2019年高考文科数学押题卷与答案

高考文科数学押题卷与

答案

（试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,3,4}A =，{1,4}B =，则(?U A)B U 为( ) A.{1} B.{1,5} C.{1,4} D.{1,4,5}

2. 已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()1,1和()2,1-，则

2

1

z z =（ ） A ．

1322i + B ．1322i -+ C ．1322i - D ．1322

i -- 3. 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a b ⊥的充分条件为（ ） A ．a c ⊥，b c ⊥ B ．αβ⊥，a α?，b β? C.a α⊥，b α∥ D ．a α⊥，b α⊥

4. 如右图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图， 则该多面体的外接球表面积为（ ） A. 27π B. 30π C. 32π D. 34π

5. 若ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且0

1,45,2ABC a B S ?===，则b =( )

A ．5 2

B ．25 C.41 D ．5

6. 若y x ,满足约束条件??

?

??≤-+≤--≥-+042010

22y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为（ ）

A ．2

B ．6 C. 7 D ．9 7. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3， 则输出的s 的值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．7

8. 若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12

π

个单位长度， 则平移后图象的对称轴为（ ）

A. ()26k x k Z ππ=

-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=-∈ D. ()212

k x k Z ππ=+∈

9． 一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（ ） A. π45+

B. 2π45+

C. π54+

D. 2π54+

10．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2

f x x =，则关于x 的方程

在[]3,3-上根的个数是（ ）

A. 10个

B. 8个

C. 6个

D. 4个 11.已知0w >，函数()sin()3f x wx π=+

在(,)2

π

π上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A ．15[,]36 B ．17[,]36 C ．15[,]46 D ．17[,]46

12.已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别是21,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支

于Q P ,两点，若211F F PF =，且2223QF PF =，则该双曲线的离心率为（ ） A. 57 B. 34 C. 2 D. 3

10

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设函数211

()21x x f x x x

?+≤?

=?>?

?,则=))2((f f

。

14. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5

12911102e a a a a =+，则

=+++2021ln ln ln a a a Λ 。

15. 已知ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2222

3

a b c ab +=+，若ABC △的外

ABC △面积的最大值为 。 16.已知函数()()sin 01f x x x a b π=<<≠，若，且()()f a f b =，则

41

a b

+的最小值为 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. （本小题满分12分）

在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ?=，2518a a +=，其中*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）

为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

（1）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；

（2）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中哪个学校地理成绩较好？（不要求计算，要求写出理由）；

7 3

3 2

6 5 4 3 3 1 1 0

2 2 1 1 0 0 9 7 7 6 5 5 4 2

8 6 2 0

5 3 0 1

0 2 3 3 3 3 6 6 8 9 9 1 1 2 5 5 6 7 7 8 8 9 0 2 4 8

4 5 6 7 8 9

甲

乙

D

C

B

A

S

（3）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率． 19．（本小题满分12分）

如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知//AD BC ，60ASC ?∠=，2AD DC ==

，

2SA SC SD ===．

（1）求证：AC SD ⊥； （2）求三棱锥B SAD -的体积．

20.(本小题满分12分)

设A 、B 为曲线C ：2

2

x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为2.

（1）求直线AB 的斜率.

（2）设M 为曲线C 上一点·曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM.⊥BM.求直线AB 的方程。

21. (本题12分)

已知函数()()ln 0=+

>a

f x x a x

. （1) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围; （2）证明: 当2

a e

≥时, ()->x f x e .

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数

方程为2cos ,22sin x y ??

=??

=+?（?为参数）．点A ，B 是曲线C 上两点，点A ，B 的极坐标分别为1(,)3π

ρ，

2(,

)6

π

ρ5． （1）写出曲线C 的普通方程和极坐标方程；

AB的值．

（2）求||

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)＝|x-a|，不等式f(x)≤3的解集为[-6，0]．

（1）求实数a的值；

（2）若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.D

2.C

3.C

4.D

5.D

6.C

7.C

8.B

9.C 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2 14.50 15.9

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.解：

（1）设数列{}n a 的公比为q ，则251632a a a a ?=?=，

又2518a a +=，

∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）． ∴3

5

2

8a q a =

=，即2q =， 故2

122n n n a a q --==（*n N ∈）．

（2）由（1）得，1

2n n b n -=+．

所以21

12=(1+2+22)(123)n n n T b b b n -=++++++++++………

212(1)211222

n n n n n n -++=+=-+-． 18．（1）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，

