2005年重庆市数学中考试题及答案

重庆市2005年初中毕业暨高中招生统一考试

数 学 试 卷

（本卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟）

注：未加“﹡”的为毕业考试题

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是正确的，

请将正确答案的代号填入题后的括号内。 1、5的相反数是（ ）

A 、－5

B 、5

C 、

51 D 、5

1- 2、下列四个数中，大于－3的数是（ ）

A 、－5

B 、－4

C 、－3

D 、－2 3、已知∠A ＝400，则∠A 的补角等于（ ）

A 、500

B 、900

C 、1400

D 、1800 4、下列运算中，错误的是（ ）

A 、3

2a a a =⋅ B 、ab b a 632=+

C 、2

2

4

a a a =÷ D 、()222

b a ab =-

5、函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是（ ）

A 、x ＞3

B 、x ≥3

C 、x ＞－3

D 、x ≥－3

6、如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是（ ） A 、4cm B 、6cm

C 、8cm

D 、10cm 7、抛物线()322

+-=x y 的顶点坐标是（ ）

A 、（－2，3）

B 、（2，3）

C 、（－2，－3）

D 、（2，－3） 8、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）

A 、平行四边形

B 、矩形

C 、菱形

D 、正方形 9、点A （4-m ，m 21-）在第三象限，则m 的取值范围是（ ）

A 、21

>m B 、4

C 、42

1

<m

10、如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下

列结论中不正确的是（ ）

A 、A

B ⊥CD B 、∠AOB ＝4∠ACD

C 、⋂

⋂

=BD AD

D 、PO ＝PD

11﹡、为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装

【机密】2005年6月15日前

第6题图 O

C

B A 第10题图

D

P O

C

B

A

了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（到少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水。则一定正确的论断是（ ）

A 、①③

B 、②③

C 、③

D 、①②③

第11题图

图 2 水池蓄水量时间6

4

18

54211

1进水量时间进水量

时间图1

水池蓄水量

时间

6

4

1854

2

1

1

1

进水量时间

进水量时间

出水量

进水量

第12题图

N M

E

D

C

B

A

12﹡、如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S

△DMN ∶S 四边形ANME 等于（ ）

A 、1∶5

B 、1∶4

C 、2∶5

D 、2∶7 二、填空题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）请将答案直接填写在题后的横线

上。 13、分解因式：12

-x ＝ 。 14、计算：

()2

2＝ 。

15、受国际油价上涨的影响，某地今年四月份93号的汽油价格是每升3.80元，五月份93

号的汽油价格是每升3.99元，则四月到五月93号的油价上涨的百分数是 。

16、方程

x

x 5

27=-的解是 。 17、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若

3

1

=AB AD ，DE ＝2，则BC 的长为 。 18、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80

米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米。 19、已知方程0932

=+-m x x 的一个根是1，则m 的值是 。

20、如图，OB 、OC 是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点，若已知∠B ＝200，∠C ＝300，则∠A

＝ 。

第17题图

E

D

C

B A

第18题图

C

B

A

第20题图

O

C

B

A

21、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7

个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含n 的代数式表示）。

图1 图2 图3

第21题图

22、如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R ，油面高为

R 2

3

，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为 。

R 2

3第22题图

x

y

B '

第23题图

A

B

M

O

∙

第24题图

O

E

P

D

C

B

A

23﹡、直线83

4

+-

=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的解析式为 。

24、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是⋂AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，则

DE

PE

＝ 。 三、解答题：（本大题8个小题，共66分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理

步骤。 25、（每小题4分，共8分） （1）计算：100245sin 251-+⋅-+-

（2）化简：1

342+⋅

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x

x

26、（7分）如图，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，求证：∠BAE ＝∠DCF 。

第26题图

F

E

D

C

B

A

27、（8分）据2005年5月10日《重庆晨报》报道：我市四月份空气质量优良，高居全国榜首，某校初三年级课外兴趣小组据此提出了“今年究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题，他们根据国家环保总局所公布的空气质量级别表（见表1）以及市环保监测站提供的资料，从中随机抽查了今年1～4月份中30天空气综合污染指数，统计数据如下：

表1：空气质量级别表

空气污染指数 0～50

51～100

101～150

151～200

201～250

251～300

大于300

空气质量级别

Ⅰ级（优） Ⅱ级（良）

Ⅲ级1（轻微污染）

Ⅲ级2（轻度污染）

Ⅳ1（中度污染）

Ⅳ2（中度重污染）

Ⅴ（重度污染）

空气综合污染指数

30，32，40，42，45，45，77，83，85，87，90，113，127，153，167 38，45，48，53，57，64，66，77，92，98，130，184，201，235，243

请根据空气质量级别表和抽查的空气综合污染指数，解答以下问题： （1）填写频率分布表中未完成的空格：

分组 频数统计

频数 频率 0～50

0.30 51～100 12 0.40 101～150 151～200 3 0.10 201～250

3 0.10 合计

30

30

1.00

（2）写出统计数据中的中位数、众数；

（3）请根据抽样数据，估计我市今年（按360天计算）空气质量是优良（包括Ⅰ、Ⅱ级的天数）。

28、（7分）随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是每吨0.5万元，这种水果市场上的销售量y （吨）是每吨的销售价x （万元）的一次函数，且6.0=x 时，4.2=y ；1=x 时，2=y 。

