高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数优化训练苏教版必修

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高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 对数函数(第2课时)对数函数的图象与性质的

第2课时对数函数的图象与性质的应用1．能正确判断图象之间的变换关系．(重点) 2．理解并掌握对数函数的单调性．(重点) 3．会用对数函数的相关性质解综合题．(难点)[基础·初探]教材整理与对数函数有关的图象变换阅读教材P 84例3以下内容，完成下列问题． 1．平移变换当b ＞0时，将y ＝log a x 的图象向左平移b 个单位，得到y ＝log a (x ＋b )的图象；向右平移b 个单位，得到y ＝log a (x －b )的图象．当b ＞0时，将y ＝log a x 的图象向上平移b 个单位，得到y ＝log a x ＋b 的图象，将y ＝log a x 的图象向下平移b 个单位，得到y ＝log a x －b 的图象．2．对称变换要得到y ＝log a 1x的图象，应将y ＝log a x 的图象关于x 轴对称．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________________________________________________________．【解析】 y ＝lg x ＋310＝lg (x ＋3)－1，故将y ＝lg x 向左平移3个单位，再向下平移1个单位．【答案】向左平移3个单位，再向下平移1个单位[小组合作型]对数函数的图象作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．【精彩点拨】可先作出y＝log2x的图象，再左移2个单位得到y＝log2 (x＋2)，通过翻折变换得到y＝|log2 (x＋2)|，再向上平移4个单位即可．【自主解答】步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2(x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2 (x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2 (x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为(－1，＋∞)．1．已知y＝f (x)的图象，求y＝|f (x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f (x)→y＝f (x＋a)→y＝|f (x＋a)|→y＝|f (x＋a)|＋b.2．已知y＝f (x)的图象，求y＝|f (x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f (x)→y＝f (x＋a)→y＝f (x＋a)＋b→y＝|f (x＋a)＋b|.从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象做出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x ，再变换y .[再练一题]1．(1)若函数f (x )＝a －x(a >0，a ≠1)是定义域为R 的增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是________．(填序号)【解析】因为函数f (x )＝a －x是定义域为R 的增函数，所以0<a <1.另外g (x )＝log a (x ＋1)的图象是由函数h (x )＝log a x 的图象向左平移1个单位得到的．【答案】 ④(2)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数 f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(填序号)【解析】由lg a ＋lg b ＝0，得lg (ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1b，所以当0<b <1时，a >1；当b >1时，0<a <1.又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．综合分析可知，②正确．【答案】 ②值域问题(1)已知函数f (x )＝2log 12x 的定义域为[2,4]，则函数f (x )的值域是________．(2)若函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．(3)求函数f (x )＝log 2(－x 2－4x ＋12)的值域.【精彩点拨】 (1)中利用f (x )＝2log 12x 在定义域[2,4]上为减函数求解．(2)y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上是单调函数．(3)中注意考虑真数－x 2－4x ＋12的范围．【自主解答】 (1)∵f (x )＝2log 12x 在[2,4]上为减函数，∴x ＝2时，f (x )max ＝2log 122＝－2；x ＝4时，f (x )min ＝2log 124＝－4，∴f (x )的值域为[－4，－2]． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，a ＞0且a ≠1，∴log a 2＝－1，解得a ＝12.【答案】 (1)[－4，－2] (2)12(3)∵－x 2－4x ＋12＞0，又∵－x 2－4x ＋12＝－(x ＋2)2＋16≤16， ∴0＜－x 2－4x ＋12≤16，故log 2(－x 2－4x ＋12)≤log 216＝4， ∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法1．直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．2．配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．3．单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． 4．换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．[再练一题]2．(1)函数f (x )＝log 13(9－x 2)的单调增区间为________，值域为________．【解析】 f (x )的定义域为9－x 2>0⇒x 2<9⇒－3<x <3，当x ∈(－3,0)时，u (x )＝9－x 2单调递增，∴f (x )单调递减．当x ∈(0,3)时，u (x )＝9－x 2单调递减，∴f (x )单调递增． ∵9－x 2∈(0,9]，∴log 13(9－x 2)≥log 139＝－2.即函数的值域为[－2，＋∞)．【答案】 (0,3) [－2，＋∞)(2)当x ∈[3,27]时，函数f (x )＝log 3 x 3·log 3 x9的值域为________．【解析】 f (x )＝log 3 x 3·log 3 x9＝(log 3 x －1)(log 3 x －2)＝(log 3 x )2－3log 3 x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3 x －322－14，令t ＝log 3 x ，∵x ∈[3,27]，∴t ∈[1,3]，∴f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322－14＝2，f (x )min ＝－14.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2对数函数的综合问题已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝⎛⎭⎪⎫12015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12015；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．【精彩点拨】 (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．【自主解答】 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫12015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12015＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12015－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12015＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12015－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12015＝0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2，又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数． (3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg 2－x 12＋x 22＋x 12－x 2，∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0. 又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0， ∴2－x 12＋x 22＋x 12－x 2>1，∴lg2－x 12＋x 22＋x 12－x 2>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用1．常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．2．解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[再练一题]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．【解】 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可． ∵F (x )在[0,1)上是增函数， ∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求．[探究共研型]解对数不等式(或方程)探究1 对数函数的单调性，内容是什么？【提示】对数函数y ＝log a x ，当a >1时，在(0，＋∞)上单调递增，当0<a <1时，在(0，＋∞)上单调递减．探究2 常数m 能表示成对数形式吗？【提示】能．m ＝log a a m.探究3 在y ＝log a x 中，a ，x 的要求是什么？【提示】 a >0且a ≠1，x >0.解下列方程或不等式．(1)log 2 (2x 2－12x －1)＝log 2 (－x ＋5)； (2)log 13(x －3)>log 135；(3)log x 12>1；(4)log a x >2(a >0且a ≠1)．【精彩点拨】根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时应注意讨论．【自主解答】 (1)由题知2x 2－12x －1＝－x ＋5，解得x ＝－12或x ＝6.当x ＝－12时，2x 2－12x －1＝112>0，－x ＋5＝112>0.符合题意．当x ＝6时，2x 2－12x －1<0,5－x <0，∴不合题意．故x ＝－12是原方程的解．(2)由于y ＝log 13x 单调递减，∴log 13(x －3)>log 135可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3<5⇒3<x <8.∴原不等式的解集为{x |3<x <8}． (3)当x >1时，原不等式化为log x 12>log x x .∴x <12，这与x >1矛盾；当0<x <1时，原不等式可化为log x 12>log x x ，∴x >12.结合0<x <1，∴12<x <1.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (4)当a >1时，原不等式化为log a x >log a a 2， ∴x >a 2，当0<a <1时，原不等式化为log a x >log a a 2， ∴0<x <a 2.综上，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >a 2} 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |0<x <a 2}．1．解对数方程不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．2．当不等式中有两个变元时应分清主变元是谁．[再练一题]4．若log a 23＜1，则a 的取值范围是________.【解析】由log a 23＜1，得log a 23＜log a a .当a ＞1时，有a ＞23，即a ＞1；当0＜a ＜1时，则有a ＜23，即0＜a ＜23.综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) 5．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 4 x )<0的解集是________．【解析】 ∵f (x )是R 上的偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. 又f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴由f (log 4 x )<0知－12<log 4 x <12，即log 4 4－12<log 4 x <log 4 412，∴4－12<x <412，∴12<x <2，∴解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <21．若a >0且a ≠1，则函数y ＝log a (x ＋1)＋1的图象恒过定点的坐标为________．【解析】将y ＝log a x 左移1个单位，再上移1个单位，则得到y ＝log a (x ＋1)＋1的图象，由于y ＝log a x 过定点(1,0)，故y ＝log a (x ＋1)＋1过定点(0,1)．【答案】 (0,1)2．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝4，则f (－a )＝________.【解析】 f (a )＝lg 1－a1＋a＝4，f (－a )＝lg1＋a 1－a ＝－lg 1－a1＋a＝－4. 【答案】－43．已知函数y ＝f (2x)的定义域为[－1,2]，则函数y ＝f (log 2 x )的定义域为________．【解析】由题知x ∈[－1,2]时，2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴log 2 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x ∈[2，16]， ∴y ＝f (log 2 x )的定义域为[2，16]．【答案】 [2，16]4．函数f (x )＝1＋log 2 x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是________．(填序号)【解析】 y ＝log 2 x 的图象向上平移1个单位得到f (x )的图象，故f (x )必过点(1,1)，g (x )可由y ＝2－x 的图象右移1个单位得到，故g (x )必过点(1,1)．【答案】 ③5．求函数y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．【解】 ∵2≤x ≤4，则由y ＝log 12x 在区间[2,4]上为减函数知，log 122≥log 12x ≥log 124，即－2≤log 12x ≤－1.若设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，且y ＝t 2－12t ＋5. 而y ＝t 2－12t ＋5的图象的对称轴为t ＝14，且在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14上为减函数，而[－2，－1] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14，所以当t ＝－2，即x ＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；当t ＝－1，即x ＝2时，此函数取得最小值，最小值为132.。

