上海市实验学校2023届高三上学期11月月考数学试卷(解析版)

【小问3详解】
由 ，设 根据题意可知直线 的斜率存在，可设直线斜率为 ，则直线 的方程为 ，
把它代入椭圆 的方程，消去 整理得：
由韦达定理得 则 ， ；
所以线段 的中点坐标为 .
（i）当 时，则 ，线段 垂直平分线为 轴，
于是 ，由 解得 .
（ii）当 时，则线段 垂直平分线的方程为 .
由点 是线段 垂直平分线的一点，令 ，得 ；
【详解】直线 的倾斜角 的正弦值为 ，
则当 为锐角时， ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 ，
所以直线 的点斜式方程为 ，
当 为钝角时， ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 ，
所以直线 的点斜式方程为 ，
综上，直线 的点斜式方程为 或 ，
故答案为： 或 .
4.已知向量 ， ，且 在 上的投影为 ，则 ______．
考点：1．三角函数的图象变换；2． 的图象和性质．
15.直线 平面 ，垂足是 ，正四面体 的棱长为4，点 在平面 上运动，点 在直线 上运动，则点 到直线 的距离的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】先将问题转化为点O在以BC为直径的球上运动，再去求球心到直线 的距离，进而求得点 到直线 的距离的取值范围
故选：B
16.在平面直角坐标系 中，已知向量 点 满足 .曲线 ，区域 .若 为两段分离的曲线，则
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】试题分析：设 ，则 ， ，区域 表示的是平面上的点到点 的距离从 到 之间，如下图中的阴影部分圆环，要使 为两段分离的曲线，则 ，故选A.
考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.
18.如图1，在直角梯形 中， ， 是 的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到图2中 的位置，得到四棱锥 .
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析，详见解析；（Ⅱ） .
【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.
（3）作直线 与椭圆 交于不同的两点 ，其中 点的坐标为 ，若点 是线段 垂直平分线上一点，且满足 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【分析】（1）根据点到直线的距离和菱形的面积建立方程组，求解 即可；
（2）根据向量坐标运算表示出 的坐标，代入椭圆方程，利用 求出 的范围；
（3）求出 垂直平分线的方程，把 代入，结合 可求答案.
【详解】设 ，
由 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以
所以 ，
故答案 ： .
6.若 且 是第二象限的角，则 _________.
【答案】-3
【分析】先求出 的值，然后利用二倍角的正切公式求出 ，进而利用两角和与差的正切公式求出 ，从而可求出 .
【详解】由题意， ，
∵ 是第二象限的角，∴ ， ，
又 ，解得 或 ，
于是
由 ，
解得 ，所以 .
综上可得实数 的值为 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系等，求解方程的关键是建立关于待定系数的方程组；参数求值的关键是向量条件的转化，主要是利用向量的坐标运算，结合韦达定理进行求解.
上海实验学校高三月考数学试卷
2022.11
一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.若 ，则 ___________.
【答案】
【分析】根据双曲线、椭圆的性质，利用集合的运算即可求解.
【详解】由双曲线的性质可知 中， 或 ，
所以 ,所以 ，
由椭圆的性质可知 中， ，
所以 ,所以 ，
【小问1详解】
设 的坐标分别为 ，其中 ；
由题意得 的方程为 .
因为 到直线 的距离为3，
所以 解得 ，所以 ①
因为连接椭圆 的四个顶点得到的菱形面积为4，所以 ，即 ②
联立①②解得: ,
所求椭圆D的方程为 .
【小问2详解】
由（1）知椭圆的方程为 ，设 ，
因为 ，所以
所以 ，代入椭圆的方程 ，
所以 ，解得 或 .
故答案为： .
2.已知函数 ，则 ___________.
【答案】2
【分析】根据导数的运算公式求解.
【详解】 ,
所以 ，
故答案为： .
3.已知直线 经过点 ，倾斜角 的正弦值为 ，则 的点斜式方程为___________.
【答案】 或
【分析】先根据倾斜角 的正弦值为 ，求出 的值，再求出 ，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线方程.
