离散数学王元元习题解答 (10)
离散数学习题解答
数理逻辑习题
1.
（1）要是明天不下雨且我有时间，那么我去步行街购物。
设p：明天下雨q：我有时间r：我去步行街购物
（2）如果小王和小张是一个组，那么这次英语竞赛一定取胜。
设p：小王和小张是一个组q：这次英语竞赛一定取胜
（3）除非天下雨，否则他不乘出租车上班。
设p：天下雨q：他乘出租车上班
设p：马会飞。q：羊吃草。r：母鸡是飞鸟。s：烤熟的鸭子会跑。
前提： ， ，
结论：
证明：
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④拒取式
⑥ ⑤等值演算
⑦ ⑥化简规则
17
（1）有会说话的机器人。
设： ：x是机器人。 ：x会说话。
符号化为：
（2）尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。
设： ：x是人。 ：x很聪明。
符号化为：
（3）并不是所有的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ车都比火车快。
设： ：x是汽车。 ：y是火车。 ：x比y快。
符号化为：
（4）有的人不吃萝卜，但人都要喝水。
设： ：x是人。 ：x吃萝卜。 ：x要喝水。
符号化为：
（5）男人一定比女人高，是不对的。
设： ：x是男人。 ：y是女人。 ：x比y高。
符号化为：
（6）某些汽车慢于所有的火车，但至少有一火车快于每一汽车。
（4）自反
（5）对称
（6）对称
13
14
[a]=[b]={a,b}，[c]=[d]={c,d}。
15
（1）证明：
1） ， ，所以R自反。
2） ，
，所以R对称。
3） ， ，
，
，
由 和 可得 。
离散数学和应用数理逻辑部分课后习题答案解析
作业答案：数理逻辑部分P14：习题一1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（3 答：简单命题，真命题。
（9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。
（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
答：复合命题，假命题。
14、讲下列命题符号化。
（6）王强与刘威都学过法语。
答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。
符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。
答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。
符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
答：:p 2是素数；:q 4是素数。
符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。
:r 太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值。
（2）(())r p q p →∧↔⌝（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0.（2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ⌝真值为0；所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.（4）p q r ∧∧⌝真值为1，p q ⌝∨⌝真值为0，()p q r ⌝∨⌝→真值为1；所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。
（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。
所以为可满足式。
P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。
（1）()p q q ⌝∧→ 解答：()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。
（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。
(完整版)《离散数学》同步练习答案
华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。
q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。
（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。
（3）设:p：刘平聪明。
q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（5）设，p：径一事;q：长一智。
在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。
" 可符号化为： p q 。
（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。
（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。
" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。
（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。
（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。
（12）设P:你努力.Q：你失败。
在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。
”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。
q:小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。
（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。
二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（）2.命题公式p q r是析取范式。
( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学课后习题答案
1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
离散数学章练习题及答案
离散数学章练习题及答案离散数学练习题第⼀章⼀．填空1. 公式(p q) ( p q )的成真赋值为01 ；102. 设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题(p q) ( r s) 的真值为03. 公式(p q)与(p q) (p q )共同的成真赋值为01；104. 设A为任意的公式，B为重⾔式，则A B 的类型为重⾔式5．设p, q 均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。
⼆．将下列命题符合化1. 7 不是⽆理数是不对的。
解：( p) ，其中p: 7 是⽆理数；或p，其中p: 7 是⽆理数。
2. ⼩刘既不怕吃苦，⼜很爱钻研。
解：p q, 其中 p: ⼩刘怕吃苦，q：⼩刘很爱钻研3. 只有不怕困难，才能战胜困难。
解：q p ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或p q ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难4. 只要别⼈有困难，⽼王就帮助别⼈，除⾮困难解决了。
解：r (p q)，其中p: 别⼈有困难，q: ⽼王帮助别⼈，r: 困难解决了或：( r p) q ，其中p: 别⼈有困难，q: ⽼王帮助别⼈，r: 困难解决了5. 整数n是整数当且仅当n 能被2 整除。
解：p q，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除三、求复合命题的真值P：2能整除5，q ：旧⾦⼭是美国的⾸都，r ：在中国⼀年分四季1. ((p q) r) (r (p q))2. (( q p) (r p)) (( p q) r解：p, q 为假命题，r 为真命题1. ((p q) r) (r (p q)) 的真值为02. (( q p) (r p)) (( p q) r 的真值为1四、判断推理是否正确设y 2x 为实数，推理如下：若y在x=0可导，则y在x=0连续。
y 在x=0连续，所以y在x=0可导。
解：y 2x，x为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y 在x=0连续。
P为假命题，q为真命题，推理符号化为：(p q) q p，由p，q 得真值可知，推理的真值为0，所以推理不正确。
离散数学王元元习题解答 (5)
第二篇集合论第四章集合及其运算4.1 集合的基本概念内容提要4.1.1集合及其元素集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的对象的总体。
组成集合的对象称为集合的成员或元素（member）。
通常用一对“{ }”把集合的元素括起来，表示一个集合。
元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念。
即当对象a是集合A的元素时，称元素a属于集合A，记为a∈A当对象a不是集合A的元素时，称a不属于A，记为⌝(a∈A)或a∉A对任何对象a和任何集合A，或者a∈A或者a∉A,两者恰居其一。
这正是集合对其元素的“确定性”要求。
定义4．1空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。
有限集合中元素的个数称为基数（cardina lit y）（无穷集合的基数概念将在以后重新严格定义）。
集合A的基数表示为|A|。
4.1.2 外延公理、概括公理和正规公理集合论依赖于三大基本原理：外延公理（extensionality axiom）、概括公理（comprehension axiom）和正规公理（regularity axiom）。
它们从根本上规定了集合概念的意义。
外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。
