最新2020学年高一数学上学期开学考试试题(无答案)
2020-2021学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开学分班考试数学试题(解析版)
A． y x 1和 y x2 1 x 1
B． y x0 和 y 1 x R
C． y = x2 和 y x 12
D． y (
x)2 和 y
x
(
x x )2
【答案】D 【解析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断. 【详解】
A. y x 1的定义域为 R， y x2 1 的定义域为x | x 1 ，故错误；
7．设 M 2a(a 2) 7 ， N (a 2)(a 3) ，则 M 与 N 的大小关系是（ ）
A． M N
B． M N
C． M N
D． M N
【答案】A
【解析】利用作差法求解出 M N 的结果，将所求结果与 0 作比较，然后可得 M , N 的
大小关系.
【详解】
因为
M
N
2a a
6
【点睛】 本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．
14．已知 f (x) 为一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3, 则 f (1) 的值为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】设 f (x) kx b ，代入 f [ f (x)] 4x 3, 得到 f (x) 2x 1或
2020-2021 学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开 学分班考试数学试题
一、单选题
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4, M 0,1, 2, N 2,3 则 CU M N ( )
A．2
B．3
C．2,3, 4
D．0,1, 2,3, 4
【答案】B 【解析】先求 M 的补集，再与 N 求交集． 【详解】 ∵全集 U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}， ∴∁UM＝{3，4}． ∵N＝{2，3}， ∴（∁UM）∩N＝{3}． 故选 B． 【点睛】 本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．
开学分班考试(三)-2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷及答案(新教材)
2020年秋季高一开学分班考试（三）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、已知集合{|0}A x x a =-，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞【答案】C【解析】因为集合{|0}A x x a =-，所以{}|A x x a =， 又因为2A ∈，则2a ，即[2,)a ∈+∞，故选：C ．2、函数()12f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞【答案】C【解析】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C ． 3、下列命题正确的是（ ） A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解析】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立，故答案选C4、已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩，则3[()]2f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．12【答案】A【解析】由题意得,3()=22f ,1(2)=2f ,1()=2=1122f ⨯, 所以3[()]=[(2)]=()=1212f f f f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,故选：A. 5、已知2x >，函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5 B ．4C ．8D ．6【答案】D【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.6、下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】A【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：A 7、若正数,x y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是（ ）A ．4B．C ．2D．【答案】A【解析】因为正数,x y 满足220x xy +-=，所以2=-y x x，所以2324+=+≥=x y x x ，当且仅当22x x =，即1x =时，等号成立. 故选：A8、函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-.(1)1f =-，(1)(1)1f f ∴-=-=.故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-.又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，13x ∴≤≤.故选：D二、多选题（共4小题，满分200分，每小题5分） 9、下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A ．13(1)-和26(1)-B ．20-和12C ．122和414D ．324-和312-⎛⎫ ⎪⎝⎭ E.343和4313- 【答案】CE【解析】A 不符合题意，13(1)-和26(1)-均符合分数指数幂的定义，但13(1)1-==-，26(1)1-==；B 不符合题意，0的负分数指数幂没有意义； C符合题意，114242==；D 不符合题意，324-和312-⎛⎫ ⎪⎝⎭均符合分数指数幂的定义，但233211484-==，331282-⎛⎫== ⎪⎝⎭； E 符合题意，4343133-=.故选：CE.10、对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD【解析】对于A ，因为“a b =”时ac bc =成立，ac bc =，0c时，a b =不一定成立，所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 错，对于B ，1a =-，2b =-，a b >时，22a b <；2a =-，1b =，22a b >时，a b <，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故B 错，对于C ，因为“3a <”时一定有“5a <”成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，C 正确；对于D“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D 正确.故选：CD11、下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的否定是“ 存在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 【答案】ABD【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.故选：ABD12、已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（ ）A ．当0a =时，()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞B ．()f x 一定有最小值；C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4|a a ≥- 【答案】AC【解析】对A ,当0a =时,解210x ->有()(),11,x ∈-∞-+∞,故A 正确 对B ,当0a =时,()()2lg 1f x x =-,此时()(),11,x ∈-∞-+∞,()210,x -∈+∞,此时()()2lg 1f x x =-值域为R ,故B 错误.对C ,同B ,故C 正确.对D , 若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增,此时21y x ax a =+--对称轴22ax =-≤. 解得4a ≥-.但当4a =-时()()2lg 43f x x x =-+在2x =处无定义,故D 错误.故选AC三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____.【答案】9【解析】()21212225559y x x y x y x y x y +=++=++⎛⎫≥+≥+ ⎝⎭=⎪， 当且仅当13x y ==时取等号．故答案为：9． 14、若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x【解析】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=， 所以该函数的解析式是23y x =，故答案为：23x .15、函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),161667,⎡-∞-++∞⎣【解析】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立；同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣.故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 16、已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1，即1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤<，故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、已知集合A ＝{x|2a≤x≤a ＋3}，B ＝{x|x 2＋x －6≤0}．若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围． 【解析】 B ＝{x|x 2＋x －6≤0} ＝{x|(x ＋3)(x －2)≤0} ＝{x|－3≤x≤2} ＝[－3，2]．因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B. ①当A ＝∅时，2a>a ＋3， 解得a>3；②当A≠∅，即a≤3时， 因为A ＝[2a ，a ＋3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a≥－3，a ＋3≤2，解得－32≤a≤－1，综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，－1∪(3，＋∞)． 18、已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【解析】解出{}|23B x x x =≤-≥或，{}|20A x x a x a a =<>>或， 因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集.所以2323020a a a a >-⎧⎪<⇒<<⎨⎪>⎩故答案为：302a <<19、化简下列各式：【解析】 (1) 原式＝lg 1100×10＝－2×10＝－20.(2) 原式＝lg25lg2×lg4lg3×lg9lg5＝2lg5lg2×2lg2lg3×2lg3lg5＝8.(3) 原式＝lg 427－lg4＋lg75＝lg(427×14×75)＝12.20、判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝xlg(x ＋x 2＋1)； (2) f(x)＝(1－x) 1＋x1－x； (3) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1， x ＜0；(4) f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3.【解析】 (1) 因为x ＋x 2＋1>0恒成立， 所以函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，所以f(x)－f(－x)＝x[lg(x ＋x 2＋1)＋lg(－x ＋x 2＋1)]＝0， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数． (2) 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x ≥0，1－x≠0，解得－1≤x<1， 所以定义域不关于原点对称， 所以f(x)为非奇非偶函数．(3) f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称． 