（1）求出销售量y （吨）与每吨的销售价x （万元）之间的函数关系式；

（2）若销售利润为w （万元），请写出w 与x 之间的函数关系式，并求出销售价为每吨2万元时的销售利润。

29﹡、（8分）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”。据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习。

（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？

（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？

30﹡、（8分）如图，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，DE ⊥AB 于点E ，且DE 的延长线分别交AC 、⊙O 、BC 的延长线于F 、M 、G 。 （1）求证：AE ·BE ＝EF ·EG ；

（2）连结BD ，若BD ⊥BC ，且EF ＝MF ＝2，求AE 和MG 的长。

第30题图

O

M

G

F

E

D

C

B A

31﹡、（10分）已知抛物线()2122++-+-=k x k x y 与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上。 （1）求实数k 的取值范围；

（2）设OA 、OB 的长分别为a 、b ，且a ∶b ＝1∶5，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，以AB 为直径的⊙D 与y 轴的正半轴交于P 点，过P 点作⊙D 的切线交x 轴于E 点，求点E 的坐标。

32﹡、（10分）已知四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过P 作MN ∥AD ，EF ∥CD ，分别交AB 、CD 、AD 、BC 于点M 、N 、E 、F ，设a ＝PM ·PE ，b ＝PN ·PF ，解答下列问题：

（1）当四边形ABCD 是矩形时，见图1，请判断a 与b 的大小关系，并说明理由； （2）当四边形ABCD 是平行四边形，且∠A 为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）在（2）的条件下，设

k PD BP

=，是否存在这样的实数k ，使得9

4=∆ABD PEAM S S 平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有k 的值；若不存在，请说明理由。

图1 图2

第32题图

N

M

P

F

E D

C B

A N

M

P

F E D C

B A

重庆市2005年初中毕业暨高中招生统一考试

数学试题参考答案及评分意见

一、选择题：

1、A

2、D

3、C

4、B

5、B

6、C

7、B

8、A

9、C 10、D 11、C 12、A 二、填空题：

13、()()11-+x x ；14、2；15、5%；16、5-=x ；17、6；18、40；19、6；

20、500

；21、13+n ；22、24332R ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+π；23、321+-=x y ；24、212- 三、解答题：

25、解；（1）原式＝2

1

22211+⨯

-+……………………………………………（2分） ＝2

1

12+-…………………………………………………………（3分） ＝

2

3

…………………………………………………………………（4分） （2）原式＝()13432+⋅+-+x x

x x ……………………………………………（1分）

＝()1312+⋅++x x

x x ……………………………………………………（3分） ＝3

2+x x ………………………………………………………………（4分） 26、证明：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AB ∥CD 且AB ＝CD ……………………………………………………（2分） ∴∠ABE ＝∠CDF ……………………………………………………………（3分） 又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD

∴∠AEB ＝∠CFD ＝900……………………………………………………（4分） ∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ………………………………………………………（6分） ∴∠BAE ＝∠DCF ……………………………………………………………（7分）

27、解：（1）9

，，3，0.10…………………………………………………………（2分）

（2）中位数是80，众数是45………………………………………………（6分）

（3）∵()25270.036040.030.0360=⨯=+⨯（天）

∴估计我市今年空气质量是优良的天数有252天……………………（8分） 28、（1）设b kx y +=

∵已知6.0=x 时，4.2=y ；1=x 时，2=y

∴⎩⎨

⎧=+=+2

4

.26.0b k b k ………………………………………………………………（2分）

∴⎩

⎨

⎧=-=31

b k …………………………………………………………………………（3分）

∴函数关系式为3+-=x y ……………………………………………………（4分） （2）∵由已知()()5.15.35.0335.02-+-=⨯+--+-=⨯-⋅=x x x x x y x y w

…………………………………………………………………………（6分）

当2=x 时，5.15.125.322

=-⨯+-=w

故此时的销售利润是1.5万元………………………………………………（7分） 29、（8分）

解：（1）设2004年秋季在主城区小学学习的农民工子女有x 人，在主城区中学学习的农民工子女有y 人，由题意可得：…………………………………………………（1分）

⎩

⎨

⎧=+=+1160%30%205000

y x y x ……………………………………………………（3分） 解得 ⎩⎨

⎧==1600

3400

y x

∴6803400%20%20=⨯=x ，4801600%30%30=⨯=y

∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（万元）

答：共免收82万元（或820000元）“借读费”。……… …………………（5分）

（2）2005年秋季入学后，在小学就读的学生有()4080%2013400=+⨯（名），在中学就读的学生有()2080%3011600=+⨯（名）………………………………（6分）

∴()()360352210234020802404080=⨯+⨯=⨯÷+⨯÷（名）

答：一共需要配备360名中小学教师…………………………………………（8分） 30、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，DE ⊥AB ∴∠ACB ＝∠BEG ＝∠AEF ＝900 ∴∠G ＋∠B ＝∠A ＋∠B ＝900

