§5 - 5 一维定态问题
关于一维定态波函数宇称的一点讨论
关于一维定态波函数宇称的一点讨论
一维定态波函数是宇称最常用的描述方式之一，它定义了宇称中的量化变化。
主要有以下几方面涉及：
1、一维定态波函数是什么？
一维定态波函数（一维空间函数）是一种可以描述宇称的数学工具。
它由一系列来自函数的层次创建，它们可以描述宇称中的排斥、吸引力和阻尼等复杂变化。
2、一维定态波函数的用途
一维定态波函数可以用来模拟宇称中许多系统，包括物理系统、光学系统、声学系统、电子系统等。
通过一维定态波函数，可以准确地预测宇称中复杂物理反应的发展，从而实现对反应的工程控制和优化。
3、一维定态波函数的优势
（1）简洁：一维定态波函数的优势在于其表述简洁，便于建模分析；
（2）高效：一维定态波函数运算速度快，是目前研究最成熟的数学模型；
（3）精确：一维定态波函数之所以被广泛使用，是因为它提供了较为准确的实验结果，可以模拟系统受多种边界条件和气压等因素的影响；
（4）可扩展：一维定态波函数容易根据不同的实验结果进行扩展，保证研究准确性和可靠性。
4、一维定态波函数的应用
一维定态波函数的常见应用有洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定性和定量分析等。
此外，一维定态波函数还可用于太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。
5、总结
一维定态波函数是描述宇称变化的最常用方式之一，它具有简便、高效、精准度高等优势，已被广泛应用于实际宇称模拟研究中，常用于洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定态和定量分析、太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。
第二章一维势场中的粒子
[小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下：
一、列出各势域上的S—方程； 二、求解S—方程；
三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数和能量本征值；
四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一 化系数）。
2、一维对称无限深势阱
o V (x)
A' 2 a
ψn
(
x
)
2 sin( nπ x ), 0 x a;
a
a
0,
x 0, x a
其中n 为量子数，我们看到它是由于边界条件而自然引入的。
一维方势阱波函数图象
对一维势阱中粒子的讨论，可得以下重要概念与结论：
1）对束缚态粒子，其能级是量子化的。此为边界点上波函数 连续性要求决定，非人为的。而在经典力学中，能量是连续的。 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一 般地说，束缚态所属的能级是分立的。
x a 阱内 x a 阱外
-a a
定态薛定谔方程:
2 2m
d 2
dx2
E......(x
a)
0........................(x a)
方程的解为：
Asin kx B coskx
k
(
2mE 2
)1/
2
根据波函数的连续性及边界条件：
证：方程（1）取复共轭，注意E取实值， U( x )* U( x ) ，容易证明。
如果对应于能量的某个本征值E，方程（1） 的解无简并（即只有一个解），则解为实解。
定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找 到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何 解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。
Chapter 3-1 一维定态问题(上)
当n分别是奇数和偶数时，满足 偶函数 → ψn ( −x) =ψn ( x) (n为奇数) (n为偶数)
奇函数 → ψn ( −x) =−ψn ( x)
即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称 这时的波函数具有偶宇称；当n为偶数时， 波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具 有奇宇称。本征函数所具有的这种确定的奇 偶性(宇称)是由势函数 对原点的这种对称性 而来的。关于这个问题，后面将就普遍情形 作专门讨论。
a.势U(x)中第一类不连续性的存在并不改 变加于函数的标准条件。事实上, 按Schrodinger 方程 ψ ′′ = (U − ε )ψ 在势的每一个不连续点，U出现一有限量的突 ψ 也如此，但ψ ′′ 的积分在这些点上保 然跳跃， ′′ 持连续: 因此ψ ′及ψ (理由更充足)处处连续。 （证明见：曾《量子力学导论》p53）
节点数 : 按定义，所谓节点，即本征函数 的零点(端点除外)，从图可以看出 ψ n 与x轴相 交(n-1)次，即ψ n 有(n-1)个节点。
