高中数学,函数性质综合应用
第四节 函数性质的综合问题
考点一 函数的单调性与奇偶性
[典例]
(1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[－1,1]
C ．[0,4]
D ．[1,3]
(2)函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A ．f (1) 72 B ．f ????72 ?72 [解析] (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1. 故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. (2)∵函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数， ∴函数y ＝f (x )在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y ＝f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )， ∴f (1)＝f (3)，f ????72 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1) [题组训练] 1．已知函数f (x )满足以下两个条件：①任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0；②对定义域内任意x 有f (x )＋f (－x )＝0，则符合条件的函数是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝1－|x | C ．f (x )＝－x 3 D ．f (x )＝ln(x 2＋3) 解析：选C 由条件①可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A 、D 选项，由条件②可知，f (x )为奇函数，则可排除B 选项，故选C. 2．(2018·石家庄一模)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A ．[－3,3] B ．[－2,4] C ．[－1,5] D ．[0,6] 解析：选B 因为f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3， 由函数f (x )在[－6,0]上为增函数，得f (x )在(0,6]上为减函数，故f (x －1)≥f (3)?f (|x －1|)≥f (3)?|x －1|≤3，故－2≤x ≤4. 考点二 函数的周期性与奇偶性 [典例] (2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－ x ，则f (919)＝________. [解析] ∵f (x ＋4)＝f (x －2)， ∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )的周期为6， ∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. [答案] 6 [解题技法] 已知f (x )是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解． [题组训练] 1．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ????x ＋3 2，且f (1)＝2，则f (2 018)＝________. 解析：因为f (x )＝－f ????x ＋32，所以f (x ＋3)＝f ??? ?????x ＋32＋32＝－f ??? ?x ＋3 2＝f (x )． 所以f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：－2 2．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3<1，即a <2. 答案：(－∞，2) 考点三 函数性质的综合应用 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 (2)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ????x ＋32＝f (x )，当x ∈????0，12时，f (x )＝log 1 2 (1－x )，则f (x )在区间??? ?1，32内是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0 D ．增函数且f (x )<0 [解析] (1)法一：∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)． 由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 法二：由题意可设f (x )＝2sin ???? π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. (2)当x ∈??? ?0，1 2时，由f (x )＝log 12 (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )在区间????－12，0上也单调递增，且f (x )<0.由f ????x ＋32＝f (x )知，函数的周期为3 2，所以在区间????1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )<0. [答案] (1)C (2)D [解题技法] (1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用． (2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解． [题组训练] 1．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( ) A ．0 B ．f (3)<0 C ．f (1)<0 D ．f (3) 解析：选C 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝0. 由f (x ＋2)＝－f (x )， 得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 故函数f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (3)＝f (－1)． 又f (x )在[0,2)上单调递减， 所以函数f (x )在(－2,2)上单调递减， 所以f (－1)>f (0)>f (1)， 即f (1)<0 2．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1 x 1－x 2 >0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (17)，则a ， b ， c 的大小关系正确的是( ) A ．a B ．b C ．a D ．c 解析：选B 由①知函数f (x )在区间[4,8]上单调递增．由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为8，所以b ＝f (11)＝f (3)，c ＝f (17)＝f (2×8＋1)＝f (1)．由③可知f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (11)＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4,8]上单调递增，所以f (5) [课时跟踪检测] A 级 1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x ＋e － x B ．y ＝ln(|x |＋1) C ．y ＝sin x |x | D ．y ＝x －1 x 解析：选D 选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1 x 在(0， ＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1 x 在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确． 2．下列函数中，与函数y ＝1 2 x －2x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝x 1 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝? ???? －x 2，x ≥0， x 2，x <0 解析：选D 函数y ＝1 2x －2x 为奇函数，且在R 上单调递减．函数y ＝cos x 是偶函数，且在R 上不单调．函 数y ＝x 13是奇函数，但在R 上单调递增．函数y ＝1 x 的定义域是{x |x ≠0}，不是R.画出函数y ＝ ? ??? ? －x 2，x ≥0，x 2，x <0的大致图象如图所示，可知该函数是奇函数，且在R 上单调递减．故选D. 3．已知定义在R 上的奇函数f (x )有f ????x ＋52＋f (x )＝0，当－54 ≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)的值为( ) A.1 2 B ．－1 2 C.32 D ．－3 2 解析：选A 由f ????x ＋52＋f (x )＝0，得f (x )＝－f ??? ?x ＋5 2＝f (x ＋5)， ∴f (x )是以5为周期的周期函数， ∴f (16)＝f (1＋3×5)＝f (1)． ∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. ∴当－5 4≤x ≤0时，f (x )＝2x －1， ∴f (－1)＝2－ 1－1＝－12， ∴f (1)＝12，∴f (16)＝1 2 . 4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3 D ．有最小值－3 解析：选B 法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B. 法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上，f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B. 5．(2018·惠州一调)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A ．(2，＋∞) B.????0，1 2∪(2，＋∞) C.? ?? ? 0， 22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析：选B 因为f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， 所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (log 2x )>2＝f (1)?f (|log 2x |)>f (1)?|log 2x |>1?log 2x >1或log 2x <－1?x >2或0 2 . 6．(2019·合肥调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,1]上是减函数，则有( ) A ．f ????32 14 B ．f ????14 ?1 4 解析：选C 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，作出f (x )的草 图，如图，由图可知f ????32 －14. 7．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ??? ?－5 2＝________. 解析：f ????－52＝f ????－52＋2＝f ????－12＝－f ????12＝－1 2. 答案：－1 2 8．(2018·合肥二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[1,2]上的解析式是________________． 