吉林省德惠市实验中学等九校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(有解析)

吉林省德惠市实验中学等九校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若a2<b，则−√b<a<√b”的逆否命题为()A. 若a2≥b，则a≥√b或a≤−√bB. 若a2≥b，则a>√b或a<−√bC. 若a≥√b或a≤−√b，则a2≥bD. 若a>√b或a<−√b，则a2≥b2.已知命题p：若0<x<π2，则sinx>x：命题q：若0<x<π2，则tanx>x.在命题①p∧q；②p∨q；③p∨(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④3.已知向量a⃗=(2,1，−3)，b⃗ =(−4,2，x)，若a⃗⊥b⃗ ，则x=()A. 2B. −2C. 3D. 44.若向量a⃗=(1,0，−1)，则与a⃗共线的向量是()A. (−1,1，0)B. (1,−1,0)C. (0,−1,1)D. (−1,0，1)5.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=π6，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √33B. √32C. √36D. √666.对抛物线y=−4x2，下列描述正确的是()A. 开口向下，焦点坐标为(0,−1)B. 开口向下，焦点坐标为(0,−116)C. 开口向左，焦点坐标为(−1,0)D. 开口向左，焦点坐标为(0,−116)7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)与直线l：x=4交于A，B两点，若△OAB的面积为32，则抛物线C的准线方程为()A. x=−√2B. x=−4C. x=−1D. x=−88.若焦点在x轴上的椭圆x2m+1+y26=1的离心率为√32，则m=()A. 31B. 28C. 25D. 239.已知P是抛物线y=14x2上一动点，则点P到直线l：x+2y+4=0和x轴的距离之和的最小值是()A. 6√55−1 B. 6√55C. 33√540−1 D. 33√54010.“k>9”是“方程x2k−4+y29−k=1表示双曲线”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件11. 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点A 1到平面B 1AC 的距离是( )A. √32B. √22C. 2√23D. 2√3312. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0,b)的直线的距离为c2，则椭圆的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. √33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若等边ΔABC 的边长为2，其所在平面内的两个动点P,M 满足|AP |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ． 14. 过点P(2,1)的直线与双曲线y 22−x 2=1交于A ，B 两点，则以点P 为中点的弦AB 所在直线斜率为______．15. 命题“∀x ∈R ，sinx >0”的否定是______ ．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N.若|PF 1|=2|PF 2|，且∠MF 2N =60°，则双曲线C 的离心率为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p:x 2−8x −33>0，q:x 2−2x +1−a 2>0(a >0)，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求正数a 的取值范围。

18. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F(1,0)，点O 为坐标原点．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点(4,0)的直线l 交抛物线C 于A,B 两点，求证：以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是一个菱形，三角形PAD 是一个等腰三角形，∠BAD =∠PAD =π3，点E 在线段PC 上，且PE =3EC ．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角E −AB −P 的余弦值．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x −√2y +6=0相切． (1)求椭圆C 标准方程；(2)已知点A,B 为动直线y =k(x −2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．21.已知双曲线C的一个焦点为(−√5,0)，且过点Q(2√5,2).如图，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，动点P(x0,y0)(y0≥1)在双曲线C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于M(m,0)(−√5<m<√5)，N两点，设过点F1，N的直线l与双曲线C交于D，E两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)求△F2DE面积的最大值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点M是椭圆上一点，线段F1M的中点为N，△NF1O(O为坐标原点)的周长是2√2+2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l是圆O：x2+y2=83的任意一条切线，与椭圆C相交于A、B两点．(ⅰ)证明：以AB为直径的圆恒过原点；(ⅰ)求|AB|的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了四种命题的关系，是基础题．根据原命题和逆否命题的关系判断即可．【解答】解：原命题的形式为“若p则q”，则逆否命题的形式为“若¬q则¬p”，故逆否命题为：若a≥√b或a≤−√b，则a2≥b，故选C.2.答案：D解析：【分析】判断两个命题的真假，然后判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力．