2020年高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题10 高考常考题型综合解析(解析版)
三角函数与平面向量
10 高考常考题型综合解析
一、具体目标：高考对本内容的考查主要有：(1)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级
要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.(2)三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量结合考查，构成基础题. 二、知识概述：
1.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝
a ＋
b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).
变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R ； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .
(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A . 2.常见三种函数的图象与性质
函数
y ＝sin x
y ＝cos x
y ＝tan x
【考点讲解】
图象
单调性
在???－π2＋2k π，
?
??
π2＋2k π (k ∈Z )上单调递增； 在?
??π
2＋2k π，
?
??
3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减
在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调
递增；在[2k π，π＋
2k π](k ∈Z )上单调递减
在? ?－π2＋k π，
???
π2＋k π (k ∈Z )上单调递增 对称性
对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；
对称轴：x ＝π
2＋k π(k ∈Z )
对称中心：
? ????π2＋k π，0 (k ∈Z )；对称轴：x
＝k π(k ∈Z )
对称中心：? ??
?
?
k π2，0(k ∈Z )
【温馨提示】1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含
有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. 3.三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.
4.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.
5.已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【真题分析】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=
在
[,]-ππ的图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【解析】本题考查函数的性质与图象，由22
sin()()sin ()()cos()()cos x x x x
f x f x x x x x -+----=
==--+-+，得()f x 是奇函
数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π
1π42π2()1,π2π()2
f +
+==>2
π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【答案】D
2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数
②f (x )在区间（
2
π，π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点
④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．
当
ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??
π ???
单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--
2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．
当[](
)
2,2x k k k *
∈ππ+π∈N
时，()2sin f x x =；当[](
)
2,22x k k k *
∈π+ππ+π∈N
时，
()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．
2sin cos ++x x
x x
综上所述，①④正确，故选C ．
本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．
【答案】C
3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以
2
π为周期且在区间(
4
π，
2
π)单调递增的是
A ．f (x )=|cos2x |
B ．f (x )=|sin2x |
C ．f (x )=cos|x |
D ．f (x )=sin|x | 【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；
作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为
π2，在区间(4π，2π
)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2
π
)单调递减，排除B ，故选A ．
图1
图2
图3
【答案】A
4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，
2
π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）
A ．
15
B ．
5
5
C ．
3
3
D ．
25
5
【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，2
4sin cos 2cos .0,
,cos 02αααααπ??
∴?=∈∴> ???
Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5
sin 5
α∴=
，故选B ． 【答案】B
5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,
10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510
，) 其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④ 【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，
由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；
②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；
④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5
x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以π
π5k x ω
-
=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，
所以当k =5时，π5π52πx ω
-=
≤，当k =6时，π
6π52πx ω
-
=>，解得1229510
ω≤<， 故④正确.
③函数()f x =sin （5x ωπ+
）的增区间为：πππ
2π2π252
k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω
????
-+ ? ????
?<<.
取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71
ππ248
x -
<<， 当2910ω=
时，单调递增区间为73ππ2929x -
<<，综上可得，()f x 在π0,10??
???
单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【答案】D
6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π??
= ???，则38f π??
= ???
（ ） A ．2-
B ．2-
C ．2
D ．2
【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ??==∴∈∴=Z 0?=；
又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()24g =，∴2A =，
∴()2sin 2f x x =，3π
() 2.8
f =故选C.
【答案】C
7.【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[]
,a a -是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．
π4 B ．π2 C ．3π4
D ．π 【解析】因为()πcos sin 2cos 4f x x x x ?
?=-=
+ ??
?，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得
π3π2π2π()44k x k k -
+≤≤+∈Z ，因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ??
-?-∴-<-≥-≤
∴<≤????
，从而a 的最大值为
π
4
，故选A.【答案】A 8.【2018年高考天津】将函数sin(2)5y x π
=+的图象向右平移
10
π
个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间35[
,]44
ππ
上单调递增 B ．在区间3[
,]4
π
π上单调递减 C ．在区间53[,]42
ππ
上单调递增 D ．在区间3[
,2]2
π
π上单调递减 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ??=+
??
?的图象向右平移π10
个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ???
?=-
+= ???????
.则函数的单调递增区间满足()ππ
2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -
≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44??
????
. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +
≤≤+∈Z ，即()π3π
ππ44
k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44??
????
.故选A. 【答案】A
9.【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角
形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ． B ． C ．2A B = D ．2B A = 【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以
2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=，故选A.
【答案】A
10.【2019年高考江苏卷】已知
tan 2π3tan 4αα=-??+ ??
?，则πsin 24α?
?+ ???的值是 . a b c 2a b =2b a =
【解析】由()tan 1tan tan tan 2
tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++?
?+ ?
-?
?，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1
tan 3
α=-
. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα?
?+=+ ??
?