高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.4对数函数的图象与性质的应用课堂导学案苏教版必修

3.2.4 对数函数的图象与性质的应用课堂导学三点剖析一、对数的图象与性质的应用【例1】比较log1.10.7与log1.20.7的大小，并说明理由.思路分析：由于这两个数不同底，所以不能直接应用单调性，而应借助图象或找一中间量.解析：log1.10.7= lg0.7lg1.1,log1.20.7=lg0.7lg1.2.∵0<lg1.1<lg1.2,∴1>lg1.11lg1.2.又lg0.7<0,∴l g0.7lg1.1<lg0.7lg1.2, 即log1.10.7<lg1.20.7.温馨提示比较对数型数值的大小，同底的可利用对数函数的单调性；若底数不同真数相同，可理解为对应同一自变量的两个函数值的大小比较，借助图象不难得出结论；若底数、真数均不相同，则应寻找介数或确定各数所在范围.二、对数知识同其他知识的综合应用x 2【例2】求函数y=lg 的定义域、值域，并讨论其单调性.x 1x 2解析：(1)要使函数有意义，必须>0,x 1∴x>-1或x<-2.x 2∴函数y=lg 的定义域为{x|x>-1或x<-2}.x 1x 2x 111(2)令u= ,u= =1+ .x 1x 1x1 ∵x>-1或x<-2,1∴u=1+ >0且u≠1.∴y=lgu≠0,x 1x 2即函数y=lg 的值域为{y|y∈R且y≠0}.x 1(3)设x1<x2<-2,则x1x121-x2x221=(x1xx211)(x21).∵x1<x2<-2,∴x2-x1>0,x1+1<-1, x2+1<-1.1∴(x1xx211)(x 1)2>0,x 2即 u=在(-∞,-2)上是减函数.x1 x 2则 y=lg在(-∞,-2)上是减函数.x 1x 2同理可证 y=lg在(-1，+∞)上是减函数.x 1温馨提示求 y=log a f(x)型的函数的单调性时，应先讨论 f(x)的单调性，然后讨论 y 的单调性. 当 a>1时，y 与 f(x)的单调性一致；当 0<a<1时，y 与 f(x)的单调性相反. 三、含对数的复合函数的有关运算【例 3】已知 x 满足不等式 2（log x ）2+7log x+3≤0,求函数 f(x)=(log 2x4)·(log 2x2)的1 1 22最大值和最小值. 解析：由 2（log x ）2+7log x+3≤0可解得-3≤ log x ≤-11 1 2221 2，即 2≤x ≤8. 1∴ ≤log 2x ≤3.23 1 ∵f(x)=(log 2x-2)(log 2x-1)=(log 2x- )2- ,24 31 ∴当 log 2x=,即 x=2 2 时，f(x)有最小值-24当 log 2x=3,即 x=8时，f(x)有最大值 2..∴f(x)min =- 温馨提示1 4,f(x)max =2.本题用到利用对数函数的单调性求函数最值的方法.这种方法的基本思路是，先求出复合函数的定义域，再求出复合函数的单调区间，最后根据函数的单调性得出最值. 各个击破类题演练 1(2004辽宁高考，2)对于 0<a<1，给出下列四个不等式，其中成立的是（）①log a (1+a)<log a (1+ 1 a ) ②log a (1+a)>log a (1+ 1 a 1 1 ) ③a 1+a <a a ④a 1+a > 11aaaA.①与③B.①与④C.②与③D.②与④ 解析：∵0<a<1，∴a<1<1a ，∴1+a<1+1a 而 y=log a x 与 y=a x 均为减函数.1 1∴log a (1+a)>log a (1+1a),a 1+a >a a.答案：D变式提升 1设0<x<1，a>0且a≠1,比较|log a(1-x)|与|log a(1+x)|的大小.2解析：当a>1时，∵0<x<1,则1+x>1,0<1-x<1,|log a(1-x)|-|log a(1+x)|=-log a(1-x)-log a(1+x)=-［log a(1-x)+log a(1+x)］=-log a(1-x2)>0.即|log a(1-x)|>|log a(1+x)|.当0<a<1时，|log a(1-x)|-|log a(1+x)|=log a(1-x)+log a(1+x)=log a(1-x2)>0.∴|l og a(1-x)|>|log a(1+x)|.因此，当0<x<1,a>0且a≠1时，总有|log a(1-x)|>|log a(1+x)|.类题演练 2(2006全国高考卷Ⅱ理，2)已知函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则（）A.f(2x)=e2x (x∈R)B.f(2x)=ln2·lnx(x＞0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2 (x＞0)解析：由题意，得f(x)=lnx.于是f(2x)=ln2x=lnx+ln2.故选D.答案：D变式提升 2试讨论函数f(x)=log a(-x2-4x+5)(其中a>0,且a≠1)的单调性、奇偶性.解析：由-x2-4x+5>0,解得-5<x<1.∴函数f(x) 的定义域（-5，1）.∴函数f(x)为非奇非偶函数.令u=-x2-4x+5,则有f(u)=log a u.∵u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,且-2∈(-5,1).∴函数u在区间（-5，-2）内单调递增，在区间［-2，1］内单调递减.又∵0<a<1时函数f(u)=log a u在其定义域内为减函数；a>1时，函数f(u)=log a u在其定义域内为增函数，∴a>1时,函数f(x)在（-5，-2）上为增函数，在［-2，1］上为减函数.0<a<1时，函数f(x)在（-5,-2）上为减函数，在［-2，1］上为增函数.类题演练 3(2006江苏南京高三期末，10)设0<x<y<a<1,则有（）A.log a(xy)<0B.0<log a(xy)<1C.1<log a(xy)<2D.log a(xy)>2解析：取a= 12,y=14,x=18,∴log a xy= log(1214·18)=log12132=5.因此，可排除A、B、C,故选D. 答案：D变式提升 32求函数y=log x-1log x+5，x∈［2,4］的最大值或最小值，及其对应的x值.144解析：令log x=t,∵x∈［2,4］，∴t∈［-1，-1412］.则y=t2-t+5=(t-12194)2+.则当t=- 12，即log x=-1412，即x=2时，y取得最小值234;当t=-1，即log x=-1，即x=4时，y取得最大值7.143。