§3.2.3 有限深对称方势阱
⎧ ⎪ 0, ⎪ V (x) = ⎨ ⎪V , ⎪ 0 ⎩ a x < 2 a x ≥ 2
(1)
a为阱宽，为势阱高度。 以下讨论束缚态情况 ( 0 < E < V0 ) , 前例可看成 是 V0 ≥ E 的极限情况。
⎧ d 2ψ + α 2ψ = 0 ( x < a) ⎪ 2 ⎨ dx ⎪ ψ =0 ( x ≥ a) ⎩
(3)
在 x < a 区域内的通解是
ψ = A sin α x + B cos α x
(4)
亦可取为ψ = c sin(α x +δ ) ， c 和 δ 待定。
一维定态的一般性质
得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。 证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
定理6 对于一维粒子，设 1 ( x) 和 2 ( x) 均为 方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则 2 1 常数(与x无关) 1 2
(r 0)
x=0是一个孤立奇点，虽然在x=0点 (不连 x) (0) 0 续，但其基态波函数 ，所以也不是简并的。
2 2 i ( x, t ) [ V ( x)] ( x, t ) 2 t 2m x
（1）
对于定态，即具有一定能量E的状态，波函 i Et 数形式为 （2） ( x, t ) ( x)e
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
1 ( x) ( f ( x) g ( x)), 2
1 ( x) ( f ( x) g ( x)) 2
量子力学周世勋习题解答第三章
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr ar a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
2.6 一维定态问题
§2.6 一维定态问题一．一维定态波函数的一般性质对一维定态问题，薛定谔方程为定理一：设是方程的一个解，对应能量为E,则也是方程的一个解，对应能量也为E。
证明：，对方程两边取复共轭，利用满足相同的方程，对应的能量都是E。
定理二：设具有空间反射不变性，即，如为方程的一个解，对应能量为E；则也为方程的一个解，对应能量也是E。
定理三：当时，如无简并，方程的解有确定的宇称。
即偶宇称：，或奇宇称：。
证明：因为和都是能量E的解，二者应表示同样的状态。
因此应只差一常数。
，则所以，，，。
二．一维无限深势阱，，，，令，方程的解为：，利用边界条件：得：，即：，，（时，，无物理意义）, 对应的波函数为：。
利用归一化条件： , 得：，归一化后的波函数为：。
束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。
基态：体系能量最低的态。
三．一维线性谐振子一维线性谐振子的势能为，体系的薛定谔方程为，进行如下变量代换：，，薛定谔方程变为：，变系数二级常微分方程。
，方程变为，解为，时，有限，将写成如下形式：，带入原方程将H按展成幂级数，时，有限,要求幂级数只有有限项。
级数只有有限项的条件是：，线性谐振子的能级为：，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为。
零点能：，。
厄密多项式：递推公式: (1)（2）（3）（4）对应的波函数为：，归一化常数：四．势垒贯穿；薛定谔方程为，，(a)时令，方程变为：，，在区域，波函数：在区域，波函数：在区域，波函数：对投射波，不应有向左传播的波，即：。
利用波函数及微商在和的连续条件，我们有:::,解方程组：利用几率流密度公式：得出入射波、透射波、反射波的几率流密度入射波几率流密度：透射波几率流密度：反射波几率流密度：投射系数：反射系数：(b) 时令，方程变为：，方程的解形式为：利用边界条件得：其中双曲正弦函数，双曲余弦函数投射系数：隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
按经典力学：，如，则动能为负。
第二章 一维势场中的粒子
第二章 一维势场中的粒子
本章要求 1. 掌握求解一维定态Schrödinger 方程的 基本步骤; 2. 掌握能量量子化，束缚态，宇称，隧道 效应，零点能，分立谱，连续谱等概念;
第二章 一维势场中的粒子
本章内容
§1 一维无限深势阱
§1
§2 势垒贯穿
§2
§3 一维谐振子
§3
§1 一维无限深方势阱
一维晶格中电子的势能曲线
L
x0
xa
x0
U
xa
无限深势阱
x0
xa
如果直接用此曲线表示的 势能带入薛定谔方程中，就形 成一个相当困难的数学问题。
第二次简化：
用平均势能代替晶格势能
( 这一步的实质是不考虑电子 间、电子与晶格离子间的相互 作用，这样的电子就相当于理 想气体分子－自由电子气。)
0;
x 0, x a
n(x)
2 sin nπ x aa
0 x a; n 1,2,...