()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα??+-=+ ?+??22
22tan 1tan =2tan 1ααα??+- ?+??， 当tan 2α=时，上式22
222122
==22110
???+-? ?+??； 当1tan 3α=-时，上式=2
211
2()1()2233[]=1210()1
3
?-+--?-+.综上，π2sin 2.410α??+= ??? 【答案】
210
11.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π
6,2,3
b a
c B ===
，则ABC △的面积为_________．
【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2
2
21
(2)2262
c c c c +-???=，即212c =， 解得23,23c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236 3.222
ABC S ac B ==???=△ 【答案】63
12．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若
45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．
【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：
sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4
AB ADB =∠=，
225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠=
=∠==，所以1225
BD =. ππ72
cos cos()cos cos sin sin 4410
ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=
.
【答案】
1225，
72
10
13.【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<
3
x =对称，则?的值是________．
【解析】由题意可得2sin π13??
+=± ???
?，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，??，
因为ππ22-
<
0,.6
k ==-? 【答案】π
6
-
14.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()2
2
1sin cos 1,-+-=αα 所以11
sin ,cos 22
=
=αβ，因此()22111111
sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442
+=+=?-=-+=-+=-αβαβαβαα
【答案】1
2
-
15.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．
【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1
cos 4
BE ABC AB ∠=
=， ∴1115
cos ,sin 14164
DBC DBC ∠=-
∠=-=
， ∴115
sin 22
BCD S BD BC DBC =
???∠=
△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴2
1
cos cos 22cos 14
ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=
， 解得10cos 4BDC ∠=
或10cos 4
BDC ∠=-（舍去）．
综上可得，△BCD 面积为
152，10cos 4
BDC ∠=． 【答案】
1510
,
24
16.【2019年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（2）若22a b c +=，求sin C ．
【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-==．因为0180A ??<<，所以60A ?=．
（2）由（1）知120B C ?=-，
由题设及正弦定理得(
)
2sin sin 1202sin A C C ?
+-=，
即
631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2
cos 602
C ?+=-
． 由于0120C ??<<，所以()
2
sin 602
C ?+=
，故 ()sin sin 6060C C ??=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+624
+=．
【答案】（1）60A ?=；（2）62
sin 4
C +=.
17.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P
（34
55
-，-）．
（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=
5
13
，求cos β的值． 【解析】（1）由角α的终边过点3
4(,)55P --得4sin 5α=-
，所以4sin(π)sin 5
αα+=-=.
（2）由角α的终边过点3
4(,)55
P --得3cos 5α=-
，由5sin()13αβ+=得12
cos()13
αβ+=±
. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16
cos 65
β=-
. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16
cos 65
β=-
. 18.【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，
3sin 4sin c B a C =．
（1）求cos B 的值；
（2）求sin 26B π?
?+ ??
?的值．
【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理
sin sin b c
B C
=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =
，23
c a =． 由余弦定理可得222
2
2
2
416
199cos 22423
a a a a c
b B a
c a a +-+-===-??．
（2）由（1）可得215sin 1cos 4
B B =-=
， 从而15sin 22sin cos 8
B B B ==-
，22
7cos 2cos sin 8B B B =-=-，故
15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+?
?+=+=-?-?=-
??
?． 【答案】（1）14-；（2）357
16
+-
.
19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有
桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．
【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .
由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84
cos sin 105
PBD ABE ∠=∠=
=.所以12154cos 5
BD PB PBD =
==∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =
+=，
从而2227
cos 0225
AD AB BD BAD AD AB +-∠==>?，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小
于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；
当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半
径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113
sin cos 1595
PD PB PBD PB EBA =∠=∠=?
=； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.
再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，
2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.
解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.
因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，?3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （?4，?3），直线AB 的斜率为34
. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-
，直线PB 的方程为425
33
y x =--
. 所以P （?13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）. （2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （?4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （?4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：3
6(44)4
y x x =-
+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为2
2221533454OM ??=+<+= ???
， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.
（3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；
当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （?13，9）； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当P （?13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
4321(13)17321PQ =+--=+.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.
1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ）
A ．
π
12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用. 由题意可知,π=++
C B A 所以有()C A B +=sin sin ，所以原等式可整理成:
【模拟考场】
()sin sin (sin cos )0++-=A C A C C ,也就是：sin cos cos sin sin sin sin cos 0++-=A C A C A C A C ， 即()sin sin cos 2sin sin 04π?
?+=
+= ??
?C A A C A ，因为是三角形△ABC ，
.0π或≠C 所以有4
3π
=
A .
由正弦定理得：C c A a sin sin =，得.6
,21sin π
==C C 得
【答案】B
2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π
3
，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )
A ．1
B ．2 C.3－1
D ．3
【解析】解法1：(余弦定理)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝1＋c 2－2c ×1×cos π
3＝1＋c 2－c ，
所以c 2－c －2＝0.所以c ＝2或－1(舍去)．
法2：(正弦定理)由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，所以sin B ＝1
2
，