广东省东莞市三校2015-2016学年高一下学期期中联考数学模拟试卷(二) Word版含答案
精品：【全国百强校】广东省仲元中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
第Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．120-°的角所在象限是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C 【解析】试题分析：由象限角得定义可知，120-°的角所在象限是第三象限角. 考点：象限角.2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 【答案】C考点：弧度制.3．在四边形ABCD 中，+=，则下列结论一定正确的是( ) A ． ABCD 一定是矩形 B ． ABCD 一定是菱形 C ． ABCD 一定是正方形 D ． ABCD 一定是平行四边形【答案】D 【解析】试题分析：在四边形ABCD 中，∵AC AB AD AC AB BC =+=+，，AD BC =，即//AD BC ，且AD BC =，如图所示；∴四边形ABCD 是平行四边形． 考点：向量的加法及其几何意义．4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ． 54 【答案】D 【解析】试题分析：由任意角的三角函数公式可知，4sin 5α==. 考点：任意角的三角函数. 5．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 【答案】C考点：正弦函数的单调性．6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ) A ．91-B ．92C ．98-D ． 32 【答案】C 【解析】 试题分析：()21118sin cos ,sin cos 1sin 2sin 23999αααααα+=∴+=⇔+=∴=-，故选C.考点：1.同角的基本关系；2.正弦的二倍角公式. 7．向量)1,2(),2,1(=-=，则（ ）A ． a ∥bB ． a ⊥bC ． a 与b 的夹角为60°D ． a 与b 的夹角为30° 【答案】B 【解析】 试题分析：(1,2),(2,1)(1,2)(2,1)0a b a b a b =-=∴⋅=-⋅=∴⊥.考点：平面向量的数量积的坐标运算.8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足λ=,10<<λ,则AM AB ⋅的最大值( ) A ． 4 B ．2 C ．λ2 D ．λ2- 【答案】A考点：平面向量的数量积.9．函数x x y 22sin cos -=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数 【答案】A【解析】 试题分析：22()cos sin ()()cos 2()f x x x x R f x x x R =-∈∴=∈，所以函数()f x 是最小正周期为π的偶函数.考点：1.余弦的二倍角公式；2.三角函数的性质.10．若函数x x f 2sin )(=，则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为（ ） A ． )0,4(πB ． )0,3(πC ． )0,2(πD ． )0,(π 【答案】C 【解析】试题分析：令22,x k k Z ππ=+∈，所以,2x k k Z ππ=+∈，所以()f x 图象的一个对称中心的坐标为)0,2(π.考点：正弦函数的性质.11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位【答案】B考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数x y 2sin =到函数12cos -=x y 的图像，即可得到选项．【方法点睛】三角函数图象变换： (1)振幅变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω (3)相位变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ (4)复合变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω.12．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若PB PA PC PD ++=+)1(2λ，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】B考点：平面向量的基本定理及其意义．【思路点睛】本题考查平面向量的基本定理，通过D 为AB 的中点可得2PD PA PB =+，利用()21PD PC PA PB λ+=++化简可得PC PA λ=，通过PBA 与PBC 的面积相等可得P 为AC 的中点，进而可得结论．第Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量)1,2(-=_________． 【答案】5 【解析】(22a =+=.考点：向量的模.14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________． 【答案】23 【解析】()75sin 4515sin 60︒+︒=︒+︒=︒+︒=︒=考点：三角恒等变换.15．已知向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，则锐角α等于 ． 【答案】4π考点：1.平面向量平行的坐标运算公式；2.任意角的三角函数值.【思路点睛】向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，根据平面向量平行的坐标运算公式，可得12sin cos 6sin 21ααα=⇒=，然后再根据三角函数值，所以22,2k k Z παπ=+∈，又α为锐角，即可求出结果.16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且DC BD 2=,若R AC AB AD ∈+=μλμλ,,,则=λ ，=μ ． 【答案】31，32考点：平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题主要考查平面向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由2=得到1322AC AB AD =-+，这即可得到12,33AD AB AC =+，从而可以求出λ和μ的值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知函数)6sin()(π+=x x f .(1)利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图（先在答题卡中所给的表格中填上所需 的数值，再画图）；(2)当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值． 【答案】（1）详见解析；（2）函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，取得最小值时对应的x 的值为π．【解析】试题分析：（1）利用“五点作图法”即可列出表格，作出图像； (2)[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x ， 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1，当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-.试题解析：解：(1)列表如下……………3分 图像（略） ……………6分 (2)[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x ……………7分 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1， ……………8分当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-， ……………9分 ∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．……10分考点：1.五点法作函数()y Asin x ωϕ=+ 的图象；2.正弦函数的图象． 【方法点睛】①函数sin y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,1)2π-，(2,0)π；函数cos y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,1)，(,0)2π，(,1)π-，3(,0)2π，(2,1)π．18．(本小题满分12分)已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ． 【答案】（1）1m =-；（2）考点：数量积表示两个向量的夹角．19．（本小题满分12分）已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos(1)根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】（1）1cos 126y t π=+；（2）上午9∶00至下午3∶00. 【解析】试题分析：(1)设函数()()si 0(0)n f t A t k A ωϕω=++>>，，从表格中找出同(6)0.5，和(12)1.5，是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期12T =并得到6πω=，算出12A =和1k =，最后根据6x =时函数有最小值0.5解出2πϕ=，从而得到函数()y f t =近似表达式；考点：三角函数的图像与性质． 20．(本小题满分12分)已知向量)1,2(),sin ,(cos -==θθ （1）若b a ⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0,2πθ，求)4sin(πθ+的值． 【答案】（1）13 ；（2【解析】试题分析：（1）由⊥可知，0sin cos 2=-=⋅θθ，所以θθcos 2sin =， 然后再利用同角的基本关系，即可求出结果；（2）由)1sin ,2(cos +-=-θθ2=，化简可得0sin cos 21=+-θθ，①，又1sin cos 22=+θθ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ，再利用两角和公式即可求出结果.考点：1.同角的基本关系；2.两角和差的正弦公式.21．（本小题满分12分） 已知(3sin ,1)a x =，(cos ,2)b x = （1）若//a b ，求tan 2x 的值； （2）若()()f x a b b =-⋅，求()f x 的单调递增区间．【答案】（1 ；（2）,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）//23sin cos 0a b x x ⇒-=，化简可得tan x =；然后再利用两角和的正切公式即可求出结果；（2）215()()3sin cos cos 22cos 222f x a b b x x x x x =-⋅=--=--5sin(2)62x π=--……………8分然后再根据正弦函数的性质，即可求出结果.考点：1.平行向量平行的坐标运算公式；2.三角函数的性质.【方法点睛】三角函数()sin y A x k ωϕ=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T πω=可求得；2.单调性：令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令 2,2x k k Z πωϕπ+=+∈或2,2x k k Z πωϕπ+=-+∈，即可求出函数取最大或最小值时的x 取值集合.22．（本小题满分12分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=(1)求)24(πf 的值；(2)若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值；(3)若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x x x x <，分别求实数 a 与2111x x +的取值范围．【答案】（11+ ；（2）6π；（3）(2,3) 【解析】 试题分析：(1)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入24x π= 即可． (2)根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定m 的范围． (3)把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定a 的范围，根据函数的对称，求得12x x +的值，进而表示出2111x x +的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于 直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++（02x π<<）有两个交点.∵当02x π<<时， 由(2)知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， …9分 且(0)2,()3,()0,62f f f ππ=== ∴ 23a << 即实数a 的取值范围是(2,3) ……………10分考点：1.函数中的恒等变换应用；2.三角函数的单调性．。
