三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
三角函数图像变换顺序详解(全面)
《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x)到函数y = A f ( )+ m，其间经过 4 种变换：1.纵向平移——m 变换2.纵向伸缩—— A 变换3.横向平移——变换4.横向伸缩——变换一般说来，这 4 种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x 到y = Asin ( )+m 为例，讨论 4 种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1 步，横向平移：将y = sin x 向右平移，得第2 步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3 步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大 3 倍，得第4 步：纵向平移：将向上平移1，得【解法2】第1 步，横向伸缩：将y = sin x 的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2 步，横向平移：将y = sin 2x 向右平移，得第3 步，纵向平移：将向上平移，得第4 步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大 3 倍，得【说明】解法 1 的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法 2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法 1 的“可靠性”大，而解法 2 的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当<0 时对应右移（增方向），而m < 0 时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如| | > 1 时对应着“缩”，而| A | >1 时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ( )+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y+ ) = f ( )，则x、y 在形式上就“地位平等”了.如将例 1 中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x 进行的.故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例 1 的解法 2 中）后平移时，有的原因.【说明】为了使得 4 种变换量与 4 个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sinx 变到Asin ( ) ( > 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x→（2）横向伸缩：x+ →（3）纵向伸缩：sin ( ) →Asin ( )（4）纵向平移：Asin ( ) →Asin ( ) + m这正是例 1 中解法 1 的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到Asin ( )+m 的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin ( )+m 到sin x 变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y= 2sin (2 －) +1 的图像下移 1 个单位得y=2sin (2 x－)，再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x－),再将横坐标扩大 2 倍得y= sin( x－),最后将图象左移得函数y= sinx.2 x.【例2】将y = f (x)·cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin试求 f ( x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.2【解析】将y = 2sin x下移1 个单位（与正向变换上移 1 个单位相反），得y = 2sin 2 2x－1，再将2sin x－1 左移（与正向变换右移相反）得令 f (x)·cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x2x,其逆【说明】由此得原函数为y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2 x. 正向变换为s in 2x→2sin 2x→sin2x. 变换为2sin2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移 1 个单位得sin(2 x－),左移得sin2 x.因为三、翻折变换使> 0.忽略平移变换x→是“对x 而言”，由于x过于简单而易被里x 的系数是+1. 千万不要误以为是由sin( - x)左移而得.强调一下，这于y 其实，x 或y 的系数变- 1，也对应着两种不同的图象变换：由x→- x 对应着关于x 轴的对称变换,即沿x 轴变换,即沿y 轴的翻折变换；由 f (x) →- f (x)对应着关轴的对称的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换- 3x→3x,即沿y 轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3 x－) 的增区间令≤≤≤x ≤（f(x)减区间主解），故函数f(x)减区间的通解为又函数的f(x)周期为≤x ≤【解析2】的减区间为≤≤即是≤x ≤,比较解析 1 和解析 2 可知,求f(x)的减区间,实际上分问题度看【说明】从图象变换的角两步进行:(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.【思考】本解先将“正数化”，使>0 是本解成功的关键.否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！。
高中数学中的三角函数的基本变换规律
高中数学中的三角函数的基本变换规律在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的内容。
它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题中发挥着重要的作用。
而要理解三角函数的性质和应用，我们首先需要掌握它们的基本变换规律。
一、平移变换规律平移是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行平移。
对于三角函数而言，平移变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的平移变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的平移变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过平移变换规律，我们可以将函数图像在平面上进行移动，从而观察到函数图像的变化。
二、伸缩变换规律伸缩是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，伸缩变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的伸缩变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示纵坐标方向的伸缩倍数，b表示横坐标方向的伸缩倍数，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的伸缩变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示纵坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过伸缩变换规律，我们可以观察到函数图像在平面上的形状发生变化，从而更好地理解函数的性质。
三、反射变换规律反射是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行镜像。
对于三角函数而言，反射变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的反射变换规律：y = -a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的反射变换规律：y = -a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