解析：令x ∈[－1,0]，则－x ∈[0,1]，结合题意可得f (x )＝f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 令x ∈[1,2]，则x －2∈[－1,0]，故f (x )＝log 2[－(x －2)＋1]＝log 2(3－x )． 故函数f (x )在[1,2]上的解析式是f (x )＝log 2(3－x )． 答案：f (x )＝log 2(3－x ) 9．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内单调递增，且f ????12＝0，则f (x )>0的解集为_______________． 解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内单调递增，且f ????12＝0，可知函数y ＝f (x )在(－∞，0)内单调递增，且f ????－12＝0.由f (x )>0，可得x >12或－1 2 ??? ?? x ?? －12 10．已知函数f (x )为偶函数，且函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，若g (3)＝2，则f (－2)＝________. 解析：因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，且g (3)＝2，所以f (2)＝3.因为函数f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝3. 答案：3 11．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判断f (x )的奇偶性； (2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )． 又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数． (2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ； 从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2. 故f (x )＝???? ? －x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)， －x ＋2，x ∈[1，2]. 12．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值； (2)当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )． 故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示． 当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则S ＝4S △OAB ＝4×????12×2×1＝4. B 级 1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (0)>f (log 32)>f (－log 23) B ．f (log 32)>f (0)>f (－log 23) C ．f (－log 23)>f (log 32)>f (0) D ．f (－log 23)>f (0)>f (log 32) 解析：选C ∵log 23>log 22＝1＝log 33>log 32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (log 23)>f (log 32)>f (0)，又函数f (x )为偶函数，∴f (log 23)＝f (－log 23)， ∴f (－log 23)>f (log 32)>f (0)． 2．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三种叙述： ①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数． 其中正确的序号是________． 解析：由f (x )＋f (x ＋2)＝0，得f (x ＋2)＝－f (x )， 则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 即4是f (x )的一个周期，8也是f (x )的一个周期，故①正确； 由f (4－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故②正确； 由f (4－x )＝f (x )与f (x ＋4)＝f (x )， 得f (4－x )＝f (－x )，f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )为偶函数，故③正确． 答案：①②③ 3．设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1，x 2∈????0，1 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)． (1)设f (1)＝2，求f ????12，f ???? 14； (2)证明：f (x )是周期函数． 解：(1)由f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，x 1，x 2∈????0，12，知f (x )＝f ????x 2·f ???? x 2≥0，x ∈[0,1]． ∵f (1)＝f ????12＋12＝f ????12·f ????12＝????f ????122 ，f (1)＝2， ∴f ??? ?12＝21 2. ∵f ????12＝f ????14＋14＝f ????14· f ????14＝????f ????142，f ????12＝21 2， ∴f ????14＝21 4. (2)证明：依题设，y ＝f (x )关于直线x ＝1对称， ∴f (x )＝f (2－x )． 又∵f (－x )＝f (x )，∴f (－x )＝f (2－x )，∴f (x )＝f (2＋x )， ∴f (x )是定义在R 上的周期函数，且2是它的一个周期． 高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴） 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时 奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时 奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0a 时；当0 专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧． 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】 函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数； 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 竞赛讲义：函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。. 例题： 1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤2 3时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立， 若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 4、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________. 5、已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c 6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有 两个实数根，求证：a ＞4. 7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥ 21. 8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1 x 4x 2-=++++++ 9、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求 41[f ⑷＋f(0)]的值 10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥2 1 高中数学必修 第二章 函数 1.函数的有关概念 (1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (2)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法： （1）)(x f 为整式型函数时，定义域为R ； （2）)(x f 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； （3）)(x f 为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； （4）)(x f 为零次幂型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合； （5）若)(x f 是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。 3．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有： (1)f (x )在区间D 上是增函数?f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数?f (x 1)＞f (x 2)． 4.利用定义法判断函数单调性的步骤： （1）取值：在指定区间上任取)(,,122121x x x x x x <<或且令； （2）作差：将)]()()[()(1221x f x f x f x f --或进行化简变形，变形的方向应有利于判断)()(21x f x f - )]()([12x f x f -或的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等； （3）定号：对变形后盾额差进行判断，确定)]()()[()(1221x f x f x f x f --或的符号； （4）判断：判断函数符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论。 复合函数单调性的确定： “同增异减”. 5．