广东省东莞市三校2014-2015学年高一上学期期中联考数学试卷
广东省东莞市三校2014-2015学年高一上学期期中联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C ⋂⋃（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3,4 2.下列四组中()()x g x f ,表同一函数的是( ) A ．()()()2,x x g x x f == B ．()()33,x x g x x f == C ．()()xxx g x f ==,1 D ．()()x x g x x f ==,3.若⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(2x x x x x f ，则[]=-)2(f f （ ）A ． 4B ．3C ．2D ．14．设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()33801,3xx x +-=∈在内近似解的过程中取区间中点02x =，那么下一个有根区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,2)或(2,3)D ．不能确定5．函数0()(2)f x x -的定义域为（ ） A ．{}2x x ≠ B ．[)()1,22,+∞ C ．{}1x x > D ．[)1,+∞6.下列函数是偶函数的是：( )A ．x y =B ．21x y = C ．322-=x y D ．]1,0[,2∈=x x y 7.当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是( )8.设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则：( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 9.函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值的和为3，则函数31y ax =-在[]0,1的最大值是( )．A ．6B ．1C ．5 D.3210．已知函数22,(1)(),()(,)(21)36,(1)x ax x f x f x a x a x -+≤=-∞+∞--+>⎧⎨⎩若在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,)2+∞ C ．[1,)+∞ D ．[1,2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知幂函数()y f x =的图象经过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的解析式为 .12.}15|{},11|{-<>=+<<-=x x x B a x a x A 或,且φ=B A ，则a 的取值范围 .13．函数log (1)2(0,1)a y x a a =-+>≠的图像恒经过的定点是________. 14.已知定义在[2,2]-上的函数)(x f y =和)(x g y =，其图象如下图所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本题满分12分）已知集合{|240}A x x =-<，{|05}B x x =<<， 全集U R =，求：（1）A B ； （2）()U C A B .16.（本题满分12分）计算下列各式的值：（1）333322log 2log log 89-+ （2）03142716258⎛⎫- ⎪⎝⎭＋＋17.（本题满分14分）已知函数1()f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数()f x 在区间[1,+∞）上为增函数.18.（本题满分14分）已知函数2()log (2)a f x x =+,若(5)3f =；（1）求a 的值； （2）求f 的值； （3）解不等式)2()(+<x f x f .19.（本题满分14分）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.550.75元元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(0.4)x -元成反比例．又当0.65x =时，0.8y =. （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]20.(本小题满分14分)已知幂函数(2)(1)(),k k f x x k Z -+=∈,且()f x 在()0,+∞上单调递增.（1）求实数k 的值,并写出相应的函数()f x 的解析式；（2）若()2()43F x f x x =-+在区间[2,1]a a +上不单调．．．,求实数a 的取值范围； （3）试判断是否存在正数q ,使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-.若存在,求出q 的值;若不存在,请说明理由.高一 数学 答案一、选择题：本大题共有102小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．11．12y x = 12．]4,0[ 13.(2,2) 14．(1)(3)(4) 三、解答题15.（本题满分12分）解：{|240}A x x =-<{|2}x x =<,{|05}B x x =<< （1）{|02}A B x x =<<……………………6分（2）{|2}U C A x x =≥………………………………8分(){|2}{|05}U C A B x x x x =≥<<{|25}x x =≤< ……12分16.（本题满分12分）解（1）原式=2log log93932843==⨯；…………6分（2）原式418516=-++=…………12分 17.（本题满分14分）解：（1）函数1()f x x x=+是奇函数，…………1分 ∵函数1()f x x x=+的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，在x 轴上关于原点对称…………3分且11()()()f x x x f x x x -=-+=-+=--，…………6分 ∴函数1()f x x x=+是奇函数。
2016届广东省东莞市四校高一上学期期中联考数学试题(含答案解析、)
B. y＝ x
1 2
C.y＝2 log 0.3 x ）
D. y＝－x
8、.函数 f ( x ) =
4− x + log 3 ( x + 1) 的定义域为（ x −1
A.（ −1 ， +∞ ） C.（ −1 ，4） 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
B. [ −1 ，1） U(1, 4] D.（ −1,1 ） U （ 1, 4]
x−3 x+3
x −3 > 0 得 f ( x) 的定义域为 (−∞, −3) U (3, +∞) ，关于原点对称。 x+3 −x − 3 x+3 x − 3 −1 Q f (− x) = log m = log m = log m ( ) = − f ( x) x−3 x+3 −x + 3
解：(1)由
11、已知幂函数 y = f ( x) 的图象过点 3，
3 1 ，则 f ( ) ＝ 3 4
12、已知定义在 R 上的函数 f(x)的图像是连续不断的，且有如下部分对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.135 15.552 －3.92 10.88 － － 52.488 232.064 可以看出函数至少有 个零点.
积）. （1）求商品的日销售额 F (t ) 的解析式； （2）求商品的日销售额 F (t ) 的最大值. 解：
F ( x) =
{
(t + 20)(−t + 30) = −t 2 + 10t + 600(0 ≤ t < 10, t ∈ N ) (−t + 40)(−t + 30) = t 2 − 70t + 1200(10 ≤ t ≤ 20, t ∈ N )
广东省汕头市2015-2016学年高一下学期期末教学质量检测考试数学试卷 Word版含答案
绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高 一 数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}02A x x =<<，{}220B x x x =+-≥，则A B ⋂=( )A ．(]0,1B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,22．sin 160cos 10cos 20sin 10︒︒+︒︒=( )A ．12B ．﹣12C D ． 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．3,y x x R =∈ B ．sin ,y x x R =∈ C ．Rx x y ∈-=,D ．1(),2x y x R =∈4．已知a ⊥b ，并且a =(3,x )，b =(7,12), 则x =( )A ．﹣74B ．74C ．﹣73D ．735．若4tan 3α=，则cos 2α等于( )A ．725B ．725-C ．1D 6．某学校数学兴趣班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是( )A ．10B ．11C ．12D ．137．已知01x y a <<<<，则有A ．()log 0<a xyB ．()0log 1a xy <<C ．()1log 2a xy <<D ．()log 2a xy >8．要得到sin(2)4y x π=-+的图象，只需将sin(2)y x =-的图象( )A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ． 向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位9．已知平面向量a 、b 满足：22a b a b ==-≠0，则a 与bA ．3π B ．6π C ．23πD ．56π10．如果执行右面的框图，输入N =5，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．5611．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则49a b+的最小值为( A ．24B ．25C ．26D ．2712．已知x R ∈，用()A x 表示不小于x 的最小整数，如2A =( 1.2)1A -=-，若(21)3A x +=，则x 的取值范围是( )A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．高一(4)班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是 ；14．已知x ，y 满足不等式4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且函数2z x y a =+-的最大值为8，则常数a 的值为 ；15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6π=x ，则函数()f x 的最大值为 ；16．