计数原理及概率分布

回归课本：计数原理及概率分布

一、计数原理

1. 分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的办法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有_____________N =种不同的方法．

2. 分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有__________________N =种不同的方法.

二、排列数与组合数 1．排列数

（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素排成一列，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号______表示．

（2）排列数的公式：

A ___________________________________m n

==；

特例：当m n =时，!________________________m n A n ==；规定：0!______=．

2．组合数

（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号__________表示．

（2）组合数公式：（乘积形式）A C __________________________A m

m n n

m m

==； （阶乘形式）()()*!C N !!

m n n n m m n m n m =

∈≤-，且；特例：0C C 1n

n n ==．

（3）组合数的主要性质：①C _________m n = ；②1

C C _______m m n n

-+=．

1.（1）（选2-3 P8）7.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有 ；

（2）（选2-3 P8）例4 有5种不同的书（每种不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（3）（选2-3 P16）例5 有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（变式）某中学校本课程开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名同学. （1）求这3名学生选修课所有选法的总数；

（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A 选修课被这3名学生选择的人数ξ的概率分布.

2.（1）（选2-3 P10）14.集合{}1,2,3,4有多少个子集？

（2）（选2-3 P24） 8.已知一个集合有6个元素，那么该集合的非空真子集共有多少个？

（变式）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同的子集.

（1）若{}12,M a a =，且A 是B 的子集，求所有有序集合对（A ，B ）的个数；

（2）若{}122,,n M a a a a =L ，且集合A 中的元素的个数比集合B 中元素的个数少，求所有有序集合对(A ，B)的个数.

三、二项式定理

1. 二项式定理

（1）二项式定理：()()

_______________________________________n

a b n *+=∈N ，这个公式表示的定理叫做二项式定理．

（2）二项式系数、二项式的通项：011222C C C ...C C n n n r n r r n n

n n n n n a a b a b a b b ---+++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数

()

C 0,1, 2,..., r n r n =叫做二项式系数，式中的C r n r r

n a

b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1_________r T +=．

2. 二项式系数的性质

（1）当0r n ≤≤时，C r n 与C n r

n -的关系是________________；

（2）二项式系数先增后减中间项最大，当n 为偶数时，第________项的二项式系数最大，

最大值为________；当n 为奇数时，第12n +项和32

n +项的二项式系数最大，最大值为

1

2C

n n

-和12C

n n

+；

（3）各二项式系数和：012C C C ...C n

n n n n ++++=____，

奇数项（偶数项）二项式系数和：024135

C C C ...C C C ...n n n n n n +++=+++=_____．

3.（选2-3 P36）13.设423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，求下列各式的值： （1）3a ；

（2）01234a a a a a ++++； （3）2202413()().a a a a a ++-+

（变式）（19高考）22. 设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L …

.已知2

3242a a a =.

（1）求n 的值；（2）设(1n

a =+*,a

b ∈N ，求223a b -的值.

解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n n

n n n n x x x x n +=++++≥L ，，

所以2

323(1)(1)(2)

C ,C 26n n

n n n n n a a ---==

==， 44(1)(2)(3)

C 24

n

n n n n a ---==． 因为2

3242a a a =，

所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)

[

]26224

n n n n n n n n n ------=??，

解得5n =．

（2）由（1）知，5n =．

5(1(1n =+

022334455

55555

C C C C C C =++++

a =+

解法一：

因为*

,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，

从而222237634432a b -=-?=-． 解法二：

50122334455

555555(1C C (C (C (C (C (=+++++

022334455

55555C C C C C C =--+-．

因为*

,a b ∈N ，所以5(1a =-．

因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+?=-=-．

4.（1）（选2-3 P35）4.证明：1211124223.n n n n n n

n n n C C C C --+++++=L （2）（选2-3 P36）8.求证：112211222(1)2(1) 1.n n n n n n n

n n C C C -----?+?++-?+-=L

（变式）（1）求证：

1111(,)

11

k k n n C C n N k N k n +*

+=∈∈++ ； （2）计算：00112220202020

2020202020202020

111(1)(1)(1)(1)232021

C C C C -+-+-++-L ； （3）计算：2020

20200

2(1)2k k

k C k =-+∑.

