大学物理动量与角动量
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《大学物理AI》作业 No.03 角动量、角动量守恒(参考解答)
答：（a）正确。与轴平行的力，对该轴都不产生力矩。（b）正确。比如当两个力垂直于轴，且力的 作用线通过轴时，每个力对该轴的力矩都为零；当两个力作用线不通过该轴时，这两个力的力矩之和 可以不为零。（c）错误。大小相等、方向相反的两个力作用于刚体上不同位置处，如下图所示，两个 力合力为零，但对 O 点的合力矩不为零。（d）错误，如下图所示情况，两个力对 O 点的合力矩为零， 但合力不为零。
为为零零。；（（bc））不不正正确确； ；角当动参量考还点与不参在考运点动的直选线择上有时关，，质只点要相参对考于点参不考选点在的运位动矢直r 是线在上变，化角动的量，就因可此能角不动
量
L
r
mv
也是会变化的；（d）不正确；作匀速率圆周运动的物体，其合外力指向圆心，属于有心
力，以圆心为参考点，质点的角动量守恒，角动量大小和方向都不改变。
端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
（1）细棒和小球绕 A 端的水平轴的转动惯量，
A
B
（2）当下摆至 角时，细棒的角速度。
m
解：（1） J
J1
J2
ml 2
1 ml 2 3
4 ml 2 3
（2）根据转动定理： M
J
d dt
J
d d
d dt
J
d d
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
为为零零。；（（bc））不不正正确确； ；角当动参量考还点与不参在考运点动的直选线择上有时关，，质只点要相参对考于点参不考选点在的运位动矢直r 是线在上变，化角动的量，就因可此能角不动
量
L
r
mv
也是会变化的；（d）不正确；作匀速率圆周运动的物体，其合外力指向圆心，属于有心
力，以圆心为参考点，质点的角动量守恒，角动量大小和方向都不改变。
端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
（1）细棒和小球绕 A 端的水平轴的转动惯量，
A
B
（2）当下摆至 角时，细棒的角速度。
m
解：（1） J
J1
J2
ml 2
1 ml 2 3
4 ml 2 3
（2）根据转动定理： M
J
d dt
J
d d
d dt
J
d d
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
动量与角动量
r p
得 即 质点 对某定点 的
r p
mv
p
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
质点的角动量定理也可用积分形式表达
由微分形式
积分形式
即
称为 冲量矩 这就是质点的
角动量的增量
角动量定理
的积分形式
冲量矩的单位是
牛顿 · 米 · 秒 ( N · m · s )
质点的动量矩定理表明，合外力矩是引起角动量变化的原因。 合外力矩的时间积累效果（冲量矩）可用动量矩的增量来量度。 动量矩定理也只有在惯性系中才适用。
凡例
再用三角 公式算出
原子系统衰变，内力远大于外力（重力） 。 系统动量守恒。 选实验室坐标系
例p.49
动量
剩 余 核 中微子静止 放射性原子核 电子
发生衰变
1
动量
设 剩余核 反冲动量为 则 即 大小
。
= 6.4×10 -23 kg · m · s 1
= 1.2×10 -22 kg · m · s -
重力
本题的合外力是向心力
由a到b 绕行半周 的 冲量 的 冲量
对应的冲量式为 方向 可用 于是 待求 已求 标识 然后合成 求出 的 大小和方向
3.2
质点系
系动量定理
p.47例 人车之间的作用为
内力，不影响系统 建立坐标系：
质点系：人，车
系统受
外力： 重 力 支持力 側向力
跳车后车速 轨车侧向力 应用质点系 的动量定理
喷出燃料
主体质量不断减少
变质量问题的牛顿定律可用
运行装料
主体质量不断增加
此类问题并非惯性质量随 速度而变，而是物质的流动 称为质量的流动问题。
03动量和角动量
r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
动量和角动量(1)
v m v1
O
11
3-1冲量与动量定理
碰撞：力作用时间极为短暂 碰撞： 如：打桩，撞击，人从车上跳下，子弹打入墙壁 打桩，撞击，人从车上跳下， 冲力：作用时间很短，量值很大，变化很快。 冲力：作用时间很短，量值很大，变化很快。 v 在 ∆ p 一定时 v ∆mv 越小， ∆t 越小，则 F 越大 v v m v1 mv2
x
α α