定义一种运算,,a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，令()()2236(23)f x x x x x =+⊗+-，则函数()f x 的最大值是 ；三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且115a =-，555S =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若不等式n S t >对于任意的*∈n N 恒成立，求实数t 的取值范围．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin c Acos C =0． (1)求角C 的大小；(2)若2c =，求△ABC 的面积S 的最大值．19．(本小题满分12分)从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm 、155cm 、160cm 、165cm 、170cm 的学生各一名，其身高和体重数据如表所示：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，计算身高为168cm 时，体重的估计值yˆ为多少？ 参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x y nxyb xx xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.20．(本小题满分12分)设函数2()(1)1f x ax a x =-++．(1)若不等式()f x mx <的解集为{}12x x <<，求实数a 、m 的值； (2)解不等式()0f x <．21．(本小题满分12分)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且24n n S a n =+-．(1)求1a 的值；(2)若1n n b a =-，试证明数列{}n b 为等比数列； (3)求数列{}n a 的通项公式，并证明：121111na a a +++<．22．(本小题满分12分)对于函数()f x ，若0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数)(x f 的一阶不动点；若0x 满足[]00()f f x x =，则称0x 为函数()f x 的二阶不动点．(1)若()23f x x =+，求()f x 的二阶不动点；(2)若()f x 是定义在区间D 上的增函数，且0x 是函数()f x 的二阶不动点，求证：0x 也必是函数()f x 的一阶不动点；(3)设()x f x e x a =++，a R ∈，若()f x 在[]0,1上存在二阶不动点0x ，求实数a 的取值范围．汕头市2015—2016学年度普通高中教学质量监测高一数学答案一、选择题（每小题5分,共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.101； 14. 4； 15. 1； 16. 4 三、解答题（满分70分）17.解: ⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由151-=a ，d a s 245515⨯+= ……… 1分 得5510515-=+⨯-d ， ……… 2分 解得2=d ， ……… 3分∴1722)1(15-=⋅-+-=n n a n ， ……… 4分所以数列{}n a 的通项公式为172-=n a n ， ……… 5分 ⑵由⑴得n n n n S n 162)17215(2-=-+-=， ……… 6分∵6464)8(1622-≥--=-=n n n S n ……… 7分 ∴对于任意的*n ∈N ，64-≥n S 恒成立，……… 8分∴若不等式t S n >对于任意的*n ∈N 恒成立，则只需64-<t ，……… 9分 因此所求实数t 的取值范围为)64,(--∞。
广东省佛山一中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2015-2016学年广东省佛山一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量，=（﹣5，），=（10，﹣），则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A．50 B．49 C．48 D．474．若等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r，则r=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．（文）已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A．80 B．40 C．20 D．106．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．7．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（）A．ab≥1 B．+＞2 C．a3+b3≥3 D．+≥28．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．19．如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（）km．A．7 B．8 C．9 D．610．在△ABC中，sinB=，cosA=，则sinC为（）A．B．C．D．或11．函数f（x）=sin（﹣x）sinx的最大值是（）A．B．1 C．﹣D．+12．已知正项数列{a n}满足：a1=3，（2n﹣1）a n+2=（2n+1）a n+8n2（n＞1，n∈N*），设，﹣1数列{b n}的前n项的和S n，则S n的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题：本答题共4小题，每小题5分.13．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．14．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．15．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．16．如图所示，在△ABC中，D为边AC的中点，BC=3BE，其中AE与BD交于O点，延长CO交边AB于F点，则=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，有6题共70分.17．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．（1）求•及|+|；（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cosθ的值．18．化简并计算：（1）sin50°（1+tan10°）；（2）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（，π），sin（﹣β）=，β∈（0，），求cos （α+β）的值．19．在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c．已知acosB﹣b=﹣．（1）求角A；（2）若a=，求b+c的取值范围．20．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=10，a n+1=9S n+10．（1）求证：{lga n}是等差数列；（2）设对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．21．设f（k）是满足不等式log2x+log2（5•2k﹣1﹣x）≥2k（k∈N*）的自然数x的个数．（1）求f（k）的函数解析式；（2）S n=f（1）+2f（2）+…+nf（n），求S n．22．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．（1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）2015-2016学年广东省佛山一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量，=（﹣5，），=（10，﹣），则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可得=﹣，由向量的共线定理可得．【解答】解：∵=（﹣5，），=（10，﹣），∴=﹣，∴与平行且反向，故选：D．2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【考点】不等关系与不等式．【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，∴C、D不正确；=﹣3，=﹣∴A不正确，B正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：B．3．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A．50 B．49 C．48 D．47【考点】等差数列的通项公式．【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由a n=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值．【解答】解：设公差为d，∵a1=，a2+a5=4，∴a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=．再由a n=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）×=33，解得n=50，故选A．4．若等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r，则r=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据a n=S n﹣S n求得数列的通项公式，进而求得a1，根据a1=S1求得r．﹣1=2n﹣1+r，（n≥2，n∈N+），【解答】解：∵S n=2n+r，S n﹣1∴a n=S n﹣S n=2n﹣1，﹣1又a1=S1=2+r，由通项得：a2=2，公比为2，∴a1=1，∴r=﹣1．故选：D．5．（文）已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A．80 B．40 C．20 D．10【考点】等差数列的通项公式．【分析】因为S n表示数列的前n项的和，所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和，进而可得到答案．【解答】解：由题意可得：a5=S5﹣S4，因为S n=2n（n+1），所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，所以a5=20．故选C．6．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．7．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（）A．ab≥1 B．+＞2 C．a3+b3≥3 D．+≥2【考点】不等式的基本性质．【分析】对于此类问题需要逐一判断命题的真假性，可用排除法求解，用特殊值法代入排除B、C，其他命题用基本不等式a+b≥2进行判断即可．【解答】解：对于A，ab≥1：由2=a+b≥2，∴ab≤1，命题A错误；对于B，+＞2：令a=b=1，则+=2，所以命题B错误；对于C，a3+b3≥3：令a=1，b=1，则a3+b3=2＜3，所以命题C错误；对于D，+≥2：由a+b=2，0＜ab≤1，得+==≥2，命题D正确．故选：D．8．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．9．如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（）km．A．7 B．8 C．9 D．6【考点】解三角形的实际应用．【分析】分别在△ACD，ABC中使用余弦定理计算cosB，cosD，令cosB+cosD=0解出AC．【解答】解：在△ACD中，由余弦定理得：cosD==，在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∵B+D=180°，∴cosB+cosD=0，即+=0，解得AC=7．故选：A．10．在△ABC中，sinB=，cosA=，则sinC为（）A．B．C．D．