2017年数学中考专题《存在性问题》

题型概述

【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知

识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，

解题方法灵活，对学生分析问题和解决问

题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为：肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性 .正确、完整地

解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验

【解题策略】不同的存在性问题解法不同 .下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题（如方程根是否存在、最值是否存在等）、点的存在性问题（如

构成特殊图形的点是否存在）并举例分析.

（1）代数方面的存在性问题的解法思路是：将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解

的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法（2）点的存在性问题的解法思路是：假设存在T 推理论证T 得出结论 ?若能导出合理的结

果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断

真题精讲

类型一代数方面的存在性问题

典例1 （2016 ?广东梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线

y x 2 bx C 过

A, B,C 三点，点A 的坐标是（3,0），点C 的坐标是（0，- 3），动点P 在抛物线上

（1） b = _________ , c = ________ ，点 B 的坐标为 _______ _______ 直接填写结果）（2）是否存在点P ，使得 ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符

合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线 AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足

【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力? 【全解】（1） — 2 - 3 （ — 1,0）（2）存在.

第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1 AC ,交抛物线于点R .过点R 作y 轴的垂线，垂足是 M .如图（1）,

为F ，连接EF ，当线段

QOA OC, AOC 90 ,

OCA OAC 45 .

Q ACR 90 ,

MCP190 45 45 CPM .

MC MR.

由⑴可得抛物线为y x2 2x 3.

设P (m, m2 2m 3)，则m 3 (m2 2m

解得m10（舍去），m2 1 .

m2 2m 3 4.

则P i的坐标是（1 , - 4）.

3),

第二种情况，当以A为直角顶点时，过点A作AF2AC ,交抛物线于点F2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N, AP2交y轴于点F ?如图⑵

巴0

F J.

P.N//X 轴.

由CAO 45 ,

OAP245 .

FP2N 45 ,AO OF 3.

P,N NF .

设R(n,n2 2n 3)，贝U n (n2 2n 3) 3.

解得n i 3（舍去），n?2.

⑵

n 2 2 n 3 5,

则P 2的坐标是(一2,5).

综上所述，P 的坐标是(1, — 4)或(—2,5).

⑶ 连接0D ，由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则OD EF .

D 是AC 的中点. 又 DF 〃OC , DF ^OC 3

2 2

点P 的纵坐标是

1. (2015 ?山东烟台)如图，点 A(m,6), B(n,1)在反比例函数图象上， AD x 轴于点

D,BC x 轴于点 C,DC 5.

(1) 求m, n 的值并写出反比例函数的解析式；

(2) 连接AB ，在线段DC 上是否存在一点 E , 使ABE 的面积等于5?若存在，求出点E 的坐

标；若不存在，请说明理由.

根据垂线段最短中，

QOC OA 3QD

AC ,

则x 2

解得x

2 .10

当EF 最短时，点

2 V 10 3

2 3

的坐标是2)或2)

最短.由(1)可知，在Rt AOC

2. (2016 ?湖南张家界)已知抛物线y a(x 1)23(a 0)的图象与y轴交于点A(0, 2),

顶点为B .

(1) 试确定a的值，并写出B点的坐标；

(2) 若一次函数的图象经过代B两点，试写出一次函数的解析式；

(3) 试在x轴上求一点P，使得PAB的周长取最小值；

(4) 若将抛物线平移m(m 0)个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点

记作D，问：点O,C,D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值;若不能，请说明理

对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称一最短路线问题等知识点，还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大?

类型二点的存在性问题

典例2 (2016 ?黑龙江大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，

2 2

抛物线G : y1 2x 4x 2与C2 ：氏x mx n为“友好抛物线”

(1) 求抛物线C2的解析式.

(2) 点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ x轴，Q为垂足，求AQ OQ 的最大值.

(3)

设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(一1,4)，问在C2的对称轴上是否存在点

【考情小结】考查了二次函数的图象与性质、几何变换(平移,

待定系数法、一次函

M，使线段MB绕点M逆时针旋转90得到线段MB 存在

，且点B恰好落在抛物线C2上?若求出点M的坐标，不存在说明理由.

Q B( 1,4), C(1,4)，抛物线的对称轴为 x 1 ,

2 2

【全解】⑴Q 力 2x 4x 2 2(x 1) 4

抛物线C 1的顶点坐标为(1,4)

Q 抛物线C i 与C 2顶点相同,

解得m 2,n 3.

2x 3.

a 2a 3,OQ a ,

AQ 2

OQ a 2a 3 a

a 2

3a 3

(3代 (a

时，AQ OQ 有最大值，最大值为

⑶如图⑵所示;连接BC ，过点B 作BD CM ，垂足为 21 4

D .

抛物线C 2的解析式为U 2

3).

Q AQ

BC CM , BC 2.

Q BMB90 ,

BMC BMD90

Q B D MC,

MBD BMD90

MBD BMC

在BCM和MDB中，

MB D BMC

BCM MDB ,

BM MB

BCM MDB .

BC MD,CM BD.

设点M的坐标为(1,a).

则B D CM 4 a, MD CB 2.

点B的坐标为(a 3,a 2).

(a 3)22(a 3) 3 a 2.

整理，得a2 7a 10 0.

解得a 2或a 5.

当a 2时，M的坐标为(1,2),

当a 5时，M的坐标为(1,5).

综上所述当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时，B恰好落在抛物线C2上.

3. (2015 ?辽宁大连)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y

轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到

折痕DE .设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C, F,D 的抛物线为y ax2 bx c.

(1) 求点D的坐标(用含m的式子表示);

(2) 若点G的坐标为(0, —3)，求该抛物线的解析式；