2021-2022年高三数学下学期三调考试试题理
2021-2022年高三下学期同步月考卷数学(理)试题 含答案
2021-2022年高三下学期同步月考卷数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(){}(){}2|21,|ln 1,x x A x B x y x -=<==- ()()()13222,1log 2,1x e x f x x x +⎧<⎪=⎨≥⎪-⎩2000:,310p x R x x ∃∈-+≥2:,310p x R x x ⌝∀∈-+<. ()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++- ()()()log 0,1a g x f x x a a =->≠且 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.0,50,30,x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩()()221,x x e x e x f x g x x e +==三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）已知是边长为3的等边三角形，点D,E 分别是边AB,AC 上的点，且满足将DE 折起到的位置，并使得平面（1）求证：（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线与平面所成角的正切值的最大值.20.（本小题满分12分）.（本小题满分12分）()()()()213121ln 0.2f x x a x a a x a =-+++>[]()21,,6x e f x k k ∀∈≥+请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲.,.WOLN 2172 7 54DF 哟30211 7603 瘃 35400 8A48 詈MC25661 643D 搽33614 834E 荎fu。
天津市河西区2022届高三下学期三模数学试题
一、单选题二、多选题1. 直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（ ）A．B ．1C．D．2. 在中，，点P 在CD上，且，则（ ）A．B．C．D．3. 已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且，则（ ）A．B．C．D．4.已知函数，则的图象大致为（ ）A．B．C．D．5. 在四面体S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ， ∠BAC =120°，AB =1，AC =2，SA =3，则该四面体外接球面积为（ ）A．B．C．D．6. 过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于两点，与轴交于点，若在第一象限，的倾斜角为锐角，且为的中点，则的斜率为（ ）A ．2B．C ．3D ．47.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 设集合，则的取值范围是A．B．C ．或D ．或9. 正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（ ）天津市河西区2022届高三下学期三模数学试题天津市河西区2022届高三下学期三模数学试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．10. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为平行四边形，，，，点、分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（）A ．与平面所成的角为B．C ．当时，平面D ．平面11. 下列命题正确的是（ ）A ．若甲､乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强B．已知样本数据的方差为4，则的标准差是4C．在检验与是否有关的过程中，根据所得数据算得，已知，则有的把握认为和有关D ．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是12.已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：012若，则（ ）．A．B．C．D．13.已知随机变量，且，则______.14. 的二项展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项等于___________.15. 设点O在的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC的中点，且，则___________16. 如图，在多面体中，已知是正方形，，平面分别是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17. 已知点M为椭圆C：的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为.（1）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（2）试判断直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由.18. 某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A､B､C三道工序，三道工序相互独立.工序A的加工成本为70元/件，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为.每道工序后产生的不合格品均为废品.（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；（2）已知坯件加工成本为A､B､C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.19. 如图所示，已知在三棱锥中，，M为的中点，D为的中点，且为正三角形．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若，求三棱锥的体积．20. 记锐角的内角为，已知.(1)求角的最大值；(2)在锐角中，当角为角A的最大值时，求的取值范围.21. 已知数列满足，，其中.(1)设，求证：数列是等差数列.(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.。
2021-2022年高三下学期3月模拟检测数学(理)试题 含答案
注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P=，Q=，若，则A. B. C. D.2.若复数（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=A. B.-1 C.0 D.13.有下列关于三角函数的命题：)(2,1Z k k x R x P ∈+≠∈∀ππ：，若，则。
函数与函数的图像相同；函数的最小正周期为2x 。
其中真命题是（ ）A.，B.，C.，D. ，4.某程序框图如图所示，则输出的n 值是A.3B. 4C. 5D. 6 5.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2,1]，则b-a 的值不可能是A. B. C. D.26. 某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：则下列结论正确的是（ ）A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”B.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”C.在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”D.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”7.若x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+00202y y kx y x 且的最小值为-2，则k 的值为（ ）A.1B. -1C. 2D. -28.已知菱形ABCD 的边长为3，，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD 平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A.15B.C.D.69.定义在（0，+）上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.10.已知分别是双曲线的左右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以现在为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A.（1，）B.（）C.（）D.11.如图，长方形ABCD的长AD=2x,宽AB=x（1），线段MN的长度为1，端点M,N在长方形ABCD 的四边形上滑动，当M,N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围城的面积数值的差为y，则函数的图像大致为（）12.已知函数=，=（），若对任意的c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得，则k的最大值为（）A.2B.3C.4D.5第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)