或【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先判断A，B的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和的正弦即可求得答案【解答】解：∵在△ABC中，由cos=＞cosA=＞=cos，A∈（0，π），∴＜A＜，∴sinA==，∴＜sinB=＜1∴＜B＜，或＜B＜，∴cosB==±，sinA==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，或sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=﹣+=，故选：D．11．函数f（x）=sin（﹣x）sinx的最大值是（）A．B．1 C．﹣D．+【考点】三角函数的最值．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得函数的最值．【解答】解：函数f（x）=sin（﹣x）sinx=（sin cosx﹣cos sinx ）sinx=sin2x﹣•=sin（2x+）﹣，故函数的最大值为﹣，故选：C．12．已知正项数列{a n}满足：a1=3，（2n﹣1）a n+2=（2n+1）a n﹣1+8n2（n＞1，n∈N*），设，数列{b n}的前n项的和S n，则S n的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】本题通过递推关系，可以得到，即数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，可求，，通过裂项可求s n=，当n=1时，s1=，n→+∞时，s n→．故可以排除A，C，D答案选B．【解答】解：∵（2n﹣1）a n+2=（2n+1）a n﹣1+8n2（n＞1，n∈N*），∴（2n﹣1）a n﹣（2n+1）a n﹣1=2（4n2﹣1），又n＞1，等式两端同除以4n2﹣1得：，即数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴=2n﹣1，∴=，∴s n==．∴，故答案为B．二、填空题：本答题共4小题，每小题5分.13．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．14．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于9．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为：9．15．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．【考点】基本不等式．【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为16．如图所示，在△ABC中，D为边AC的中点，BC=3BE，其中AE与BD交于O点，延长CO交边AB于F点，则=．【考点】三角形中的几何计算．【分析】取AE的中点M，连接DM，确定BO=DO，取CF的中点N，连接DN，则FO=ON，即可得出结论．【解答】解：取AE的中点M，连接DM，则EC=2DM，∵BC=3BE，∴EC=2BE，∴DM=BE，∴BO=DO．取CF的中点N，连接DN，则FO=ON，∵CN=FN，∴CO=3FO，∴=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，有6题共70分.17．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．（1）求•及|+|；（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cosθ的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据数量积的计算公式即可求出，而由即可求出；（2）同理可以求出的值，而可求出，从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出cosθ．【解答】解：（1）=；∴=；∴；（2）同理可求得；；∴=．18．化简并计算：（1）sin50°（1+tan10°）；（2）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（，π），sin（﹣β）=，β∈（0，），求cos（α+β）的值．【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．（2）求出所求角的范围，利用两角和与差的三角函数，化简求解即可．【解答】解：（1）课本P146，5（4）sin50°（1+tan10°）==sin50°=sin50°===1；…（2）∵∴，∴…，∴…9分∵…∴…19．在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c．已知acosB﹣b=﹣．（1）求角A；（2）若a=，求b+c的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知可得a2=c2+b2﹣bc，根据余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．（2）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，∵acosB﹣b=﹣，由正弦定理可得：acosB﹣b=﹣，∴由余弦定理可得：a×﹣b=﹣，整理可得：a2=c2+b2﹣bc，∴cosA==，∵A ∈（0，π），∴A=．…6分（2）∵由余弦定理得，a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，则3=b 2+c 2﹣bc ， ∴（b+c ）2﹣3bc=3，即3bc=（b+c ）2﹣3≤3[（b+c ）]2，化简得，（b+c ）2≤12（当且仅当b=c 时取等号），则b+c ≤2， 又∵b+c ＞a=，综上得，b+c 的取值范围是（，2]…12分20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=10，a n+1=9S n +10． （1）求证：{lga n }是等差数列；（2）设对所有的n ∈N *都成立的最大正整数m 的值．【考点】等差关系的确定；数列的求和．【分析】（1）依题意可求得a 2的值，进而求得的值，进而看当n ≥2时，根据a n =S n ﹣S n﹣1求得判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得a n ，进而分别表示出lga n 和lga n+1，根据lga n+1﹣lga n =1，判断出lga n }n ∈N *是等差数列．（2）根据（1）中求得a n 利用裂项法求得T n ，进而根据3﹣≥，进而根据求得m 的范围．判断出m 的最大正整数．【解答】解：（1）依题意，，当n ≥2时，a n =9S n ﹣1+10①又a n+1=9S n +10②②﹣①整理得：为等比数列，且a n =a 1q n ﹣1=10n ，∴lga n =n ∴lga n+1﹣lga n =（n+1）﹣n=1， 即{lga n }n ∈N *是等差数列．（2）由（1）知，=∴，依题意有，故所求最大正整数m的值为5．21．设f（k）是满足不等式log2x+log2（5•2k﹣1﹣x）≥2k（k∈N*）的自然数x的个数．（1）求f（k）的函数解析式；（2）S n=f（1）+2f（2）+…+nf（n），求S n．【考点】数列的应用；对数的运算性质；数列的求和．【分析】（1）由原不等式得log2（5•2k﹣1x﹣x2）≥2k=log222k，则x2﹣5•2k﹣1x+22k≤0，得到x的取值范围后，就能求出f（k）的解析式；（2）由S n=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+2•2+…+n•2n﹣1）+（1+2+…+n），利用错位相减法、等差数列的求和公式，即可求得结果．【解答】解：（1）由原不等式得log2（5•2k﹣1x﹣x2）≥2k=log222k，则x2﹣5•2k﹣1x+22k≤0，故2k﹣1≤x≤4•2k﹣1．∴f（k）=4•2k﹣1﹣2k﹣1+1=3•2k﹣1+1（k∈N*）；（2）kf（k）=3k•2k﹣1+k．S n=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+2•2+…+n•2n﹣1）+（1+2+…+n），设t=1+2•2+…+n•2n﹣1（1）2t=1•2+2•22+…+n•2n（2）（1）式减（2）式得﹣t=1+2+…+2n﹣1﹣n•2n∴t=（n﹣1）•2n+1∴．22．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．（1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据题意，3﹣x与t+1成反比例，列出关系式，然后根据当t=0时，x=1，求出k的值，通过x表示出年利润y，并化简，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（1）的函数，分别进行化简，利用关于t的方程必须有两正根建立关系式，可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．【解答】解：（1）由题意：，且当t=0时，x=1．所以k=2，即．当年销量为x万件时，成本为3+32x（万元）．化妆品的售价为（万元/万件）所以年利润y=（万元）把代入整理得到，其中t≥0．（2）去分母整理得到：t2+2（y﹣49）t+2y﹣35=0．该关于t的方程在[0，+∞）上有解．当2y﹣35≤0，即y≤17.5时，必有一解．当2y﹣35＞0时，该关于t的方程必须有两正根所以．解得：17.5＜y≤42．综上，年利润最大为42万元，此时促销费t=7（万元）．所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．…2016年7月23日。
2015-2016年广东省东莞市四校联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年广东省东莞市四校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z＝﹣2+2i，则的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣22．（5分）要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法3．（5分）现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．54B．65C．D．6×5×4×3×24．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限5．（5分）已知f（x）＝a sin2x﹣sin3x（a为常数），在x＝处取得极值，则a＝（）A．B．1C．D．6．（5分）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（n）＝+++…+，则f（k+1）等于（）A．f（k）+B．f（k）+C．f（k）+++﹣D．f（k）+﹣8．（5分）已知f（x）＝+2xf′（1），则f′（1）等于（）A．0B．﹣1C．2D．19．（5分）函数的最大值为（）A．B．e C．e2D．10．（5分）已知f（n）＝1+++…+（n∈N*），计算得f（2）＝，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）11．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）设D是函数y＝f（x）定义域内的一个子区间，若存在x0∈D，使f （x0）＝﹣x0，则称x0是f（x）的一个“开心点”，也称f（x）在区间D上存在开心点．若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2a﹣在区间[﹣3，﹣]上存在开心点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[﹣，0]C．[﹣，0]D．[﹣，﹣]二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 13．（5分）已知函数f（x）＝x﹣4lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．14．（5分）从0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为．（用数字作答）15．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r ＝．