函数的奇偶性 （1）一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f --=，那么函数)(x f 就叫做奇函数；奇函数的图象关于)0,0(对称；0)0(=f 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g 的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量 x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是 函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 常见函数性质汇总 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) |k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时， 当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周 期 性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限； 当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 周 期 性：无 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0) x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k y f (x )= d cx b ax ++ 教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数的基本性质(一) 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2 ，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 2 3 时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B. 2 303 C.152 D. 2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝2 3 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是 23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3 对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 2 3 ×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2 303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2 ＝2xsin(xy)－1，则x 1998 ＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2 ＋cos 2 (xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4 ＋bx 2 ＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2 －219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4 －160x 2 ＋6400＝76x 2 即 x 4 －236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域 是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像 log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 类型一、对数函数的概念 例1.下列函数中，哪些是对数函数？ （1）log 0,1)a y a a =>≠； （2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+； （4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =． 【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数． （5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【总结】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件． 定义域：（0，+∞） 函数的单调性和奇偶性（HSXZ71-1） 函数性质分类型讲解 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0 则 ∵x1＞0，x2＞0，∴ ∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0 ∴上递减. 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则 ∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1 ∵0＜x1x2＜1 故，即f(x1)-f(x2)＞0 ∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为， 其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数， 则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为 (0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数； 函数的基本及性质 【基础知识回顾】 1 ?函数的奇偶性 2 ?周期性 ⑴周期函数：对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x + T) = _______ ,那么就称函数y= f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期：如果在周期函数____ f(x)的所有周期中_______勺正数，那么这个数就叫做f(x)的最 小正周期. 3 .对称性 若函数f(x)满足f(a —x) = f(a + x)或f(x) = f(2a —x)，则函数f(x)关于直线______________ :寸称. 【考点解析】 一、函数奇偶性的判定 1 .定义法 2 .图象法 二、函数奇偶性的应用 . -------------- r ----------------- 辰于原点对称卜{?")为奇函数 1 ?已知函数的奇偶性求函数的解析电，，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式， 或充分利用奇偶 性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式轴对称 H 妙为偶函数］ 3 ?性质法： 2 ?已知带有字母参是奇函数的表达式及奇偶性求参数，奇常常是!用待定系数法是利用 f(x) ±f( - x) = 0产生关于字 母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值. (2)"偶+偶"是偶，"偶一偶"是偶，"偶?偶"是偶，"偶*偶"是偶； 3 ?奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间 上的单调性相反偶’是奇，“奇.偶”是奇. 4 ?若提醒醒)为奇函数，且在 x = 0处有定义，则f(0) = 0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若 f(x)是偶函数且在 x = 0(处分定义，就不性的有断,f 要注意定如f(义埴内2￥取是偶任意性而应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相 应地化简解析式，判断 f(x)与f( - x)的关系，得岀结论，也可以利用图象作判断. 例d 2设函数质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的?是奇函数. (1)求b ，c 的值； ⑵求(g(性质法在选间与极值空题中可直接运用，但在解答题中应给岀性质推导的过程. 例1判断下列函数的奇偶性. 变式 变式 1. 设偶函数 f(x)满足 f(x) = x3 - 8(x >0)，则{x|f(x - 2) > 0}=( ). 1. 函数f(x) = 一 x 的图象关于( ). 亠 A. {x|x v- 2,x 或 x > 0} B . {x|x v 0，或 x > 4} A. 网轴对称或x > 6} B .直线.y 禺一V-称 或x > 2} C .坐标原点对称 D .直线y = x 对称 1 + ax 2. 设a ，b € R ，且a 工2，若定义在区间(—b ， b)内的函数f(x) = lg 是奇函数，则a + b 的取值范围为 x 1 + 2x 2 .若函数f(x)= --------------------------------- 为奇函数，则 a =( ). 2x + 1 x — a 12 3 A. - B . 一 C. - D . 1 2 3 4 (1)f(x) = ■ ；3 - x2 + ;'x2 - 3 ; (3)f(x) (2)f(x) = (x + 1) |x +引-3 数学必修1函数概念及性质（知识点总结） （一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案 一：单项选择题： (共10题,每小题5分,共50分) 1. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A.)2()1()23(f f f <-<- B.) 2 ()23()1(f f f <-<- C.)23()1()2(-<- 高中数学函数的性质 高中数学函数性质：单调性 一、单调性的证明方法：定义法及导数法 1、定义法： 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2 D，且x1 ②作差f(x1)-f(x2)，并适当变形( 分解因式、配方成同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性。 2、导数法： 设函数y=f(x)在某区间D内可导。如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为减函数。 补充 a.若使得f (x)=0的x的值只有有限个，则如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为减函数。 b.单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等。 二、单调性的有关结论 1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)+g(x)仍为增(减)函数。 2、互为反函数的两个函数有相同的单调性。 3、y=f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性 相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数;若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数，简称同增异减。 4、奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。 高中数学函数性质：奇偶性 8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(x R，a 0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。 9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b a)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。 10、函数y=f(x)x R的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),a b都对称，则函数是以2(b-a)为周期的周期函数; 11、函数y=f(x)(x R)的图象关于A(a,y)和直线x=b(a b)都对称，则函数f(x) 是以4(b-a)为周期的周期函数; 12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。 13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a 0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。 15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x R，T 0),则f(T/2)=0。高中数学函数常用函数图形及其基本性质
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