单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动

一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
令
Zm
Rm
j M
D
Zm
e j
Zm
Rm2
M
D
2
tg1
M
Rm
D
则
x2 (t)
F0
j Zm
e j(t )
F0
Zm
j(t π )
e
2
外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比，
并和外力频率有关。
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
代入到运动方程
M
d 2 x(t) dt 2
Rm
dx(t) dt
Dx(t)
F0e jt
得到
M 2 j Rm D X m F0
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
Xm
M2
F0
j Rm
D
j
Rm
F0
j M
D
x2 (t)
j[Rm
F0
j(M
e jt D )]
此解数学上称为“特解“ ；物理中称为“稳态解”
M
d 2 x(t) dt 2
Dx(t)
F0e jt
（*）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一 般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方 程一般解之和。
方程的解=一般解＋特解
其中：~x1(为t) 方程（*）所对应的齐次方程的解（通解）
为~x2 (方t)程（*）的特解
~x2 t 代入强迫振动方程（*）
M
d 2 x(t) dt 2
Dx(t)
F0
e jt
（*）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
得
x20
02 2
F0 M
所以方程的解为：
x20 M
F0
02 2
x(t) A e j(0t )
F0
e jt
M (02 2 )
一、强迫振动方程及其解
称为“暂态解”。
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
当 时0,
02 2 0
x1 t Amet cos 0t 1
,0 系统的固有频率，决定于系统本身的参数 Am ,1 由系统的初始条件确定
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
设特解
~x2 t 源自文库 X me jt
F (t) Re(F~(t))
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
运动方程：
M
d 2 x(t) dt 2
Rm
dx(t) dt
Dx(t)
F0
e jt
其解：
~x (t) ~x1(t) ~x2(t)
其中： x1 (t )
A e e t j(t1 ) m
为齐次方程的解，已
在前面解出。此解数学上称为“通解”；物理中
1、无阻尼系统的强迫振动
质量元件M受两个作用力
①弹性力 Dx
②外加推力 f(x)
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
运动方程式
M
d 2 x(t) dt 2
Dx(t)
f
(t)
F0
cos t
用复数表示：x(t) Re(，~x (t)) f (t) Re( ~f (t))
则运动方程化为：
1、无阻尼系统的强迫振动
所以，实际位移为：
x(t)
Re x(t )
A cos(0t
)
M
F0
(02 2 )
cos t
式中的
A和 由初条件决定。
第一项：自由振动分量 第二项：强迫振动分量
结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个 简谐振动的迭加。
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
取零初始条件
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
据前，方程（*）的通解为：
x1(t) Ae j(0t )
其中
0
D M
（1-1-1节已解出）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
设方程（*）特解的一般形式为
x2 t x20 ejt
特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率
等于外力的频率。
特例：当 时0，振子振幅逐渐 (共振)
实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐 渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
有阻尼时，运动方程
M
d
2 x(t dt
)
Rm
dx(t) dt
Dx(t)
f
(t)
外力为谐和力 F t F0 cost 复数表示： x(t) Re(~x (t))
xt 0 t0
；
dx 0 dt t 0
带入上式得
Acos M
F0
02 2
0
A0 sin 0
求得 A F0 ; 0
M 02 2
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
零初始条件的振动位移
xt M
F0
02 2
cost cos0t
三角变换
xt M
~x (t) ~x1(t) ~x2 (t)
x(t) Rex1(t) x2 (t)
A0
e
t
cos(t
1
)
F0 Z
m
sin(t )
其中：A0 ,由1 初始条件决定;
, ,由Z系m ,统 参数决定。
2、有阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
2F0
02 2
sin
0
2
t
sin
0
2
t
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
0 0
时‘拍’现象明 显形 成 ‘ 拍 ’ 振 动
0 ~ 0
时‘拍’现象不明 显
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
无阻尼系统的拍频振动规律
①振动频率近似等于
②“振幅”作慢周期变化，拍周期
一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远 维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使 振 动持续不停，就要不断从外部获得能量。
外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动) （forced vibration ）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 谐合函数——正弦、余弦函数。
无阻尼强迫振动示意图
一、强迫振动方程及其解
1.1 单自由度机械系统的振动
1.1.2 单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动
内容提要
一、强迫振动方程及其解 1、无阻尼系统的强迫振动 2、有阻尼系统的强迫振动
二、强迫振动的过渡过程 三、强迫振动的稳态振动
1、机械阻抗 2、频率特性 3、激励力对振动系统的输入功率
一、强迫振动方程及其解
2π 0
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
xt
M
F0t
0
sin
0
2
0 t
t
sin
0
2
t
2
当 0
x t F0t sin t
2M
1、无阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振 动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振 动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动 总也不消失。