三角函数的图象变换(已传)
函数的图象变换●图象变换类型※平移变换 ☆左右平移：函数)(x f y =向左平移)0(>ϕϕ个单位→)(ϕ+=x f y函数)(x f y =向右平移)0(>ϕϕ个单位→)(ϕ-=x f y规律总结：自变量x 左加右减。
☆上下平移：函数)(x f y =向上平移)0(>k k 个单位→k x f y +=)(函数)(x f y =向下平移)0(>k k 个单位→k x f y -=)(规律总结：函数值y 上加下减。
※伸缩变换☆横向伸缩函数)(x f y =的横坐标变为原来)0(1>ωω倍在，纵坐标不变→)(x f y ω=若1>ω，则横向压缩；若10<<ω，则横向拉伸。
☆纵向伸缩函数)(x f y =的纵坐标变为原来A 倍在，纵坐标不变→)(x Af y = 若1>A ，则纵向拉伸；若10<<A ，则纵向压缩。
※对称变换)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称)(x f y =与)(x f y --=关于原点对称※翻折变换|)(|x f y =的图像是由)(x f y =的图像位于x 轴上方的不变，再把下方的翻折到上方得到 )||(x f y =的图像是由)(x f y =的图像位于y 轴右侧的不变，再把右侧的翻折到左侧得到。
巩固训练●三角函数图象变换说出函数的变换过程1平移变换 ※横向平移说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g1x x f sin )(=→)4sin()(π+=x x g 2x x f sin )(=→)5sin()(π-=x x g 3）（4sin)(π+=x x f →x x g sin )(= 4）（3sin)(π-=x x f →x x g sin )(= 5)32sin(π+=x y 向左平移4π个单位得到____________________ 6)42sin(π+=x y 向右平移6π个单位得到____________________ ※纵向平移说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g1x x f sin )(=→)0(sin )(>+=k k x x g1x x f sin )(=→)0(sin )(>-=k k x x g 2伸缩变换●横向伸缩说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g1x x f sin )(=→)0(sin )(>=ωωx x g2x x f sin )(=→x x g 2sin )(=3x x f sin )(=→x x g 21sin )(= 4x x f 3sin )(=→x x g sin )(=5x x f 41sin )(=→x x g sin )(= 6x x f 3sin )(=→x x g 5sin )(=7)43sin()(π+=x x f →）（42sin )(π+=x x g8)0()sin()(11>=ωωx x f →)0()sin()(22>=ωωx x g ●纵向伸缩1x x f sin )(=→x x g sin 2)(= 2x x f sin )(=→x x g sin 31)(= 3x x f sin 3)(=→x x g sin )(= 4x x f sin 4)(=→x x g sin 2)(= 5)0(sin )(11>=A x A x f →)0(sin )(22>=A x A x g 说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g 1x x f sin )(=→x x g sin 2)(= 2x x f sin )(=→x x g sin 31)(= 3x x f sin 4)(=→x x g sin )(= 4x x f sin 2)(=→x x g sin 3)(= 5)0(sin )(11>=A x A x f →)0(sin )(22>=A x A x g3对称变换1234翻折变换12。
三角函数变换公式
三角函数变换公式三角函数是初等数学中的重要概念，在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
在三角函数中，最常见的函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性和较为规律的变化。
然而，在实际应用中，有时我们需要对三角函数进行一些变换，以适应特定的需求。
这些变换包括平移、伸缩和反转等操作，可以使得函数图像更加灵活和有用。
一、平移变换平移变换是指在函数图像中将其整个图像沿横轴或纵轴方向平移一定距离。
平移变换可以改变函数图像的位置，使其整体向左或向右移动，或者向上或向下移动。
1.横向平移：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向平移h个单位，得到函数g(x)=f(x-h)。
根据平移的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x+h,y)。
因此，横向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向右平移h个单位。
2.纵向平移：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向平移k个单位，得到函数g(x)=f(x)+k。
根据平移的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x,y+k)。
因此，纵向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向上平移k个单位。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩变换可以改变函数图像的形状和走向，使其更加符合实际情况或数学要求。
1.横向伸缩：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=f(kx)。
根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x, y)的坐标变为P(x/k, y)。
因此，横向伸缩后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点的横坐标缩小k倍。
2.纵向伸缩：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=kf(x)。
根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x, y)的坐标变为P(x, ky)。
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是()A.B.C.答案：C解题思路：D.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移f(x)的表达式时()个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则yA.B.C.D.解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移A.2B.3C.4D.5答案：C解题思绪：个单位所得的图象重合，则的最小值是()左平移的最小正周期为，将的图象向个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是()A.B.C.D.答案：D解题思路：的图象关于原点对称，则A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：的值可以是()的图象向右平移个单位得到C.D.答案：D试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示。
的图像，则只需将f(x)的图像()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：为了得到试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是()A.B.答案：C解题思路：D.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。
三角函数图象的“四大变换”
ｓ ｉ ｎ Ｉ ２ （ ｚ 一 詈 ） Ｊ ， 要 得 到 的 新 函 数 可 化 为
达 式 —Ａ厂 （ ∞ ｚ ＋ ） ＋６中 － ｚ 和 Ｙ的 地位 在 形式 上“ 不平 等” 所 至 ．如 果把 函数 式 变 为方 式上 就 “ 地位平 等” 了．如 将 例 １中 的 Ｙ一