v m v1
O
v mv2
y
10
3-1冲量与动量定理
由动量定理得： 解 由动量定理得：
Fx∆t = mv2x − mv1x x α α = mv cosα − (−mv cosα) v mv2 = 2mvcosα Fy∆t = mv2y − mv1y y = mvsin α − mvsin α = 0 2mvcosα F = Fx = =14.1 N ∆t F' = −F 轴正向相同． 方向与 Ox 轴正向相同．
t1 i =1 i =1 i =1
3-2动量守恒定律
∫
t2 n
t1
n n v v v ∑ Fi dt = ∑ m i v i − ∑ m i v i 0 i =1 i =1 i =1
t2
∫
作用于系统的合外力的冲量等于系统 作用于系统的合外力的冲量等于系统 合外力的冲量等于 总动量的增量 的增量——质点系动量定理 总动量的增量 质点系动量定理
I x = ∫ Fx d t = ∫ 10t d t = 5t
0 t 0 t
2
I y = ∫ Fy dt = ∫ 2(2 − t )dt = 4t − t
I z = ∫ Fz dt = ∫ 3t dt = t
2 0 0
2
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
第三章动量与角动量
分量式:
Ix
t 0
t 0
Fi xdt mi vi x mi vi 0 x
Fi ydt mi vi y mi vi 0 y
Iy
§2.质点系动量定理和质心运动定理
一.质点系动量定理 对于有n个质点的质点系,它们每个质点既所受外力, 也受内力. 若第i质点在to时刻动量为
t ix i ix i
0
ix 0
t
iy
i
iy
i
iy 0
0
t
iz
i
iz
i
iz 0
0
二.质心
对于有n个质点的质点系,
, m , m 的位置矢量分别为 : r , r , r ; m
1 2 n 1 2 n
则定义质点系的质心位置:
r
c
mr mr mr
1 1 2 2 n
第三章
动量与角动量
§1.冲量和动量定理
1. 动量
P mv
大小： mv
方向： 速度的方向 单位： kg m · -1 s
2. 力的冲量 元冲量
dI Fdt
大小：
Fdt
方向： 力的方向 单位： N · s
(1) 恒力的冲量
(2) 变力的冲量 分量式
I FΔt t I Fd t
n
上式表明:作用于质点系的外力矢量和的冲量等于 质点系动量的增量. 上式称为质点系动量定理.
. t F dt m v m v
t n n
0
i
i 1
i
i
i 1
i
i0
分量式:
第4章 动量与角动量
p mv1 mv2
I ( 3mvo )2 ( mvo )2 2mvo
与水平方向的夹角
tan
Iy Ix
1 3
30
o
例2、质量为2.5g的乒乓球以10 m/s 的速率飞来，被 板推挡后，又以 20 m/s 的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角 分别为 45o 和30o， 求：乒乓球得到的冲量；
y
v2
30o
45o x
v1
解: (1)取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡 板对球的冲力为 F 则有： I F dt mv 2 mv 1 取坐标系，将上式投影，有：
I x Fx dt mv 2 cos 30 ( mv 1 cos 45 ) 0.061(Ns)
注意: 1. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系，各速度应是相 对同一惯性参考系。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解用分 量计算。
2.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总 动量可能并不守恒。 3.实际问题中,当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞）可 认为动量近似守恒。 4.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在宏观和微观 领域均适用。 5. 用守恒定律做题，应注意选择系统，分析过程和条件。
t 0.01s
Fx 6.1( N) Fy 0.7( N) F F F 6.14( N)
2 x 2 y
例3：一辆煤车以 v=3m/s的速率从煤 斗下面通过,每秒钟落入车厢的煤 为 Q=500 kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?
