复变函数的级数展开和解析延拓
《复变函数级数》PPT课件
f a n1
d
利用导数公式：
fzf(n)azan, zaR n0 n!
➢ 唯一性：
fzanzan
za, a 0fa
n0
za , a 1fa
f(n)a
za, an n!
Taylor展开方法：
基本方法（Taylor展开定理） 特殊方法（幂级数运算）
① 线性运算 ② 乘除运算 ③ 复合运算 ④ 微积分运算
z0 R r
a
n
n
anzan
za M
z0a
r M
z0a
推论：若幂级数在某点 z z1 处发散，
则它在za z1 a
处发散
z1 R a
收敛半径的求法（比值或根式判别法）
lim an1zalim an1zaLza1
n an
n an
R 1 L
R lim an a n
n 1
limn
n
an
L
幂级数运算性质：
根式判别法（Cauchy判别法）
k wk k r
r<1时级数收敛；r>1时级数发散；r=1时不一定。
级数的代数运算
若 ak A ， bk B
k 0
k 0
加减法：两收敛级数的和与差级数仍
收敛，且
ak bk akbkAB
k0
k0
k0
乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收 敛，且其和与乘积项的排列次序无关
幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且 可任意次逐项积分、逐项微商。
例1 z n n1 n e i n n1 n
R
0
Rliman limn11
a n n
n
n1
0, 1 n1 n
复变函数的幂级数展开
复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。
与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。
在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。
首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。
给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。
设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。
幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。
下面我们来看一个具体的例子。
考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。
对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。
然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。
在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。
复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。
一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。
但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。
当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。
幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。
例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。
第四章 复变函数的级数
n1 n!
解
因为
(8i )n
8n ,
n! n!
lim un1 r
u n n
r1时收敛, r1时发散
r 1时可能收敛或发散
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n!
8n1 n! 8n (n 1)!
n
8
1
0
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
15
§2 复变函数项级数
n cn
lim( n ) p n n 1
=1
所以 R 1 1.
27
例2
级数
n0
zn,
n0
zn n2
,
n0
zn n
的收敛半径，
并讨论它们在收敛圆上的敛散性。
解：根据比值法，三个级数都有lim Cn1 1
n Cn
故收敛半径R 均为1, 收敛圆周均为 z 1
设 z z0 ( 0)时,级数 cn (z z0 )n 收敛;
n0
由Abel定理，级数在 z z0 内收敛。
设z z0 ( 0)时,级数 cn (z z0 )n发散.
n0
23
由Abel定理的推论，级数在 z z0 内发散。 y
cn (z1
z0 )n
0
因而存在正数M,使对所有的n,
有 cn(z1 z0 )n M , 19
n
n
故 cn(z z0 )n
cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
M
z z0 z1 z0
.
第三章 幂级数展开
=1
R =1
★故级数在 t ＜1的圆内收敛。 ★级数的和为（几何级数）：
1 1 t t .... 1 t
2
( t 1)
例⒉ 求级数的 1 z 2 z 4 z 6 .... 收敛半径。z为复变数
解
令
tz
2
2 4
1 ★级数为： 1 t t t .... 1 t2
★两边乘
1 1 2 i z
1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 1 w( ) 2 i z 2 i z 2 i z 2 i z
★两边积分，并应用柯西公式：
1 f ( ) f ( z) d 2 i c R1 z
a0 1 ( ) 1 w( z ) d d 2 i c R1 z 2 i c R1 ( z ) a1 ( z0 ) 1 1 d 2 i c R1 z 2 i a2 ( z0 ) cR1 z d .....