石嘴山三中2021届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =（ ）A. {1,2}B. {1,4}C. {1,2,3,4}D. {2,3}【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B ，由此能求出A B ．【详解】集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1AB ∴=，4}．故选：B ．点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.91i 1i+=- （ ） A. 1- B. i -C. 1D. i【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算规则进行运算即可.【详解】921i 1(1)1i 12i i i i +++===--.故选：D【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题. 3.已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ） A. 2 B.43C. 3D.125【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan3144tan tan 244131tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.4.在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（ ） A. 5- B. 4-C. 4D. 5【答案】D 【解析】 分析】由题意可知5cos PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.【详解】解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，2214252PD PC ==+=. ∴tan 2PDA ∠=，5cos 5PDA ∠=. //BC AD ，∴BCD PDA π∠=-∠，∴()()()()2PA PB PD DA PC CB PD CB PD CB ⋅=+⋅+=+⋅-+()222525cos 24PD PD CB CB PDA π=--⋅+=--⨯⨯-∠+⨯5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题. 5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A.227B.15750C.289D.337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.已知等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则6S =（ ） A. 51 B. 54 C. 68 D. 96【答案】A 【解析】 【分析】根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ． 【详解】因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a =所以665613512S ⨯=⨯+⨯=． 故选：A.【点睛】本题主要考查等比中项及等差数列前n 项和公式，属于基础题． 7.下列说法正确的是（ ）A. 命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B. 若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D. 设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．9.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ，又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =，从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而t y e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 4+【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a a c +==，22a c +=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，所以e =故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想. 12.已知函数()ln(f x x =满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. ln 2[8,)2-+∞ B. ln 25[8,2ln 2]24--- C. ln 2(,8]2-∞- D. 5(,2ln 2]4-∞--【答案】C 【解析】 【分析】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x xx a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==， 即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-， 故选C .【点睛】本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知(2x -1)7=a o +a 1x + a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____. 【答案】84- 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()71721rrrr T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，则284a =-. 故答案为：84-【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题. 14.已知f (x )是R 上最小正周期为2周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．【答案】7 【解析】当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6 共7个 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15.已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF 的内切圆半径是________.【答案】23【解析】 【分析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，12226AF AF a +==解可得1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.【详解】解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中6a =2b =222c a b =-，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则有222116AF AF -=，12226AF AF a +== 解得163AF =，263AF =. 2ABF 的周长22106264633l AF BF AB =++=+=.面积12112646422S AB F F =⨯⨯==，由内切圆的性质可知，有12r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进行转化是解题关键，属于中档题. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．则c ＝_____；AB BC ⋅=_____．【答案】 (1). 7(2). 967-【解析】 【分析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =， 由余弦定理得16＝c 2+（2a ）2﹣2c •2a •cos 6π，解得c =；可得a =，可得AB BC ⋅=-accosB 967727=-⨯=-．故答案为：7，967-．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等比数列{}n a （其中n *∈N ），前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.【答案】()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. 【解析】 【分析】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T .【详解】解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =． ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=． ()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，则112n n n b ++=-． ∴ 12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝， 故231231222n n n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++.两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-． ∴13322n n n T ++=-． 