解:
设Δ t 时间内 落入车厢的煤 的质量Δm
03第三章 动量与角动量作业答案
第三次作业（第三章动量与角动量）一、选择题［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．(C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动．【提示】设m0相对于地面以V运动。
依题意，m静止于斜面上，跟着m0一起运动。
根据水平方向动量守恒，得：m V mV+=所以0V=，斜面保持静止。
［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v．(B) 22)/()2(vv Rmgmπ+(C) v/Rmgπ(D) 0．【提示】22TGTI mgdt mg==⨯⎰，而vRTπ2=［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16正三角形ABC的水平光滑轨道运动。
质点越过A点的冲量的大小为(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．【提示】根据动量定理2121ttI fdt mv mv==-⎰，如图。
得：21I mv mv∴=-=[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩。
子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：2sin30()mv l M m lV︒=+其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。
解得：V=4 m/s（解法二：系统水平方向动量守恒：2sin30()mv M m V︒=+)图3-11图3-17二、填空题1、（基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．【提示】2222(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰2．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船。
03动量和角动量
r ο
意义：相当于绕 作圆周运动 意义：相当于绕O作圆周运动 的角动量（动量矩） 的角动量（动量矩）
3.7 角动量守恒定律
dL 对角动量定理 M = dt
M =0
dL =0 dt
L=C
合外力矩为零时,质点角动量为恒量。 合外力矩为零时,质点角动量为恒量。
一质量2200kg的汽车以60km/h 2200kg的汽车以60km/h的速度 例4 一质量2200kg的汽车以60km/h的速度 沿一平直公路开行。 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距 公路50m的一点的角动量是多大？ 50m的一点的角动量是多大 公路50m的一点的角动量是多大？对公路 上任一点的角动量又是多大？ 上任一点的角动量又是多大？
v
２、冲量的概念 １） 恒力的冲量 作用力F＝恒量，作用时间 作用力 ＝恒量，作用时间t1→t2，力对质点的冲量， ，力对质点的冲量，
I = F (t 2－t1 )
２） 变力的冲量
冲量的方向与力的方向相同。 冲量的方向与力的方向相同。
dI = Fdt
力在某一段时间间隔内的冲量
I =
∫
t
to
F dt的方向不能由某瞬时力的方向来决定。
解：篮球到达地面的速率
v − v = 2ax
2 2 0
（ ） v = 2gh = 2×9.8× 2 = 6.3 m/s）
2m v 2×0.58×6.3 2 ） F或 F = = = 3.8×10 （N） 0.019 ∆t
§1.5 匀加速直线运动
v = v0＋at
x =v0t + a t
1 2
2
v − v = 2ax
2
1
F ∆t
30o 60o m=140g
动量与角动量
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量— ——质点的动量定理 说明：
I x Fx dt mv x mv x 0
t0 t
t
I y Fy dt mv y mv y 0
t0 t
I z Fz dt mv z mv z 0
t0
F t
平均冲力：
I p F t t
dp 由牛顿第二定律 F dt
t P Fdt dp t0 P 0
t I＝ Fdt P P mv mv0 0
t0
（1） 冲量的方向 I 与动量增量 p 的方向一致。
（2） 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢 量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边 形法则，或把动量和冲量投影在坐标轴上以 分量形式进行计算。
F内i
t
由于： F内i 0
t0
Fi外 F内i dt mi vi mi vi 0
F2
系统总末动量： p mi vi F1 系统总初动量：p0 mi vi 0
m1
F内12 m2 F内21
t
t0
这里 令 M r F
先讨论之：
定义为：外力F
Mo MZ
MO r F
对参考点O的力矩： 力矩的大小： M rF sin
z
F
O
r
y
x
力 F 对点的力矩 M O 在过点的
任一轴线上的投影。
力 F 对轴的力矩：
力矩的方向由右手螺旋 关系确定，垂直于 r 和 F 确定的平面。