即对任意集合A，B,A=B ↔∀x(x∈A↔x∈B)外延公理事实上刻划了集合的下列特性：集合元素的“相异性”、“无序性”，及集合表示形式的不唯一性。
概括公理: 对任意个体域，任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。
即对给定个体域U，对任意谓词公式P(x)，存在集合S，使得S＝{x ⎢x∈U∧P(x)}概括公理规定了集合元素的确定性,以及集合的描述法表示的理论依据，它还规定了空集的存在性。
正规公理：不存在集合A1，A2, A3，…，使得…∈A3 ∈ A2 ∈A1正规公理的一个自然推论是：对任何集合A，{A}≠A（否则有…∈A∈A∈A）。
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
离散数学练习(附答案)
选择答案在最后1. 11是（ ）的成假赋值.A.p q ∨B.p q ∨⌝C.p q ⌝∨⌝D.p q ∧2. 10是（ ）的成真赋值.A.p q ∧B.p q ∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝3.下列语句中是命题的有（ ）.A.全体起立！B.我正在说谎.C.81x +>D.9能被2整除.E.月球上有外星人F.小王和小李是同学4.下面四组数能构成无向图的度数列的是（ ）.A.（1，1，1，1，1）B.（1，3，2，3，3）C.（9，3，3，2，2）D.（3，5，2，1，0）5.下列命题公式中与公式p q ⌝→等值的是（ ）.A.p q ∧ B.q p →⌝ C.p q ⌝↔ D.p q ∨ 6.设()F x ：x 是人，()G x :x 爱吃零食，命题“没有不爱吃零食的人”符号化为（ ）. A.()()()x F x G x ∀∧ B. ()()()x F x G x ⌝∃→⌝ C. ()()()x F x G x ⌝∃∧ D. ()()()x F x G x ∀→7.下列逻辑联结词中，优先级最高的是（ ）.A.∨B. ⌝C.↔D.→8.设R 为实数集合，函数R R f →:,2()x f x e =则f 是( ) . A.单射而非满射B.满射而非单射C.双射D.既不是单射也不是满射. 9设R 为实数集合，函数R R f →:,()26f x x =-+则f 是( ) . A.单射而非满射B.满射而非单射C.双射D.既不是单射也不是满射.10.设集合A {,,}a b c =，下列A 上关系中有传递性的是（ ）.{}A.,b c <>{}B.,,,a c c a <><> {}C.,,,,,a b b a b b <><><> {}.,,,D a c c b <><>11. 设集合A {,}a b =,A 上一共有_16_个不同的二元关系，其中反自反关系有__4__个，等价关系有__2_个.4A A {<,>,<,>,<,>,<,>},A 2a a a b b a b b ⨯=的子集是上关系，子集有＝16个 反自反中不能有〈a ，a 〉这种相等有序对等价关系看成划分，可以分成，{}{}{},a b 两种分法。
离散数学习题及答案
离散数学习题及答案一、选择题：1、下列命题正确的是（ A ）。
A ．φ⋂{φ}=φB ．φ⋃{φ}=φC ．{a}∈{a ，b ，c}D ．φ∈{a ，b ，c}2、设集合},{y x X =，则=)(x ρ（ C ）。
}}.,{},{},{{.}};,{},{},{,{.}};{},{,{.}};{},{{.y x y x D y x y x C y x B y x A φφ3、下列式子中正确的有（ B ）。
..};,{.};{.;0.φφφφφφ∈∈∈=D b a C B A4、某个集合的元数为10，可以构成（ D ）个子集。
A 、10B 、20C 、210D 、1025、下列命题正确的有（ A ）A 、}},{,,{},{b a b a b a ⊆B 、}},,{,,{},{c b a b a b a ∈C 、}}},{{,{},{b a a b a ⊆D 、}}},{{,,{},{b a b a b a ∈6、集合A={a ，b ，c}，A 上的关系R={（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），（c ，c ）}，则R 具有关系的（ B ）性质。
A 、自反性B 、对称性C 、反对称性D 、传递性7、设R 为实数集，映射σ=R →R ，σ（x ）= -x 2+2x-1，则σ是（ D ）。
A ．单射而非满射B ．满射而非单射C ．双射D ．既不是单射，也不是满射8、下列语句中，（ C ）是命题。
A ．下午有会吗？B ．这朵花多好看呀！C ．2是常数。
D ．请把门关上。
9、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ C ）。
A ．析取范式B ．合取范式C ．主析取范式D ．以上答案都不对10、通过约束变元的换名规则，可以将 ∀x(P(x)→R(x, y))∧Q(x, y) 改写为（ C ）A 、∀x(P(x)→R(u, y)∧Q(x, y)B 、∀x(P(y)→R(y, y)∧Q(x, y)C 、∀z(P(z)→R(z, y))∧Q(x, y)D 、∀z(P(z)→R(z, y))∧Q(z, y)11、∃x(P(x)∨(∀y)R(y))→Q(x)中∃x 的辖域是（ C ）。