不妨设x>0，所以f(x)＋f(－x)＝－x 2＋2x ＋1＋x 2－2x －1＝0， 所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．(4) 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，解得x ∈[－2，0)∪(0，2]关于原点对称，所以f(x)＋f(－x)＝4－x 2x －4－x 2x ＝0，所以f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)为奇函数． 21、已知函数()log ax bf x x b-=+ ()0,0,0a a b >≠≠. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； 【解析】(1)由x bx b->+0，化为：()()0x b x b -+>. 当0b >时，解得x b >或x b <-；0b <时，解得x b >-或x b <. ∴函数()f x 的定义域为：0b >时，()),(,x b b ∈-∞-+∞，0b <时，()),(,x b b ∈-∞-+∞.(2)∵定义域关于原点对称，()()log aa xb x bf x log f x x b x b----==-=--++，∴函数()f x 为奇函数.22、已知奇函数()2121x xa f x ⋅-=+的定义域为[]2,3ab --. (1)求实数a ,b 的值;(2)若[]2,3x a b ∈--,方程()()20f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解,求m 的取值范围.【解析】（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以230a b --+=.又根据定义在0x =有定义，所以()00210021a f ⋅-==+，解得1a =，1b =. （2）[]3,3x ∈-，令()2121x x f x t -==+，7799t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭则方程()()20f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解等价于20t t m +-= 7799t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭有解 也等价于2y t t =+ 7799t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭与y m =有交点.画出图形根据图形判断：由图可知：1112481m -≤≤时有交点，即方程()()20f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解.。
2020 学年高一数学上学期期中试题(无答案) 新人教版 (新版)
2020学年度第一学期期中考试高一数学第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．2．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 （ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 3．下列各组函数中和表示相同的函数的是 （ ）． A ．，B ．，C ．且， D ． ，4．函数3132)(-+-=x x x f 的定义域为 ( )A ．B ．C. ()+∞⎪⎭⎫⎢⎣⎡,33,23Y D ． ()+∞,35．下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是 （ ）A ．B ．C ．D ．6. 设3log 21=a ，2.0)31(=b ，312=c ，则a 、b 、c 的大小顺序为（ ）A ． b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b << 7．已知函数，那么的值为 （ ）．A ．B ．C ．D ．8、函数()223f x x x =--+在[]5,2-上的最小值和最大值分别为 （ ） A 、－12，5 B 、－12，4 C 、－12，－4 D 、－14，69．若2log 13a<，则a的取值范围是（ ）A ．()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭UB ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 10．若()()2212f x x a x =+-+在区间[4，+∞）上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )A ． 3a >-B ． 3a ≥-C ． []1,2 D ． 3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．函数f (x )＝ln(x2＋1)的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．12. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是减函数，又0)2(=-f ，则不等 式0)(<xx f 的解集为( ) A ．(2,0)(2,)-+∞U B ．(,2)(0,2)-∞-U C. )2,0()0,2(Y - D ．(,2)(2,)-∞-+∞U第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题(每小题5分，共20分） 13．2log .3log 16log 324-____________. 14．函数33x y a-=+恒过定点 ．15．已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为__________．16.对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[3.14]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数 f （x ）= x ﹣[x]，则下列命题中正确的是 _____________. ①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程 021)(=-x f 有无数个根； ④函数f （x ）是增函数．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分）计算下列各式的值：(1) ()2213029832.54272-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）； （2）4log 235log 81lg 20lg 54log 1++++18.（本题满分12分）已知全集R U =，集合{}1,4>-<=x x x A 或，{}213≤-≤-=x x B ， （1）求B A I 、B A C U Y )(；（2）若集合{}1212+≤≤-=k x k x M 是集合B 的子集，求实数k 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数()31log 1xf x x+=-． （1）求函数的定义域． （）判断函数的奇偶性，并证明.20．（本题满分12分）已知函数，且f(1)=0．（1）求m 的值，并用分段函数的形式来表示； （2）在如图给定的直角坐标系内作出函数的草图（不用列表）,并由图象写出函数的单调区间。
重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题及参考答案
重庆南开中学高2026级高一（上）开学考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。
命题：融侨南开老师第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）1．设全集R U =，{2,1,0,1,2}A =−−，{}12B x x x =≤−>或，则()UB A = （ ）A ．{0,1}B ．{1,0}−C ．{0,1,2}D ．{1,0,1}−2．若集合{1,1}A −，{}2B x mx ==，且B A ⊆，则实数m 的值是（ ） A ．2−B ．2C ．2或2−D ．2或2−或03．关于x 的一元二次方程2310mx x −+=有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）↑ A ．94m ≤且0m ≠ B ．94m ≥ C ．94m <且0m ≠ D ．94m ≤ 4．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度(m)h 随行时间(s)t 的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）A ．5mB ．7mC ．10mD ．13m5．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）① ② ③ ④ A ．32B ．34C ．37D ．416(的值应在（ ） A ．10和11之间B ．9和10之间C ．8和9之间D ．7和8之间7．有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．484=的实根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．设U 为全集，下列选项中能推出B A ⊆的有（ ） A ．A B A =B ．A B A =C ．()()U U A BD ．()U A B U =10．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()p A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，则下列命题中正确的是（ ）' A ．对于任意集合A ，都有()A p A ∈B ．若()()1n A n B −=，则(())2(())n p A n p B =× C ．若A B =∅ ，则()()p A p B =∅ D ．若A B ⊆，则()()p A p B ⊆11．已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则abc ab bc ca++的取值不可能是（ ） A ．121 B ．122C ．123D ．12412．有n 个依次排列的整式：第1项是(1)x +，用第1项乘以(1)x −，所得之积记为1a ，将第1项加上()11a +得到第2项，再将第2项乘以(1)x −得到2a ，将第2项加上()21a +得到第3项，以此类推；下列说法正确的是（ ）A ．第4项为4321x x x x ++++B ．41411a x =− C ．若第2022项的值为0，则20231x =D ．当3x =−时，第k 项的值为1134k +−第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相对应位置上）13．如图，已知全集U =R ，集合{1,2,3,4,5}A =，{}12B x x x =≤−≥或，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为__________．14．对于任意集合M ，N ，定义：{},M N x x M x N −=∈∉且．已知集合{}21A y y x ==+，{}3B xx =≤，则A B −=__________．15．A ，B ，C ，D ，E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次）；胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分．若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为__________．16．已知有限集合{}123,,,,n A a a a a =A 的“容量”，记为()L A ．若集合{}*14A x Nx =∈≤≤，则()L A =__________；若集合{}*12,A x Nx n n N =∈≤≤∈，且()8089L A =，则正整数n 的值是__________．四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，所有作答过程都写在答题卡相对应位置上）17．解下列各题：（1）化简：22(2)(3)4x y x x y y −−+−； （2）因式分解：22236327x xy y m −+−；（3）计算：2++ ． 18．已知关于x 的方程222(2)40x m x m +−++=有两个实数根1x ，2x ． （1）若3m =−，求1211x x +的值； （2）若22121221x x x x +=+，求实数m 的值．19．已知集合{}37A x x x =<−>或，{}121B x m x m =+≤≤−． （1）若()R R A B A = ，求m 的取值范围；（2）(){}R A B x a x b =≤≤ ，且1b a −≥，求m 的取值范围．20．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象相交于点(1,)A m ，(,2)B n −．