m k
s1 u1 s2 u1 u2
s3 = u1 +u2 +u3 s u1 u2 u3 ...... lim Sn S
n
u ★则，称级数 k 收敛； k
★这极限S 称为这级数的和。 ★反之，称为极限不存在。
m
（2）实数项级数柯西收敛原理
k
n
k
n p
k n 1
k 1 k k
k 1 k
ak lim ( z z0 ) 1 k a k 1
★则绝对收敛，否则发散。 ★收敛半径为
ak R lim k ak 1
复平面解析延拓函数
复平面解析延拓函数复平面解析延拓函数是复变函数理论中的一个重要方面，通过解析延拓函数，可以将一个函数从局部解析扩展到整个平面上，并且可以让函数在复平面上具有更多的性质和更好的性质，这对于理解和研究复变函数的性质非常重要。
一、解析延拓函数的概念在复数域中，如果一个函数在某个区域内解析，那么它在这个区域内的性质会非常好，可以用泰勒级数展开，并且可以计算它的导数、积分等等。
但是，可能存在某些点或者某些曲线或者某些分支，函数无法解析，这时候就可以考虑使用解析延拓函数的方法，将函数从解析区域扩展到整个平面上，这样就可以让该函数具有更加丰富的性质。
在解析延拓函数的过程中，最重要的是要利用已知的函数性质和已知的点来构造解析延拓函数。
常见的方法包括分段定义函数、复合函数、互补函数等等。
这些方法都可以通过局部构造的方法来扩展到整个平面上。
二、解析延拓函数的应用1. 研究函数的性质通过解析延拓函数，可以使得一个函数在整个复平面内都解析，因此可以研究解析延拓函数的导数、积分、奇点等性质。
这些性质在研究函数的各种性质时非常重要。
2. 研究微积分学和数学分析复平面解析延拓函数的概念、方法和应用都是微积分学、数学分析等领域中的重要内容。
这些方法可以应用到不同领域的问题中，比如说控制论、物理学等等。
3. 解决微积分学和数学分析中的问题在微积分学和数学分析中，存在很多复杂和难以解决的问题，通过解析延拓函数的方法可以将这些问题简化或者解决。
比如说，解析延拓函数可以利用复变函数中的解析方程来解决偏微分方程、边值问题、整数分析等等。
三、解析延拓函数的例子1. Riemann zeta函数Riemann zeta函数是一个在复平面上解析延拓的函数，它是一个极其重要的数学函数，它在整个数论和复变函数研究中都有着广泛的应用。
它的解析延拓函数被称为拓扑的研究对象。
2. Γ函数Γ函数也是一个解析延拓函数，它是阶乘函数的推广。
通过解析延拓函数，可以得到Γ函数在最右侧的一个棱形区域内具有非零极点，可以应用到很多领域的问题中。
复变函数解析的判定方法
复变函数解析的判定方法复变函数解析的判定方法主要有以下几种:1. 定义法:根据复变函数的定义,它具有以下几个性质:a. 复数函数f(z)在z=0处的值为f(0);b. 复数函数g(z)与f(z)的乘积h(z)在z=0处的值为h(0),即g(z)h(z)=f(0)f(z);c. 任何非零复数z,都有f(z)>0或在z=0处取得实部为零,f(z)<0或在z=0处取得虚部为零。
根据定义,只有满足a、b、c三个性质的复变函数才具有解析性质,否则它只是一个复数算子。
2. 解析延拓法:解析延拓是将一个复变函数的解析形式推广到所有可能解析形式的方法。
如果一个复变函数只有有限个解析形式,那么可以通过解析延拓将其转化为有限个解析形式。
解析延拓法的步骤如下:a. 找到一个解析形式f(x,y,z);b. 将f(x,y,z)表示为一个复数多项式;c. 对于每个复数z,找到另一个解析形式g(x,y,z)=f(x,y,z)(z+a0)^n,其中a0是单位元;d. 如果存在一个正实数n,使得g(x,y,z)(z+a0)^n在z=0处的值为f(x,y,z),那么f(x,y,z)就是一个解析形式。
解析延拓法可以用于判断一个复变函数是否解析,如果一个复变函数只有有限个解析形式,那么可以通过解析延拓将其转化为有限个解析形式,从而判断它是否具有解析性质。
3. 解析解析法:解析解析法是一种新的判定方法,它可以用于判断一个复变函数是否具有解析性质。
解析解析法的步骤如下:a. 找到一个解析形式f(x,y,z);b. 对于每个复数z,找到另一个解析形式g(x,y,z)=f(x,y,z)(z+a0)^n,其中a0是单位元;c. 对于每个解析形式g(x,y,z),判断它的值域是否包括z=0;d. 如果存在一个正实数n,使得g(x,y,z)(z+a0)^n的值域包括z=0,那么f(x,y,z)就是一个解析形式。
解析解析法可以用于判断一个复变函数是否具有解析性质,从而可以直接判断它是否具有解析形式。
复变函数级数
解：因为 f(n )(1 ) (e z)(n )|z 1 e z|z 1 e
故
ez
e1z1!1z2!12
z1n
n!
e z1n.
n0 n!
收敛半径： Rliman lim(n1)!
a n n1
n n!