高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.3对数函数的概念及基本性质课堂导学案苏教

3.2.3 对数函数的概念及基本性质课堂导学三点剖析一、对数函数的图象和性质【例 1】利用对数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)log π,log e;22(2)log 0.3,log 0.04.1 1 24解析：(1)函数 y=log x 在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴ log π>log e.222(2)log 0.04=1log 0.04 1 421 2log1=12log 0.04=log 0.2.1 1 422又因为函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数，12∴log 0.3<log 0.2,即 log 0.3<1 1 1log 0.04.1 2224温馨提示先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法. 二、a>1或 0<a<1时，对数函数的不同性质【例 2】求函数 y= 1 log (x a )a(a>0且 a ≠1)的定义域.思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性质对字母参数进行分类讨论.解析：由 1-log a (x+a)≥0,得 log a (x+a)≤1.当 a>1时，0<x+a ≤a, ∴-a<x ≤0.当 0<a<1时，x+a ≥a, ∴x ≥0.综上，当 a>1时，函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1时，函数的定义域为［0,+∞).温馨提示对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.三、对数函数的单调性和单调区间的求法【例3】求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间.解析：令u=x2-x-6,则y=log2u.∵y=log2u为u的增函数，∴当u为x的增函数时，y为x的增函数;当u为x的减函数时，y为x的减函数.由x2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x∈(-∞,-2)时，u是x的减函数;1当x∈(3,+∞)时，u是x的增函数.所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).温馨提示(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f［g(x)］的单调性；(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.各个击破类题演练 1比较下列各组数中两个值的大小.（1）log23.4,log28.5;(2)log a5.1,log a5.9(a>0,a≠1).解析：(1)对数函数y=log2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4<log28.5;(2)当a>1时，函数y=log a x在（0,+∞）上是增函数，于是log a5.1<log a5.9;当0<a<1时，函数y=log a x在(0,+∞)上是减函数，于是log a5.1>log a5.9.变式提升 1比较下列两个值的大小：（lgm）1.9,(lgm)2.1(m>1).解析：若1>lgm>0,即1<m<10时，y=(lgm)x在R上是减函数，∴(lgm)1.9>(lgm)2.1.若lgm=1，即m=10时，（lgm）1.9=(lgm)2.1.若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x在R上是增函数，∴（lgm）1.9<(lgm)2.1.类题演练 21x1x已知f(x)=log a求f(x)的定义域；(a>0,且a≠1).11解析：由对数函数定义知xx>0,∴-1<x<1,∴f(x)的定义域为（-1，1）.变式提升 212e x, (2006山东高考文，2)设f（x）=log(x231)xx22.则f(f(2))的值为（）A.0B.1C.2D.3 解析：∵f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.故选C.答案：C类题演练 3求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.解析：先求函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<- 12,或x>3.令u=2x2-5x-3,y=log0.1u.2由于u=2(x- 54)2-618,可得u=2x2-5x-3(x<-12或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.变式提升 3求函数y=log(3+2x-x2)的单调区间和值域.12解析：由3+2x-x2>0解得函数y=log(3+2x-x2)的定义域是-1<x<3.12设u=3+2x-x2(-1<x<3),当-1<x1<x2≤1时，u1<u2,从而log u1>log u2,即y1>y2,故函数y=1122log(3+2x-x2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.12函数u=3+2x-x2(-1<x<3)的值域是（0，4），故函数y=log(3+2x-x2)的值域是y≥log1122 4,即y≥-2.3。

