概率论与数理统计习题 三解析【哈工大版】
概率论与数理统计课后习题答案
习 题 一1. 写出下列随机试验得样本空间及下列事件中得样本点: （1）掷一颗骰子, 记录出现得点数、 ‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次, 记录出现点数、 ‘两次点数之与为10’, ‘第一次得点数, 比第二次得点数大2’；鼉礬釹碍衛環叶。
（3）一个口袋中有5只外形完全相同得球, 编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球, 观察其结果, ‘球得最小号码为1’；澀課詰訓壢贷绫。
（4）将 两个球, 随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去, 观察放球情况, ‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内, 通过某桥得汽车流量, ‘通过汽车不足5台’, ‘通过得汽车不少于3台’。
解 （1） 其中 ‘出现 点’ , 135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------, 其中‘ ’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(87年)若二事件A和B同时出现的概率P(AB)＝0，则【】A．A和B不相容(互斥)．B．AB是不可能事件．C．AB未必是不可能事件．D．P(A)＝0或P(B)＝0．正确答案：C解析：由P(AB)＝0不能推出AB＝的结论，故A、B均排除．而D明显不对，应选C．知识模块：概率论与数理统计2．(89年)以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：【】A．“甲种产品滞销，乙种产品畅销”．B．“甲、乙两种产品均畅销”．C．“甲种产品滞销”．D．“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(90年)议A、B为随机事件，且BA，则下列式子正确的是【】A．P(A＋B)＝P(A)．B．P(AB)＝P(A)．C．P(B｜A)＝P(B)．D．P(B－A)＝P(B)－P(A)．正确答案：A解析：∵AB，∴A＋B＝A，故选A．知识模块：概率论与数理统计4．(91年)设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：【】A．不相容．B．相容．C．P(AB)＝P(A)P(B)．D．P(A－B)＝P(A)．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计5．(92年)设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则【】A．P(C)≤P(A)＋P(B)－1．B．P(C)≥P(A)＋P(B)－1．C．P(C)＝P(AB)．D．P(C)＝P(A∪B)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计6．(93年)设两事件A与B满足P(B｜A)＝1，则【】A．A是必然事件．B．P(B｜)＝0C．AB．D．AB．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计7．(94年)设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P()＝1，则事件A和B 【】A．互不相容．B．互相对立．C．不独立．D．独立．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(96年)已知0＜P(B)＜1，且P[(A1＋A2)｜B]＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)，则下列选项成立的是【】A．P[(A1＋A2)｜]＝P(A1｜)＋P(A2｜)B．P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B)C．P(A1＋A2)＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)D．P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)正确答案：B解析：由已知得，化简得B项正确．知识模块：概率论与数理统计9．(00年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电．以E 表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于【】A．{T(1)≥t0}B．{T(2)≥t0}C．{T(3)≥t0}D．{T(4)≥t0}正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(88年)设P(A)＝0．4，P(A∪B)＝0．7，那么(1)若A与B互不相容，则P(B)＝_______；(2)若A与B相互独立，则P(B)＝_______．正确答案：0．3；0．5．解析：由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) (1)若A、B互不相容，则AB ＝，∴P(AB)＝0，代入上式得0．7＝0．4＋P(B)－0，故P(B)＝0．3 (2)若A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，代入得0．7＝0．4＋P(B)－0．4×P(B)，故P(B)＝0．5．知识模块：概率论与数理统计11．(88年)若事件A，B，C满足等式A∪C＝B∪C，则A＝B．该命题是否正确_______．(填正确或不正确)正确答案：不正确涉及知识点：概率论与数理统计12．(90年)一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_______．正确答案：解析：设该射手的命中率为p，则4次射击(独立重复)中命中k次的概率为C4kpk(1－p)4-k．由题意＝P(他至少命中一次)＝1－P(他命中0次)＝1－C40p0(1－p)4-0＝1－(1－p)4 解得p＝知识模块：概率论与数理统计13．(92年)将C，C，E，E，I，N，S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为_______．正确答案：解析：这7个字母排一行共有71种排法(第1位置有7种放法，第2位置有6种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数．而在有利场合下，第1位置有1种放法(1个S)，第2位置有2种放法(2个C中选1个)，同理，第3位置有1种放法(1个D，第4位置有2种放法(2个E中选1个)，后边都是1种选法(即使是C或E，只剩1个了)，故有1×2×1×2×1×1×1＝4种放法，这是有利样本点个数．