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式4kx b x+>的解集； （3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求ABC △的面积．21．若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，223425+= ，2543∴是“勾股和数”； 又如：4325M =，225229+=，2943≠，4325∴不是“勾股和数”． （1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c dG M +=，|10()()|()3a cb d P M −+−=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．22．设集合A 为n 元数集，若A 的2个非空子集B ，C 满足：B C A = ，B C =∅ ，则称B ，C 为A 的一个二阶划分．记B 中所有元素之和为()S B ，C 中所有元素之和为()S C ． （1）若{1,2,3}A =，求A 的一个二阶划分，使得()2()S B S C =；（2）若{1,2,,10}A = ，求证：不存在A 的二阶划分B ，C 满足()2()S C S B =； （3）若()*{1,2,,}3,N A n n n =≥∈ ，B ，C 为A 的一个二阶划分，满足：①若x B ∈，则2x B ∉；②若x C ∈，则2x C ∉．记()f n 为符合条件的B 的个数，求()f n 的解析式．重庆市南开中学高2026级开学考试数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDA DC BADACDABDABCAC13．714．(3,)+∞15．116．5；202317．（1）222222(2)(3)444347x y x x yy x xy y x xy y xy −−+−=−+−−−=−；（2）原式()222223293()(3)3(3)(3)x xy y m x y m x y m x y m =−+−=−−=−+−− ；（3 18．（1）2m =−时，2880x x −+=，6432320∆=−=>，可得128x x +=，128x x =，21211211818x x x x x x ++===； （2）由()224(2)44160m m m ∆=−−+=−>，得0m ≤，1242x x m +=−，2124x x m =+， 由()22212121212221x x x x x x x x +=+−=+，得()222(42)24421m m m −−+=++，解得17m =舍去，或1m =−，所以实数m 的值为1−． 19．（1）由题意知：{}R 37A x x =−≤≤ ，()RRA B A = ，()RB A ∴⊆ ，①当B =∅，即121m m +>−时，满足()R B A ⊆ ，此时2m <；②当B ≠∅时，若()R B A ⊆ ，则121123217m m m m +≤−+− −≤，解得：24m ≤≤；综上所述：m 的取值范围为{}4m m ≤． （2）(){}R A B x a x b =≤≤ ，1b a −≥，B ∴≠∅，即121m m +≤−，解得：2m ≥，13m ∴+≥，213m −≥； ①当217m −≤，即4m ≤时，(){}R 121A B B x m x m ==+≤≤− ，21(1)1m m ∴−−+≥，解得：34m ≤≤；②当21717m m −>+≤ ，即46m <≤时，(){}R 17A Bx m x =+≤≤ ，7(1)1m ∴−+≥，解得：45m <≤；③当17m +>，即6m >时，()R A B =∅ ，不合题意； 综上所述：m 的取值范围为{}35m m ≤≤．20．解：（1） 反比例函数4y x=的图象过点(1,)A m ，(,2)B n −． 41m ∴=，42n =−，解得4m −，2n =−，(1,4)A ∴，(2,2)B −−， 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过A 点和B 点， 422k b k b += ∴ −+=−，解得22k b − = ，∴一次函数的表达式为22y x =+，描点作图如下图；（2）由（1）中的图象可得，不等式4kx b x+>的解集为：20x −<<或1x >； （3）由题意作图如下图：由图知ABC △中BC 边上的高为6，4BC =21．解：（1）22228+= ，820≠，2022∴不是“勾股和数”，225550+= ，5055∴是“勾股和数”； （2）M 为“勾股和数”，2210a b c d ∴+=+， 220100c d ∴<+<，()G M 为整数，9c d+为整数，9c d ∴+=． 2299|10()()|()33c d ca cb d P M +−−−+−∴==为整数，22812c d cd ∴+=−为3的倍数，cd ∴为3的倍数，∴①0c =，9d =或9c =，0d =，此时8109M =或8190；②3c =，6d =或6c =，3d =，此时4536M =或4563．22．（1）B 中所有元素之和为()S B ，C 中所有元素之和为()S C ，且()2()S B S C =，()()()3()6S A S B S C S C ∴=+==，()2S C ∴=，即可知{2}C =， B C A = ，B C =∅ ，{1,3}B ∴=． （2）假设存在符合条件的一个二阶划分B ，C 满足()2()S C S B =， 则()()()3()S A S B S C S B =+=，从而()S A 是3的倍数， 又{1,2,,10}A = ，()121055S A ∴=+++= ．55 不是3的倍数，∴假设不成立．∴不存在A 的二阶划分B ，C 满足()2()S C S B =．（3）任取偶数x A ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…经过k 次以后，商必为奇数， 此时记商为m ，即2kx m =⋅，其中m 为奇数．x B ∈ ，则2x B ∈，即2x C ∈，∴若m B ∈，k 为奇数时，2k x m B =⋅∈，即x C ∈；当k 为偶数时，2kx m B =⋅∈，A ∴中的任意一个偶数2kx m =⋅的位置都是确定的，且与m 的位零相关．∴可知B 是由A 中的奇数1，3，5，…的位置确定，设n Q 表示A 中所有的奇数的集合，则()f n 等于n Q 的子集的个数．当n 是奇数时，A 中的奇数个数有2n个，此时n Q 的子集个数有22n个，即2()2n f n =；当n 是偶数时，A 中的奇数个数有12n +个，此时n Q 的子集个数有122n +个，即12()2nf n+=，所以2122,()2,nnnf nn+=是偶数是奇数．。
山东省临沂市沂水县第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题(含解析)
沂水县第一中学2024级高一开学考试（数学）考试范围：初中衔接教材+集合第1、2节[时间：120分钟 满分：150分]一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列研究对象能构成集合的是（ ）A ．数轴上离原点距离很近的所有点 B ．德育中学的全体高一学生C ．某高一年级全体视力差的学生 D ．与大小相仿的所有三角形2．若集合A ＝{－x ，|x |}，则x 应满足( )A ．x >0B ．x <0C ．x ＝0D ．x ≤03．下列集合与集合相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知的结果为（ ）A ．B ．1C ．D ．5．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．或D ．7．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |}为( )A ．{0，3}B ．{1，3}C ．{－1，3}D ．{1，－3}8．设集合，，，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．ABC V {}2,3A =(){}2,3(){},2,3x y x y =={}2560x x x -+={}2,3x y ==12x <<2-1-23x -32x-251712x x +-()()x a bx c ++a b c =a c +17111311y k x b =+22k y x=()14D ，()22C ，210k k x b x+->{|12}x x <<{|0}x x <{|12x x <<0x <｝∅{}24A x y x ==-∣{}24B y y x ==-∣{}2(,)4C x y y x ==-∣A B =B A ⊆A C ⊆2C∈二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（ ）A ．N 与N *是同一个集合B ．N 中的元素都是Z 中的元素C ．Q 中的元素都是Z 中的元素D ．Q 中的元素都是R 中的元素10．下列集合中子集个数等于1的是（ ）A ．B ．是边长分别为的三角形}C ．D ．11．如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（ ）A ．B ．C ．若抛物线上有点，，，则D ．方程的解为，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是 ．13．若集合，，且，则实数的值是_________.14．已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S 是U 的真子集，则集合S 的数量为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．{}2N 320x x x ∈++={x x 1,2,3{}R 1A x x =∈=-{}∅2y ax bx c =++()2,0-()3,00ab c<2c b=15,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭()23,y -31,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭213y y y <<20cx bx a ++=112x =213x =-()22690k x x --+={}1,1A =-{}2B x mx ==B A ⊆m S U ⊆{}1,2,3,4,5,6U =a S ∈7a S -∈15．（13分）（1（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值：，其中16．（15分）如图，某校劳动实践基地用总长为80m 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x (单位：m)，与墙平行的一边长为y (单位：m)，面积为S (单位：)．(1)直接写出y 与x ，S 与x 之间的函数解析式(不要求写x 的取值范围)；(2)矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．(3)当x 的值是多少时，矩形实验田的面积S 最大？最大面积是多少？()215π32-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭26321054x x x x -<⎧⎪⎨+--≥⎪⎩①②23211224x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭1x =2m 2750m17．（15分）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围.（2）已知，．若，求实数a 的取值范围．18．（17分）已知函数（a ，b 为常数）．设自变量x 取时，y 取得最小值．(1)若，，求的值；(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P 到y 轴的距离；(3)当，且时，分析并确定整数a 的个数．19．（17分）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.(1)若，试证明中还有另外两个元素；(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.{}116A x x =-≤+≤{}121B x m x m =-<<+B A ⊆m {}2320M x x x =-+={}220N x x x a =-+=N M ⊆()()22y x a x b =-+-0x 1a =-3b =0x xOy (),P a b 2y x =-012x =22230a a b --+=013x ≤<A x A ∈1x ≠0x ≠11A x∈-2A ∈A A A 143A A2024级高一开学考试（数学）[时间：120分钟 满分：150分]一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列研究对象能构成集合的是（ ）A ．数轴上离原点距离很近的所有点B ．德育中学的全体高一学生C ．某高一年级全体视力差的学生D ．与大小相仿的所有三角形答案 B解析 对A ，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A 错误；对B ，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B 正确；对C ，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C 错误；对D ，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D 错误故选B 2．