【解答】解：命题p：若0<x<π，则sinx>x；是假命题；￢p是真命题；2，则tanx>x.是真命题；￢q是假命题；命题q：若0<x<π2命题①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∨(￢q)是假命题；④(￢p)∨q是真命题，②④是真命题；故选：D．3.答案：B解析：【分析】本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量a⃗=(2,1，−3)，b⃗ =(−4,2，x)，a⃗⊥b⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2×(−4)+1×2+(−3)×x =0， 解得x =−2． 故选：B ．4.答案：D解析：解：假设向量b ⃗ 与a ⃗ 共线，则存在实数λ使得b ⃗ =λa ⃗ ， 只有(−1,0，1)=−(1，0，−1)， 故选：D ．假设向量b ⃗ 与a ⃗ 共线，则存在实数λ使得b ⃗ =λa ⃗ ，验证即可得出． 本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：D解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A(1,0，0)，D(0,0，0)，B 1(1,a ，1)， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−a,−1)，B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,−1)，∵∠AB 1D =π6，∴cos π6=|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 2+1√a 2+2⋅√a 2+1，解得a =√2，B 1(1,√2,1)，B(1,√20)，C 1(0,√2,1)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设直线AB 1与BC 1所成角为θ， 则cosθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√3⋅√2=√66． ∴直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√66．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题考查抛物线的性质及几何意义，考查抛物线开口朝向和焦点坐标，考查分析与计算能力，属于基础题．先将抛物线化为标准方程x 2=−14y ，再根据几何性质即可得到答案．【解答】解：由y=−4x2，得x2=−14y，故抛物线开口向下，且焦点坐标为(0,−116).7.答案：B解析：【分析】利用△OAB的面积为32，建立方程，即可求出抛物线C的准线方程．本题考查抛物线C的准线方程，考查学生的计算能力，比较基础．【解答】解：由题意，x=4，y=±√8p，∵△OAB的面积为32，∴12×4×2√8p=32，∴p=8，∴抛物线C的准线方程为x=−4，故选B．8.答案：D解析：解：∵椭圆x2m+1+y26=1的焦点在x轴上，∴a2=m+1，b2=6，则c2=a2−b2=m−5．由e=√32，可得c2a2=m+1−6m+1=34，得m=23，故选：D．由椭圆方程求得a2，c2，再由椭圆离心率求得m值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，是基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查了抛物线的方程和定义，点到直线的距离公式，属于中档题．由题意可知，点P到直线l：x+2y+4=0和x轴的距离之和的最小值，即为：焦点F到直线l：x+ 2y+4=0的距离减去1，即可得解．【解答】解：由题意，抛物线y=14x2，即：x2=4y，设抛物线y=14x2的焦点为F，则F(0,1)，抛物线y=14x2的准线方程为y=−1，可知：点P到准线的距离与点P到焦点F的距离相等，∴P到x轴的距离为P到焦点F的距离减去1，∴点P到直线l：x+2y+4=0和x轴的距离之和的最小值，即为：焦点F到直线l：x+2y+4=0的距离减去1，设焦点F到直线l：x+2y+4=0的距离为d，则d=|0+2+4|√1+4=6√55，∴点P到直线l：x+2y+4=0和x轴的距离之和的最小值是：d−1=6√55−1．故选A．10.答案：B解析：【分析】可直接求出方程x2k−4+y29−k=1表示双曲线的充要条件，再看与条件“k>9”谁能推出谁，即可进行选项比对．本小题主要考查双曲线的标准方程、必要条件、充分条件与充要条件的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．方程x2m +y2n= 1表示双曲线则须m>0，n<0或m<0，n>0即mn<0.属于基础题．【解答】解：方程x2k−4+y29−k=1表示双曲线的充要条件是(k−4)(9−k)<0，即k>9或k<4．由于“k>9”⇒“k>9或k<4”；反之不成立．故选B．11.答案：D解析：【分析】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．属于简单题．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面B1AC的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1(2,0，2)，B1(2,2，2)，A(2,0，0)，C(0,2，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)， 设平面B 1AC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， ∴点A 1到平面B 1AC 的距离： d =|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√3=2√33． ∴点A 1到平面B 1AC 的距离是2√33． 故选D ．12.答案：A解析：解：由题意可知：根据三角形的面积公式可知：S =12×bc =12×a ×c2，则a =2b ，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√32，故选：A ．根据椭圆的性质，利用三角形的面积相等，即可求得椭圆的离心率． 本题考查椭圆的离心率公式的求法，考查转化思想，属于基础题．13.答案：4解析： 【分析】本题考查向量的数量积，建立坐标系，点P 的轨迹为圆，点M 为PB 的中点，轨迹也为圆，设出坐标，运用向量的数量积，结合三角函数的最值，即可求得答案． 