【点睛】本题考查等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考查转化思想，数学运算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪ ⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， ∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=， 解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =， 设二面角F AB P --的平面角为θ， 则||cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.十八大以来，党中央提出要在2021年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次． （Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ （Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X 的分布列与期望． 【答案】（Ⅰ）316495； （Ⅱ）X 的发分布列为：期望61EX =． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；（Ⅱ）由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X 的分布列，进而求出概率．【详解】解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，则()2802100316495C P A C ==；（Ⅱ）由题意可得随机变量X 的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X 的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P 、Q (x ，y )，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.【答案】（1）24y x =；（2）48AB =【解析】 【分析】（1）设(),Q x y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程. （2）设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】（1）设(),Q x y ，则圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ， 化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立24y x =得2440y my n --=， 设()()1122,,A B x y x y ， （其中120y y <） 所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或4n =- （舍）， 直线:8AB x my =+， 因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+ 即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题. 21.已知函数2()cos 2a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点； （2）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决； （2）函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可.【详解】（1）由已知，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α，当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点； （2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤，因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，当1a ≤时，'()0m x ≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，'(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是1a ≤【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 2x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. ()1若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或3m =；()22⎡-+⎣.【解析】【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l的距离（弦心距）2d ==, 圆心()2,0到直线y x m =-的距离为2=, ∴21m -=∴1m =或3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为： 22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） (),M x y 为曲线C 上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.选修4—5；不等式选讲.23.已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .（1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M .（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.【详解】（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11M x x =-<<.（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->， 所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.。
2021-2022年高三下学期三月一模考试数学(理)试题含答案
2021-2022年高三下学期三月一模考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合1{|()1},{|lg(2)}2xM x N x y x=≥==+，则等于（）A． B． C． D．2、设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，则的虚部为（）A． B． C． D．3、如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．34、已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（）5、某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）A．90% B．95% C．99% D．99.9%附：参考公式和临界值表：6、下列结论中正确的是（）①命题：的否定是；②若直线上有无数个点不在平面内，则；③若随机变量服从正态分布，且，则； ④等差数列的前n 项和为，若，则A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7、如图，在中，点在AC 上，23,33,5,sin 3AB BD BC BD ABC ⊥==∠=，则的长为（ ） A ． B ．4 C ． D ．58、某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．9、已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P 到轴距离为，P 到的距离为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．10、对于实数定义运算“”：2221m mn m nm n n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、的解集是12、运行右面的程序框图，如果输入的的值在区间内， 那么输出的的取值范围是13、若变量满足约束条件203260x y x y y k +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，且的最小值为4，则14、对于实数表示不超过的最大整数，观察下列等式：12334567810910111213141521⎡⎡⎡++=⎣⎣⎣⎡⎡⎤⎡⎤⎡++++=⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎡⎡⎡⎡⎤++++++=⎣⎣⎣⎣⎦15、如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，P 为以点A 为圆心，以AB 为半径的圆弧上一点， 若(0)AC xDE y AP xy =+≠，则以下说法正确的是： （请将所有正确的命题序号填上）①若点E 和A 重合，点P 和B 重合，则；②若点E 是线段AB 的中点，则点P 是圆弧的中点；③若点E 和B 重合，且点P 为靠近D 点的圆弧的三等分点，则； ④若点E 与B 重合，点P 为上任一点，则动点的轨迹为双曲线的一部分。
2021-2022年高三下学期5月模拟(三模)考试数学(文)试题含答案 含答案
