02定义新运算-教案-雷庆军

新定义运算-教案
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02定义新运算（教案）
一、知识要点：
所谓“定义新运算”是以学生熟知的四则运算为基础，以一种特殊的符号来表示的
特别定义（规定）的运算。运算时要严格按照新运算的定义（规定）进行代换，再进新
计算。具体程序如下：
1.代换.即按照定义符号的运算方法，进行代换，注意此过程不能轻易改变原有的运
算顺序。
2.计算.把代换后的算式准确地计算出来。
二、例题及练习：
例1.如果ababab，那么13的只是多少？
答案：5
分析：根据给的新运算规则进行计算即可。

例2.设45abab。（1）求(64)2的值；（2）若(2)18xx，则x等
于多少？
答案：（1）6；（2）2x
分析：根据给的新运算规则，先计算小括号里的值，再进一步进行计算即可。

练习1：.如果xyxyxy，那么10(1010)的值是多少？

答案：133
分析：根据给的新运算规则，先计算小括号里的值，再进一步进行计算即可。

例3.规定Axyxyxy，且5665，则(32)(110)的值是多少？

答案：1112
分析：先根据新运算规则分别计算(32)和(110)的值，再求积。
例4.规定(1)(2)(1)abaaaab…，（其中a，b均为非零自然数，
ba），如果1065x
，那么x等于多少？

答案：2x
分析：根据新运算规则10x应该是从x开始的连续10个自然数相加，整理后解方程可
的结果。

练习2：设,,ababab，其中,ab表示a，b的最小公倍数，,ab表示a，
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b
的最大公约数。（1）求144的值；（2）已知633x，则x等于多少？

答案：（1）30；（2）15x

分析：（2）算个不定方程，利用6的约数的有限性进行讨论，并用到公式,,ababab。

例5.定义新运算“”：12(1),1aaananan
已知430m，（1）m ，（2）8m 。
答案：（1）2m；（2）510
分析：再求（1）的时候应该找出计算1m、2m、3m、4m的规律，以便计
算8m。

例6.定义运算“”：babaaaaaaaaaa个…… ，这里的a，b都是非零自然

数，记号aaaam个…表示m个a写在一起形成的数，又若1123456789x，则x等于多
少？
答案：9x
分析：由123456789=1+11+111+…+111111111可知，9x
练习3：如果ab表示aba，当5x比5x大100时，求x等于多少？
答案：105
分析：只需要根据新运算规律列方程，即可解出x的值。

例7.x、y表示两个数，规定新运算“”及“”如下：xymxny，xykxy，

其中m，n，k均为非零自然数，已知125，(23)464，求(12)3的值。
答案：10
分析：本题实质就是求m,n,k的值。由125可以得到关于m,n的不定方程，再根

据m,n,均为非零自然数求得m,n的有限组解（两组），这样可以求出(23)的值来，进
一步求k的值。
练习4：设a、b是非零自然数，定义新运算：123abab…。

（1）求(4523)）（的值。
（2）如果1ab，且595ab，求a，b的值。
答案：（1）189；（2）17a，2b

分析（2）利用(1)5952ababab得到(1)1190abab，求得34ab，再根据
1ab
且a、b是非零自然数可以求得a、b。

例8.有A、B、C、D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数，装置A：将
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输入的数加上5；装置B：将输入的数除以2；装置C：将输入的数减去4；装置D：将
输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就可以写成AB，输入1
后，经过AB，输出3.
（1）输入9，经过ABCD，输出几？
（2）经过BDAC，输出的是100，输入的是几？
（3）输入是7，输出也是7，用尽量少的装置该怎样连接？
答案：（1）9；
（2）66；
（3）CDAB.

分析：（2）中倒着去运算就可以了：100453266（）.
（3）中需要灵活的观察能力和四则运算的熟练应用。
例9.对于任意的非零自然数a、b，定义：()1faaa，()21gbb

（1）求((6))((3))fggf的值；
（2）已知(())8fgx，求x的值.
答案：（1）10；
（2）4.

分析：（1）先算(6)g和(3)f的值，再进一步计算即可；

（2）由于(())8331fgx，可知()3gx，再由213x得4x.
练习5：对于任意的两个非零自然数x和y，规定新运算“”：
(1(2(1xyxxxxy））…），如果(3)23660a
，那么a等于几？

答案：3
分析：由于xy的含义为：从x开始的y个连续自然数相乘。由于3660=6061，所以

3(1)(2)60aaaa
，而60=345，所以3a.

思考题：运算“”定义如下：对于任何数a和非零自然数n，a加1求倒数（第一次），
再加1求倒数（第二次），…，直至加上1求第n次倒数，最后得到的这个数记作an.

例如：111aa，12111aa，……
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（1）求132，142及11132；

（2）an与(1)an有什么关系？
（3）22009与32009哪个大？
答案：（1）58、813、813；

（2）1(1)1()anan；
（3）22009>32009.
分析：（2）由（1）的计算容易发现：142=11132，更一般的情况是：

1
(1)1()anan


；

（3）先比较开始的几个数，看看是否有规律：
1121123，11
31134


，2131；

13221413，14
321514


，2232；

14233714，15
334915


，2333；

172441117，19
3451419


，2434；

………………………………………………………………………………………………
可以发现：当n=1，3，…等奇数时，2n>3n；当n=2，4，…等偶数时，2n<3n，
所以22009>32009.