若集合A ＝{－x ，|x |}，则x 应满足( )A ．x >0B ．x <0C ．x ＝0D ．x ≤0答案 A解析 由元素的互异性可知|x |≠－x ，∴x >0.3．下列集合与集合相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案 C解析 对于A 和B ：集合中的元素代表点，与集合不同，A 、B 错误；对于C ：由得：或，与集合元素相同，C 正确；对于D ：表示两个代数式的集合，与集合不同，D 错误.故选C.4．已知的结果为（ ）A ．B ．1C ．D ．5．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则ABC V ABC V {}2,3A =(){}2,3(){},2,3x y x y =={}2560x x x -+={}2,3x y ==()2,3A 2560x x -+=2x =3x =A A 12x <<2-1-23x -32x-251712x x +-()()x a bx c ++a b c（ ）A ．B ．C ．D ．答案 A解析： ．，，．故选A ．6．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（ ）A ． B ．C ．或 D ．7．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝|x |＋|y |＋|xy |}为( )A ．{0，3}B ．{1，3}C ．{－1，3}D ．{1，－3}答案 C解析 当x >0，y >0时，m ＝3；当x <0，y <0时，m ＝－1；当x >0，y <0时，m ＝－1；当x <0，y >0时，m ＝－1.故M ＝{－1，3}．8．设集合，，，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案B解析 ，，中的元素为点，故，故选B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（ ）A ．N 与N *是同一个集合B ．N 中的元素都是Z 中的元素=a c +171113()()251712453x x x x+-=+﹣4a ∴=3c =-431a c ∴+=-=11y k x b =+22k y x=()14D ，()22C ，210k k x b x+->{|12}x x <<{|0}x x <{|12x x <<0x <｝∅{}24A x y x ==-∣{}24B y y x ==-∣{}2(,)4C x y y x ==-∣A B =B A ⊆A C ⊆2C ∈{}24R A xy x ==-=∣{}{}244B y y x y y ==-=≥-∣∣{}2(,)4C x y y x ==-∣B A ⊆C ．Q 中的元素都是Z 中的元素D ．Q 中的元素都是R 中的元素答案 BD解析 因为N *表示正整数集，N 表示自然数集，不是同一个集合，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以A 、C 中的说法不正确，B 、D 中的说法正确．故选BD.10．下列集合中子集个数等于1的是（ ）A ．B ．是边长分别为的三角形}C ．D ．11．如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（ ）A ．B ．C ．若抛物线上有点，，，则D ．方程的解为，{}2N 320x x x ∈++={x x 1,2,3{}R 1A x x =∈=-{}∅2y ax bx c =++()2,0-()3,00ab c<2c b=15,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭()23,y -31,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭213y y y <<20cx bx a ++=112x =213x =-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是 ．答案 且解析 ：∵关于的一元二次方程，∴，即，∵方程有两个实数根，∴，解得，∴的取值范围是且.13．若集合，，且，则实数的值是_________.答案 或0解析：当时，可得，符合题意，当时，，当时，，综上，的值为或.14．已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S 是U 的真子集，则集合S 的数量为 .答案 6解析 因为非空集合，且若，则必有，则有1必有6，有2必有5，有3必有4，又集合S 是U 的真子集，那么满足上述条件的集合S 可能为：，，，，，，共6个.()22690k x x --+=3k ≤2k ≠x 2(2)690k x x --+=20k -≠2k ≠2(6)4(2)90k ∆=---⨯≥3k ≤k 3k ≤2k ≠{}1,1A =-{}2B x mx ==B A ⊆m 2±B =∅0m ={}1B =-2m =-{}1B =2m =m 2±0S U ⊆{}1,2,3,4,5,6U =a S ∈7a S -∈{}1,2,3,4,5,6S ⊆a S ∈7a S -∈{}1,6{}2,5{}3,4{}1,6,2,5{}1,6,3,4{}2,5,3,4所以满足条件的集合S 共有6个.故答案为6.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值：，其中解：（1）原式..............4分16．如图，某校劳动实践基地用总长为80m 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x (单位：m)，与墙平行的一边长为y (单位：m)，面积为S (单位：)．(1)直接写出y 与x ，S 与x 之间的函数解析式(不要求写x 的取值范围)；(2)矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．(3)当x 的值是多少时，矩形实验田的面积S 最大？最大面积是多少？解（1），，，；............5分（2），，()215π32-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭26321054x x x x -<⎧⎪⎨+--≥⎪⎩①②23211224x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭1x =12+4=--2m 2750m 280x y += 280y x =-+∴S xy = 2(280)280S x x x x ∴=-+=-+42y ≤ 28042x ∴-+≤，，当时，，，，，当时，矩形实验田的面积能达到； (10)分（3），当时，有最大值． (15)分17．（1）设集合，，当时，求实数的取值范围.（2）已知，．若，求实数a 的取值范围．解：（1）.............1分18．已知函数（a ，b 为常数）．设自变量x 取时，y 取得最小值．19x ∴≥1940x ∴≤<750S =2280750x x -+=2403750x x -+=(25)(15)0x x --=25x ∴=∴25m x =S 2750m 22222802(40)2(40400400)2(20)800S x x x x x x x =-+=--=--+-=--+ ∴20m x =S 2800m {}116A x x =-≤+≤{}121B x m x m =-<<+B A ⊆m {}2320M x x x =-+={}220N x x x a =-+=N M ⊆{}25A x x =-≤≤()()22y x a x b =-+-0x(1)若，，求的值；(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P 到y 轴的距离；(3)当，且时，分析并确定整数a 的个数．解（1）19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.1a =-3b =0x xOy (),P a b 2y x =-012x =22230a a b --+=013x ≤<()()222221321692410y x x x x x x x x =++-=+++-+=-+A x A ∈1x ≠0x ≠11A x ∈-(1)若，试证明中还有另外两个元素；(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.解析（1）由题意得若，则；2A ∈A A A 143A A 2A ∈1112A =-∈-。
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期开学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（ ）A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B A ⊆，那么，若x A ∉，则x B ∉【答案】D【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】A 选项，空集是其本身的子集，A 错；B 选项，空集是任一非空集合的真子集，B 错；C 选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C 错；D 选项，若B A ⊆，则B 中元素都在A 中，A 中没有的元素，则B 中也没有；故D 正确. 故选：D.2．已知集合1|0,3x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则集合B 的子集个数为（ ）A ．5个B ．8个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】先化简集合A ，B ，再列举其子集求解.【详解】因为{}1|0,1,0,1,23x A x x Z x +⎧⎫=≤∈=-⎨⎬-⎩⎭， 所以{}{}2|1,1,2,5B y y x x A ==+∈=， 所以集合B 的子集有{}{}{}{}{}{}{},1,2,5,1,2,1,5,2,5,1,2,5∅，共8个， 故选：B3．设Q 所示有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①{}2x x X ∈；②X ⎫∈⎬⎭；③1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；④{}2x x X ∈；与X 相同的集合有（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③ 【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合{}2x x X ∈，则2(a p +=+解得2,2p a q b ==，即,22p q a b ==，是一一对于，所以与X 集合相同.对于②：集合X ⎫∈⎬⎭b =，也是一一对应，所以与X 集合相同.对于③：集合1x Xx ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭2222a b a b a b ⎛=+- --⎝，所以与X 集合相同.对于④：1X -，但方程21x -无解，则2{|y y x =，}x X ∈与X 不相同． 故选：D4．设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；④τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}；其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（ ）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③ 【答案】D【分析】利用集合X 上的拓扑的3个要求，依次判断即可【详解】①中由于{}{}{},,,,a b a c a b c τ=∉，故①不是集合X 上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X 上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X 上的一个拓扑；④中{}{}{},a c a c τ=∉,故④不是集合X 上的一个拓扑；因此集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③故选：D二、填空题5．已知集合{}2,0A a a =-，若a A ∈，则实数a 的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a 的值.【详解】因为a A ∈，故0a =或2a a a -=，若0a =，则20a a a -==，与元素的互异性矛盾，舍；若2a a a -=，则2a =或0a =（舍），而2a =时，符合元素的互异性，故实数a 的值为2，故答案为：2.6．若集合{}2210A x x x =-+=，{}210B x x =-=，则A ______B ．（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）【答案】⊂【分析】先化简集合A 、B ，再去判断集合A 、B 间的关系即可解决. 【详解】{}{}22101A x x x =-+==，{}{}2101,1B x x =-==-，则A B ⊂ 故答案为：⊂7．