(s z ) ( 2 n i 1 )n |z 0 ( 1 ) n ;(s z ) ( 2 n i )|z n 0 0
sinzzz3 z5 (1)n z2n1
1! 3! 5!
(2n1)!
(1)n
z2n1.
n0 (2n1)!
类似的有
cosz 1z2 z4 (1)n z2n
nzn1
n1
(n1)zn n0
例5 求 f(z)1za （a为任意复常数）
在z=0邻域的泰勒展开
当a ≠整数时，f (z)为多值函数，须在指定叶
上展开。z=-1是其支点，若取负实轴上(-∞,-1)
为割线，规定 1za 1ae2kai z0 （k为整数）
-∞
，且展开唯一。
n!
证：1）利用解析函数的积分特征——
Cauchy积分公式
fz 1 fd
z0
R
r
a
c
r
2i cr z
1
2）将
展开为以a为中心的幂级数
z
3）逐项积分
4）再利用Cauchy导数公式
具体计算：
展开：
1
z
1
a
1
z
a a
2! 4!
(2n)!
(1)n z2n
复变函数的级数
第四章复变函数的级数本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数及其展开，解析函数零点的孤立性及唯一性定理.§4.1复数项级数1 复数列的极限2 复数项级数4.1.2 复数项级数!!++++=∑∞=n n n αααα211为复数项级数.称nnk k n S αααα+++==∑=!211为该级数的前n 项部分和.设是复数列, 则称{}{}n n n a ib α=+级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数!!++++=∑∞=n n n αααα211的部分和数列收敛于复数S , 则称级数收敛, {}n S 这时称S 为级数的和, 并记做1.nn S α∞==∑如果不收敛，则称级数发散.{}n S复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2 级数收敛的充要11()n n n n n a ib α∞∞===+∑∑条件是都收敛, 并且11, n n n n a b ∞∞==∑∑111.nn n n n n a i b α∞∞∞====+∑∑∑证明由及定理4.1, 易证.11,nnn k k k k S a i b ===+∑∑说明复数项级数的收敛问题!两个实数项级数的收敛问题级数收敛的必要条件lim 0.n n α→∞=推论4.1如果级数收敛, 则1n n α∞=∑证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要条件知, lim 0, lim 0n n n n a b →∞→∞==lim 0.n n α→∞=重要结论:发散.1lim 0n n n n αα∞→∞=≠⇒∑于是在判别级数的敛散性时, 可先考察lim 0.n n α→∞=?为复变函数项级数.121()()()()nn n fz f z f z f z ∞==++++∑L L)()()()(21z f z f z f z S n n +++=!为该级数前n 项的部分和.设是定义在区域D 上的复变函数列, {}()n f z 称4.1.3 函数项级数的概念!!++++=)()()()(21z f z f z f z S n 称为该级数在区域D 上的和函数.如果对级数收敛, 即0,z D ∈01()n n f z ∞=∑00lim ()(),n n S z S z →∞=则称级数在点收敛, 且是级数和.1()n n f z ∞=∑0z 0()S z 如果级数在D 内处处收敛, 则称其在1()n n f z ∞=∑区域D 内收敛. 此时级数的和是函数和定理4.6(优级数判别法)121()(1,2,),.|()|,(1,2,)()n n n n n n f z n E a a a E f z a n f z E ∞==++++≤=∑L L L L 设在点集上有定义且是一收敛的正项级数 设在上 那么复函数级数在上一致收敛.12(1)n a a a ++++L L 级数称为优级数;注：(2) 优级数判定的一致收敛级数是绝对一致收敛.1,.()(),{()}()(),()()n n n n E f z E f z f z ES z f z S z f z E ∞=∑ 设表示区域闭区域或简单曲线 设在上连续，复函数级数或复序列在上一致收敛于或那么或在上连续.定理4.71()(1,2,)(),{()}()(),n n n n f z n C f z f z C S z f z ∞==∑L 设在简单曲线上连续，并且复函数级数或复序列在上一致收敛于或那么定理4.81()(),lim ()().n CCn n CCn f z dz S z dz f z dz f z dz +∞=→∞==∑∫∫∫∫ 或11()(1,2,).