【配套K12】高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数3.2_3.2.1对数练习苏教版必修1

3.2 对数函数 3.2.1 对数A 级基础巩固1．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析：由log 2(log 3x )＝0，得log 3x ＝1，则x ＝3. 同理y ＝4，z ＝2.所以x ＋y ＋z ＝3＋4＋2＝9. 答案：A2．已知log 2x ＝3，则x －12等于( ) A.13 B.123 C.133D.24 解析：因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8. 则x －12＝8－12＝18＝24. 答案：D3．log 242＋log 243＋log 244等于( ) A ．1 B ．2 C ．24 D.12解析：log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1. 答案：A4．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 24lg 32·lg 34lg 23＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83. 答案：C5．若lg x ＝a ，lg y ＝b ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( )A.12a －2b －2 B.12a －2b ＋1 C.12a －2b －1 D.12a －2b ＋2解析：原式＝12lg x －2lg y 10＝12lg x －2(lg y －1)＝12a －2(b －1)＝12a －2b ＋2.答案：D6．对数式lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18的化简结果为( )A ．1B ．2C ．0D ．3解析：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.答案：C7．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________．解析：因为log 2(1－2x )＝1＝log 22，所以1－2x ＝2.所以x ＝－12.经检验满足1－2x ＞0. 答案：－128．若x ＞0，且x 2＝916，则x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝________．解析：由x ＞0，且x 2＝916.所以x ＝34.从而xlog 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝34log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝43. 答案：439．已知m ＞0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：因为lg(10m )＋lg 1m＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10m ·1m ＝lg 10＝1，所以10x＝1，得x ＝0. 答案：010．若log a b ·log 3a ＝4，则b ＝________．解析：因为log a b ·log 3a ＝log 3blog 3a·log 3a ＝log 3b ，所以log 3b ＝4，b ＝34＝81. 答案：8111．设log a 3＝m ，log a 5＝n .求a 2m ＋n的值．解：由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5，所以a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.12．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 22； (2)lg 23－lg 9＋1（lg 27＋lg 8－lg 1 000）lg 0.3·lg 1.2.解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋lg 22＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)原式＝lg 23－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝（1－lg 3）·32（lg 3＋2lg 2－1）（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝－32.B 级能力提升13．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：因为lg 10＝1，ln e ＝1, 所以①②正确．由10＝lg x 得x ＝1010，故③错；由e ＝ln x 得x ＝e e，故④错．答案：C14．已知2x＝3，log 4 83＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 解析：由2x＝3，得x ＝log 23，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2×log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3×83＝log 28＝3.答案：A15．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍．解析：由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4. 设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝1032×9＋11.41032×8＋11.4＝1032＝1010. 即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍．答案：101016．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1，求x ·y 34的值．解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0，所以log 3(log 4x )＝1. 所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.由于log 4(log 2y )＝1，知log 4y ＝4，所以y ＝24＝16.因此x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.17．一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)?解：设经过x 年，这台机器的价值为8万元，则8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4. 两边取以10为底的对数，得x ＝lg 0.4lg 0.912 5＝lg 4－1lg 9.125－1＝2lg 2－1lg 9.125－1≈10(年)．所以约经过10年这台机器的价值为8万元．18．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得两根14，18；乙写错了常数c ，得两根12，64.求这个方程的真正根．解：原方程变形为(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.① 由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18.所以c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，所以b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5. 故方程①为(log 2x )2－5log 2x ＋6＝0，解得log 2x ＝2或log 2x ＝3，所以x＝22或x＝23.所以，这个方程的真正根为x＝4或x＝8.。

高中数学第三章函数的应用3.2.2对数函数(一)课件苏教

唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是 x＝log2y，此处y∈(0，＋∞).
答案
梳理
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1) 叫做对数函数，它的定义域
是 (0，＋∞) .
知识点二
对数函数的图象与性质
思考
y＝logax化为指数式是 x＝ay.你能用指数函数的单调性推导出对数函数的单调性吗？答案当a＞1时，若0＜x1＜x2，则 a y1 ＜ a y，解指数不等式，得
解答
类型三
对数函数单调性的应用
命题角度1 比较同底对数值的大小
例3 比较下列各组数中两个值的大小.
(1)log23.4，log28.5；解考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，所以它在(0，＋∞)上是单调增函数，又3.4＜8.5，于是log23.4<log28.5.
解答
(2)log0.31.8，log0.32.7；解考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
2
y1＜y2，从而y＝logax在(0，＋∞)上为单调增函数. 当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为单调减函数.
答案
梳理
类似地，我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质
定义
底数图象定义域 a>1
y＝logax (a>0，且a≠1)
0<a<1
(0，＋∞) ___________
第3章
3.2
对数函数
3.2.2 对数函数(一)
学习目标
1.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的性质.
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第1课时对数函数的概念、图象与性质学业分