若{}{},27,8x y y +=，则整数x =____________.【答案】3或92. 【分析】根据集合相等的条件，列出方程组，即可求解.【详解】因为{}{},27,8x y y +=，由集合相等的条件，可得728x y y +=⎧⎨=⎩或827x y y +=⎧⎨=⎩， 解得3x =或92x =. 故答案为：3或92. 8．已知0,,{,,}3x A xx B x x a b a A b A x ⎧⎫=<∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭Z ∣∣，试用列举法表示集合B =____; 【答案】{}2,3,4【分析】解出不等式03x x <-得到集合A ，然后可得答案. 【详解】因为{}{}0,03,1,23x A x x x x x x ⎧⎫=<∈=<<∈=⎨⎬-⎩⎭Z Z ∣∣， 所以{}{,,}2,3,4B xx a b a A b A ==+∈∈=∣， 故答案为：{}2,3,49．已知{}2|10,A x x px x R =++=∈，若A R +⋂=φ，则实数p 的取值范围是__________．【答案】(2,)-+∞【详解】分析：先根据条件得方程210x px ++=没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，解得实数p 的取值范围详解：∵A R +⋂=φ，∴方程210x px ++=没有正实数解，故A 集合有两种情况：①若A =φ，则240p ∆=-<，则22p -<<；②若A ≠φ，则方程有两个非正数解，且0不是其解，则有：2400p p ⎧-≥⎨-≤⎩，解得2p ≥．综上所述，2p >-，即实数p 的取值范围是()2,-+∞．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.10．已知集合{1,2,3}A =，{1,,}B m n =，若3,1m A n A -∈+∈，则非零实数m n +的可能取值集合是________【答案】{}2【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即可得到答案.【详解】因为3m A -∈，所以31m -=或32m -=或33m -=，解得2m =或1m =或0m =，因为1n A +∈，所以11n +=或12n +=或13n +=，解得0n =或1n =或2n =，又因为{1,,}B m n =，所以20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即2m n +=. 故答案为：{}211．若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23 【分析】把不等式转化为222(1)x x a x -+<+，转化为()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==，又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤. 即正实数a 的取值范围是12(,]23. 故答案为：12(,]23.12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A B A B B A B A ⎧-≥⎪*=⎨->⎪⎩，若{}0,1A =，()(){}2230B x x ax x ax =+++=，*1A B =，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______.（请用列举法表示）【答案】{}-【分析】根据{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程()()2230x ax x ax +++=的个数进行讨论，即可求得a 的所有可能取值. 【详解】由于()()2230x ax x ax +++=，等价于20x ax ①或2x ax 30++=②又{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，（1）当B 是单元素集合，则方程①有两个相等的实根，方程②无实根，此时0a =； （2）当B 是三元素集合，则方程①有两个不相等的实根，方程②有两个相等的实根，此时20120a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得a =±实数a 的所有可能取值构成集合{}S =-故答案为： {}-【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的判断，解题的关键是对新定义的理解，考查学生的分析审题能力与分类讨论思想，属于中档题.13．已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ________.【答案】(,3][6,)-∞-⋃+∞【分析】根据对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m 的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为()22()4321f x x x x =-+=--，所以函数()f x 的对称轴为2x =，对任意的[]11,4x ∈，记()[]1,3f x ∈-.记[]1,3A =-.由题意知，当0m =时不成立，当0m >时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是增函数，所以[]()5,25g x m m ∈-+，记[]5,25B m m =-+由题意知，B A所以m m -≥-+≥⎧⎨⎩15253，解得6m ≥. 当0m <时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是减函数，所以[]()25,5g x m m ∈+-，记[]25,5C m m =+-，由题意知，C A ⊇所以251{53m m +≤--≥，解得3m ≤-. 综上所述，实数m 的取值范围是(,3][6,)-∞-⋃+∞.故答案为: (,3][6,)-∞-⋃+∞【点睛】解决本题的关键是将问题转化为对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.14．已知函数()228x x x f a =++（0a >），集合(){}0A x f x =≤，()(){}8B x f f x =≤，若A B =≠∅，则a 的取值范围为______.【答案】4⎡⎤⎣⎦【解析】先根据A ≠∅，利用0∆≥求得a 的范围，再求出集合,A B ，利用A B =，即可求解.【详解】解：A B =≠∅，即()()()0,8f x f f x ≤≤有解，由()0f x ≤知：()222484320a a ∆=-⨯=-≥，解得：a ≤-或a ≥又0a >，a ∴≥令()2280x a f x x =++≤，解得：a x a -≤≤-故{A x a x a =-≤-， ()()8f f x ≤，令()u f x =，即()8f u ≤，又()228x ax f x =++，易知：()()()()208,222288f f a a a a =-=-+⨯-+=，0a >，故20a u -≤≤，即(){}20B x a f x =-≤≤，又A B =，故()2f x a ≥-恒成立，即()min 2f x a ≥-，又()()()()22min 288f x f a a a a a =-=-+⋅-+=-+，即282a a -+≥-，即2280a a --≤，解得：24a -≤≤，又a ≥a ⎡⎤∴∈⎣⎦.故答案为：4⎡⎤⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用A B =得出()min 2f x a ≥-.三、解答题15．已知{}(){}22240,2110A xx x B x x a x a =+==+++-=∣∣. (1)若A 是B 的子集，求实数a 的值；(2)若B 是A 的子集，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a =；(2)1a -或1a =.【分析】（1）由题得{}4,0B A ==-，解2Δ0402(1)401a a >⎧⎪-+=-+⎨⎪-⨯=-⎩即得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分三种情况讨论得解.【详解】(1)解：由题得{}4,0A =-.若A 是B 的子集，则{}4,0B A ==-，所以2Δ0402(1),1401a a a >⎧⎪-+=-+∴=⎨⎪-⨯=-⎩. (2)解：若B 是A 的子集，则B A ⊆.①若B 为空集，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+<，解得1a <-；②若B 为单元素集合，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+=，解得1a =-.将1a =-代入方程()222110x a x a +++-=，得20x =，即{}0,0x B ==，符合要求；③若B 为双元素集合，{}4,0B A ==-，则1a =.综上所述，1a -或1a =.16．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥ 【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围. （2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A ∈因为命题p 为真命题所以210m -≥ 解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩ 解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩ 所以112m ≤< 所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题 则12m <或m 1≥ 所以实数m 的范围为12m <或m 1≥ 【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.17．定义：若任意,m n A ∈（m ，n 可以相等），都有10mn +≠，则集合,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭称为集合A 的生成集； (1)求集合{3,4}A =的生成集B ；(2)若集合{,2}A a =，A 的生成集为B ，B 的子集个数为4个，求实数a 的值；(3)若集合(1,1)A =-，A 的生成集为B ，求证A B =.【答案】(1)387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(2)1a =±或12a =(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义算出x 的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为B 中有2个元素，然后列出等式即可求出a 的值； （3）求出B 的范围即可证明出结论【详解】(1)由题可知，(1)当3m n ==时，3331335x +==+⨯ ， (2) 当4m n ==时，44814417x +==+⨯，（3）当3,4m n ==或4,3m n ==时，34713413x +==+⨯ 所以387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ (2)（1）当2m n ==时，2241225x +==+⨯， （2）当m n a ==时，22211a a a x a a +==++ （3）当2,m n a ==或,2m a n ==时，212a x a+=+ B 的子集个数为4个，则B 中有2个元素， 所以24251a a =+或222112a a a a +=++ 或24125a a +=+ ， 解得1a =±或12a =（2a =舍去）, 所以1a =±或12a =. (3)证明：(),1,1m n A ∀∈-=，()()111011m n m n mn mn++++=>++， ()()111011m n m n mn mn---+-=<++， ∴ 111m n mn+<+-<，即()1,1B =- B A ∴⊆，又(1,1)A =-，所以A B ⊆，所以A B =18．已知123{|(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．【答案】（Ⅰ）10m =； （Ⅱ）见解析（ⅠⅡ）见解析【详解】试题分析：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于n S 的，其实n S 中的元素就是一个n 维的坐标，其中每个坐标都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n 位数字的数组，每个数字都只能是0或1，第二个定义(,)d U V ．第一问，根据5V S ∈，且(,)2d U V =及(,)d U V 的意义：表示U 和V 中相应的元素不同的个数，可知25m C =；第二问，根据0i a =或1，1,2,,i n =，分类讨论0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-；当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-=；可证，i a +i b i i a b ≥-，再相加即可证明结论；第三问，结合第一问，得出使(,)k d u v r =的k v 共有rn C 个，分别计算出21(,)n k k d u v =∑和21(,)nk k d u v =∑，再相加即可． 