复变函数的求导公式
复变函数的可导与解析
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
魏雅薇复变函数论第二章
令 r(z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 ).
南开大学 魏雅薇
r f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
再由 limr(z)0, 所以 z0
lim
z0
f
(z0
z)
f (z0),
即 f ( z ) 在 z 0 处连续.
(2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称 f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的 解析函数.
南开大学 魏雅薇
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G ,
且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上
解析.
函数 f ( z ) 在 z 0 处解析和在 z 0 处可导意义
极限limf 不存在． z0 z
故f(z)Imz在复平面上处处.不可导
南开大学 魏雅薇
可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但
函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有 lizm 0f(z0 zz )f(z0)f(z0)0 ,
南开大学 魏雅薇
故 f(zz) zf0(z0)(zz0)zz02zz zz0 0.
虽然 lzi m z0(zz0)z2z0z02z02,但是当
z z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时，z
z0 z0
分别
以1和-1为极限，因此 l i m z z0
z z
z0 z0
不存在. 又因为
z0 0,
所以
lim
(5 ) g f( (z z ) ) f(z)g (z g )2 (z f )(z)g (z), (g (z) 0 ).
复变函数2(zh)2014级
使用时: i)判别u(x, y)，v (x, y)可微（偏导数的连续性)
ii) 验证C-R条件. iii)求导数： f '(z) u i v
x x 15
例 4 判定下列函数在何时可导? 何处解析?
并在可导处求出导数。
(1) f (z) ( x3 y3 ) i2x2 y2
与g( z )的 和 、 差 、 积 、 商(除 去 分 母 零 的 点)在D内解析。
(2) 设函数h g(z)在z平面上的区域D内 解析,函数w f (h)在h平面上的区域G内 解析。那么复合函数w f [g(z)] 在D内解析。
12
由以上讨论
P(z) a0 a1 z an z n是整个复平面上的解析函数； R(z) P(z) 是复平面上（除分母为0点外）的解析函数.
Ln z1 z2
Ln z1
Ln z2
4) Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内 解析, 且由反函数的导数得
dw (ln z)' dz
当y 当x
0, x 0, y
00时 时不!
故函数处处不可导
函数f (z)=x+2yi在复平面上处处连续，但处处 不可导
8
3、求导公式与法则 (1) c=(a+ib)=0. (2) (zn)=nzn-1 (n是正整数).
(3) 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
Q(z)
4
例 2 试讨论下列函数的连续性。 1、f (z) z Re(z) 在复平面上处处连续
复变函数课件：2_2解析函数
存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数第二章
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数 第2章 解析函数
2.2 解析函数
第2章 解析函数
2.2.1解析函数的概念 1. 解析函数的定义 定义2.2 不仅在点 z 0 处可导,而 定义2.2 如果函数 f (z ) 且在点 z 0 的某邻域内的每一点都可导,则称 f (z ) 在点 z 0 处解析，并称点 z 0是函数的解析点；如 果函数 f (z ) 在区域 D 内每一点都解析,则称 f (z ) 在区域 D 内解析或称 f (z ) 为区域 D 内的解析函 数，区域 D 称为的 f (z ) 解析区域.
定理2.2 函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )在区域D内 解析的充要条件为
∂u ∂u ∂v ∂v D （1） 在 内连续； , , , ∂x ∂y ∂x ∂y （2） u , v 在 D 内满足C—R条件 ，
∂u ∂v = , ∂x ∂y
∂u ∂v =− ∂y ∂x
u x = v y , u y = −vx
确定的函数v( x, y ) ，使得函数 f ( z ) = u + iv 在区 域D 内解析，其中点 ( x, y )为D 内的动点， ( x0 , y0 ) 为D 内一定点，C 为常数.
由共轭调和函数与解析函数的关系，可以根据 给定的二元实函数来构造解析函数 u ( x, y ) = x 2 − y 2 + xy ，试求解 【例6】 已知 析函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) u ( x, y ) = x 2 − y 2 + xy 解法一 因为 在复平面 上为一调和函数，由定理2.4得
f ( z) − f ( z0 ) = lim ( z − z 0 ) lim z → z0 z → z0 z − z0
复变函数论第三版钟玉泉第二章
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
2. 奇点的定义
若函数 f (z )在点 z 0不解析，但在 z 0 的任一邻域内总 有f (z )的解析点，则称 z 0 为函数f (z ) 的奇点.
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
8 f (z)在区域 D内可微.