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3.2。

2 第1课时对数函数的概念、图象与性质(建议用时:45分钟）［学业达标]一、填空题1．已知对数函数f (x）的图象过点（8，－3），则f （22)＝________.【答案】－错误!2．函数f (x)＝错误!＋lg (3x＋1）的定义域为________．【解析】由题知错误!⇒－错误!〈x〈1。

【答案】错误!3．已知函数f （x）＝错误!则f 错误!＝________。

【解析】 f 错误!＝f 错误!＝f （－3）＝错误!－3＝8。

【答案】84．函数f (x）＝log错误!（2x＋1）的单调减区间是________．【解析】∵y＝log 12u单调递减，u＝2x＋1单调递增,∴在定义域上，f (x）单调递减，故减区间为2x＋1〉0,∴x>－1 2。

【答案】错误!5．函数y＝x＋a与y＝log a x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．（填序号）【解析】由y＝x＋a的斜率为1，排除③，①②中直线在y轴上截距大于1,但①中y＝log a x的图象反映a〈1，排除①，④中对数底a〉1,但截距a〈1矛盾．【答案】②6．函数f (x）＝log a（2x＋1）＋2（a>0且a≠1）必过定点________．【解析】令错误!得错误!即f (x）必过定点（0,2）．【答案】(0,2)7．设a＝log3 6，b＝log5 10，c＝log7 14，则a，b,c的大小关系是________.【解析】a＝log3 6＝log3 2＋1，b＝log5 10＝log5 2＋1，c＝log7 14＝log7 2＋1，∵log3 2〉log5 2〉log7 2，∴a>b>c.【答案】a>b>c8．设函数f (x）＝log2x的反函数为y＝g(x），且g(a)＝错误!，则a＝________.【解析】g(x)是f (x）＝log2x的反函数，∴g（x）＝2x，∴g（a）＝2a＝错误!,∴a＝－2.【答案】－2二、解答题9．求下列函数的定义域：(1）f （x）＝lg （x－2）＋错误!；(2)f (x）＝log（x＋1）（16－4x）．【解】(1）由题知错误!⇒x>2且x≠3，故f (x）的定义域为｛x|x〉2且x≠3}．（2)由题知错误!⇒－1<x<4且x≠0,故f （x)的定义域为{x|－1〈x<4且x≠0}．10．比较下列各组数的大小：（1）log0。

高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数3.2.2对数函数第1课时对数函数及其图象课件苏教版必修1

解析答案
课堂小结 1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝ logax(a＞0，且a≠1)这种形式. 2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
第3章 3.2.2 对数函数
第1课时
对数函数及其图象
学习目标
1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图象及性质. 3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.
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自主学习
知识点一对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞. ) 思考根据对数函数的定义，你能总结出对数函数具有哪些特点吗？答 (1)底数a>0，且a≠1. (2)自变量x在真数位置上，且x>0. (3)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须是x.
解析答案
题型三对数函数的定义域
例 4 (1)函数 f(x)＝1－1 x＋lg(1＋x)的定义域是_(_－__1_,_1_)∪__(_1_，__＋__∞_)_.
解析由题意知11＋－xx＞ ≠00，，解得 x＞－1 且 x≠1.
(2)若 f(x)＝
1
，则 f(x)的定义域是__－ __12_， __0__∪__(_0_，__＋__∞__) __.
值依次为___3_，__43_，__35_，__11_0___.
解析在第一象限内各图象对应的对数函数
的底数顺时针增大， ∴c3<c4<c2<c1，故 c1，c2，c3，c4 各值依次为 3，43，35，110.

高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数第2课时对数的运

第2课时对数的运算性质及换底公式1.了解对数的换底公式．2.理解对数的运算性质．3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．[学生用书P49]1．如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式一般地，称log a N ＝log c Nlog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)为对数的换底公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12 C ．1 D ．2答案：A3．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea＝________．答案：(1)12(2)0.84.log 29log 23＝________．答案：2对数的运算性质及应用[学生用书P49]计算下列各式：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.【解】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．1.计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解：(1)法一：原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1] ＝lg (5×2×1012×102) ＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.法二：原式＝2log 32－()5log 32－2＋3log 32－3 ＝2－3＝－1.换底公式的应用[学生用书P50](1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解】 (1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.(2)法一：因为18b＝5，所以log 185＝b ，又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.法二：因为log 189＝a ，18b＝5，所以lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.法三：因为log 189＝a ，所以18a＝9. 又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a ＋b.令log 3645＝x ，则36x＝45＝18a ＋b，即36x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫183·183x＝18a ＋b.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1829x＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a.(1)具有换底功能的另两个结论：①log a c ·log c a ＝1，②log an b n＝log a b .(a ＞0且a ≠1，b ＞0，c ＞0且c ≠1)(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．2.(1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________．(2)计算：log22＋log 279＝________．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56.(2)原式＝log 22log 2212＋log 332log 333＝112＋23＝2＋23＝83.答案：(1)56 (2)83对数的综合应用[学生用书P50]若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．【解】原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b 求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．3.(1)方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．(2)已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．解：(1)原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0，故方程的解是x ＝2.故填x ＝2. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2.1．对对数的运算性质的理解(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． (3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a M N＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍． 2．关于换底公式的两点说明(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2a b的值． [解] 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0，所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2a b＝log 24＝2.(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解． (2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3D ．12 解析：选C.原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析：选A.log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2. 3．(1)log 52·log 79log 513·log 734＝________．(2)log 2()3＋5－ 3－5＝________．解析：(1)原式＝log 132·log 349＝12lg 2－lg 3·2lg 323lg 2＝－32.(2)原式＝12log 2(3＋5－ 3－5)2＝12log 2[]（3＋5）＋（3－5）－2（3＋5）（3－5）＝12log 2(6－4) ＝12log 22＝12. 答案：(1)－32 (2)124．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz ); (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z； (4)lg x y 2z .解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ；(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ；(3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z ；(4)lgx y 2z＝lg x －lg(y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg125＝lg1 000＝3. 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12B ．9C ．18D ．27解析：选B.由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝log 416＝log 442＝2，所以lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9，选B.3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 解析：选D.因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B ．a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－aD ．a ＋2b1－a解析：选C.log 512＝lg 12lg 5＝lg （22×3）lg （10÷2）＝lg 22＋lg 3lg 10－lg 2＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .故选C.5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A.因为2x＝3，所以x ＝log 23. 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．已知m >0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100.所以x ＝0. 答案：07．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝58．已知2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：m ＝log 236，n ＝log 336，所以1m ＝log 362，1n ＝log 363，所以1m ＋1n ＝log 366＝12.答案：129．计算下列各式：(1)lg 8＋log 39＋lg 125＋log 319；(2)[log 2(log 216)](2log 36－log 34)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 8＋lg 125＋log 39＋log 319＝lg(8×125)＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫9×19＝lg 1 000＋log 31＝3＋0＝3. (2)原式＝(log 24)(log 336－log 34)＝2log 3364＝2log 39＝4.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 460lg 153－210×2－11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－1－12＝－32.10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2. 经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x＝log 41－x 2x ＋1. 整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0. 当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.[B 能力提升]1.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1252.计算log 8(log 242)的值为________．解析：log 8(log 242)＝log 814＝－2log 82＝－23. 答案：－233．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________．解析：原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132，整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0，即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0；解得log b a ＝2或log b a ＝16，所以b 2＝a 或b 16＝a ，即b ＝a 或b ＝a 6.答案： b ＝a 或b ＝a 64．(选做题)已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝10(32R ＋11.4)．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010，即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．。