(),{()},(),{()}.n n n n n n n f z n D f z f z D f z f z D ∞=∞==∑∑L 设定义于区域内 若复函数级数或复序列在内任一有界闭集上一致收敛则称复函数级数或复序列在内内闭一致收敛定义4.5注,D D 在内弱内闭于在内一致收敛一致收敛11()(()),()(()),.n n n n n n f z f z D f z f z D ∞∞==∑∑即若或在内一致收敛则或在内内闭一致收敛反之不真如1||1n n z z ∞=<∑不在内,但一致收敛内闭一致收敛.1()(1,2,)(),{()}()(),()(),1,2,n n n n f z n D f z f z D S z f z S z f z D D k ∞===∑L L设定义于区域内解析，且复函数级数或复序列在内内闭一致收敛于或那么或在内解析且在内对定理4.9()()1()()()(),()lim ().k k n n k k n n S z f z fz f z +∞=→∞==∑ 或§4.2 幂级数1 幂级数的概念2 幂级数的敛散性3 幂级数的性质设是定义在区域D 上的复变函数列, {}()n f z 4.2.1 幂级数的概念2010200()()()nnn c z z c c z z c z z ∞=−=+−+−+∑当或时,110()()n n n f z c z z −−=−11()n n n f z c z−−=函数项级数的形式为0(),nn c z z ++−+L L 1()nn fz ∞=∑对复变函数级数20121,nnn n n c zc c z c z c z ∞==+++++∑L L 这类函数项级数称为幂级数.或的特殊情形00z =收敛圆与收敛半径(1) 对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2) 对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.设时, 级数收敛;时, 级数发散. 如图:z α=z β=由Abel 定理, 幂级数收敛情况有三种:0nn n c z ∞=∑幂级数()nnn c z z ∞=−∑的收敛范围是因此，事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.0z z =收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别, 0, .R +∞规定为论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.作业8第174页，第四章习题（一）：1; 2; 3; 4;习题（二）：1；2.。
3.3解析延拓
R
如图所示 足 ρ 2 < z − z0 < ρ1 ， 如图所示 。 因为 f ( z ) 在闭圆环域
R2 ρ 2 z0 Γ2 R1
ρ 2 ≤ z − z0 ≤ ρ1 内解析，其 内解析，
所以由复 边界 Γ = Γ1 + Γ 2 ， 所以由复 通区域的柯西积分公式有 通区域的柯西积分公式有
−
z
ρ1
数学物理方法 例3.4.1 在 z < 1 中的解析函数
f ( z) = ∑ z k
∞
1 求该函数的解析延拓。 z < 1 内，f ( z ) = 1 − z 函数解析，故可 解：由于在区域 以取区域内任意一点 z1 ( z1 ≠ 0)，将函数在 z1 的一邻域内进 行泰勒展开，记展开后为 f 2 ( z ) ，则
数学物理方法
3.4.2 解析延拓的方法 原则上，解析延拓总是可以利用泰勒级数进行。具体说， z0 z0 选取区域B上任意一内点 ，在 的邻域上将解析函 数展开为泰勒级数。如果这个泰勒级数的收敛圆有部分 超出B之外，解析函数的定义域就扩大了一步。这样可 以逐步扩大。 可以证明，解析延拓具有唯一性 解析延拓具有唯一性。 解析延拓具有唯一性
1 k ∞ k 1 ∞ 1 k f ( z ) = ∑ (1 − k +1 ) z = ∑ z − ∑ k z 2 2 k =0 2 k =0 k =0 1 1 1 1 = − = 1 − z 2 (1 − z / 2) ( z − 1)( z − 2)
1 F ( z) = ( z − 1)( z − 2) 就是原函数的解析延拓。
数学物理方法
3.5.1双边幂级数 双边幂级数
形如
n =−∞ ∞
∑
an ( z − z0 )n =
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有许多独特的性质和分类方法。
本文将介绍复变函数的性质与分类，并探讨其在数学和物理等领域中的应用。
一、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在其定义域内解析，即在该区域内可导无穷次。
这是复变函数与实变函数最大的区别之一。