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计14．(07年)在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_______．正确答案：解析：设这两个数分别为χ，y，则二维点(χ，y)可能取的点为图4．3中的正方形内部(面积为1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值＜”)的点集合{(χ，y)：0＜χ＜1，0＜y＜1，｜χ－y｜＜}为图中阴影部分G，而G的面积为1－2×．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计15．(12年)设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝，P(C)＝，则P(AB｜)＝_______．正确答案：解析：∵AC＝，∴A，得P(AB)＝P(AB)＝，又P()＝1－P(C)＝，故知识模块：概率论与数理统计16．(16年)设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为_______．正确答案：解析：用古典概型，4次取球共有34种取法；而“第1次取红球，第2、3次至少取得1白球且未取得黑球，第4次取黑球”共有3种取法：(按顺序)“红红白黑，红白红黑，红白白黑”，故上述事件(引号内的事件)的概率为．而红、白、黑3种颜色排列有31种，故本题所求概率为．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。
§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。
概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答
第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案A卷(2007)
概率论与数理统计试卷 (A) 2007姓名： 班级： 学号：题 号 一 二 三 四 总 分得 分一. 选择题（15分，每题3分）1. 对任意事件B A ,，下列结论正确的是 （ ）)(A )()()(B A P AB P B A P ⋃≤⋃； )(B )()()()(B A P AB P B P A P ⋃≤+； )(C )()()()(B P A P AB P B A P ≤⋃； )(D )()()()(BA P AB P B P A P +≤+.2. 下列函数中可作为连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数是 （ ）)(A ⎩⎨⎧≤≤≤≤-=他其，05.00,2/2/,cos ),(1y x x y x f ππ； )(B ⎩⎨⎧≤≤π≤≤π-=他其，010,2/2/,cos ),(2y x x y x f ； )(C ⎩⎨⎧≤≤π≤≤=他其，05.00,0,cos ),(3y x x y x f ； )(D ⎩⎨⎧≤≤π≤≤=他其，010,0,cos ),(4y x x y x f . 3. 设X 服从指数分布)(μE ，Y 服从泊松分布)(λP ，则下列等式不成立的是 （ ）)(A λμ+=+2/1)(Y X D ； )(B 2/1)(μ=X D ，λ+λ=22)(Y E ； )(C λμ+=+/1)(Y X E ； )(D λ=)(Y D ，22/2)(μ=X E .4. 设总体),1(~p B X (二项分布)，其样本),,,(10021X X X Λ均值为∑==10011001i iXX ，)(x Φ为标准正态分布函数，则下列结论不正确的是 （ ）)(A 在概率意义下X 近似等于p ； )(B )()()100(a b b X a P Φ-Φ≈<<；)(C ),100(~100p B X ； )(D p X E =)(，100/)1()(p p X D -=.5. 设正态总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，样本容量n 和置信度α-1都不变，则对于不同的样本观察值，总体期望μ的置信区间长度L （ ）)(A 变短； )(B 变长； )(C 不变； )(D 不能确定.二. 填空题（15分，每题3分）1. 设两随机事件B A ,满足：,7.0)(=A P ,2.0)(=A B P )()(B A P B A P =，则=)(B A P ．2. 10件产品中有3件次品，任取5件，其中次品数X 的分布律(用解析式表达)为. 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则_______________________________________)1,30(=≤≤<Y X P .4. 设随机变量X 和Y 的期望分别为-1和1，方差分别为1和4，0.5XY ρ=-，则 根据切比雪夫不等式________)3(≤>+Y X P .5. 设),,,(921X X X Λ为来自正态总体),(~2σμN X )(2未知σ的样本，样本均值与方差分别为12=x ，1442=s ，则参数μ的置信度为0.9的置信区间__________下限为.三. 计算题 （共63分，每题9分）1． 设有甲，乙两个相同口袋，甲袋中有4个红球，3个白球，乙袋中有3个红球，2个白 球.先从两口袋中任取一袋；然后再从该口袋中不放回地任取一球，共取二球.（1）已知第一次取的球是红球，求该红球来自甲袋的概率；（2）求第二次取出的是红球的概率.2. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧>-≤+=-03/0,3/)(2x e B x e A x F xx ，，求 （1） 常数,A B ；（2）问X 是否为连续型随机变量?（3）)2/11(≤<-X P .3．设随机变量~(0,2)X U (均匀分布)，)1(~E Y (指数分布)，且它们相互独立．试计算 (1) Y X Z -=的概率密度函数)(z f Z ；(2) )(Y X P >.4．闵行水果店准备进一批南汇水蜜桃，据统计每年这个季节顾客对水蜜桃的需求量X （单位：公斤）服从[100，400]上的均匀分布，若每售出1公斤水蜜桃可盈利1元，但如果售不出则亏损2元. 求要进货多少公斤水蜜桃，才能使收益达到最大？5． 学校要新建宿舍有500学生居住，据统计每人每天傍晚约有10%的时间占用一个水龙 头. 设每人需用水龙头是相互独立的，问该宿舍至少需要安装多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证用水需要？6．设总体~X 36(),(0,)()0,(0,)x x x f x x θθθθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，0θ>未知，1(,,)n X X L 为其样本. 求（1）θ的矩估计量ˆθ 和ˆ()D θ；（2）设(1.2,1.5,2.1,2.3)为样本的一个观察值，求θ的矩估计值ˆθ，并求出密度函数()f x .7．设某种电池的工作时间服从正态分布，一批电池要出厂为检查其质量，现抽取了5个电池并观察到五个电池的工作时间（小时）为32 41 42 49 53出厂标准为050μ=（小时），方差2σ未知。