高中数学第三章指数函数和对数函数 3.2.2 指数运算

3.2.2 指数运算的性质问题导学一、利用指数的运算性质化简、求值活动与探究1计算或化简．(1)a3b2(2ab－1)3；(2)14130.753327(0.064)[(2)]16|0.01|8---⎛⎫--+-++-⎪⎝⎭；÷3a－7·3a13(a＞0)．迁移与应用(1)已知m＞0，则1233m m⋅＝( )．A．mB．13mC．1D．29m(2)化简：44x⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x·13y÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y2x；(3)计算：41320.753440.0081(4)16---++-.在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算．(5)尽可能用幂形式表示．二、条件求值问题活动与探究2已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a－a－1；(3)33221122a aa a----.迁移与应用1．已知2x－2－x＝2，则8x的值为__________．2．已知a＋a－1＝5，求a2＋a－2，1122a a-+，1122a a--.对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，注意完全平方公式、平方差公式、立方差公式的应用．还要注意开方时的取值的符号问题．当堂检测1．下列运算结果中，正确的是( )．A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝－a 62．如果x ＞y ＞0，则x y y xy y xx 等于( )．A ．()yxx y - B ．()x yx y - C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x yy －x D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x y x －y3．计算144[(3)]-的结果是( )．A ．－3B ．3C ．－13D ．134．已知m ＋1m＝4，则m 2＋m －2等于__________．5．化简：861552()a b --⋅·5a 4÷5b 3(a ≠0，b ≠0)．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)a m ＋n (2)a mn (3)a n b n预习交流提示：不一定．如111222[(4)(9)]=(4)(9)-⨯--⨯-是不成立的，这是因为1122[(4)(9)]=36-⨯-＝6，而12(4)-与12(9)-均无意义．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先算乘方，开方，再算乘除，最后进行加减运算，含有根式时，应先化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算．解：(1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1.(2)原式＝133[(0.4)]-－1＋(－2)－4＋2－3＋122[(0.1)]＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(3)原式＝191317113()()32322323[][]aaaa⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅＝937136666a-+-＝a 0＝1.迁移与应用 (1)A 解析：由于m ＞0，所以12123333=m m m +⋅＝m 1＝m .(2)解：原式＝112212332x x yy⨯＝2xy.(3)解：原式＝4133344()234224(0.3)(2)(2)2-⨯-⨯-++-＝0.3＋2－3＋2－2－2－3＝0.3＋0.25 ＝0.55.活动与探究2 思路分析：从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，应设法从整体上寻找求值代数式与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．解：(1)将1122=3a a -+两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)将a ＋a －1＝7两边平方，有a 2＋a －2＋2＝49.所以a 2＋a －2＝47.又因为(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝47－2＝45，所以a －a －1＝±45＝±3 5. (3)由于3311332222=()()a a a a ----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a a a aa a--------++⋅--＝a ＋a －1＋1＝8.迁移与应用 1.7＋5 2 解析：由已知条件，可解得2x ＝2＋1，于是8x ＝(2x )3＝(2＋1)3＝7＋5 2.2．解：∵由a ＋a －1＝5，得(a ＋a －1)2＝25， ∴a 2＋a －2＝23.∵1122a a -+＞0，又21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝7，∴1122a a-+＝7.∵21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a ＋a －1－2＝3， ∴1122a a --＝± 3. 【当堂检测】 1．D 2.C3．B 解析：111444444[(3)]=(3)=3⨯-＝31＝3.4．14 解析：由m ＋1m＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＝16，即m 2＋m －2＋2＝16，因此m 2＋m －2＝14.5．解：原式＝864311555522()()a b a b ---⋅⋅÷＝44335555a ab b -⋅⋅÷ ＝44335555ab-+-＝a 0b 0＝1.。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数32对数函数321对数自主训练苏教版1!