5.（选2-3 P43）17.（算两次）如由等式2(1)(1)(1)n n n x x x +=++可得，左边n x 的系数为2n

n C ，

而右边n x 的系数为0112200212222

()()()()n n n n n n

n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C --+++=++++L L 所以0112200212222()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C --+++=++++L L =2n

n C .

利用此方法解决下列问题：

已知等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++.

（1）求21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数，并化简：01122111111n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C -------+++L ；

（2）证明：1222221()2()()n n

n n n n C C n C nC -+++=L .

（变式）（求导求和）已知(21)n x -2*

012,(,n n a a x a x a x n n =++++∈N L 为常数）.

（1）求 012n a a a a ++++L ；

（2）我们知道二项式0122(1)n n n

n

n n n x C C x C x C x +=+++L ，若等式两边对x 求导， 得112321(1)23n n n n

n n n n x C C x C x nC x --+=+++L ，令1x =得1231232n

n n n n n C C C nC n -+++=?L . 利用此方法解答下列问题： ①求12323n a a a na ++++L ；

②求2222123123n a a a n a ++++L .

（变式 16G ）（1）求34

67–47C C 的值；

（2）设m，n N*，n≥m，求证：

（m+1）C m

m +（m+2）

+1

C m

m

+（m+3）

+2

C m

m

+L+n–1

C m

n

+（n+1）C m

n

=（m+1）+2

+2

C m

n.

一、随机变量及其概率分布

1.离散型随机变量的概率分布

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则称表

为离散型随机变量X的概率分布表．

(3)离散型随机变量的概率分布的性质：

①p i≥0，i＝1,2，…，n；

②p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的概率分布表为

其中0

二、超几何分布

一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出

的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －

r N －M

C n N

(r ＝0,1,2，…，l )．即：

其中l ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.

如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．

三、相互独立事件

(1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件．

(2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．

(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 四、独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率

为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －

k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．

五、离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为

(1)均值

称E (X )＝μ＝ 为随机变量X 的均值或 ．它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差

称V (X )＝σ2＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ＝i n

i i p x 2

1

∑

=-）（μ为随机变量X 的方差，

它刻画了随机变量X与其均值E(X)的，并称其算术平方根σ＝V(X)为随机变量X的．

六、两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．

6.（1）（选2-3 P25）11. 从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛.

①如果4人中男生和女生各2人，那么有多少种不不同选法？

②如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，那么有多少种不同选法？

③如果男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，那么有多少种不同选法？

④如果4人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？

（2）（选2-3 P42）15.有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品，现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止.问：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形有多少种？

（3）（选2-3 P58）1.从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取，抽出后的产品不放回，设X表示直到取得合格品时的抽取次数，试求：

①直到第2次才取到合格品的概率P（X=2）；

②直到第3次才取到合格品的概率P（X=3）.

（4）（选2-3 P86改）1.袋中有大小相同的红球4个，白球3个，从袋中任意取出1个求（不放回），直到取出的球是白球为止.设取到白球的次数为X，求随机变量X的期望.

（5）（选2-3 P67）5.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，若他们3人分别向目标各发1枪，求命中目标的次数X的概率分布.

（6）（选2-3 P74）4.某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求击中目标的次数X的数学期望.

（7）（选2-3 P74）6.假定某射手每次射击命中目标的概率为2

3

.现有3发子弹，该射手一

旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：

①X的概率分布；

②均值E（X）.

（8）（选2-3 P84）2.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7.若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为.

（9）（选2-3 P87）14.甲、乙两人投篮命中率分别为1

2

和

1

3

，并且他们投篮互不影响，现

每人分别投篮2次，求甲比乙进球多的概率.

（10）（选2-3 P87）15.甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况

知道，每一局甲胜的概率为2

3

，乙胜的概率为

1

3

.如果比赛采用“三局两胜（即有一方先胜2

局即获胜，比赛结束）”或“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”两种规则，求在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大.

（变式）1.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元（m为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励1002200

?=元）.

（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；

（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与数学期望E（X）.

2.（10G）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各种产品相互独立.

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力.满分10分.

解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，

P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02.

由此得X的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n

-件.

由题设知4(4)10n n --≥，解得145

n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =.

所求概率为3

344

0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.

3. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和3

5.现安排甲组研发

新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的概率分布．

4. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1

2，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？