n2 E1 16 E1
✓ 除端点(x=0 , a)外， 9E1
基态波函数无节点，第
一激发态有一个节点，
第二激发态有二个节点，
第m 激发态（量子数
4 E1
n=m+1）有m个节点。
E1
E) 2 ( x)
0
2
② 求解定态Schrödinger 方程
方程(2)的解 2 x 0 x 0; x a
理由： 因势阱壁无限高(V )，粒子不能穿透 势壁，故势阱外的波函数必定为0。
方程(1)中，令 k
2mE h2
，则方程(1)写为
d2 dx 2
1
Pˆ 2
15(4)15-8 自由粒子薛定额方程,一维定态问题.ppt
2a
0
E
p2 2m
0
能量本征方程：
(
x)
2m 2
E
U(
x)
(
x)
0
解方程，求出能量本征值谱 En, n 1,2,3,、
本征波函数集合n, n 1,2,3,。
无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成
(x,t)
C
n
n
(
x
)e
i
Ent
n
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
(x,0) 为给定的初始时刻的状态。
t
)
n
(
x)e
i
Ent
,
n
1,2,3,
通解可写成定态解叠加的形式
(x,t)
Cnn( x, t)
C
n
n
(
x
)e
i
En
t
n
n
(x,t)
Cn
n
(
x
)e
i
Ent
n
式中Cn称为展开系数。
后面证明，给定初始时刻的状态Ψ(x,0)， Cn 可按下式计算
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
若势函数不显含时间，则薛定谔方程的求解，
几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就 是著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。
同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性 也只能靠实验来检验。
量子力学导论第3章答案
第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(by a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为m E y x n n 222π =)(2222bn an y x +,2,1, ,sinsin2==y x y x nn n n byn axn abyx ππψ若b a =，则 )(222222y x n nn n ma E yx +=πayn axn ay x nn yx ππψsinsin2=这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(cz b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn bn an mnn n Ez y x zyx++=π ,,3,2,1,, ,sinsinsin8==z y x z y x n n n czn byn axn abcn n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n mann n Ezyx++=πayn ayn axn a n n n z y x zy x πππψsinsinsin223⎪⎭⎫⎝⎛=z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，⎩⎨⎧><∞<<=ax 0, ,0 ,0),(x ax y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子)61(12)x -(x ,22222πn aa x -==讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。
量子力学习题
1 hc 2 m v m h A A 2 6.63 10 34 3 108 2.30 1.84[eV] 9 19 300 10 1.6 10
例1. 设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱
中， （1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出 现的概率最小，其值为多少？
16
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
答：(1) 4 个量子数包括： 主量子数 n， n = 1, 2, 3,… 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
一.量子力学基本原理之一——波函数
微观粒子的运动状态可以用波函数 完全描述。
2 r , t r , t r , t
表示 t 时刻, 微观粒子在空间
点出现的相对概率密度。 r
1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值 2) 要求 r , t 单值
2
3) 波函数的连续性 4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1
--之二——薛定谔方程
2 2 i ( r , t ) [ U ( r , t )] ( r , t ) t 2m
（1）它的解满足态的叠加原理
若 1 ( r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c11 (r , t ) c2 2 (r , t ) 也是薛定谔方程的解。
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§5 - 5 一维定态问
题
在势场)(rV中运动的粒子的薛定谔方
程：
),(])(2[),(i22tVmttrrr
,
对应定态薛定谔方程：
) ()(]) (2[22rrrEVm
,
(三维)
) ()(]) (dd2[222xExxVxm
,
(一维)
用定态薛定谔方程来处理一些一维问
题，量子体系的许多特征都可以在这些比较
674
简单的问题中体现出来。
一 势能曲线
势能是保守力场中只与位置相关的函数。
势能曲线给出了一个系统的势能分布及描
绘了保守力的分布。
保守力 ＝ 势能的负值
xp
d
FEdx
x区间 pdEdx xF
(0, a) < 0 > 0
(沿x方向)
势阱(a: 不受力的平衡位置)：粒子将被 (a, c) >
0 < 0
(反x方向) 束缚其中
(b, c) > 0 < 0
(反x方向)
势垒(c：不稳定平衡位置)：粒子易于
(c, d) < 0 > 0 (沿x方向)
675
离开平衡位置
若粒
子在此势场中，具有能量
0ka
EEE
若粒
子越
过该
势垒，
能量
守恒
要求
0 an0kc
k
EEEE
所
以，
这个
粒子
不可
能越
过势
676
垒bd。
研究一个量子体系（如氢原子，金属中
的自由电子的运动，双原子分子，原子核的
结构，一个原子核与另一核的相互碰撞、散
射等），几乎都可以从体系的能量关系出发
进行分析，而绕开相互作用的力，研究一个
波动的微观粒子在一个势场中运动规律。这
就要解粒子在势场中运动的薛定谔方程，得
出相应的运动规律。
二 无限深方势阱 离散谱
( 1 ) 无限深方势阱
677
粒子处在无限深方势阱中
)0(.)0(,0)(axxaxxV≥或≤
(5. 65)
● 势阱外
势阱壁无限高，在势阱壁上及势阱外波
函数为零(粒子不可能穿透无限高的势阱
壁)
)0(.0)(axxx≥或≤
● 势阱内
当0 < x < a 时，一维定态薛定谔方程
678
可化为
02dd222Emx.