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数32对数函数321对数自主训练苏教版1!3.2.1 对数自主广场我夯基我达标1.式子)5log 211(22+的值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 思路解析:考查对数式的运算法则.原式=5222)52(log )5log 1(22==+.故选B.答案:B2.下列各式中成立的是( )A.log a x 2=2log a xB.log a |xy|=log a |x|+log a |y|C.log a 3＞log a 2D.log a yx =log a x-log a y 思路解析:用对数的运算法则解决问题.A 、D 的错误在于不能保证真数为正，C 的错误在于a 值不定.选B.答案:B3.已知f(x 5)=lgx ，则f(2)等于( ) A.lg2 B.lg32 C.lg321 D.51lg2 思路解析:令x 5=t ，则x=5t =51t .∴f(t)=lg 51t=51lgt.∴f(2)=51lg2. 答案:D4.设x 、y 为非零实数，a>0且a ≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x ·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x|A.1B.2C.3D.4思路解析:①②③不一定成立，④一定成立.答案:C5.设集合A={x|x 2-1＞0}，B={x|log 2x ＞0}，则A ∩B 等于( )A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x ＜-1或x ＞1}思路解析:该题考查集合的表示及解不等式.可以先分别求出集合A 、B 中所列不等式的解集，然后再在数轴上求它们的交集.答案:A6.若函数f(x)(x>0)满足f(yx )=f(x)-f(y)，f(9)=8，则f(3)等于( ) A.2 B.-2 C.1 D.4思路解析:∵f(3)=f(39)=f(9)-f(3)，∴f(3)=21f(9)=4. 答案:D7.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N思路解析:解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照，不难得出应选D.答案:D黑色陷阱：错选A 或B 或C.主要问题是对函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与A类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中的lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M =log 3N M ，所以M=N. 8.函数f(x)=log a xx +-33(a>0且a ≠1)，f(2)=3，则f(-2)的值为________________. 思路解析:∵f(-x)=log a x x -+33=-log a xx +-33=-f(x), ∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.答案:-39.求下列各式的值:(1)设log b x-log b y=a ，则log b 5x 3-log b 5y 3=___________________.(2)设log a (x+y)=3，log a x=1，则log a y=_____________________. (3)|91|log 33=_________________.思路解析:利用对数的性质.解答:(1)∵log b x-log b y=a ,∴log b (yx )=a. ∴log b 5x 3-log b 5y 3=log b 3355y x =log b (y x )3=3log b (y x )=3a. (2)∵log a (x+y)=3, ∴3a=x+y. 又log a x=1,∴x=a.∴y=3a-a ，从而log a y=log a (3a -a). (3)|3log 2||3|log |91|log 3233333-==-=32=9.10.求下列各式中的x ： (1)54log x=-21；(2)log x 5=23； (3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.思路解析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.解答:(1)原式转化为21)54(-=x ，所以x=25. （2）原式转化为23x =5，所以x=325. （3）由对数性质得??>+-≠->--=+-,078,11,01,17822x x x x x x x 解得x=8.11.已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg 45.思路解析:解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算. 解答: lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+21-21lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合我发展12.(1)已知3a =2,用a 表示log 34-log 36；(2)已知log 32=a,3b =5,，用a 、b 表示log 330.解答: （1）∵3a =2，∴a=log 32.∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. （2）∵3b =5，∴b=log 35.又∵log 32=a ，∴log 330=21log 3(2×3×5)=21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 我创新我超越13.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解答:设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2，由题意得==,lg 5.8,lg 2.821N N因此lgN 2-lgN 1=0.3，即lg12N N =0.3，∴12N N =100.3≈2. 因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。