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（10分）已知复数Z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i，当实数m为何值时：（1）Z为实数；（2）Z为纯虚数；（3）复数Z对应的点Z在第四象限．17．（12分）快毕业了，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（每题都要用数字作答）（1）两名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣5x+4lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*都有S n＝2a n﹣n，（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；（2）猜想数列{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明；（3）求证：对任意n∈N*都有．20．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）＝k有3个解，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（1）求a的取值范围；（2）求函数g（x）＝ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；（3）设a＞1，b＞0，求证：．2015-2016学年广东省东莞市四校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z＝﹣2+2i，则的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣2【解答】解：因为复数z＝﹣2+2i，则＝﹣2﹣2i，所以的虚部为﹣2；故选：D．2．（5分）要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法【解答】解：用分析法证明如下：要证明+＜2，需证＜，即证10+2＜20，即证＜5，即证21＜25，显然成立，故原结论成立．综合法：∵﹣＝10+2﹣20＝2（﹣5）＜0，故+＜2．反证法：假设+≥2，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选：B．3．（5分）现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．54B．65C．D．6×5×4×3×2【解答】解：∵每位同学均有6种讲座可选择，∴5位同学共有6×6×6×6×6＝65种，故选：B．4．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，∴（1+i）（1﹣i）z＝2i（1+i），化为z＝i﹣1则z在复平面内对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：C．5．（5分）已知f（x）＝a sin2x﹣sin3x（a为常数），在x＝处取得极值，则a＝（）A．B．1C．D．【解答】解：f′（x）＝2a cos2x﹣cos3x，根据函数f（x）在x＝处有极值，故应有f′（）＝0，即2a cos﹣cos（3×）＝﹣2×a+1＝﹣a+1＝0解得a＝1，故选：B．6．（5分）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（）A．B．C．D．【解答】解：先把4个女生捆绑在一起，当一个整体，有种方法，再把此整体与另外的4个男生进行排列，有种方法，故不同排法的种数为•，故选：D．7．（5分）已知f（n）＝+++…+，则f（k+1）等于（）A．f（k）+B．f（k）+C．f（k）+++﹣D．f（k）+﹣【解答】解：f（n）＝+++…+，∴f（k）＝+++…+f（k+1）＝+++…+＝+++…+＝f（k）+++﹣．故选：C．8．（5分）已知f（x）＝+2xf′（1），则f′（1）等于（）A．0B．﹣1C．2D．1【解答】解：∵f（x）＝+2xf′（1），∴f′（x）＝x2+2f′（1），∴f′（1）＝1+2f′（1），∴f′（1）＝﹣1，故选：B．9．（5分）函数的最大值为（）A．B．e C．e2D．【解答】解：令，当x＞e时，y′＜0；当x＜e时，y′＞0，，在定义域内只有一个极值，所以，故选：A．10．（5分）已知f（n）＝1+++…+（n∈N*），计算得f（2）＝，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）【解答】解：观察已知的等式：f（2）＝，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．11．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x＝﹣2时，f′（x）＝0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x＝﹣2时，xf′（x）＝0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选：A．12．（5分）设D是函数y＝f（x）定义域内的一个子区间，若存在x0∈D，使f （x0）＝﹣x0，则称x0是f（x）的一个“开心点”，也称f（x）在区间D上存在开心点．若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2a﹣在区间[﹣3，﹣]上存在开心点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[﹣，0]C．[﹣，0]D．[﹣，﹣]【解答】解：依题意，存在x∈[﹣3，﹣]，使F（x）＝f（x）+x＝ax2﹣2x﹣2a ﹣+x＝0，解得a＝，由a′＝＝0，求出[﹣3，﹣]上的x＝﹣2，此时a＝﹣；当x＝﹣3时，a＝﹣；x＝﹣时，a＝0，故实数a的取值范围是[﹣，0]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 13．（5分）已知函数f（x）＝x﹣4lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4＝0．【解答】解：函数f（x）＝x﹣4lnx，所以函数f′（x）＝1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4＝0故答案为：3x+y﹣4＝014．（5分）从0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为300．（用数字作答）【解答】解：先排末尾，从1，3，5中选择一个，再排首位，从剩下的（不包含0）的5个数字中选一个，最后排中间，从剩下的5个数字选2个任意排，故有个，故答案为：300．15．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r＝．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r∴r＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（10分）已知复数Z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i，当实数m为何值时：（1）Z为实数；（2）Z为纯虚数；（3）复数Z对应的点Z在第四象限．【解答】解：（1）由m2﹣2m﹣15＝0，得m＝﹣3或m＝5．所以，当m＝﹣3或m＝5时，z为实数；（2）由得m＝﹣2．所以，当m＝﹣2时，z为纯虚数；（3）由得﹣2＜m＜5．所以，当﹣2＜m＜5时，复数z对应的点Z在第四象限．17．（12分）快毕业了，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（每题都要用数字作答）（1）两名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．【解答】解：（1）∵两个女生必须相邻而站；∴把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有A66A22＝1440．（2）∵4名男生互不相邻；∴应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有A33A44＝144．（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有A73种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，则男生的顺序只有2种，将4人排在剩余的4个空位上即可，则共有2×A73＝420种不同站法．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣5x+4lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）要使f（x）有意义，则x的取值范围是（0，+∞）所以函数的定义域为（0，+∞）（1分）因为．（3分）由f'（x）＞0得．因为f'（x）＝3x2+2ax，所以x＝2，解得即f'（2）＝0，或a＝﹣3．（6分）由f（1）＝1+a+b＝0得b＝2因为f'（x）＝3x2﹣6x＝0，所以x1＝0，x2＝2，即x．（9分）所以（﹣∞，0）的单调增区间为0；单调减区间为（0，2）．（10分）（2）由（1）知当x＝1时，函数f（x）取得极大值为（11分）当x＝4时，函数f（x）取得极小值为f（4）＝﹣12+4ln4（12分）19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*都有S n＝2a n﹣n，（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；（2）猜想数列{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明；（3）求证：对任意n∈N*都有．【解答】解：（1）令n＝1得，S1＝2a1﹣1＝a1，故a1＝1；令n＝2得，S2＝2a2﹣2＝a1+a2＝1+a2，故a2＝3；令n＝3得，S3＝2a3﹣3＝a1+a2+a3＝1+3+a3，故a3＝7；（2）由（1）可以猜想a n＝2n﹣1，下面用数学归纳法进行证明：①当n＝1时，结论显然成立；②假设当n＝k时结论成立，即a k＝2k﹣1，从而由已知S n＝2a n﹣n可得：S k＝2a k﹣k＝2（2k﹣1）﹣k＝2k+1﹣k﹣2．故S k+1＝2k+2﹣k﹣3．∴a k+1＝S k+1﹣S k＝（2k+2﹣k﹣3）﹣（2k+1﹣k﹣2）＝2k+1﹣1．即，当n＝k+1时结论成立．综合①②可知，猜想a n＝2n﹣1成立．即，数列{a n}的通项为a n＝2n﹣1．（3）∵a n＝2n﹣1，∴a n+1﹣a n＝（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）＝2n，∴，∴对任意n∈N*都有．20．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）＝k有3个解，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）令f′（x）＝0，得x＝2或x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x＝﹣2时，f（x）有极大值，当x＝2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．21．（12分）已知函数f（x）＝+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（1）求a的取值范围；（2）求函数g（x）＝ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；（3）设a＞1，b＞0，求证：．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）＝﹣+，因为函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f′（x）＝﹣+≥0在（1，+∞）上恒成立，即x≥在（1，+∞）上恒成立，所以只需1≥，又因为a＞0，所以a≥1；（2）因为x∈[0，+∞），所以g′（x）＝﹣1＝≤0所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）＝ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值为g（0）＝0．（3）证明：因为a＞1，b＞0，所以＞1，由（1）知f（x）＝+lnx在（1，+∞）上是增函数，所以f（）＞f（1），即+ln＞0，化简得＜ln，又因为＝1+，由第（2）问可知g（）＝ln（1+）﹣＜g（0）＝0，即ln＜，综上得证．。
