高中数学 2.1向量的概念及表示练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题

第2章 平面向量 2．1 向量的概念及表示情景：如图，一只老鼠从A 处以30 km/h 的速度向西北方向逃窜，如果猫由B 处向正东方向以40 km/h 的速度追．思考：猫能捉到老鼠吗？为什么？1．我们把既有________又有________的量叫做向量．如：力、位移、速度、加速度等． 答案：大小 方向2．向量的表示方法有两种，即________或________． 答案：AB →a3.AB →的大小，也就是AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为零的向量叫做________，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做________．答案：零向量 单位向量4．________的非零向量叫做平行向量，规定0与任一向量平行． 答案： 方向相同或相反5．________的向量叫相等向量．若a 与b 相等，记作________． 答案：大小相等方向相同 a ＝b6．由于向量可以平移，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫________．答案：共线向量7．把与向量a ________的向量叫做a 的相反向量，记作________，a 与－a 互为________，零向量的相反向量仍是零向量．对于任一向量a 有－(－a )＝________．答案：长度相等，方向相反 －a 相反向量 a8．向量与有向线段的区别是：向量是________，只有________和________两个要素，与________无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同向量．有向线段有________、________和________三个要素，________不同，尽管大小和方向相同也是不同的有向线段．答案：自由向量 大小 方向 起点 起点 大小 方向起点9．共线向量与相等向量的关系，即共线向量________是相等向量，而相等的向量________是共线向量．答案：不一定 一定10．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平移的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．由此可知，任意一组平行向量都可以________．答案：移到同一条直线上向量的概念及表示1．既有大小又有方向的量称为向量． 2．向量的两种表示方法． (1)有向线段表示AB →. (2)字母表示a ，b ，c ，…. 零向量和单位向量零向量是一个特殊的向量，其方向不确定，是任意的，所以零向量不同于任何向量，在今后的学习中要注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目所给的是“零向量”还是“非零向量”．单位向量有无穷多个，且不同的单位向量确定不同的方向． 平行向量、共线向量、相等向量、相反向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而非零的相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量．相反向量必为共线向量，共线向量未必为相反向量，相反向量中，只有零向量与它的相反向量相等．基础巩固1．下列各量中不是向量的是( ) A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度 答案：D2．下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，则a 与b 方向相同 B ．所有的单位向量的模都相等 C ．若|a |<|b |，则a <bD ．长度相等的向量叫做相等向量 答案：B3．下列条件中能得到a ＝b 的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a 与b 的方向相同 C ．a ＝0，b 为任一向量 D ．a ＝0，且b ＝0 答案：D4．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确的命题的序号是________． 答案：①②⑥5．如右图所示，若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是________(填序号)． ①AB →与CD →共线； ②AC →与BD →相等； ③AD →与CB →是相反向量； ④AB →与CD →模相等．答案：①③④6．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是________．答案：一条直线7．如下图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，下列向量：AD →，AE →，BD →，BC →，ED →，EC →中共线向量有________对．答案：38．如上图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，图中与CA →共线的向量有________个．解析：与CA →共线的向量有：AC →，DF →，FD →. 答案：39．如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，EF ∥AB ，有四组向量：①AD →与BC →；②AC →与BD →；③OA →与OB →；④EO →与OF →.其中是相等向量的是________________(填序号)，模相等的向量有________________(填序号)．答案：④ ①②③④能力升级10．如下图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形．