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2.3.2 对数函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.函数f （x ）=|log 2x|的图象是( )思路解析:考查对数函数的图象及图象变换.注意到y=|log 2x|的图象应是将y=log 2x 的图象位于x 轴下方的部分翻折到x 轴的上方，故选A. 答案:A2.函数y=log a （x-2）+1（a ＞0且a≠1）恒过定点____________. 思路解析:若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a=1，都有y=1. 答案:（3，1）3.函数f （x ）=log （a-1）x 是减函数，则a 的取值范围是__________. 思路解析:考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a. 由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2. 答案:1＜a ＜210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下图是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应的图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A. 3,34,53,101 B. 3, 34,101, 53 C. 34,3, 53,101 D. 34,3, 101, 53思路解析:因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案:A2.若定义在（-1，0）上的函数f （x ）=log 2a （x+1）满足f （x ）>0，则a 的取值范围是( ) A.(0,21) B.(0, 21) C.( 21,+∞) D.(0,+∞) 思路解析:本题考查对数函数的基本性质.当x∈（-1，0）时，有x+1∈（0，1），此时要满足f （x ）>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21. 答案:A 3.若函数f （x ）=log a x （0<a<1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.42 B. 22C.41D. 21思路解析：本题关键是利用f （x ）的单调性确定f （x ）在［a ，2a ］上的最大值与最小值.f （x ）= log a x （0<a<1）在（0，+∞）上是减函数，当x∈［a ，2a ］时，f （x ）max =f （a ）=1，f （x ）min =f （2a ）= log a 2a. 根据题意，3 log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32. 故由32-a =2得a=322-42=. 答案：A4.比较大小：（1）log 0.27和log 0.29；（2）log 35和log 65；（3）（lgm ）1.9和（lgm ）2.1（m ＞1）；（4）log 85和lg4. 思路解析:（1）直接利用对数函数的单调性；（2）是对数函数底数变化规律的应用；（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等,可通过估算加以选择. 解:（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x 当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考察函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1.若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1.若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9＝（lgm ）2.1. （4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4.5.已知函数y=lg （12+x -x ），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 思路解析：注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f （-x ）=lg （12+x +x ） =-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性.解：由题意12+x -x ＞0，解得x∈R ，即定义域为R .又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］=lg （12+x +x ）=lgxx -+112=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ）=-f （x ）,∴y=lg（12+x -x ）是奇函数.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则121+x ＜122+x ⇒121+x +x 1＜122+x +x 2⇒12111x x ++>22211x x ++，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0，∴lg（121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f（x ）在（0，+∞）上为减函数.又f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数.6.作出下列函数的图象：（1）y=|log 4x|-1；（2）y=31log |x+1|.思路解析：（1）y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到：将函数y=log 4x 的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去，得到y=|log 4x|的图象，再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log 4x|-1的图象. （2）y=31log |x+1|的图象可以看成由y=31log x 的图象经过变换而得到：将函数y=31log x的图象作出右边部分关于y 轴的对称图象，即得到函数y=31log |x|的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=31log |x+1|的图象.解：函数（1）的图象作法如图①—③所示.函数（2）的图象作法如图④—⑥所示.快乐时光七个男人和一个女人朋友闲来无事，到街上遛达，看到有一录像点高挂着牌子，写着：今晚精彩录像——《七个男人与一个女人的故事》莫失良机.朋友好奇心发作，买票进场.待人坐齐以后，开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名《八仙过海》. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x与y=log a x 的图象是( )思路解析:首先把y=a -x化为y=（a1）x， ∵a＞1，∴0＜a1＜1. 因此y=（a1）x ，即y=a -x的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案:A2.y=21log （x 2-3x+2）的递增区间是( )A.（-∞，1）B.（2，+∞）C.（-∞，23） D.（23，+∞）思路解析:首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.答案:A3.已知函数f （x ）=lg （x 2-3x+2）的定义域为F ，函数g （x ）=lg （x-1）+lg （x-2）的定义域为G ，那么( )A.G FB.G=FC.F ⊆GD.F∩G=∅ 思路解析:F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}. ∴G F. 答案:A4.已知函数f （x ）=log 2（x 2-ax+3a ）在［2，+∞］上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.（-∞，4） B.（-4，4） C.（-∞，-4）∪［2，+∞) D.［-4，4］思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a . 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u解得-4<a≤4.答案:B5.已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lgx.设a=f(56),b=f(23),c=f(25),则( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b 思路解析:由题意,a=f(56)=f(-54)=-f(54)=-lg 54=lg 45,b=f(23)=f(-21)=-f(21)=-lg 21=lg2, c=f(25)=f(21)=lg 21,由于f(x)=lgx,在实数范围内为增函数,所以有c<a<b.答案：D6.函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.（-31,+∞） B.（-31,1） C.（-31,31） D.（-∞,- 31）思路解析:要使函数有意义,则⎩⎨⎧>+>-,013,01x x 解得-31<x<1.答案:B7.已知f （x ）=log axx-+11（a>0且a≠1）. （1）求函数的定义域；（2）讨论函数的单调性；（3）求使f （x ）>0的x 的取值范围. 解：（1）由xx-+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为（-1，1）. （2）对任意-1<x 1<x 2<1，1111x x -+-2211x x -+=)1)(1()(22121x x x x ---<0，∴1111x x -+<2211x x -+.当a>1时，log a1111x x -+<log a 2211x x -+，即f （x 1）<f （x 2）；当0<a<1时，log a1111x x -+>log a 2211x x -+，即f （x 1）>f （x 2）. ∴当a>1时，f （x ）为（-1，1）上的增函数；当0<a<1时，f （x ）为（-1，1）上的减函数.（3）log axx-+11>0= log a 1. ∴当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=xx-12>0.∴2x（x-1）<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+,111,011xx xx解得-1<x<0；当a>1时，f （x ）>0的解为（0，1）；当0<a<1时，f （x ）>0的解为（-1，0）.8.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a≠1），求f （log 2x ）的最小值及对应的x 的值.思路解析：关键是利用已知的两个条件求出a 、b 的值.解：由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(.4,0)1(log log 222⎩⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2. 代入②得b=2.∴f（x ）=x 2-x+2. ∴f （log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x-21）2+47.∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.9.已知f （x ）=1+log x 3，g （x ）=2log x 2，试比较f （x ）与g （x ）的大小.思路解析:要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f （x ）与g （x ）的正负不确定，所以采取作差比较法.解：f （x ）和g （x ）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞） .f （x ）-g （x ）=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x 43x. （1）当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f （x ）＞g （x ）；（2）当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f （x ）＞g （x ）；若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f （x ）=g （x ）；若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f （x ）＜g （x ）.综上所述，当x∈（0，1）∪（34，+∞）时，f （x ）＞g （x ）；当x=34时，f （x ）=g （x ）；当x∈（1，34）时，f （x ）＜g （x ）.10.已知f （x ）=lg （a x-b x）（a>1>b>0）. （1）求y=f （x ）的定义域；（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x 轴? 思路解析：（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题. 解：（1）由a x-b x>0，得（b a ）x >1=（ba ）0. ∵ba>1，∴x>0. ∴函数的定义域为（0，+∞）.（2）先证明f （x ）是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1xa >2xa ，1xb <2xb . ∴1xa -1xb >2xa -2xb .∴lg（1xa -1xb ）>lg （2xa -2xb ）.∴f（x 1）>f （x 2）.∴f（x ）在（0，+∞）上为增函数.假设y=f （x ）上存在不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f （x ）是增函数矛盾.∴y=f（x ）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.11. 2006年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90.1分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级（spl ）来描述声音的大小：把一很小的声压P 0=2×10-5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB ）.分贝值在60以下为无害区，60—110为过渡区，110以上为有害区.（1）根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式.（2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什么区?声音环境是否优良？思路解析：由已知条件即可写出分贝y 与声压P 之间的函数关系式，然后由函数关系式求得当P=0.002帕时，分贝y 的值.由此可判断所在区.解：（1）由已知y=（lg0P P ）×20=20·lg 0P P （其中P 0=2×10-5）. （2）将P=0.002代入函数关系y=20lgP P ，则y=20lg 5102002.0-⨯=20lg102=40（分贝）.由已知条件知40分贝小于60分贝，所以在噪音无害区，环境优良.。