广东省肇庆市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题扫描版含答案
2015—2016学年第二学期统一检测题高一数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题（13）2 （14）120 （15）35 （16）),4[]0,(+∞-∞三、解答题（17）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，由已知5,1056==S a ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+52)15(5510511d a d a ， （2分） 解得⎩⎨⎧=-=351d a ， （4分） 所以d a a 718+=16375=⨯+-=. （5分） （或者163210268=⨯+=+=d a a ）（Ⅱ）解法一：设数列}{n b 的公差为q ，由已知45,106431=+=+b b b b ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q b q b q b b ， （7分） 解得⎪⎩⎪⎨⎧==2181q b ， （9分） 所以q q b S --=1)1(515231)2/1(1))2/1(1(85=--=. （10分） 解法二：设数列}{n b 的公差为q .由64331)(b b q b b +=+，得45103=q ， （6分） 从而得21=q . （7分） 又因为1045)1(12131=⨯=+=+b q b b b ， （8分） 从而得81=b . （9分） 所以q q b S --=1)1(515231)2/1(1))2/1(1(85=--=. （10分）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为α是第三象限角，所以0cos <α. （1分）又因为1cos sin 22=+αα，所以αα2sin 1cos --= 545312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=.（ 3分） 故αααcos sin tan =435453=--=， （5分） 4tan tan 14tantan 4tan παπαπα+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-711431143-=⨯+-=. （8分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5α=-，54cos -=α， 所以ααα22sin cos 2cos -=257535422=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （12分） （或者2575321sin 212cos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=αα）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：1222cos 222sin 2)(+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=x x x f 14sin 2cos 4cos 2sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=ππx x 142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx （2分）要使)(x f 递减，则42π+x 要满足：Z k k x k ∈+≤+≤+,2324222πππππ， （4分） 即Z k k x k ∈+≤≤+,858ππππ， （5分） 所以函数)(x f 的递减区间是)(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ； （6分） 解法二：1222cos 222sin 2)(+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅=x x x f14cos 2cos 4sin 2sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅=ππx x142cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛-=πx（2分） 要使)(x f 递减，则42π-x 要满足：Z k k x k ∈+≤-≤,2422ππππ，（4分） 即Z k k x k ∈+≤≤+,858ππππ，（5分） 所以函数)(x f 的递减区间是)(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ.（6分） （Ⅱ）解法一： 因为44ππ≤≤-x ，所以43424πππ≤+≤-x ，（7分） 所以142sin 22≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤-πx ，（9分） 所以242sin 21≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤-πx ， 所以21142sin 20+≤+⎪⎭⎫⎝⎛+≤πx .（10分） 故当]4,4[ππ-∈x 时，函数()f x 的最小值是0，此时2242sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，得4π-=x ； （11分） 函数()f x 的最大值是21+，此时142sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，得8π=x . （12分） 解法二： 因为44ππ≤≤-x ，所以44243πππ≤-≤-x （7分） 所以142cos 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ， （9分） 所以242cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ， 所以21142cos 20+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx . （10分） 故当]4,4[ππ-∈x 时， 函数()f x 的最小值是0，此时2242cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，得4π-=x ； （11分） 函数()f x 的最大值是21+，此时，142cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，得8π=x . （12分）（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2n S n =， 所以当1=n 时，111==S a ， （1分）当2≥n 时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ， （2分）显然11=a 适合上式，所以}{n a 的通项公式为.12-=n a n （3分） 设数列}{n b 的公比为q . 因为112211)(,1b a a b b a =-==，所以122=⨯b ，（4分） 所以212=b ，公比2112==b b q . （5分） 故}{n b 的通项公式为111121211---=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅=n n n n qb b . （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得12122n n n n n c a b -==， （7分） 所以n n n n c c c c T 21225232132321-++++=++++= （8分）所以12212252312--++++=n n n T ， （9分） 两式相减得：n n n n T 212222222112--++++=- （10分） n n n 21221121121211---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=- （11分） n n n 2122231---=- n n 2323+-= （12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由图可知，BOC AOB OAC S S S ∆∆∆+=． （1分） 即()111sin 3045(1sin 30(1sin 45222xy x y ︒+︒=+︒+︒， （3分） 整理得()y x xy 243143122++=+⋅ ， （5分） 化简得：)63(22≤≤-=x x x y ． （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)63(22≤≤-=x x x y ，（12分）（22）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：因为1231+=+n n n a a a ， 所以323131211+=+=+n n n n a a a a ， （1分） 所以313113231111-=-+=-+n n n a a a （2分） 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+1131111n n a a ，所以3111111=--+n n a a . （3分） 又531=a ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为32111=-a ，公比为31的等比数列. （4分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得n n n a 323132111=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--，所以233+=n n n a . （5分） 假设存在互不相等的正整数t s r ,,满足条件，则有⎩⎨⎧--=-=+)1)(1()1(22t r sa a a s t r ， （6分） 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1233123312332t t r r s s ， （7分） 整理得4)33(234434342+++=+⋅++t r t r s s （8分） 又s t r 2=+，所以s t r 3233⋅=+ ， （9分）又s t r t r 3233233⋅=⋅≥+，当且仅当33r t =，即t r =时等号成立. （10分）但这与t s r ,,互不相等矛盾. （11分） 所以不存在互不相等的正整数t s r ,,，使得t s r ,,成等差数列且1,1,1---t s r a a a 成等比数列. （12分）。
广东省东莞市四校联考2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年广东省东莞市四校联考高一（下）期中数学试卷、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. 圆x 2+y 2-4x+6y=0的圆心坐标是（ ）A .内切B .相交C .外切D .相离 6.已知向量 £= (- 1, 1),匕=(3, m ),瓷 //( £+ 匕)，则 m=( )A . - 2B . 2C .- 3D . 3 7.若函数i" X 1 ,.!，匚一九、是偶函数，贝y 0=()n37T5兀 A .B .C .D .37T8.为了得到函数 y=s in (2x -,）的图象，可以将函数y=sin2x 的图象（)JT兀A . 向右平移 6个单位B .向右平移 工J 个单位n7TC .向左平移 6 个单位D .向左平移 -个单位9. 已知:看a5， e (-心门「|-丄，则 tan （ a- 3）的值为（22 11 11A .B • TTC. D .10.下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A . (2, 3)B . (-2, 3)C . (- 2,- 3)D . (2, - 3)2. 空间中两点 A (1, 0, 1) , B ( 2, 1,- 1),则|AB|的值为( A. -B . 2C.1：6cm ，面积是2cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是（ A . 1 B . 4 C . 1 或 44. 已知(5焙且oc 为第四象限角，贝y sin 为（1212 ,12A .B .13 C.-5. 圆（x+2） 2+y 2=4 与圆(x -2) 2+ （y - 1） 2=9的位置关系为D . 2 或 4 )5D.)3.已知扇形的周长是。