将 — ｓ ｉ ｎ ２ ｚ 一 詈 ） ＋ 丢 的 纵 坐 标 变 为 程式 Ａ （ ＋６ ） 一厂（ （ ｃ Ｉ ＋ ） ， 则 和 Ｙ在 形
与 参 数 值 （ 号 ） 对 应 ， 而 解 法 二 中 有 的 “ 变 换
量” ｆ 、 如 右 移詈１ ｎ ， 与 参数 值ｆ 、 罟） ， 不 对应， 因此，
解法 一 的“ 可靠 性” 大， 而解 法 二 的 “ 风 险
件 ” 女 ．
四 、问 题 升 华
变 式要 得 到 函 数 Ⅲ Ｉ 倍， 称为图象的周
期变 换 ， 即横 向伸缩 变换 ． （ ４ ） ｂ值 使 图 象 向 上 （ ６ ＞Ｏ ） 或 向 下
位 ， 得 一 ４ ｓ ｉ ｎ ２ ｚ 一 号 ） ＋ １ ．
（ 方 法 二） 第 一步 ， 横 向伸缩 ：
将 —ｓ ｉ ｎ ｚ的横 坐标 变 为 原来 的 １ 倍
将ｙ ＝ｓ ｉ ｎ ｚ向右平移詈个单位， 得 ＝
ｓ ｉ ｎ （ ｚ 一 号 ） ；
第 二步 ， 横 向伸缩 ：
一
、
变 换 类 型
将 ３ Ｉ ： ｓ ｉ ｎ （ 一 号 ） 的 横 坐 标 变 为 原 来 的
（ １ ）Ａ 值 使 图象 上 每 一 点 的 横 坐 标 不
变， 纵坐标变为原来的 ｌ Ａ ｌ 倍， 改变了函数的
三角函数图象 的“ 四大变换’ ’
三角函数伸缩变换法则
三角函数伸缩变换法则
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。
一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。
当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。
一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。
当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在学习三角函数时，我们经常会接触到三角函数的图像变换。
图像变换是指通过对原始函数的一系列操作，得到一个新的函数的过程。
一、平移变换平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的距离。
当我们将函数沿着横轴平移时，可以通过将自变量加上一个常数来实现。
例如，若将函数f(x)沿着横轴向右平移a个单位，则新函数为f(x-a)。
同样，当我们将函数沿着纵轴平移时，可以通过将因变量加上一个常数来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变函数的自变量或因变量的取值范围来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行伸缩时，可以通过改变自变量的比例系数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量x进行伸缩，新函数为f(kx)，其中k是一个正常数。
当k 大于1时，函数图像会水平压缩；当0<k<1时，函数图像会水平拉伸。
同样，我们可以将函数的因变量进行伸缩，通过改变因变量的比例系数来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变函数的自变量或因变量的正负号来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行翻折时，可以通过将自变量取相反数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量进行翻折，新函数为f(-x)。
同样，我们可以将函数的因变量进行翻折，通过将因变量取相反数来实现。
四、迭加变换迭加变换是指将多个变换效果叠加在一起，从而得到一个新的函数的图像。
例如，我们可以将平移、伸缩和翻折等变换操作应用于原始函数，得到一个经过多次变换的新函数的图像。
通过迭加变换，我们可以获得更加丰富多样的函数图像。
总结起来，三角函数的图像变换是通过对函数的自变量和因变量进行平移、伸缩、翻折等操作来改变函数的图像形状。
通过合理地应用这些图像变换，我们可以更好地理解和应用三角函数，并在解决实际问题时提供便利。
因此，掌握三角函数的图像变换是非常重要的数学技能之一，也是我们在数学学习中需要重点关注和掌握的内容之一。
三角函数平移伸缩变换公式
三角函数平移伸缩变换公式
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。
左加右减
一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。
当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。
上加下减
一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。
当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。
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三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()yAxk的图象与函数sinyx的图象之间可以通过变化
Ak，，，
来相互转化．A，影响图象的形状，k，影响图象与x轴交点的位置．由A引起的变换称
振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，
由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．
变换方法如下：先平移后伸缩
sinyx
的图象向左(>0)或向右(0)平移个单位长度
得sin()yx的图象()横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变
得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变
得sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度
得sin()yAxk的图象．
先伸缩后平移
sinyx
的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变
得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位
得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．
例1 将sinyx的图象怎样变换得到函数π2sin214yx的图象．
解：（方法一）①把sinyx的图象沿x轴向左平移π4个单位长度，得πsin4yx的
图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin24yx的图象；③将所得图象的
纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin24yx的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移
1个单位长度得到π2sin214yx的图象．
（方法二）①把sinyx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sinyx的图象；②
将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin2yx的图象；③将所得图象沿x轴向左平移
π
8
个单位长度得π2sin28yx的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到
π
2sin214yx
的图象．
说明：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin2yx的图象向左平移π8个单位长
度得到的函数图象的解析式是πsin28yx而不是πsin28yx，把πsin4yx的
图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin24yx而不是
π
sin24yx
．
对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将sin2yx的图象怎样变换得到函数πcos24yx的图象．
分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
解：ππsin2cos2cos222yxxx，
在πcos22yx中以xa代x，有ππcos2()cos2222yxaxa．
根据题意，有ππ22224xax，得π8a．
所以将sin2yx的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos24yx的图象．