主视图 俯视图 2021-2022年高三下学期5月模拟（三模）考试数学（文）试题含答案 含答案一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 若增广矩阵为的二元线性方程组的解为，则=_________．2. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是__________3. 已知，且，（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值为 ．4.已知在中，点、的坐标分别为、，向量且与边平行，则的边所在直线的点法向式方程是 5.若x 、y 满足则目标函数的最大值为________ 6.若展开式中奇数项各项的二项式系数和为64，则展开式中的有理项是_______ 7. 书架上某一层上原来有6本不同的书排成一排，现在要再插入3本不同的书，且恰有2本相邻的不同插法有_________种8. 已知等差数列，的前n 项和分别为，，若对于任意的自然数，都有则=9. 若正数，满足，则的最小值是___________________10. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____11. 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为___________.12. 已知正三棱锥—,点都在半径为的球面上,若两两互相垂直,则球心到截面的距离为___________13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是____14. 已知数列的通项公式是,其前n 项和是,则对任意的（其中*），的最大值是 ____二. 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。
15. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 （ ）A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，916.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )A.又且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在17.如果数列满足:首项,且,那么下列说法正确的是( )A.该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列B.该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C.该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列D.该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列18.已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程有且仅有6个根；（2）方程有且仅有3个根；（3）方程有且仅有5个根；（4）方程有且仅有4个根其中正确的命题个数（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4三. 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
河北省衡水中学高三数学下学期三调考试试题 理(2021年整理)
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河北省衡水中学2016—2017学年度高三下学期三调考试数学(理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知复数z 满足4312iiz i+=+，则复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、已知集合3{|log (21)0},{|A x x B x y =-≤==，全集U R =，则()U A C R 等于A ．1(,1]2B ．2(0,)3C ．2(,1]3D ．12(,)233、若(,)2παπ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α 的值为A ．118-B ．118C ．1718-D ．17184、已知()(),212x xf xg x x ==-，则下列结论正确的是A ．()()()h x f x g x =+是偶函数B ．()()()h x f x g x =+是奇函数C ．()()()h x f x g x =是奇函数D ．()()()h x f x g x =是偶函数5、已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB 、CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率为2,则直线AC 的斜率为k ，则k 等于A ．2B ．32C ．52D ．36、在ABC ∆中，1,4AN NC P =是直线BN 上的一点，若25AP mAB AC =+，则实数m 的值为A ．4-B ．1-C ．1D ．47、已知函数()sin()(0,0)f x A wx A w ϕ=+>>的图像与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则()f x 的单调递减区间是A ．[6,63],k k k Z ππ+∈B ．[63,6],k k k Z ππ-∈C ．[6,63],k k k Z +∈D ．[63,6],k k k Z -∈8、某旅游经典统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别为1210,,,a a a （如：3a 表示5月3号的门票收入），下来吧是5月1号至5月10号每天的门票收入，根据表中的数据,下面 的程序框图结果是A ．3B ．4C ．5D ．69、来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,刚好碰在一起，他们除懂本国语言外,没人还会说其他三国语言的一钟，有一种语言是三人都会说的,但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语,但他两都能自由交谈；②死人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲乙丙丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译，针对他们懂的语言，正确的推理是A ．甲日德,乙法德，丙英法，丁英德B ．甲日英，乙日德，丙德法，丁日英C ．甲日德，乙法德,丙英德，丁英德D ．甲日法，乙英德，丙法德,丁法英 10、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的体积为32π，将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为A ．9322+B ．33+或9322+C ．23+D ．23+或932+直线l 与抛11、如图,已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作物线相交于P 、Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接BP ，BQ,是QB,BP 与x 轴分 别相交于M 、N 两点,如果QB 的斜率与PB 的斜率之积为3-， 则MBN ∠的大小等于 A ．2π B ．4π C ．23π D．3π12、已知,R a b ∈，且(1)x e a x b ≥-+对恒成立，则ab 的最大值是A ．312e B ．322e C ．332e D ．3e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、在520171(1)x x-+的展开式中,含3x 的项的系数为14、公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径(D)的立方成正比”,此即3V KD =，欧几里得未给出的值，17世纪日本数学叫们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率"或“玉积率"，类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式3V KD =求体积（在等边圆柱中,D 表示底面圆的直径，在正方体中，D 表示棱长）,假设此体积公式求得球（直径为a ）,等边圆柱（底面圆的直径为a ）,正方体（棱长a ）的“玉积率"分别为，那么 。
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理(含解析)