试题解析：（Ⅰ）2510C =；（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =⋯⋯，123(,,)n v b b b b =⋯⋯ ∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-= 故i a +i b i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++++123()n b b b b +++++ 123()n a a a a =++++123()n b b b b +++++112233()n n a b a b a b a b ≥-+-+-++-(,)d u v =（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k = 123(,,)n v b b b b =⋯⋯∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)n k k d u v =∑ =1111111122(202120212021)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+-++-+- =12n n -⋅∴21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅． 法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有r n C 个， ∴21(,)n k k d u v =∑=012012n n n n n C C C n C ⋅+⋅+⋅++⋅21(,)n k k d u v =∑=120(1)(2)0n n n n n n n n C n C n C C --⋅+-⋅+-⋅++⋅ 两式相加得21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅【解析】计数原理的应用．。
福建省龙岩第一中学2022-2023学年高一上学期开学考试数学试题含答案
龙岩一中2022级高一开学考试数学试题一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）A ．高一数学课本中较难的题B ．高二（2）班全体学生家长C ．高三年级开设的所有课程D ．高一（12）班个子高于1.7m 的学生 2．命题“2110x x ∀≥−<，”的否定是（ ）A ．2110x x ∀≥−≥，B ．2110x x ∃≥−≥，C ．2110x x ∃<−≥，D ．2110x x ∀<−<，3．给出下列关系：①13∈R Q ；③－3∉Z ；④N ，其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．“0<x <2”成立是“2x <”成立的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A ．0a b −>B ．2ab b <C ．22a b <D ．11a b> 6．不等式()()130x x ++<的解集是（ ）A ．RB ．∅C ．{31}xx −<<−∣ D ．{3x x <−∣，或1}x >− 7．已知集合{}1246A =，，，，{}23467B =，，，，，则A B 的子集的个数为（ ） A ．{}246，， B ．{}123467，，，，， C ．7 D ．8 8．函数()122y x x x =+>−+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)．9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．()221222a b a b ++≥−− 11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <−C ．不等式20cx bx a −+<的解集为14x x ⎧<−⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++> 12．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足不等式[][]25140x x −−≤的x 的值可以为（ ） A ． 2.5− B ．3 C ．7.5 D ．8三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)．13．若集合{}{}220,10M x x x N x ax =+−==+=，且N M ⊆，则实数a 的取值集合为____．14．已知A ＝{x ∈R|2a ≤x ≤a ＋3},B ＝{x ∈R|x <－1或x >4}，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________．15．若集合(){}21420A x a x x =−+−=有且仅有两个子集，则实数a 的值是____． 16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设00a b ＞，＞，称2ab a b +为a 、b 的调和平均数.如图，C 为线段AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，且a b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a 、b 的算术平均数2a b +，线段CD 的长度是a 、b ______的长度是a 、b 的调和平均数2ab a b+,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合{}2,1,0,1,2A =−−，{}0,1B =，{}1,2C =.(1)求B C ⋃；(2)求()A B C .18．（12分）已知集合U 为全体实数集，{|1M x x =≤−或}6x ≥，{}131N x a x a =+≤≤−.(1)若3a =，求()U M N ； (2)若N M ⊆，求实数a 的取值范围.19．（12分）已知集合A ＝{x |x 2+4ax ﹣4a +3＝0}，B ＝{x |x 2+（a ﹣1）x +a 2＝0}，C ＝{x |x 2+2ax ﹣2a ＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a 的取值范围．20．（12分）设集合{|}R A x x x ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， .(1)若0a =，试求A B ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．21．（12分）（1）关于x 的不等式()2216(4)10a x a x −−−−≥的解集为φ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式(3)12m x x −≥+； （3）设（1）中a 的整数值构成集合A ，（2）中不等式的解集是B ，若A B 中有且只有三个元素，求实数m 的取值范围.22（12分）．已知关于x 的不等式()2110ax a x a R ++<∈-，．（1）若不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求a ； （2）当a R ∈时，解此不等式．龙岩一中2022级高一开学考试数学试题参考答案：1．A2．B3．B4．A5．A6．C7．D8．D9．AB10．BCD11．AD12．BC13．10,1,2⎧⎫−⎨⎬⎩⎭ 14．a <－4或a >2 15．±1 16． DE 2a b +>ab >2ab a b+ 17．(1){0,1,2}(2){2,1,0,2}−−18．(1)当3a =时，{}48N x x =≤≤，而{}16U M x x =−<<，所以(){}46U M N x x ⋂=≤<.(2)因N M ⊆，则当131a a +>−，即1a <时，N =∅，此时满足N M ⊆，即1a <， 当131a a +≤−，即1a ≥时，N ≠∅，则有311a −≤−或16a +≥，即0a ≤或5a ≥，因此5a ≥， 所以实数a 的取值范围为()[),15,−∞⋃+∞.19．假设集合A 、B 、C 都是空集，对于A ，元素是x ，A =∅，表示不存在x 使得式子24430x ax a +−+= 成立，()2164430a a ∴∆=−−+<，解得3122a −<<； 对于B ，B =∅，同理()22140a a ∆=−−<，解得a 13＞或者1a <−； 对于集合C ，C =∅，同理()2280a a ∆=+<，解得20a −<<；三者交集为312a −<<− ； 取反面即可得A 、B 、C 三个集合至少有一个集合不为空集，∴a 的取值范围是1a ≥−或a 32≤−；综上，1a ≥− 或32a ≤− . 20．(1)由240x x +=，解得0x =或4x =−，}{,A =−40 .当0a =时，得x x −+2210＝，解得12x =−x =12-{}1212B =−−，；∴{}041212A B =−−−，，，.(2)由（1）知，}{,A =−40，B A ⊆，于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =−40，此时方程()x a x a =222110+＋+-有两根为0，4−，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪−+=−⎩−−>2224141010214-，解得1a =. 当B A ≠时，又可分为两种情况．当B ≠∅时，即{}0B =或{}B −4＝， 当{}0B =时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a −−⎧∆=+⎨−==⎩，解得1a =−， 当{}B −4＝时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为4−，则 ()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨−=−−=−⎪⎩＋+-，此时方程组无解， 当B =∅时，此时方程()x a x a =222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a −−∆+<=，解得1a <−.综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤−=11或.21．（1）当4a =时，不等式可化为10−≥无解，满足题意；当4a =−时，不等式化为810x −≥，解得18x >，不符合题意，舍去； 当4a ≠±时，要使得不等式()2216(4)10a x a x −−−−≥的解集为φ，则满足()()22216044160a a a ⎧−<⎪⎨∆=−+−<⎪⎩，解得1245a −<<， 综上可得，实数a 的取值范围是12,45⎛⎤− ⎥⎝⎦. （2）由不等式(3)12m x x −≥+，可得(3)(1)321022m x m x m x x −−−−−=≥++， 即(2)[(1)(32)]0x m x m +−−+≥且2x ≠−，当1m =时，不等式等价于502x −≥+，解得2x <−； 当1m 时，由325(2)011m m m m +−−=>−−，不等式32(2)01m x x m +⎛⎫+−≥ ⎪−⎝⎭且2x ≠−的解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈−∞−⋃+∞⎪⎢−⎣⎭， 当1m <时，32(2)01m x x m +⎛⎫+−≤ ⎪−⎝⎭且2x ≠−， 当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈−⎪⎢−⎣⎭，当0m =时，解集为∅， 当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈− ⎥−⎝⎦，综上，当1m =时，解集为(,2)x ∈−∞−， 当1m 时，解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈−∞−⋃+∞⎪⎢−⎣⎭，当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈−⎪⎢−⎣⎭， 当0m =时，解集为∅，当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈− ⎥−⎝⎦. （3）由（1）得{2,1,0,1,2,3,4}A =−−，当A B 中有且只有三个元素，显然01m ≤≤不可能，当1m 时，32(,2),1m B m +⎡⎫=−∞−⋃+∞⎪⎢−⎣⎭因为3253311m m m +=+>−−，不合题意，舍去， 当0m <时，322,1m B m +⎛⎤=− ⎥−⎝⎦， 因为A B 中有且只有三个元素，所以，032121m m m <⎧⎪+⎨≤<⎪−⎩，解得342m −<≤−， 综上，实数m 的取值范围是34,2⎛⎤−− ⎥⎝⎦. 22．（1）由题得，(1)(1)0ax x −−<，解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则有0111121112a a a ⎧⎪>⎪⎪+=+⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得2a =；（2）由题(1)(1)0ax x −−<，a R ∈：当0a =时，不等式化为10x −>，解得1x >；当0a >时，不等式等价于1()(1)0x x a−−<，若01a <<，解得11x a <<；若1a =，解得x ∈∅，若1a >，解得11x a <<；当0a <时，不等式等价于1()(1)0x x a−−>，解得1x a <或1x >.综上，0a =时，不等式的解集为(1,)+∞，01a <<时，不等式的解集为1(1,)a，1a =时，不等式的解集为空集，1a >时，不等式的解集为1(,1)a ，0a <时，不等式的解集为1(,)(1,)a−∞⋃+∞.。