即∠G ＝∠A ……………………………………………………………（2分） ∴Rt △AEF ∽Rt △GEB ∴

BE

EG

EF AE =，即EG EF BE AE ⋅=⋅……………………………（4分） （2）∵DE ⊥AB

∴DE ＝EM ＝4

连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，BD ⊥BC

∴∠ACB ＝∠ADB ＝∠DBC ＝900 ∴∠DAF ＝900

由Rt △AEF ∽Rt △ADE 可得EF DE AE ⋅=2

∴22=AE ………………………………………………………（6分） 由相交弦定理可得BE AE EM DE ⋅=⋅ ∴EM DE EG EF ⋅=⋅ ∴82

4

4=⨯=⋅=

EF EM DE EG

∴MG ＝EG －EM ＝8－4＝4…………………………………………（8分）

31、（1）设点A （1x ，0），B （2x ，0）且满足1x ＜0＜2x

由题意可知()0211<+-=⋅k x x ，即2->k ………………………………（3分） （2）∵a ∶b ＝1∶5，设a OA =，即a x =-1

则a OB 5=，即a x 52=，0>a …………………………………………（4分）

∴⎩⎨⎧-=⋅-=⋅=+-=+22

1215545a a a x x a a a x x ，即()()⎩⎨⎧-=+-=-2

52412a k a

k ∴12+=a k ，即03252

=--a a ，解得11=a ，5

3

2-

=a （舍去）…（6分） ∴3=k

∴抛物线的解析式为542

++-=x x y ……………………………………（7分） （3）由（2）可知，当0542

=++-x x 时，可得11-=x ，52=x

即A （－1，0），B （5，0）…………………………………………………（8分） ∴AB ＝6，则点D 的坐标为（2，0） 当PE 是⊙D 的切线时，PE ⊥PD

由Rt △DPO ∽Rt △DEP 可得DE OD PD ⋅=2

即DE ⨯=232

∴29=

DE ，故点E 的坐标为（2

9

-，0）……………………………（10分） 32、解：（1）∵ABCD 是矩形，MN ∥AD ，EF ∥CD

∴四边形PEAM 、PNCF 也均为矩形……………………………（1分）

∴a ＝PM ·PE ＝PEAM S 矩形，b ＝PN ·PF ＝PNCF S 矩形

又∵BD 是对角线

∴△PMB ≌△BFP ，△PDE ≌△DPN ，△DBA ≌△DBC …………（2分）

∵PD E PMB BD A PEAM S S S S ∆∆∆--=矩形，D PN BFP D BC PNCF S S S S ∆∆∆--=矩形 ∴PEAM S 矩形＝PNCF S 矩形

∴b a =………………………………………………………………（3分）

（2）成立，理由如下：

∵ABCD 是平行四边形，MN ∥AD ，EF ∥CD

∴四边形PEAM 、PNCF 也均为平行四边形 仿（1）可证PNCF PEAM S S 平行四边形平行四边形=

过E 作EH ⊥MN 于点H ，则PE EH MPE =∠sin MPE PE EH ∠⋅=sin

∴MPE PE PM EH PM S PEAM ∠⋅=⋅=sin 平行四边形………………（5分）

同理可得FPN PF PN S PNCF ∠⋅=sin 平行四边形

又∵∠MPE ＝∠FPN ＝∠A ………………………………………………（6分）

∴FPN MPE ∠=∠sin sin

∴PM ·PE ＝PN ·PF ，即b a =………………………………………（7分）

（3）方法1：存在，理由如下：

由（2）可知A AM AE S PEAM sin ⋅=平行四边形，A AB AD S ABCD sin ⋅=平行四边形 ∴ABCD PEAM ABD PEAM ABD PEAM

S S S S S S 平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形222==

∆∆ AB

AM AD AE A AB AD A AM AE ⋅⋅=⋅⋅=2sin sin 2…………………（8分） 又∵k PD BP =，即1+=k k BD BP ，1

1+=k BD PD 而1+==k k BD BP AD AE ，1

1+==k BD PD AB AM ∴9

41112=+⨯+⨯k k k 即02522=+-k k …………………………………………………（9分）

∴21=k ，2

12=k 故存在实数2=k 或21，使得9

4=∆ABD PEAM S S 平行四边形………………（10分） 方法2：存在，理由如下：

连结AP ，设△PMB 、△PMA 、△PEA 、△PED 的面积分别为1S 、2S 、3S 、

H N

M P F E D

C B A

4S ，即PD BP AM BM S S ==21，PD

BP DE AE S S ==43………………………………………（8分） 即⎪⎩⎪⎨⎧===32

4321S S kS S kS S ∴⎩⎨⎧===432421kS S S S k S ∴9

4432132=++++=∆S S S S S S S S ABD PEAM

平行四边形 即()

94122424=++S k k kS ∴02522=+-k k …………………………………………………（9分） ∴21=k ，2

12=k 故存在实数2=k 或21，使得94=∆ABD PEAM S S 平行四边形…………………（10分）