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. [﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A. 2 B. 4 C.12D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得11 2a q =⎧⎨=⎩或11612aq=-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. 53B.85C.138D.2113【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4 i≤，终止循环，输出s.【详解】第一次循环，2,1s i==，第二次循环，3,22s i==，第三次循环，5,33s i==，第四次循环，8,45s i==，第四次循环，13,58s i==，此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A. 2 B. 1C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,2C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.故选：B .1=是解题的关键. 9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】 【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2-e 2] 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1x e x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x xe x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 【答案】9.14h. 【解析】 【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则AC ＝450，则有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 22AD DC +=450，22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣2t +175＝0 ∴t 1025=或1025，1024159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA 3SB 3，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 【答案】12- 【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=，故212R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，23r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O ，1332r ==⨯.设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角. 故221132OO R r =-=，222232OO R r =-=，1133DO CD ==，2132DO SA ==. 1tan 3ODO ∠=，故13ODO π∠=，2tan 3ODO ∠=，故23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值；（2）求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）12；（2）43 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.（2）计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin A =，1sin 432S bc A =≤，故△ABC 面积的最大值为43.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（23 【解析】 【分析】（1）作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=. 22211232222PNLa S NL NP a a a ∆=⋅=⋅⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，3） （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （2p，0），利用FP =（2，，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p ，0），满足FP =（2，）的P 的坐标为（22p +，，P 在抛物线上， 所以（2＝2p （22p+），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y yy yy yy y+⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y0可得y1y2＝12，易知直线k NL124y y=+，则直线NL的方程为：y﹣y1124y y=+（x214y-），即y124y y=+x1212y yy y++，故y124y y=+x1212y y++，所以y124y y=+（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101iix=∑= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y363254x=+ˆa.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆy bx a=+中，11221ˆniiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.（2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】（1）46；（2）1051y =，41.96y = 【解析】 【分析】 （1）直接根据101380ii x==∑计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii i i x y x ybx x ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.（1）证明函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数.又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 【答案】（1）2212516x y +=，（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2.【分析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0），所以：PO === 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，13-]；（2）[﹣2，1]. 【解析】（1）根据a ＝4时，有f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|， （i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集[5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii ）当x ≤2时，原不等式可化为﹣3x +7≥8，解可得x 13≤-， 此时不等式的解集（∞，13-]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，13-]，（2）（i ）当a ﹣112a =即a ＝2时，f （x ）＝3|x ﹣1|22a ≥=2显然不恒成立，（ii ）当a ﹣112a ＞即a ＞2时，()1321211123211x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，， 结合函数的单调性可知，当x 12a =时，函数取得最小值f （12a ）112a =-， 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则211122a a -≥，此时a 不存在，（iii ）当a ﹣112a ＜即a ＜2时，f （x ）3211111213212x a x a x a x a x a x a ⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则121122a a -≥， 解得﹣2≤a ≤1，此时a 的范围[﹣2，1]，综上可得，a 的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2021-2022年高三下学期第三次模拟考试数学文试题 含解析
绝密★启用前2021年高三下学期第三次模拟考试数学文试题含解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：S圆台侧面积=【试卷综析】本试卷是高三考前模拟文史类数学试卷，采取了与高考真题一致的命题模式，紧扣考纲，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。
知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题。
试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量、极坐标与参数方程、推理与证明等，涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题题目新颖，导向性强，非常适合备战高考的高三学生使用。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A=｛x｜＞1｝，B=｛x｜－4＜x＜1｝，则A∩B等于A.（0，1）B.（1，＋）C.（一4，1）D.（一，一4）【知识点】集合的运算【答案解析】A 解析：A=｛x｜＞1｝，所以A∩B，故选：A【思路点拨】求出集合A，利用数轴求A∩B即可。
2．已知i为虚数单位，复数z＝i（2一i）的模｜z｜＝A. 1B. C． D.3【知识点】复数的运算；复数的模【答案解析】C 解析：，，故选：C【思路点拨】利用复数的乘法化简复数，再代入复数的模的公式中即可求得｜z｜。