【答案】
【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.
【详解】由题知 ，
整理得 ，
因为 ，
代入 整理得 ，
令 ，有 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.
10.已知实数 同时满足：（1） ，其中 是 边 延长线上一点：（2）关于 的方程 在 上恰有两解，则实数 的取值范围是___________
故答案为： .
【点睛】方法点睛：在遇到周期性数列求和时，可利用分组求和的方法，分别对奇数项和偶数项进行求和，然后再求和.设点 、 均在双曲线 上运动， 、 是双曲线 的左、右焦点，则 的最小值为（）
A. B.4C. D.以上都不对
【答案】B
【分析】根据向量的运算，化简得 ，结合双曲线的性质，即可求解.
【详解】
的零点可以转化为函数 和 图象交点的横坐标，图象如上所示，由图可知共三个零点，
， ，所以在 上存在一个零点；
，则在 上存在一个零点；
， ，则在 上存在一个零点；
所以 .
故答案为： .
8.集合 ，从 的所有非空子集中，等可能地取出一个，设 ，若 ，则 ，就称子集 满足性质 ，则所取出的非空子集满足性质 的概率为___________.
【答案】
【分析】
利用数量积的定义得到投影 ，再利用数量积和模长的坐标运算代入计算即可.
【详解】设 与 的夹角是 ，利用投影定义， 在 上的投影为 ，因为 ， ，所以 ，解得 .
故答案为： .
5.若复数 同时满足 ，则 ___________.（ 是虚数单位）
【答案】
【分析】待定系数法求出复数 ，再利用求模公式计算
【详解】由题意，设 为 的中点，
根据向量的运算，可得 ，
又由 为双曲线 上的动点，可得 ，
所以 ，
即 最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：一元二次方程的根的分布问题常从以下几个方面考虑：（1）二次函数的抛物线的开口方向；（2）对称轴位置；（3） 大小；（4）端点函数值；（5）抛物线与坐标轴的交点.
11.已知实数 、 、 、 满足： ， ， ，则 的最大值为__________.
【答案】
试题解析:
（1）在图1中，易得
所以，在图2中， 平面
（2）由已知，平面 平面 ,
所以 平面
考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．
19.根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为 和 （单位：辆），
其中 ， ，第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的
累计投放量与累计损失量的差.
试题分析：
（1）
（2） ，即第42个月底，保有量达到最大
，∴此时保有量超过了容纳量.
20.设 分别是椭圆 的左､右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆 于 两点， 到直线 的距离为3，连接椭圆 的四个顶点得到的菱形面积为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，设 是椭圆 上的一点，过 两点的直线 交 轴于点 ，若 ，求 的取值范围；
【分析】
根据已知四个实数满足的式子，将数转化为形求解，再利用点到直线的距离公式，结合图形可得答案.
【详解】记 、 ，由题意，知 、 位于单位圆上，
，
则 、 分别表示 、 到直线 的距离 、 ，于是， ，分别取 、 靠近 、 的三等分点为 、 ，联结 ，过点 作 的垂线，交 、 于 、 ，则 ，在 中，应用余弦定理，可得 ， ， ，从而， .
∵ ，∴ ，
∴ 是第一、三象限的角，
则 ，即 舍去， 符合题意.
∴ ,
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，考查象限角，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
7.已知 ，函数 的零点从小到大依次为 ，若 ），请写出所有的 所组成的集合___________.
【答案】
【分析】将 的零点可以转化为函数 和 图象交点的横坐标，然后利用零点存在性定理分析零点所在区间即可.
【详解】 ， ，
，
展开为 ， ，
即 ， ．
即 ，
，
化为 ．
数列{ }是周期为2的数列．
数列{ }的前15项和为 ，
．
又 ，
解得 ， ．
∴ ， ．
由 0， ，解得 ．
0， ，解得 ，
又 ，
令数列 的前 项和为 ，则当 为奇数时， ，取极限得 ；
则当 为偶数时， ，取极限得 ；
若数列 前 项和的极限存在，则 ， ，
【答案】