8387 -3。
34681。
6331 -0。
1417 -0.6684 0.8588 -0。
62260。
2834 —0.26491。
4375 -3.34684.2339—2.91230。
778 0。
4309 -0.6684 0。
5193—0。
28170.1647 -0。
68621.6331—2。
9123 3.4193-2.2932 0。
778 —0.1417 0。
0299 0.03560。
0356 0。
0299 -0.1417 0.778-2。
2932 3.4193 —2.91231。
6331-0。
68620。
1647 —0.28170。
5193-0。
6684 0。
4309 0。
778—2.9123 4.2339 —3.34681。
4375—0。
26490.2834-0。
6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 —3.34683。
8387—2.46750。
7778-0。
0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0。
0299 -0.6862 1.4375—2。
46752。
9228 -1.9003 -0.0926—0.04460.2834 —0.28170。
0356 0。
1647 -0.2649 0。
7778—1.90032。
0433表2矩阵→z 各元素假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κ=→其中，EIl 483=κ.因此,可以假设振型:[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331=→则由瑞利第一商公式：→→→→→→=AM A A K A A R TTI )(，可得：δmδm m A R I 46.1646.164965.111)(1≈=⨯=ωδ， (2）瑞利第二商同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式:→→→→→→→→∆=AM M A AM A A R TTⅡ)(可得: δm.δm m A R Ⅱ241624.164762.111)(2≈=⨯=ωδ， 瑞利法中,→M 代表质量矩阵，→K 代表刚度矩阵，→∆代表柔度矩阵，→A 为模态向量。
3、李兹法将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：[]T11.9 2.73.33.73.7 3.32.71.911=→ψ []T 11.8 2.510.20.2- 1-2.5-1.8-1-2=→ψ []T 1-2- 1-121 01-2-1-3=→ψ则可求出：由式→→*→*→*=0-2A M K ）（ω，得：0017.01=a ,1415.02=a ，2959.03=a其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=***→23222133211011ωωωδm a a a a ，因此可得: δδωδδωδωm m a m m a m m δa 9.32541011,7.15561011,7.181011333232131=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=***以及：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→*→*→*8372.05468.0-0122.0,6271.07788.00135.0,0349.00099.09993.0-)3()2()1(A A A所以系统的前三阶主振型的近似为：⨯==→→→→*11mM M Tψψ72。