河南省安阳县实验中学2022-2023学年高一上学期开学考试数学试题(含答案)
2022-2023学年度高一开学考试数学试卷考试范围：必修一第1-3章；考试时间：120分钟 命题人：第I 卷（选择题）一、单选题1．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C ⋃⋂= A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x R x ∈-≤≤2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂D ．()U M P S ⋂⋃3．已知函数y =f (x +1)的定义域是[-2，3]，则y =f (x )的定义域是（ ） A ．[0，5]B ．[-1，4]C ．[-3，2]D ．[-2，3]4．已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 5．已知函数1123f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．则()2f 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36．已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 单调递增，则()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A ．()()()23f f f π>->-B ．()()()32f f f π>->-C ．()()()23f f f π<-<-D ．()()()32f f f π<-<-7．函数()f x =） A ．[)()122+∞，， B ．()1+∞，C ．[)12， D ．[)1+∞，8．已知函数f (x )=2,0,2,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．29．若命题“2x ≥是x m >的必要不充分条件”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．2m <B ．2m ≤C ．2m >D ．2m ≥10．不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．不等式101xx+≥-的解集为（ ） A ．{}|11x x -<≤ B ．{}|11x x -≤< C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|11x x -<<12．如果0x y +<，且0y >，那么下列不等式成立的是 A ．22y x xy >>B ．22x y xy >>-C ．22x xy y <-<D ．22x xy y >->第II 卷（非选择题）二、填空题13．不等式2320x x -++>的解集为____________． 14．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1113a b +++的最小值为________． 15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．命题“2(1,2),1x x ∀∈>”的否定是______.三、解答题（1）求A B ；（2）求()R C A B ．18．已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤，{}3782B x x x =-≥-. （1）求AB ；（2）若{}44C x a x a =-≤≤+，且“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.19．设27a <<，12b <<，求3a b +，2a b -，a b的范围. 20．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0． 21．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； (3)解不等式()()10f x f x -+<．22．某科技公司研究表明：该公司的市场占有率y 与每年研发经费x （单位：亿元）满足关系式：()23022xy x x mx =>++，其中m 为实常数. (1)若0m =时，该公司市场占有率不低于60%，则每年研发经费至少需要多少亿元？ (2)若14m =-时，求该公司市场占有率的最大值.参考答案：1．B【详解】(){1246}[15]{124}A B C =-=，，，，，， ,选B. 【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．C【分析】利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．【详解】解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中， 故阴影部分所表示的集合是()U M P S ⋂⋂. 故选：C . 3．B【分析】函数y =f (x +1)的定义域是[-2，3]得-2≤x ≤3，即得y =f (x )的定义域 【详解】∈函数y =f (x +1)的定义域是[-2，3]， ∈-2≤x ≤3， ∈-1≤x +1≤4，∈函数y =f (x )的定义域是[-1，4]. 故选：B 4．D【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性【详解】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∈12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D. 5．B【分析】根据题意，令112x +=可得x 的值，将x 的值代入1(1)23f x x+=+，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数1(1)23f x x+=+，若112x +=，解可得1x =，将1x =代入1123f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得()25f =，故选：B ． 6．B【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()22f f -=，()()33f f -=．又当[)0,x ∈+∞时，()fx 单调递增，且32π>>，所以()()()32f f f π>>，即()()()32f f f π>->-．故选：B ． 7．A【分析】由给定函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数()f x =1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1≥x 且2x ≠，所以原函数的定义域是[1,2)(2,)⋃+∞. 故选：A 8．A【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案 【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==， 所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14. 故选：A【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题 9．A【解析】先求出命题“2x ≥是x m >的必要不充分条件”是真命题时m 的取值范围，再求补集即可.【详解】若命题“2x ≥是x m >的必要不充分条件”是真命题， 则x m >的范围比2x ≥的范围小， 则m 的取值范围是2m ≥，∈命题“2x ≥是x m >的必要不充分条件”是假命题， 则m 的取值范围是2m <． 故选：A 10．C【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得22y x x =-++，根据该形式可得正确的选项．【详解】因为不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣， 故021121a c a a ⎧⎪<⎪⎪-⨯=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，故1,2a c =-=，故222y ax x c x x =++=-++，令220x x -++=，解得1x =-或2x =，故抛物线开口向下，与x 轴的交点的横坐标为1,2-， 故选：C ． 11．B【分析】先把分式不等式转化为整式不等式，结合二次不等式的求解方法可得解集. 【详解】不等式101xx +≥-等价于(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨-≠⎩，解之得11x -≤<.故选：B.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，分式不等式一般转化为整式不等式进行求解，转化时需要注意等价性，不要忽视了分母不为零，侧重考查数学的核心素养. 12．D【分析】由0x y +<，且0y >，可得0x y <-<．再利用不等式的基本性质即可得出2x xy >-， 2xy y <-．【详解】0x y +<，且0y >， 0x y ∴<-<．2x xy ∴>-，2xy y <-，因此22x xy y >->． 故选D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 13．2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：由2320x x -++>得232(1)(32)0x x x x --=-+<，解得213x -<<所以不等式2320x x -++>的解集为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 14．12【解析】由已知得111138a b +=++（1113a b +++）[（a +1）+（b +3）]18=（1331a b b a ++++++2），由此利用均值不等式能求出结果． 【详解】解：∈正实数a ，b 满足a +b ＝4， ∈a +1＞1，b +3＞3，a +1+b +3＝8， ∈111138a b +=++（1113a b +++）[（a +1）+（b +3）]18=（1331a b b a ++++++2） 18≥（2）12=．当且仅当1331a b b a ++=++时，取等号， ∈1113a b +++的最小值为12． 故答案为：12．【点睛】本题考查两式和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 15．0或2【详解】由题意可得044m m ≤⎧⎨-+=⎩或204m m ⎧⎨=⎩＞，∈m ＝0或m ＝2, 故答案为：0或2.【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.16．0(1,2)x ∃∈，21x ≤ 【分析】利用全称命题的否是特称命题，直接写出命题的否定即可.【详解】由全称命题的否定可知，命题“2(1,2),1x x ∀∈>”的否定是：“0(1,2)x ∃∈，201x ≤”. 故答案为：0(1,2)x ∃∈，201x ≤.【点睛】本题考查命题的否定的应用，全称命题与特称命题互为否定关系，考查基础知识的应用.17．（1）{}0|21x x <<； （2）{}|23x x <<【详解】（1）{}|27B x x =<<，{}|210A B x x ∴=<<. （2）{|3R C A x x =<，或}10x ≥，(){}|23RC A B x x =<<.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念及运算，属于基础题. 18．【详解】解：（1）{|3782}{|3}B x x x x x =--=，又{}26A x x =≤≤{|36}AB x x ∴=，（2）因为“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，所以()A B C ，因为{}44C x a x a =-≤≤+所以4643a a +≥⎧⎨-≤⎩解得27a ≤≤，即[]2,7a ∈19．5313a b <+<，2213a b <-<，17a b<< 【详解】∈27a <<，12b <<，∈4214a <<，336b <<，21b -<-<-，1112b<<， ∈5313a b <+<，2213a b <-<， ∈17a b<<. 故5313a b <+<，2213a b <-<，17ab<<． 20．(1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根， 所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0， 即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-； 当21a a-<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.21． (1)解：因为函数()21ax bf x x +=+，()()f x f x -=-恒成立， 所以2211ax b ax bx x -+--=++，则0b =， 此时()21ax f x x =+，所以2112225112⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭af ， 解得1a =， 所以2()1xf x x =+； (2)证明：设1211x x -<<<， 则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 1211x x -<<<，1211x x ∴-<<，且120x x -<，则1210x x ->，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以函数()f x 是增函数． (3)(1)()0f x f x -+<，(1)()()f x f x f x ∴-<-=-，()f x 是定义在(1,1)-上的增函数，∴111111x x x x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，得102x <<，所以不等式的解集为1(0,)2． 22． (1)解：当0m =时，()23022x y x x =>+，由233225x y x =≥+，可得20252x x ≤-+， 解得122x ≤≤，即每年的研发经费至少需要0.5亿元. (2)解：当14m=-时，2334121522244xyx x xx==≤=+-+-，当且仅当1x=时，等号成立，因此，若14m=-时，该公司市场占有率的最大值为80%.。