(5. 66)
令 Emk2,
(5. 67)
则方程(5. 66)的解可表示为
)(sin)(xkAx
,
(5. 68)
其中A，k和 是待定常量: A由归一化条件
确定，
k和
由边条
件确定。
● 束缚态边条件
根据薛定谔方程所提出的关于波函数连续
679
性的要求，势阱内粒子的波函数，必须满足
如下的边界条件：
0)(,0)0(a
.
(5. 69)
i.e. 边条件:
0(0)sin()sin()0,xAkxA
= 0；
()sin()sin()0,xaaAkxAka
),3,2,1(,nnak
(5. 70)
我们舍去了n = 0的情况，因为若n = 0，
必有 0，没有物理意义。
● 能量量子化和零点能
由式(5. 67) Emk2,可得
680
mkE222, （因为ank/）
),3,2,1(.22222namnEE
n
(5. 71)
能量本征值或能级
n
能量量子数
◇ 当粒子被束缚在势阱中时，体系的
能量是量子化的，即所构成的能谱
是离散的。
◇ 粒子的最低能级——基态的能量
01E
，即粒子具有零点能。经典物
理中粒子的基态能量可为零。
● 能量本征函数及其归一化
与能量本征值En相应的波函数
（式
（5。71）说明，只有当能量取离散值En时，相应的波函数n才是满足边条
件的、物理上可接受的。）
681
)0(.sin)(axaxnAxn
(5. 72)
利用归一化条件
1d)(02xx
a
n
,
(5. 73)
a
A2
. 取A为实数，得
◇ 归一化的能量本征函数
)0(.0)0(,)(sin2)(axxaxaxnaxn≥或≤
(5. 74)
能级n = 1, 2, 3, 4的波函数n以及
概率密度 n 2见图5 - 3。
◇ 能量本征函数的正交性
对于不同能级的波函数m和n，由式(5.
682
74)可得
xaxnaaxmaanmd)(sin2)(sin2d*0
( using
2sinsincos()cos()
)
)(.0d*nmnm
(5. 75)
波函数m和n互相正交
引入克罗内克符号 nm
nmnmnm.0
,1
(5. 76)
一维无限深方势阱中粒子波函数——能量
本征函数的正交归一性表为
683
(5. 77)
上述积分遍及粒子所能到达的空间。
● 节点（除端点0x和ax外，波函数为零的点）
量子态 n 值 节点数
图5 - 3 一维无限深方势阱中的粒子
nmnm
d*
684
基态 1 0
第1激发态 2 1
第k激发态 n 1)
k
把体系看成直线上的驻波： 节点越多
波长越短
频率越高 能量越高。
驻波不形成粒子流的，总有j = 0. 这
很自然：在波函数为实数的情况下，由于
*
，概率流密度j总是为零的。
对于一维定态，当粒子处在束缚态时，
可以证明能量本征函数具有常数相位，也总
有j = 0.
若粒子处在散射态，例如自由粒子，无上
述结论。
685
二 线性谐振子
( 1 ) 线性谐振子的定态薛定谔方程
量子力学中的重要物理模型
受微小扰动的物理体系：分子和固
体晶格等看成是谐振子系统
发射电磁波的物质： 谐振子的集合
量子场论中的场量子化：采用谐振
子模型。
线性谐振子或一维谐振子体系
在一维空间中运动的粒子的势能为
222
212
1
)(xmxKxV
,
(5. 78)
其中 是常量(振动角频率)，K谐振子的劲
度系数，m谐振子的质量，
686
m
K
.
(5. 79)
在量子力学中，将式(5.78)代入式
) ()(]) (dd2[222xExxVxm
(一维)
得线性谐振子的定态薛定谔方程为
)()()21dd2(22222xExxmxm
,
(5. 80)
它是一个变系数二阶常微分方程，可以精确
求解。
为简洁起见，引进无量纲的参量 和：
x
/m
,
(5. 81)
687
/2E
,
(5. 82)
则线性谐振子的定态薛定谔方程(5. 80)化
为
0)(dd222.
(5. 83)
( 2 ) 波函数 在 时的渐近行为
/2E
(与
/2222xmx
相比)
可以略去，
方程(5. 83)可近似表达为
0dd222
.
(5. 84)
688
其解（即方程(5. 83)在 时的渐近解）是
2/2e
。
严格的谐振子势是一个无限深的势阱，只存
在束缚态
时 ，
0.
(5. 85)
因此在上述渐近解中应舍弃 2/2e解：
时 ， 2/2e.
(5. 86)
由此，方程 0)(dd222的解为
)(e=2/2u
.
(5. 87)