【解答】解：以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系， 可得点的坐标为A (1,0),B (−1,0),C(0,√3)， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得M 为PB 的中点，连接OM ， 可得OM =12，设M 的坐标为，⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3)，则，CB则．故答案为4．14.答案：4解析：【分析】本题涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，属于中档题．设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线AB的斜率即可．【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4，y1+y2=2，∵2x12−y12=−2，2x22−y22=−2，∴8(x1−x2)−2(y1−y2)=0，∴k AB=4，故答案为4．15.答案：∃x∈R，sinx≤0解析：解：∵命题“∀x∈R，sinx>0”是一个全称命题，命题的否定是：∃x∈R，sinx≤0，故答案为：∃x∈R，sinx≤0．根据所给的这个命题是全称命题，它的否定形式是特称命题，改为特称命题，注意题设和结论的变化．本题考查命题的否定，是一个基础题，解题的关键是看出这个命题是全称命题，要变化成特称命题．16.答案：√3解析：【分析】本题考查双曲线的定义及余弦定理，属于中档题目．利用双曲线的定义求出∠F1PF2=60°，再由余弦定理得出关系式求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|−|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，又|F1O|=|F2O|，|PO|=|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2=16a2+4a2−2·4a·2a·cos60°，即4c2=20a2−8a2，c2=3a2，可得c=√3a，所以e=ca=√3．故答案为√3．17.答案：解：解不等式p:x2−8x−33>0，得P：A={x|x>11或x<−3};解不等式q:x2−2x+1−a2>0(a>0)，得q:B={x|x>1+a或x<1−a};由¬p是¬q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，所以A⊂B得{a>0 1+a≤111−a≥−3，解得0<a≤4．解析：本题题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用¬p是¬q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．18.答案：解：(Ⅰ)因为焦点为F(1,0)，所以p=2，所以抛物线方程为y2=4x;(Ⅱ)设直线方程为x=my+4.由{x=my+4y2=4x，得y2−4my−16=0.则y1+y2=4m，y1y2=−16.x1x2=(my1+4)(my2+4)=m2y1y2+4m(y1+y2)+16所以，x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=−16(m2+1)+16m2+16=0所以，AB为直径的圆恒过坐标原点O.解析：(Ⅰ)由焦点坐标求得p，就求得抛物线方程；(Ⅱ)设出直线方程x =my +4，与抛物线方程联立，结合韦达定理，得到x 1x 2+y 1y 2=0，由向量数量积得到OA ⊥OB ，从而证得以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ．19.答案：解：(1)证明：取AD 中点O ，连结PO ，BO ，BD ，∵四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是一个菱形，三角形PAD 是一个等腰三角形，∠BAD =∠PAD =π3， ∴PO ⊥AD ，BO ⊥AD ，∵PO ∩BO =O ，∴AD ⊥平面POB ， ∵PB ⊂平面POB ，∴AD ⊥PB ．(2)解：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ，∴PO ⊥平面ABCD ， 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AD =2，则P(0,0，√3)，C(−2,√3,0)，E(−32,3√34,√34)，A(1,0，0)，B(0,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−52,3√34,√34)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，√3)， 设平面ABE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0n⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−52x +3√34y +√34z =0，取y =1，得n ⃗ =(√3,1，−7)，设平面ABP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,1，1)，设二面角E −AB −P 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√53⋅√5=3√265265． ∴二面角E −AB −P 的余弦值为3√265265．解析：本题考查面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理以及考查利用空间向量求解二面角的余弦值，题目难度一般．(1)取AD 中点O ，连结PO ，BO ，BD ，得PO ⊥AD ，BO ⊥AD ，进而由线、面垂直的判定定理得AD ⊥平面POB 即可得证；(2)首先建立空间直角坐标系，求得平面ABE 的法向量为n ⃗ =(√3,1，−7)，平面ABP 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，即可得二面角E −AB −P 的余弦值．20.