江苏省“五校联考”2021-2022学年高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数y=sin x+x在x∈[-2π,2π]上的大致图象是（）A．B．C．D．2．若函数y=2sin (2x+ϕ)ϕ<对称轴的方程可以为() A．x=-⎛⎝π⎫2⎭⎪的图象经过点⎛π⎫，0⎪，则函数f(x)=sin(2x-ϕ)+cos(2x-ϕ)图象的一条12⎝⎭π24B．x=37π24C．x=17π24D．x=-13π243．在等差数列{an}中，a2=-5，a5+a6+a7=9，若bn=A．-3 C．1B．-D．33（n∈N*），则数列{bn}的最大值是（）an134．已知a,b∈R，3+ai=b-(2a-1)i，则|3a+bi|=（）A．10B．232C．3D．45．设函数f (x)=2cos x+23sin x cos x+m，当x∈⎢0,A．⎡π⎤⎡17⎤f x∈,⎥，则m=（）()时，⎢⎥⎣22⎦⎣2⎦D．12B．32C．1726．已知ω>13，函数f (x )=sin ⎛⎝2ωx -π⎫3⎪⎭在区间(π,2π)内没有最值，给出下列四个结论：①f (x )在(π,2π)上单调递增；②ω∈⎢⎡511⎣12,⎤24⎥⎦③f (x )在[0,π]上没有零点；④f (x )在[0,π]上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④7．已知直线l :x +m 2y =0与直线n :x +y +m =0则“l //n ”是“m =1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f '(x )，当x ≥0时，恒有x3f '(x )+f (x )>0．则不等式x 3f (x )-(1+2x )3f (1+2x )<0的解集为（）．A ．{x |-3<x <-1}B ．{x |-1<x <-13}C ．{x |x <-3或x >-1}D ．{x |x <-1或x >-13}610．(x 3-1)⎛ ⎝x +2⎫x ⎪的展开式中的常数项为()⎭A ．－60B ．240C ．－80D ．18011．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转π6，所得向量对应的复数是（A ．-132+32i B ．-312+2i C ．-12-32i D ．-2-12i ）12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE =2EO ，则ED =（）12AD -AB3321C ．AD -AB33A ．21AD +AB3312D ．AD +AB33B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021-2022年高三数学下学期三调考试试题理
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1、已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、已知集合23{|log(21)0},{|32}AxxBxyxx，全集，则等于
A． B． C． D．
3、若，且，则 的值为
A． B． C． D．
4、已知，则下列结论正确的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
5、已知双曲线E:，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB、CD的中点为双曲线E的两个
焦点，且双曲线E的离心率为2，则直线AC的斜率为，则等于
A．2 B． C． D．
6、在中，是直线上的一点，若，则实数的值为
A． B． C．1 D．4
7、已知函数sin()(0,0)fxAwxAw的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分
别为，则的单调递减区间是
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A． B．
C． D．
8、某旅游经典统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别为（如：
表示5月3号的门票收入），下来吧是5月1号至5月10号每天的门票收入，根据表中
的数据，下面 的程序框图结果是
A．3 B．4 C．5 D．6
9、来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语
言外，没人还会说其他三国语言的一钟，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言
人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他两都能自由交谈；②死人中没
有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲乙丙丁交谈时，找不到共同语言沟通；
④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译，针对他们懂的语言，正确的推理是
A．甲日德，乙法德，丙英法，丁英德 B．甲日英，乙日德，丙德法，丁日英
C．甲日德，乙法德，丙英德，丁英德 D．甲日法，乙英德，丙法德，丁法英
10、如图，已知正方体的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图
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如图所示，则剩余几何体的表面积为
A． B．或
C． D．或
11、如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于P、Q两点，点B的坐标
为，连接BP，BQ，是QB，BP与轴分
别相交于M、N两点，如果QB的斜率与PB的斜率之积为，
则的大小等于
A． B． C． D．
12、已知，且对恒成立，则 的最大值是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13、在的展开式中，含的项的系数为
14、公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直
径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值，17世纪日本数学叫们对求球的
体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，
对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，
D表示底面圆的直径，在正方体中，D表示棱长），假设此体积公式求得球（直径为），
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等边圆柱（底面圆的直径为），正方体（棱长）的“玉积率”分别为，那么 .
15、由约束条件,0331xyyxykx，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数的
取值范围是
16、如图，已知为的重心，，若，则的大小为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
17、（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，常数，且，对一切正整数n都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，当n为何值时，数列的前n项和最大？
18、（本小题满分12分）
某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）
的数据如下表所示：
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（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据上表主机已经正确计算出，试求出的
值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，
小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊
均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊存在质量问题的盒数为，求的分布列
和数学期望.
19、（本小题满分12分）
已知多面体ABCDEF，如图所示，其中ABCD为矩形，为等腰直角三角形， 四边形AEFB
为梯形，且0//,90,22AEBFABFABBFAE.
（1）若G为线段DF的中点，求证：平面；
（2）线段DF上是否存在一点，使得直线与平面FCD所成角的余
弦值
等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由.
20、（本小题满分12分）
如图，椭圆左右顶点为A、B，左右焦点为1212,,4,23FFABFF，直线交椭圆E
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于点C、D两点，与线段椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的斜率分别为，求的取值范围.
21、（本小题满分12分）
设函数为自然对数的底数.
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；
（2）当时，若存在，使成立，求实数的最小值.
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程
在平面直线坐标系中，斜率为1的直线过定点，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极
坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；
（2）两曲线相交于M、N两点，若，求的值.
23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲
已知函数，且不等式的解集为43{|},,55aaxxabR.
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（1）求的值；
（2）对任意实数，都有成立，求实数的最大值.
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