高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(解析版)
2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B 错误；对于C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；故选：A.2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤0【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.【解答过程】因为命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，所以¬pp：∃xx>2，xx2−1≤0.故选：C.3．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<1【解题思路】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.【解答过程】对于A，1<xx<3是xx<2的不充分不必要条件，A不是；对于B，xx<3是xx<2的一个必要不充分条件，B是；对于C，xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，C不是；对于D，0<xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，D不是.故选：B.4．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.【解答过程】对于①：因为0是{0}的元素，所以0∈{0}，故①正确；对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅ {0}，故②正确；对于③：因为集合{0,1}的元素为0，1，集合{(0,1)}的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以{0,1},{(0,1)}之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合{(aa,bb)}的元素为(aa,bb)，集合{(bb,aa)}的元素为(bb,aa)，两个集合的元素不一定相同，所以{(aa,bb)},{(bb,aa)}不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.5．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【解题思路】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.【解答过程】设zz=xx+2yy=mm(2xx+yy)+nn(xx−yy)，故2mm+nn=1且mm−nn=2，所以mm=1,nn=−1，故zz=xx+2yy=(2xx+yy)−(xx−yy)，由于3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，所以3+(−9)≤2xx+yy−(xx−yy)≤9+(−6)，−6≤xx+2yy≤3，故最小值为−6，此时xx=4,yy=−5，故选：B.6．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}【解题思路】先求出MM，∁UU NN，再求MM∩(∁UU NN)，【解答过程】因为UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU}，所以MM={5,7,9}，因为UU={1,3,5,7,9}，NN={3,7,9}，所以∁UU NN={1,5}，所以MM∩(∁UU NN)={5}．故选：B．7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}【解题思路】根据给定的解集求出aa,bb，再解一元二次不等式即得.【解答过程】由不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，得−2,−1是方程aaxx2+bbxx+2=0的两个根，且aa>0，因此−2+(−1)=−bb aa，且−2×(−1)=2aa，解得aa=1,bb=3，不等式2xx2+bbxx+aa<0化为：2xx2+3xx+1<0，解得−1<xx<−12，所以不等式2xx2+bbxx+aa<0为{xx|−1<xx<−12}.故选：C.8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6【解题思路】根据题意可知2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为aa>bb≥0，则aa+bb>0,aa−bb>0，且2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，则2aa+bb=�32(aa+bb)+12(aa−bb)��6aa+bb+2aa−bb�=10+3(aa−bb)aa+bb+3(aa+bb)aa−bb≥10+2�3(aa−bb)aa+bb⋅3(aa+bb)aa−bb=16，当且仅当3(aa−bb)aa+bb=3(aa+bb)aa−bb，即aa=8,bb=0时，等号成立，所以2aa+bb的最小值为16.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
2019-2020学年湖北省长阳县第一高级中学高一上学期开学考试数学试题 扫描版
高一数学试卷答案
二、填空题
13. 2 14. x<1或x>3 15. 16.
4n-3
三、解答题
17. 原式
18.解：原式，
方程组，
解得：，
当，时，原式．
19.解：，所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
测试结果为C等级的学生数为人；
补全条形图如图所示：
，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率．
20.解：由题意得：
元
设每个定价增加x元．
列出方程为：
解得：
要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．
设每个定价增加x元，获得利润为y元．
当时，y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．
21.解：（1）m=1时，函数y=x2+x+2,计算Δ=1-8=-7<0，由数形结合可知，函数图像全部在x轴上方，即y>0恒成立，故x取全体实数
（2）由题意得即故
22.解：集合，或，时，
，
所以，或，
若则，分以下两种情形：
时，则有，，
时，则有，，
综上所述，所求a的取值范围为．。
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2019 学年高一上学期
开学考试数学试题
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个正确答案）
1.已知集合 A x Z || x | 1 ，且集合 A ，B 满足 A∪B=A，则符合条件的集合 B 共有（ ） A．4 个 B．8 个
2．下列各组函数中，表示同一函数的是
A. f ( x) x，g ( x) 2x B．f ( x) 2x，g ( x)
2
()x
C．
f ( x) 211xx，g ( x) 1x D．f ( x) 1x1x， g ( x
)
2
1x
3．下列图形能表示函数 y f ( x ) 的图象的是
y
y
y
y
O
x
O
x
O
- 2 -
x
O
x
A B C D
4. 将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到图（2）所示的几何体，则
该几 何体的侧视图为（ ）
5．已知函数10()20xxfxxxp, 若 则f ( f (2))
A.1 B.2 C.3 D.4
6．已知 P {x | 2 x k , x N}, ,若集合 P 中恰有 4 个元素,则
A. 6 k 7 B. 6 k 7 C. 5 k 6 D. 5 k 6
7．函数 y 21xx的图象是
8．若函数 y ax, y bx在 0, 上都是增函数，则 y ax 2 bx 在 0,
上是
- 3 -
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
9．已知
11
()23fxx
，则 f ( x) 的解析式为
A. f ( x) 11x B. f ( x) 1xx C. f ( x) 1 x D. f ( x) 1xx
10．函数 y 23xx的单调递减区间为
A．3(,]2 B．3[,)2 C．0, D． , 3
11已知函数20()20xxxfxxxp, 若 f (a ) f (1) 4 ，则实数 a 的取值为
A．-1 B． 1 C．-1 或 2 D． 1 或 1
12
设13Mxmxm ，34Nxnxn都是 x | 0 x 1 的子集.
如
果 b a 叫做集合x | a x b 的长度,则集合 M∩N 的长度的最小值为
A. 12 B. 112 C. 512 D.
3
4
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．集合 A x N | x 1，用列举法表示为 .
14．若方程 x2 3x 5 0 的两根为 x1, x 2，则2212xx .
15. 若4, 2a 1, a2 a 5,1 a, 9
9 ，则 a .
- 4 -
16.
- 5 -
已知函数f (2x 1)的定义域为(1, 2], 则f (2 3x)的定义域为
.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分 10 分）
已知集合A {x | 4 x 5}, 集合B {x | 5 x
2}.
(1)求 A∩B
(2)求 A∪B
18.(本小题满分12分)已知函数
()33xfxx
(1)化简
1
()fx
()fx
(2)求
1()4f1()3f1
()2f
(1)f(2)f(3)f(4)f
- 6 -
19. （本小题满分 12 分）已知集合260Axxx,
2,BxaxaaR
．
（１）若 A B 2,3 ，求实数 a 的值；
（2）若 A∪B=A，求实数 a 的取值范围．
20. （本小题满分 12 分）
已知集合A x 0 ax 1 3, 集合B {x | 12
x
2}.
(1)若a 1, 求CA B;
（2）若 A∩B=A，求实数 a 的取值范围.
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f x x 2 1x
2 ．
（1）判断函数 f ( x ) 在[1,) 上的单调性并加以
证明；
（2）对任意的 x 1,4，若不等式 x f x x2 a 2 x 恒成立，求实
数 a 的取值范围．
- 7 -
（本小题满分 12 分）某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并按每 100 元纳税
10 元（又称征税率为 10 个百分点）进行纳税，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司 多
收购这种农产品，决定将征税降低 x （ x 0 ）个百分点，预测收购量可增加 2 x 个百分
点.
(1)写出税收y (万元)与x的函数关系
式;
(2)要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%, 试确定x的取值范
围.