复变函数论
广西教育学院
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的某邻域内处处可导 ,
若 f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y ) 在一点z = x + iy,可微，设
lim f (z + D z ) - f (z ) = f ' (z )
Dz? 0
Dz
（1）
设 Vz =Vx + iVy, f (z + Vz )- f (z ) = Vu + i Vv,
Vu = u (x + Vx, y + Vy )- u (x, y )
z
z
x iy
y , x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
复变函数3.3高阶导数公式
§3.3 高阶导数公式)(,ζf D D Γ+=在闭域D 上解析。
ΓD计算⎰Γ-ζζζd z f 0)(作圆周ρζρ=-|:|0z C 位于D 内，则⎰⎰-=-ΓρζζζζζζC d z f d z f 00)()( （复闭路定理）⎰⎰-=-→ΓρζζζζζζρC d z f d z f 000)(lim )( （假设lim 与⎰可换）⎰-=→ρζζζρC d z f 00)(lim（由于)(ζf 于D 内连续）⎰-=ρζζC d z z f 00)( )(21)(000z if d z z f C πζζρ=-=⎰推测 ⎰Γ=-)(2)(00z if d z f πζζζ定理（柯西积分公式）D 是以简单闭路或复闭路Γ为边界的有界区域，)(ζf 在D 上解析，则,0D z ∈∀有)(2)(00z if d z f πζζζ=-⎰Γ证：因,0,0)(>∃>∀εδεζ内连续，故在D f 只要εδρζ<=-||0z 时，有πεζ2|)()(|0<-z f f 由于 |)(2)(|||000⎰=---ρζπζζζz z if d z f|)()(||)()(|||00||||000000⎰⎰⎰=-=-=---=---=ρζρζρζζζζζζζζζz z z d z z f f d z z f d z f επρπρεζρπεζζζρζρζ=⋅=⋅<--≤⎰⎰=-=-22||12|||||)()(|||||0000z z d d z z f f 即⎰=-→=-ρζρπζζζ||0000)(2)(lim z z if d z f )(2)(lim )(0||0000z if d z f d z f z πζζζζζζρζρ=-=-⎰⎰=-→Γ 当z 在D 内变动时，(*))()(21z f d z f i =-⎰Γζζζπ当为圆周R z =-||0ζ时，参数方程为)20(,Re 0πθζθ≤≤+=i z ，代入（*）得⎰+=πθθπ2000)Re (21)(d z f z f i 若用此公式来求解，则计算量太大。
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
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复变函数的求导公式
为了推导复变函数的求导公式，我们需要先介绍几个基本的概念和定义：
3. 偏导数（Partial Derivative）：偏导数是多元函数在其中一变量上求导时，将其他变量视为常量进行求导的过程。
对复变函数来说，我们可以分别对实部 u 和虚部 v 分别求导。
现在我们开始推导复变函数的求导公式：
假设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 是一个复变函数，其中 u 和 v 是实值函数。
我们分别对 x 和 y 求偏导数，即求 u 和 v 对 x 和 y 的偏导数。
(1)对x求偏导数：
∂f/∂x=∂u/∂x+i(∂v/∂x)
(2)对y求偏导数：
∂f/∂y=∂u/∂y+i(∂v/∂y)
这里注意到复数的虚部i可以提取出来，所以我们可以将上式改写成复数形式：
∂f/∂x=∂u/∂x+i(∂v/∂x)=u_x+v_xi
∂f/∂y=∂u/∂y+i(∂v/∂y)=u_y+v_yi
其中u_x，u_y，v_x，v_y分别表示u和v对x和y的偏导数。
现在我们定义一个新的复数变量 z = x + yi，并用 z 来表示复数的变量，将复数形式的偏导数表示为导数形式：
∂f/∂x=∂u/∂x+i(∂v/∂x)=u_x+v_xi=f'(z)
∂f/∂y=∂u/∂y+i(∂v/∂y)=u_y+v_yi=f'(z)
这样，我们可以将f对z的导数表示为f'(z)的形式，其中f'(z)表示复变函数f对z的导数。
在复变函数中，我们还定义了导数f'(z)的几个重要性质：
1. 解析函数（Analytic Function）：如果一个复变函数在一些区域内处处可导，并且其导数连续，那么该函数就是该区域的解析函数。
3. 共轭函数的导数：设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 是一个复变函数，其导数 f'(z) = u_x + v_x i 是 f 对 z 的导数，那么 f*'(z) = u_x - v_x i 是 f* 对 z 的导数。
综上所述，复变函数的求导公式是：
f'(z)=u_x+v_xi
f*'(z)=u_x-v_xi
其中u_x，v_x分别表示u和v对x的偏导数。
需要注意的是，复变函数的求导公式与实变函数的求导公式有很大的区别。
在复变函数的求导过程中，我们需要同时考虑虚部i和其它变量的相互关系，通过求偏导数来得到复变函数的导数。