(1)写出与BC →相等的向量：________； (2)写出与BC →共线的向量：________．解析：(1)由于ABCD 和BCDE 均为平行四边形，所以AD ＝DE ＝BC .(2)只要与BC 平行的线段都可以成为与BC →共线的向量，但要注意方向．答案：(1)AD →，DE →(2)AD →，DE →，AE →，DA →，ED →，EA →，CB →11．如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个正三角形，△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH →相等的向量是________； (2)与向量EA →平行的向量是________．解析：写平行向量时要注意方向相同或相反两种情形． 答案：(1)HC →，LB ′→(2)EF →，FB →，HA ′→，HK →，KB ′→12．如图所示，已知五边形ABCDE 是边长为1的正五边形，在以A 、B 、C 、D 、E 五点中任意两点为始点和终点的向量中：模等于2cos 36°的向量个数为________．解析：由正五边形内角公式得：每个内角的角度为α＝（5－2）×180°5＝108°，∴∠BAC ＝36°.过点B 作BM ⊥AC ，∴|AC →|＝2·cos 36°.于是模等于2cos 36°的向量为AC →、CA →、BD →、DB →、CE →、EC →、DA →、AD →、EB →、BE →.共10个．答案：10个13．如右图，扇形OAB 中AB ︵＝4π5，∠AOB ＝π3，C 是弦AB 的中点，这时|AC →|＝________．解析：设半径为r ，则r ＝l |α|＝45ππ3＝125.在Rt △ACO 中，∠AOC ＝π6，∴|AC →|＝AO ·sin π6＝125×12＝65.答案：6514．河中水流自西向东流速为10 km/h ，小船自南岸A 点出发，想要沿直线驶向正北岸的B 点，并使它的实际速度达到每小时10 3 km ，该小船行驶的方向为________，小船在静水中的速度为________．解析：如下图所示：设小船的静水速度为v ，则|v |＝（103）2＋102＝20(km/h)．sin α＝1020＝12，α＝30°，即小船行驶的速度大小为20 km/h ，行驶的方向为北偏西30°.答案：北偏西30° 20 km/h15．如图，四边形ABCD ，BEFC ，CFGD 都是平行四边形，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？解析：因为：AB →＝DC →＝GF →，BA →＝CD →＝FG →，AD →＝BC →＝EF →，DA →＝CB →＝FE →，BE →＝CF →＝DG →，EB →＝FC →＝GD →.所以图中互不相等的非零向量共有6个．16．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值．解析：(1)画出所有的向量AC →如图所示．(2)由(1)所画的图知， ①当点C 在点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22＝5； ②当点C 在点C 5或C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.17．已知两点A (1，2)，B (2sin α，log 2β)，α＝k π＋(－1)kπ6，k ∈Z ，且β＝4.判断AB →是否是零向量，是否是单位向量．解析：∵α＝k π＋(－1)kπ6，k ∈Z ，且β＝4， ∴2sin α＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋（－1）kπ6＝1. 又log 2β＝log 24＝2，∴B (1，2)． 又∵A (1，2)，∴|AB →|＝（1－1）2＋（2－2）2＝0. ∴|AB →|为零向量，不是单位向量．18．一架飞机从点A 向西北方向飞行200 km 到达点B ，再从点B 向东飞行100 2 km 到达点C ，再从点C 向东偏南30°飞行50 2 km 到达点D .问点D 在点A 的什么方向？点D 距点A 多远？解析：由|BC |＝1002，知点C 在点A 的正北方向，|AC |＝100 2.又由|CD |＝502，∠ACD ＝60°知∠CDA ＝90°.即∠DAC ＝30°，故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.19．一质点从平面内点O 出发，向北前进a m 后，右转20°，再前进a m ，再右转20°，按此方法继续进行．则前进多少次，该质点第一次回到点O?解析：由题意可知，当质点第一次回到O 点时，质点的轨迹是一个正多边形，其内角为180°－20°＝160°.设其边数为n ，则(n －2)·180°＝n ·160°，∴n ＝18. 因此，质点前进18次，第一次回到O 点．20．“马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一种“日”字形的路径．下图是中国象棋棋盘的一部分，如“马”在点A ，那么它行走一步的路线就是如图所标的两个向量．请你用向量分别标出在点B 和C 处的“马”行走一步的所有可能路线，并讨论“马”在其他位置时行走一步的可能路线各有多少种．解析：在B 处有4种走法，在C 处有8种走法(图略)．通过作图我们可以知道，当“马”在棋盘的一个角上时，它行走的路线只有2种；如果记棋盘的一个格子的边为1，当“马”在边线上且距最近的其他边线为1时，“马”有3种走法；当“马”在边线上且距最近的其他边线不小于2时，“马”有4种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线为1时，“马”有4种或6种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线不小于2时，“马”有8种走法．。