答案：解：(1)由e =√63，得c a =√63，即c =√63a①， 以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2+y 2=a 2， 且圆O 与直线2x −√2y +6=0相切， 所以a =√22+(√2)2=√6，代入①得c =2， 则b 2=a 2−c 2=2， 所以椭圆C 的方程为x 26+y 22=1；(2)由{x 26+y 22=1y =k(x −2)，得(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=12k 21+3k 2，x 1x 2=12k 2−61+3k 2，根据题意，假设x 轴上存在定点E(m,0)，使得EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值， 则有EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1)⋅(x 2−m,y 2)=(x 1−m)⋅(x 2−m)+y 1y 2=(x 1−m)(x 2−m)+k 2(x 1−2)(x 2−2) =(k 2+1)x 1x 2−(2k 2+m)(x 1+x 2)+(4k 2+m 2) =(k 2+1)⋅12k 2−61+3k 2−(2k 2+m)⋅12k 21+3k2+(4k 2+m 2) =(3m 2−12m+10)k 2+(m 2−6)3k 2+1，要使上式为定值，即与k 无关，则应有3m 2−12m +10=3(m 2−6)， 即m =73，此时 EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2−6=−59为定值，定点为(73,0).解析：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用，是难题．(1)由e =√63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x −√2y +6=0相切，求出a ，b ，由此能求出椭圆的方程；(2)由{x 26+y 22=1y =k(x −2)，得(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，定点为(73,0).21.答案：解：(1)双曲线的左、右焦点分别为F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，∵双曲线过点Q(2√5,2)，∴2a =||QF 1|−|QF 2|||√(2√5+√5)2+(2−0)2−√(2√5−√5)2+(2−0)2|=4， 解得a =2，则b =1， ∴双曲线C 的标准方程为x 24−y 2=1；(2)由F 1(−√5,0),F 2(√5,0)， 得直线PF 1方程为y =0x +√5+√5)，直线PF 2方程为y =0x−√5−√5)，即直线PF 1方程为y 0x −(x 0+√5)y +√5y 0=0， 直线PF 2方程为y 0x −(x 0−√5)y −√5y 0=0， 由点M(m,0)在∠F 1PF 2的平分线上， 得0√5y 0√y 0+(x 0+√5)2=0√5y 0√y 0+(x 0−√5)2由−√5<m <√5,y 0≥1，以及y 02=14x 02−1，解得x 0≥2√2． ∴y 02+(x 0+√5)2=54x 02+2√5x 0+4=(√52x 0+2)2，y 02+(x 0−√5)2=54x 02−2√5x 0+4=(√52x 0−2)2， ∴√5√52x 0=√5−m√52x 0，解得m =4x 0，即M (4x 0,0)，∴直线PM 的方程为y =y 0−0x 0−4x 0(x −4x 0)，令x =0，得y =−4y 0x 02−4=−1y 0，故点N (0,−1y 0)，∴k l =0−(−1y 0)−√5−0=−1√5y 0．∴直线l 的方程为y =−1√5y 0(x +√5)，由{y =−1√5y 0(x +√5),x 24−y 2=1消去x 得(5y 02−4)y 2+10y 0y +1=0，，设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−10y 05y 02−4,y 1y 2=15y 02−4，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√5y 02+1|5y 02−4|．∵y 0≥1， ∴y 1+y 2=−10y 05y 02−4<0,y 1y 2=15y 02−4>0，∴y 1<0,y 2<0. △F 2DE 的面积S =S△F 1EF 2−S △F 1DF 2=12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=12×2√5×4√5y 02+15y 02−4，设5y 02−4=t,t ≥1，则△F 2DE 的面积S =4√5×√t+5t=4√5×√5t2+1t=4√5×√5(1t+110)2−120，∴当t =1，即P 为(2√2,1)时，△F 2DE 的面积取得最大值为4√30．解析：本题考查椭圆的方程，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及二次函数的性质，考查计算能力，属于难题．(1)根据椭圆的方程，即可求得双曲线的顶点坐标，利用直线的斜率及双曲线的性质，即可求得双曲线的方程；(2)将直线方程代入双曲线方程，根据韦达定理及三角形的面积公式，换元及二次函数的性质，即可求得△F 2DE 的面积最大值．22.答案：解：(I)由题意知，c a =√22且a +c =2√2+2，解得a =2√2，c =2，b 2=4， 则椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；(Ⅱ)(i)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =±2√63， 代入椭圆方程得到A(2√63,2√63)，B(2√63,−2√63)，或者A(−2√63,2√63)，B(−2√63,−2√63)， 此时OA →·OB →=0，，即以AB 为直径的圆过坐标原点； 当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 因为直线l 与圆相切，所以√1+k2=√23√1+k 2=2√23，即m 2=83(1+k 2)，将直线与椭圆联立方程组消去y 得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2−8k 2−82k 2+1=8(1+k 2)−8k 2−82k 2+1=0，所以以AB 为直径的圆过原点，综上，以AB 为直径的圆横过原点； (ii)当l 的斜率不存在时，|AB|=4√63， 当直线l 的斜率存在时，由弦长公式可得|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2·√(4km 1+2k 2)2−4·2m 2−82k 2+1=4√63√1+k 24k 4+4k 2+1，若k =0，|AB|=4√63;若k ≠0时，|AB|=4√63√1+14k 2+4+1K2∈(4√63,2√3]， 综上所得，|AB|的取值范围为[4√63,2√3].解析：本题考查了椭圆标准方程，椭圆性质以及直线与椭圆的关系．(Ⅰ)由离心率以及三角形周长，得到关于a，c的方程组，即可得到椭圆方程；(Ⅱ)(i)分类讨论直线斜率情况，若以AB为直径的圆横过原点，则OA→·OB→=0，将直线与椭圆方程联立方程组，运用韦达定理验证即可；(ii)运用弦长公式，求出|AB|关于k的表达式，由基本不等式求得结果．。