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1 第九章 特 殊 图 9.1 二分图 内容提要 9.1.1 二分图的基本概念 定义9.1 无向图G = 称为二分图（bipartite graph），如果有非空集合X，Y使X∪Y = V，X∩Y = ，且对每一eE，(e) = (x, y)，xX，yY。此时常用表示二分图G。若对X中任一x及Y中任一y恰有一边eE，使(e) = (x, y), 则称G为完全二分图（complete bipartite graph）。当X = m，Y = n时，完全二分图G记为Km,n。 定理9.1 无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
9.1.2 匹配 定义9.2 设G = 为二分图，ME。称M为G的一个匹配（matching），如果M中任何两条边都没有公共端点。G的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配（maximal matching）。如果X(Y)中任一顶点均为匹配M中边的端点，那么称M为X(Y)-完全匹配(perfect matching)。若M既是X-完全匹配又是Y-完全匹配，则称M为G的完全匹配。 定义9.3 设G = ，M为G的一个匹配。 （1）M中边的端点称为M-顶点，其它顶点称为非M-顶点。 （2）G中vk到vl的通路P称为交替链，如果P的起点vk和终点vl为非M-顶点，而其边的序列中非匹配边与匹配边交替出现（从而首尾两边必为非匹配边，除顶点vk，vl以外各顶点均为M-顶点）。特别地，当一边（v, v'）两端点均为非M-顶点，通路（v, v'）亦称为交替链。 以下算法可把G中任一匹配M扩充为最大匹配，此算法是Edmonds于1965年提出的，被称为匈牙利算法，其步骤如下： （1）首先用（*）标记X中所有的非M-顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。 （2）选取一个刚标记（用（*）或在步骤（3）中用（yi）标记）过的X中顶点，例如顶点xi，然后用（xi）去标记Y中顶点y，如果xi与y为同一非匹配边的两端点，且在本步骤中y尚未被标记过。重复步骤（2），直至对刚标记过的X中顶点全部完成一遍上述过程。 （3）选取一个刚标记（在步骤（2）中用（xi）标记）过的Y中结点，例如yi，用（yi）去标记X中结点x，如果yi与x为同一匹配边的两端点，且在本步骤中x尚未被标记过。重复步骤（3），直至对刚标记过的Y中结点全部完成一遍上述过程。 （2），（3）交替执行，直到下述情况之一出现为止： （Ⅰ）标记到一个Y中顶点y，它不是M-顶点。这时从y出发循标记回溯，直到（*）标记的X中顶点x，我们求得一条交替链。设其长度为2k+1，显然其中k条是匹配边，k+1条是非匹配边。 （Ⅱ）步骤（2）或（3）找不到可标记结点，而又不是情况（Ⅰ）。 （4） 当 （2），（3）步骤中断于情况（Ⅰ），则将交替链中非匹配边改为匹配边，原匹配边改为非匹配边（从而得到一个比原匹配多一条边的新匹配），回到步骤（1），同时消除一切现有标记。 （5）对一切可能，（2）和（3）步骤均中断于情况（Ⅱ），或步骤（1）无可标记结点，算法终止（算法找不到交替链）。 2
定理9.2 设图G = 。G有X-完全匹配的充分必要条件是：对每一SX有 N(S)≥ S
习题解答 练习9.1 1、判别下列各图（图9.8）是否为二分图，是否为完全二分图。
图9.8 解 （1）是二分图，但不是完全二分图。
（2）是完全二分图。 （3）不是二分图。 2、假定G是二分图。如何安排G中顶点的次序可使G的邻接矩阵呈(C00B)形，其中B，C为矩阵，0为零矩阵。 解 因为 G是二分图，故可把G中所有顶点分为X、Y两个集合，使得 e(eE→(e)=(x, y)∧xX∧yY)
只要按顺序先排X中的顶点，再排Y中的顶点，就可形成(C00B)形的邻接矩阵 3、六名间谍a，b，c，d，e，f被我捕获，他们分别懂得的语言是{汉语，法语，日语}，{德语，日语，俄语}，{英语，法语}，{汉语，西班牙语}，{英语，德语}，{俄语，西班牙语}，问至少用几个房间监禁他们，才能使同一房间的人不能互相直接对话。 解 如下图所示，顶点表示间谍，边表示间谍间能够直接对话
由于此图是二分图，因此只需要两个房间，分别监禁{a, e, f}和{b, c, d}，就可包证同一房间的人不能互相直接对话。
4、设（n, m）图G为二分图，证明m≤42n。 证 由于（n, m）图G是简单二分图，因此可将G中顶点分为X、Y两个集合，G中任一边均关联X、Y的各一个顶点，且 |X| ≥ 1， |Y| ≥ 1，|X| + |Y| = n
aef
bcd 3
设 |X| = n1，则 |Y| = n－n1，那么边数m满足 m ≤ |X|•|Y| = 22)21(4)1(1nnnnnn≤ 42n
故 m≤42n 5、作一个二分图G = ，使它恰有4！个X-完全匹配 。 解 如下图所示，完全二分图K4, 4共有4！个X-完全匹配（Y-完全匹配）
6、用匈牙利算法求图9.9中二分图的最大匹配。 图9.9 解 （1）置M=，对x1~x6标记（*） （2）找到交替链(x1, y3)，置M={(x1, y3)} （3）找到交替链(x2, y1)，置M={(x1, y3)，(x2, y1)} （4）找到交替链(x3, y2)，置M={(x1, y3)，(x2, y1)，(x3, y2)} （5）找到交替链(x5, y4)，置M={(x1, y3)，(x2, y1)，(x3, y2)，(x5, y4)} （6）找不到新的交替链，算法终止。匹配 M={(x1, y3)，(x2, y1)，(x3, y2)，(x5, y4)} 即为最大匹配，如下图所示