则高三年级学生总数30

2000.15

M =

= ………………………………………2分 （2）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在

70 至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小． 所以，乙校学生的成绩较好． ……………………………….……6分 （3）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4； 乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6． 则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：

（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4） （3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件． 记“乙校包含至少有一名学生成绩不及格”的事件为A ，

则A 包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、 （4，5）、（4，6）、（5，6）． 所以，93

()155

P A =

= ………………………………………12分 19．解：（1）设O 为AC 的中点，连接,OS OD ，,SA SC OS AC =∴⊥Q

,,DA DC DO AC =∴⊥Q

又,OS OD ?平面SOD ，且OS DO O =I ，

AC ⊥平面SOD ，又SD ?平面SOD AC SD ∴⊥

（2）连接BD ，在ASC ?中，,SA SC =Q 060ASC ∠=，O 为AC 的中点，

ASC ∴?为正三角形，且2,3AC OS ==，

Q 在ASC ?中，2224DA DC AC +==，O 为AC 的中点，

090ADC ∴∠=，且1OD =，

Q 在SOD ?中，222OS OD SD +=

SOD ∴?为直角三角形，且090SOD ∠= SO OD ∴⊥又OS AC ⊥，且AC DO O =I

SO ∴⊥平面ABCD

1

3

1111322332323

B SAD S BAD BAD V V S SO

AD CD SO -=-?∴=??=????=?=

20.解：(1)设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2211x y =，2

2

22x

y =，

x 1+x 2=2，…………2分

于是直线AB 的斜率12

2

12121=+=--=

x x x x y y k .…………4分

（2）法1：由2

2

x y =，得x y ='.

设M （x 3，y 3），由题设知13=x ，于是M （1，

2

1

）.…………6分 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （1,1+m ），|MN |=|m +

2

1|. 将y x m =+代入2

2x y =得0222

=--m x x .…………8分

当084>+=?m ，即2

1

-

>m 时，m x 2112,1+±=. 从而)21(22||2||21m x x AB +=-=.…………10分 由题设知||2||AB MN =，即||)(21212+

=+m m ，解得2

7=m . 所以直线AB 的方程为2

7

+

=x y .…………12分 21.解：(1)解：错误!未找到引用源。

2分 ∴函数f (x )的单调递增区间是(0，4]，单调递减区间是[4，+∞)． 6分

(2)解：不等式af (x ) >g (x )等价于：错误!未找到引用源。①

当a = 0时，①不成立

8分

当a > 0时，①化为：错误!未找到引用源。 ② 当a < 0时，①化为：错误!未找到引用源。 ③ 令错误!未找到引用源。(x > 0)，则 错误!未找到引用源。

10分

∴当x ∈(0，1)时，错误!未找到引用源。，x ∈(1，+∞)时，错误!未找到引用源。 故h (x )在(0，1)是增函数，在(1，+∞)是减函数 ∴错误!未找到引用源。 12分

因此②不成立

要③成立，只要错误!未找到引用源。∴所求a 的取值范围是错误!未找到引用源。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos ,

22sin x y ??

=??

=+?（?为参数），

消去参数?，化为普通方程是2

2

(2)4x y +-=；

由cos ,

sin x y ρθρθ

=??

=?（θ为参数）．

∴曲线C 的普通方程2

2

(2)4x y +-=可化为极坐标4sin ρθ=（θ为参数）．

（2）由两点1(,

)3

A π

ρ，25(,

)6

B π

ρ化为直角坐标中点的坐标是A ，(B ， ∴A ，B 两点间的距离为||4AB =．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

解：（1）由f （x ）≤3，得|x ﹣a |≤3，∴a ﹣3≤x≤a+3，

又f （x ）≤3的解集为[﹣6，0]．解得：a =-3； （5分） （2）∵f （x ）+f （x +5）=|x +3|+|x +8|≥5．

又f （x ）+f （x +5）≥2m 对一切实数x 恒成立，∴2m≤5．m≤

2

5

（10分）