解析性使得复变函数具有许多重要的性质和应用，如洛朗级数展开和复数积分等。
2. 全纯性：全纯函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
全纯函数是解析函数的一种特殊情况，它在复平面上具有许多重要的性质，如柯西-黎曼方程和柯西积分定理等。
3. 奇点：奇点是指复变函数在某些点上不解析的情况。
奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三种类型。
可去奇点是指在该点附近可以通过去除奇点的方式使函数变得解析；极点是指在该点附近函数趋于无穷大；本性奇点是指在该点附近函数既不趋于有限值也不趋于无穷大。
4. 解析延拓：解析延拓是指通过解析性质将函数从定义域延拓到更大的区域。
解析延拓可以使函数在更广泛的区域内具有解析性，从而得到更多的性质和应用。
二、复变函数的分类1. 代数函数：代数函数是指由有限次代数运算和有限次复合运算得到的函数。
代数函数包括多项式函数、有理函数和代数函数的根等。
代数函数在复平面上具有有限个奇点，其性质和行为相对简单。
2. 三角函数：三角函数是指由正弦函数和余弦函数构成的函数。
三角函数在复平面上具有周期性和解析性，其性质和行为与实数域上的三角函数类似。
3. 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是复变函数中的重要类别。
指数函数具有解析性和周期性，对数函数具有多值性和解析性。
指数函数和对数函数在数学和物理等领域中有广泛的应用。
4. 特殊函数：特殊函数是指由特殊函数方程定义的函数，如贝塞尔函数、超几何函数和椭圆函数等。
特殊函数在数学和物理等领域中具有重要的应用，如波动方程、量子力学和电磁场等。
三、复变函数的应用1. 数学分析：复变函数在数学分析中具有广泛的应用，如复数积分、洛朗级数展开和柯西积分定理等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数的级数展开和解析延拓复变函数是数学中的一个重要概念，它在实数域上的连续性和可微
性不能直接应用于复数域。
复数函数的级数展开和解析延拓是研究复
变函数性质的重要方法。
本文将介绍复变函数级数展开和解析延拓的
基本概念、方法和应用。
一、级数展开的基本概念
复变函数的级数展开是指通过无限项的级数来表示一个复变函数。
常用的级数展开方法有泰勒级数和洛朗级数。
1. 泰勒级数展开
泰勒级数展开是将一个复变函数在某点z₀处展开成幂级数的形式，表示为：
f(z) = ∑[n=0,∞] [f^(n)(z₀)/n!] × (z-z₀)^n
其中，f(z)是复变函数，f^(n)(z₀)表示函数f(z)在点z₀处的n阶导数。
2. 洛朗级数展开
洛朗级数展开是将一个复变函数在其奇点z₀的一个环域内展开成
幂级数和幂函数的形式，表示为：
f(z) = ∑[n=0,∞] a_n × (z-z₀)^n + ∑[n=1,∞] b_n × (z-z₀)^(-n)
其中，a_n和b_n为展开系数，可通过计算获得。
二、解析延拓的基本概念
解析延拓是指将一个复变函数在定义域外继续解析成一个更大的域内的函数。
解析延拓的基本方法是通过级数展开和幂函数来延拓函数定义。
1. 极限解析延拓
对于某个定义在开集D上的函数f(z)，若存在开集G，使得开集D 包含在G中，且在开集G上存在一个函数F(z)，满足：
F(z) = f(z)，z∈D
则称F(z)是f(z)的解析延拓。
在实际操作中，可以通过级数展开或利用幂函数的性质来进行解析延拓。
2. 常用的解析延拓方法
（1）洛朗展开法：根据洛朗级数展开的形式，将函数在解析延拓域内进行展开，得到解析延拓函数。
（2）泛函方程法：通过泛函方程求解得到解析延拓函数。
（3）全纯延拓法：将局部解析延拓到整个域内。
（4）反复延拓法：在已知的定义域上反复延拓，直到无法再延拓为止。
三、级数展开和解析延拓的应用
级数展开和解析延拓在数学和物理学等领域具有广泛应用。
1. 解析延拓在数学中的应用
解析延拓可以扩充函数的定义域，从而更全面地研究其性质和应用。
例如，在解析数论中，通过解析延拓可以拓展一些数论函数的定义域，从而更深入地研究数论问题。
2. 解析延拓在物理学中的应用
解析延拓在量子力学的研究中有重要应用。
例如，通过解析延拓可
以拓展量子力学中的一些算符的定义域，进一步研究量子系统的性质。
3. 级数展开在近似计算中的应用
级数展开在数值计算和近似计算中具有重要意义。
通过截取级数的
前几项，可以得到原函数的近似值，从而简化计算过程。
综上所述，复变函数的级数展开和解析延拓是研究复变函数的重要
方法。
通过级数展开可以将复变函数表示为级数形式，而解析延拓则
可以拓展函数的定义域，进一步研究函数的性质和应用。
这些方法在
数学和物理学等学科中有广泛的应用价值。