7、某单位有7个岗位空缺，它们是p1，p2,…,p7 。应聘的10人m1，m2,…,m10所适合的岗位分别是{p1，p5，p6}，{p2，p6，p7}，{p3，p4}，{p1，p5}，{p6，p7}，{p3}，{p2, p3}，
x1x2x3x4y1y2y3y4x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 y2 y3 y4 y5 y6
x1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 y6 x3 x4 x5 x6 4
{p1，p3}，{p1}，{p5}。如何聘用可使落聘者最少。 解 求落聘者最少的聘用方案，即为求下图的最大匹配。
由于 M={(p1, m9), (p2, m2), (p3, m6), (p4, m3), (p5, m4), (p6, m1), (p7,m5)} 为P-完全匹配，因此M即为最大匹配，取M作聘用方案可使落聘者最少（4人）。
8、有六位未婚女子L1，L2，L3，L4，L5，L6和六位未婚男子G1，G2，G3，G4，G5，G6相互结识。六位女子L1—L6分别对下列集合中的男子中意： L1:{G1，G2，G4}，L2:{G3，G5}，L3:{G1，G2，G4}， L4:{G2，G5，G6}, L5:{G3，G6}，L6:{G2，G5，G6} 而六位男子G1—G6则分别对下列集合中的女子钟情； G1:{L1，L3，L6}，G2:{L2，L4，L6}，G3:{L2，L5}， G4:{L1，L3}， G5:{L2，L6}， G6: {L3，L4，L5} 问，如何配偶能使双方满意的夫妻最多。 解 分别用顶点和边表示未婚男女和互相满意关系，如下图所示
图中存在完全匹配 M={(L1, G1), (L2, G3), (L3, G4), (L4, G2), (L5, G6), (L6, G5)}。 所以，按照M配偶，可以使得所有的夫妻都互相满意。
9、简单无向图G为二分图当且仅当G是可2-着色的。 证 先证充分性（当G可2-着色时G是二分图）。 不妨设G的顶点分别着了红白二色，用X表示红色顶点集合，Y表示白色顶点集合，则X∪Y=V，X∩Y=，且G中任一条边的两个端点必分属X、Y两个集合（分别着不同颜色）。所以，G满足二分图的定义，即G是一二分图。 再证必要性（当G是二分图时G可二着色）。 因为G是二分图，所以可将G中的顶点分成两个集合X和Y，使得X∪Y=V，X∩Y=，且G中任一条边的两个端点分属X、Y两个集合。现将X中所有顶点着一色，Y中所有顶点着另一色，则所有边的两个端点都着上了不同颜色，即G是可二着色的。 命题得证。
p1p2p3p4p5p6p7m1m2m3m4m5m6m7m8
m9
m10
L1L2L3L4L5L6G1G2G3G4G5G6 5
9.2 平面图 内容提要 9.2.1 平面图的基本概念 定义9.4 无向图G称为平面图（planar graph），如果G可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处相交。否则称G为非平面图。 定义9.5 平面连通图中各边所界定的区域称为平面图的面（regions）。有界的区域称为有界面，无界的区域称为无界面。界定各面的闭的拟路径称为面的边界（boundary），它的长度称为面的度（degree）。 定义9.6 称平面简单图G是极大平面图（maximal planar graph），如果在G中添加任一边（它不是环，也不是其他边的平行边）后所得的图均非平面图。 定理9.3 极大平面图所有有界面都是三度的面，无界面也是三度的。即所有面的边界均为K3 。 定理9.4 顶点个数n≥4的极大平面图中，顶点的最小度数不少于3 。
9.2.2 欧拉公式和库拉托夫斯基定理 定理9.5 设G为一平面连通图，n为其顶点数，m为其边数，r为其面数，那么 n – m + r = 2 定理9.6 如果平面连通图G的每个面的边界都具有长度l(l≥3)，那么
m = 2)2(lnl 其中m为G的边数，n为G的顶点数。 定理9.7 设G为一平面连通简单图，其顶点数n≥3，其边数为m，那么 m ≤ 3n – 6 定理9.8 设G为一平面简单连通图，其顶点数n≥4，边数为m，且G不以K3为其子图，那么 m ≤ 2n – 4 定理9.9 顶点数n不少于4的平面连通简单图G，至少有一个顶点的度数不大于5。 定理9.10 （库拉托夫斯基定理）图G是平面图，当且仅当对G或G的子图作任何同胚运算后所得图均不以K5及K3,3为子图。
9.2.3 着色问题 定义9.7 对连通平面图G实施下列步骤所得到的图G*称为G的对偶图（dual of graph）：
（1）在G的每一个面ri的内部作一个G*的顶点v*i。
（2）若G中面ri与ri有公共边界，那么过边界的每一边ek作关联v*i与v*j的一条边e*k。e*k与G*的其它边不相交。 （3）当ek为面ri的边界而非ri与其它面的公共边界时，作v*i的一条环与ek相交（且仅交于一处）。所作的环不与G*的边相交。 定义9.8 图G称为可k-着色的（k-chromatic），如果可用k种颜色给G的所有顶点着