广东省韶关市2015-2016学年高一下学期期末检测数学试卷Word版含答案
12．第1251},B x <≤A }22)，(b =a ∥A 3.αA 4.R A C 5 A ．和92 C ．926S A ．B ．11C ．4D ．17．过点(2,4)P 作圆:C 22(1)(2)5x y -+-=的切线，则切线方程为A 0y -=B ．20x y -=C ．2100x y +-=D ．280x y --=8．已知点1)2A ,将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转2π至OB ,则点B 的坐标为A ．1(2-B ．1(,2C ．1()2D ．1)2- 9. 某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（ ）A ．116B ．316C ．14D ．3410.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2011.将函数()2sin(2)4h x x π=+的图象向右平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的图象 A ．关于直线0x =对称 B ．关于直线x π=对称 C ．关于点(,0)8π对称D ．关于点(,2)8π对称12. 已知点C 为线段AB 上一点，点P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足()0AC AP BI BA AC AP λλ⎛⎫ ⎪=++> ⎪⎝⎭, ||||4PA PB -=,10PA PB -=,则BI BA BA⋅的值为A ．2B ．3C ．4D ．5二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13.如果直线250x y -+=与直线260x my +-=垂直，则m = ___________. 14.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y b x a =+，其中7b =，则a =________，据此模型预报广告费为7万元时销售额为______________. 15.已知cos sin 3cos sin αααα+=-，则tan()4πα+= .16．若一三角形三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．2015-2016学年第二学期末检测高一数学试题一．选择题答卷：二、填空题答卷：13．____________________． 14．__________________________． 15．____________________．16．__________________________．三．解答题（本大题共6题，满分70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分10分）已知函数())4f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及其()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数()f x 的最大值和最小值．18．（本小题满分１２分）某高中学校为了解学生的身体状况，随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生进行某项体能测试． （Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从所抽取的6名学生中再次随机抽取2名学生做调查问卷，求这2名学生不在同一组的概率．19.（本小题满分12分）已知2a =，1b =，(23)(2)17a b a b -⋅+= （Ⅰ）求a 与b 的夹角和a b +的值；（Ⅱ）设2c ma b =+，2d a b =-，若c 与d 共线，求实数m 的值.20.（本小题满分１２分）AF=，M 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，1O MFED C BA是线段EF的中点.（Ⅰ）求证：AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AM 平面BDF；(Ⅲ) 求A点到面BDF的距离.21．（本小题满分12分）已知以点3,C tt⎛⎫⎪⎝⎭(t∈R，t≠0)为圆心的圆过原点O．(Ⅰ) 设直线3x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下，设(0,2)B, 且P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求PQ PB-的最大值及此时点P的坐标．22.（本小题满分12分）已知二次函数()2f x x bx c =++（其中,b c 为实常数）.（Ⅰ）若2b >，且()()s i n y f x x R =∈的最大值为5，最小值为1-，求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）是否存在这样的函数()y f x =，使得{}[]2|,101,0,y y x bx c x =++-≤≤=-若存在，求出函数()y f x =的解析式；若不存在，请说明理由. (Ⅲ)记集合(){}()(){}|,,|,A x f x x x R B x ff x x x R ==∈==∈.①若A φ≠，求证：B φ≠； ②若A φ=，判断B 是否也为空集.2015-2016学年第二学期末检测试高一数学参考解答和评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：BBACA BCABC DB 部分题目解析: 1. {}2,3,4AB =,选B2. 依题意，420,2x x -==，选B3. 由已知可得 3sin 5α=-，3sin(2)sin 5παα-=-=，选A 4. (1)(1)2f f -=-=-，选C5. 由平均数与中位数概念可得两数均为91.5，选A6.第1次1s =，第2次 4s =，第3次 11s =，选B7. 因为点(2,4)P 在圆C 上，所以切线与直线PC 垂直 所以112PC k k k ⋅=-⇒=-，所以切线方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=,选C.8.因为点1)2A ，即6xOA π∠=，所以2623xOB πππ∠=+=，212||cos,||sin 323B B x OB y OB ππ==-==所以点B的坐标为1(2- 选A 9. 解析：根据几何概型可知 221132416S P S πππ-===圆环圆（）（），故选B. 10.解析三视图表示的图形是底面积为12，高为4的四棱锥，111241633V sh ==⋅⋅=,选C11【解析】：()()22sin(2)244f x h x x ππ=-+=-+且()2sin(2)22884f πππ=⨯-+=,所以关于点(,2)8π对称,选D.12∵10PA PB AB -==,PC 是APB ∠的角平分线,又()0AC AP BI BA AC AP λλ⎛⎫ ⎪=++> ⎪⎝⎭,即AC AP AI AC AP λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭,所以I 在APB ∠的角平分线上,由此得I 是ABP 的内心,过I 作IH AB ⊥于H ,以I 为圆心, IH 为半径,作ABP的内切圆,如图,分别切,P A P B 于,E F,则()()11322BH BF PB AB PA AB PB PA ⎡⎤==+-=+-=⎣⎦,在直角三角形BIH中,cos BH IBH BI ∠=,所以cos 3BI BABI IBH BH BA ⋅=⋅∠== 另解：BI BA BA⋅表示BI 在BA 方向上的投影，即()BF BH 的长度，由||-||=4()4AE PE PF FB AH BH =+-+=-=,所以，410AH BH AH BH -=⎧⎨+=⎩从而 3BH BF ==选B二、填空题：（题14.第一空2分，第二空3分）注：14题第一空2分，第二空3分.11. 由斜率关系易得：1m =12. 由表中数据可得， 4.5,35x y ==，而回归方程经过样本中心(,)x y ，代入回归方程，3.5a =，从而当7x =时，77 3.552.5y =⨯+=万元.13.由已知可得，1tan 31tan αα+=-，得1tan 2α= 所以，111tan 2tan()3141tan 12πααα+++===-- 或，由1tan 31tan αα+=-⇒ tan()tan 431tan tan 4παπα+=-⇒tan()34πα+=16. 结合题意，易得三角形的三个顶点分别是()()()1,2,2,23,1和，作出图形，即可判断该三角形为钝角三角形，而能够覆盖钝角三角形的圆是以钝角的对边（最长边）为直径的圆，而最长边的两个端点分别为()()1,23,1和32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故其方程为()2235224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭三、解答题17．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）因为函数())4f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π2 2.T ππωω∴==⇒=--------------------------------------------------------------------------2分 由222242k x k πππππ-≤+≤+，解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-+∈．----------------------------5分 （Ⅱ）50,22444x x ππππ≤≤∴≤+≤所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数()f x 取得最大值，--------------------------8分当5244x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值(1=-．-----------10分18．（本小题满分１２分） 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3：2：1．---------------2分所以，每组抽取的人数分别为：第3组：3636⨯=；第4组：2626⨯=；第5组：1616⨯=． ∴从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生．---------------------------------5分（Ⅱ）记第3组的3位同学为①，②，③；第4组的2位同学为A ，B ；第5组的1位同学为C ．则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：（①，②），（①，③），（①，A ），（①，B ），（①，C ），（②，③），（②，A ），（②，B ），（②，C ），（③，A ）， （③，B ），（③，C ），（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ）共15种可能．其中，（①，②），（①，③），（②，③），（A ，B ）四种为2名学生在同一组，-----------10分∴有11种可能符合2名学生不在同一组的要求，∴所求概率1115P =．------------12分 19.（本小题满分12分） （Ⅰ）设a 与b 的夹角为θ(23)(2)17a b a b -⋅+= 2244317a ab b ∴-⋅-=，即2242421cos 3117θ⨯-⨯⨯⨯-⨯=--------------------------3分1cos 2θ∴=-，又0θπ≤<，2.3πθ∴=所以a 与b 的夹角2.3π--------------------------------------------------5分 2222||()22a b a b a a b b +=+=+⋅+=+= || 3.a b ∴+= --------------------------------------------------8分OMFEDCBA（Ⅱ）解：因为c 与d 共线，所以存在λ，使d c λ=(2)2a b ma b λ-=+ (2)(2)0m a b λλ-++=因为a与b不共线，所以22m λλ=⎧⎨=-⎩ 所以，4m =---------------------------------12分20.（本小题满分１２分）解： （Ⅰ）EM ∥AM 且EM=AM --------------1分∴AMEN ∴AM ∥EN ------------------2分又因为EN ⊂平面BDE 且AM ⊄平面BDE ---------------------3分 ∴AE ∥平面BDE ． ------------------------------------------4分 （Ⅱ）设AC BD O OF 与交于点，连,OM 在矩形ACEF 中四边形, AB =1AF =所以， AOMF 为正方形，,故AM OF ⊥---------------------6分 又正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，且交线为AC 在正方形ABCD 中，故AC BD ⊥ 由面面垂直的性质定理，BD ACEF ⊥面- 又AM ACEF ⊂面所以BD AM ⊥-------------------------------------- --------------------8分又BD OF O ⋂=,故AM ⊥平面BDF ---------------------9分 (Ⅲ)A BDF F ABD V V A BDF h --=，设到面的距离为,1133BDFABDS h S AF ∴⋅=⋅------------------- --------------------11分2h =----------------------------------------- --------------------- -12分21．（本小题满分12分）解： (Ⅰ)OM ON =,所以，则原点O 在MN 的中垂线上.设MN 的中点为H ，则CH MN ⊥，-----------------------1分 ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率3t k t=＝23t ＝13，∴3t =或3t =-∴圆心为(3,1)C 或(3,1)C ---------------------------4分 ∴圆C 的方程为22(3)(1)10x y -+-=或22(3)(1)10x y +++=由于当圆方程为22(3)(1)10x y +++= 时，圆心到直线3x ＋y －4＝0的距离d r >，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为22(3)(1)10x y -+-= -------------------------6分 (Ⅱ) 在三角形PBQ 中，两边之差小于第三边故PQ PB BQ -≤又,,B C Q 三点共线时BQ 最大-----------------------9分所以，PQ PB -的最大值为BC =BC 的方程为123y x =-+，则直线BC 与直线20x y ++=的交点P 的坐标为(6,---------------------------12分22. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由条件知()[]2,1,1f x x bx c x =++∈-的最大值为5，最小值为1-而2b >,则对称轴12b x =-<-,则()()1115f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩,即1115c b b c -+=-⎧⎨++=⎩,解得13c b =⎧⎨=⎩则()231f x x x =++．--------------------------------------------3分（Ⅱ）若2b ≥,则12b x =-≤-,则110c b c -+=-⎧⎨=⎩,解得02c b =⎧⎨=⎩,此时()22f x x x =+若0b ≤,则02b x =-≥,则101c b c -+=⎧⎨=-⎩,解得10c b =-⎧⎨=⎩,此时()21f x x =-若01b <≤,则1,022b x ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭,则21014c b bc -+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解得10c b =-⎧⎨=⎩(舍)或34c b =⎧⎨=⎩(舍), 此时不存在函数()f x若12b <<,则11,22b x ⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭,则2014c bc =⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解得02c b =⎧⎨=⎩(舍)或02c b =⎧⎨=-⎩(舍),此时不存在函数()f x 综上所述存在函数()21f x x =-和()22f x x x =+满足条件-----------------------------8分 (Ⅲ)由()2f x x bx c =++得()()()()2ff x f x bf x c =++及()2c f x xbx =--由()()ff x x =得到()()2f x bf x c x ++=,即()()()22f x bf x f x xbx x ++--=整理得到()()()()()220f x x b f x x f x x -+-+-=, 即()()()()10f x x f x x b -+++=①即()0f x x -=或()10f x x b +++=,即()210x b x c +-+=② 或()2110x b x b c +++++=③方程②的判别式()214b c ∆=--方程③的判别式()()22114441444b b c b c ∆=+---=---=∆-①若A φ≠,即()0f x x -=有解，即()210x b x c +-+=有解,即0∆≥，则①有解，即B φ≠②若A φ=，即0∆<，则10∆<，②和③均无解，则①无解，即B φ=.----------------12分。
广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案
南开实验学校2015-2016学年第一学期期中考试 高二文科数学 本试卷共2页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
说明：1、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
3、答案必须写在答题卡上，收卷时只交答题卡。
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分． 1.“”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是( ) A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3) ( ) 5.在中，角A、B、C的对边分别为、、，且.若，则等于（）A. B.C. D. 6.不等式2x2+x+1b>0)的离心率e＝，且椭圆经过点N(，－)．求椭圆C的方程； 求椭圆点． 其中在中，分别是角的对边，且．（1）求角Ａ；（2）若，，求的面积． 21.（12分）已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题：恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围． 22.（12分）正项数列的前项和满足: (1)求数列的通项公式; (2)令,数列的前项和. ”是“”的（ A ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是( ) A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3) ( A ) 5.在中，角A、B、C的对边分别为、、，且.若，则等于（ B ）A. B.C. D. 6.不等式2x2+x+1b>0)的离心率e＝，且椭圆经过点N(，－)．求椭圆C的方程； 求椭圆点． 其中在中，分别是角的对边，且．（1）求角Ａ；（2）若，，求的面积． 解：（1）因为,且. 所以,可得或. 解得或（舍）（6分） （2）由余弦定理得，整理得 联立方程解得或。
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2016东莞市第二学期三校期中联考高一数学模拟试卷（二）
满分120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.）
1．sin570
A．3 B．32 C．12 D．12
2．点1, 2()Asincos位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．要得到函数xy2sin的图象，应将函数)6π-2sin(xy=的图象
A．向左平移6π个单位 B．向右平移6个单位 C．向左平移12个单位D．向右平移12个单
位
4．扇形的圆心角度数60o，面积6，则扇形的周长为（ ）
A．122 B． 66 C． 12 D．126
5．将函数sin(2)3yx的图象向左平移(0)个单位后，所得到的图象对应的函数为
奇函数，则的最小值为（ ）
A．6 B．3 C．23 D．56
6．下列函数中是偶函数的是（ ）
（A）xy2sin （B）xysin （C）xysin （D）1sinxy
7．下列有4个命题：其中正确的命题有
（1）第二象限角大于第一象限角； （2）不相等的角终边可以相同；
（3）若是第二象限角，则2一定是第四象限角；（4）终边在x轴正半轴上的角是零角.
A. (1)(2) B. (3)(4) C. (2) D.(1)(2)(3)(4)
8． 函数)252sin(xy的一条对称轴方程是
A.2x B.4x C.8x D.45x
9．设0<α<β<2，sinα=53，cos(α－β)＝1312，则sinβ的值为
A.6516 B.6533 C.6556 D.6563
10．设P是ABC所在平面内一点，2BCBABP则
A．0PAPB B．0PBPC C．0PCPA D．0PAPBPC
11. 在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点M，且aAB， bAD，则MD
A.ba B.ba C.ba2121
D.ba2121
12. 在)2,0(内，使xxcossin成立的x取值范围为
A.5,,424 B.,4 C.45,4 D.53,,442
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．cos24cos36cos66cos54的值为
14．已知51cossin，且2，则2sin()4 .
15.若函数()yfx是周期为6的奇函数，且对于任意Rx，都有(3)()fxfx，若
(1)1f，tan2，则(2005sincos)f
的值为 .
16.函数π()3sin23fxx的图象为C，则如下结论中正确的序号是 。
①图象C关于直线11π12x对称； ②图象C关于点2π03，对称； ③函数()fx在区间
π5π
1212
，
内是增函数； ④由3sin2yx的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象
C
选择题答题区：（60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
填空题答题区：（20分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题（共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）如图:单位圆O中OAB是正三角形，圆与x轴交于点C，且//ABx轴，求
sin,cos,tanCOBCOBCOB
18．（10分）已知1tan2＝，求2212sin()cos(2)5sin()sin()2+----的值．
19．（10分）已知函数()6sin2cos22xxfx
（1）若xR，求函数()fx值域
（2）求()fx的单调递减．区间；
20．（10分）已知函数()sin()(0,0,0)2fxAxA部分图象如图所示。
（1）求函数()fx的解析式；
（2）设函数()(1)()gxfxfx，求1()2g的值.
参考答案
1． C
2． D
3． C
4． A
5. A
6． C
7．C
8．A
9．C
10.C
11. 略
12. 略
13． 12
14．75
15. -1
16.(1)(2)(3)
17.略
18．－3．
19. （1）2sin()226x（2）284,433kkkZ
20.（1）()2sin()26fxx（2）2