概率论与数理统计第三版各章练习
第一章1. 填空题(1) 若P A P AB ().,().==0403，则P A B ()+= 。
(2) 某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 。
(3) 设B A ,为两相互独立的事件，4.0)(,6.0)(==A P B A P ，则=)(B P 。
(4) 已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P 。
（5）设()4.0=A P ，()7.0=+B A P ，若B A ,互不相容，则()=B P __________；若B A , 相互独立，则()=B P ___________。
（6）设B A ,为二事件，且()4.0=A P ，()6.0=A B P ，则()=AB P ____________。
(7) 已知()4.0=A P ，()3.0=B P ，A 与B 相互独立，则()B A P +=_______。
(8) 10件产品中有5件次品，从中随机抽取2件，一次一件，已知第一件是次品，则第二件也是次品的概率为________________。
(9)已知()()4/1==B P A P ，()8/1=AB P ，则()=B A P ___________。
(10) 设A 、B 、C 表示三个随机事件，试用A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生________________；②A 、B 发生，C 不发生_____________；③三个事件中至少有一个 发生________________________。
2.计算题1） B A ,为两事件，已知213121===)(,)(,)(A B P B P A P ， 求,)(,)(B A P AB P ⋃)(B A P 。
2）某教研室共有11名教师，其中男教师7人，现要选3名优秀教师，问3名教师中至少有1名女教师的概率。
3）某工厂，机器321B ,B ,B 各生产产品总数的25%，35%和40%，它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今任取一只产品，发现是次品，问这一次品是由机器321B ,B ,B 生产的概率各为多少？4）甲，乙，丙三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问：①密码被译出的概率；②甲、乙译出而丙译不出的概率。
哈工大概率论与数理统计期末考题及答案(2008)
2
2
1 X Y ，设 Z ， （1）求 EZ 和 DZ （2）求 XZ 2 3 2
、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 3 页 （共 5 页）
试 题：
1 , x 六、 （14 分） ．设总体 X 的分布函数为： F ( x; , ) x 0, x
其中未知参数 0, 1 ，设 X 1 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. （1）当 1 时，求未知参数 的矩估计和极大似然估计； （2）当 2 时，求未知参数 的极大似然估计。 、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 4 页 （共 5 页）
试 题：
七（6 分）设 X , Y 服从 G x, y | 1 x 3,1 y 3 上均匀分布，
1 3．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) e | x| ，则对随机变量 | X | 与 X ，下列结论成立的是 2 （A）相互独立； （B）分布相同； （C）不相关； （D）同期望. 【 】 1 1 4．设随机变量 X 服从参数为 的指数分布， Y ~ U (0,6) ，且 XY ，根据 3 3 切比晓夫不等式有： P (4 X Y 4) 1 5 1 2 （A） . （B） . （C） . （D） . 【 】 8 8 4 9 2 2 2 5．设 X1 , X2 ,, Xn 是总体 X ~ N ( , ) 的样本， EX , DX , X 是样本均值， S 是样本方差，
哈工大
2008
年 秋 季学期
概率论与数理统计
题号 分数 一 二 三 四 五 六 七
试
八
Байду номын сангаас
哈工大2021年概率统计试题及答案
哈工大2021年概率统计试题及答案2021年哈工大概率统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设P?A??P?B??0.7，且A,B只发生一个的概率为0.5，则A,B都发生的概率为________________ ．?e-x，x?0X2．设随机变量X的概率密度为fX(x)??，则随机变量Y?e的概率密度为?0,x?0fY(y)?______________ _ _ ．3．设随机变量X, Y的相关系数为0.5，EX?EY?0,EX2?EY2?2，则E(X?Y)2?．4．生产一个零件所需时间X?N(?,?2)，观察25个零件的生产时间得x?5.5秒，样本标准差s?1.73秒，则?的置信度为0.95的置信区间为__________________． 5．设随机变量X, Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则P{max(X,Y)?1}?______ ．注：可选用的部分数值：t0.05(24)?1.7109, t0.025(24)?2.0639,t0.025(25)?2.0595,?（1.96）?0.975，?（1.645）?0.95.二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设0?P?B??1,P(A|B)?P(A|B)?1，则（A）A,B互不相容.（B）A,B互为对立事件. （C）A,B相互独立.（D）A,B不独立.【】 2．下列函数可作为随机变量的分布函数的是?x, x?01?Fx?,???x???（A）??．（B）F(x)??1?x ．1?x2?? 0, x?0（C）F(x)?e,???x??．（D）F(x)?-x31?arctanx,???x??．【】42?3．设X1, X2, ?, Xn为来自总体N(1,22)的一个样本，其中X为样本均值，则下列结论中正确的是11n1n222（A）??Xi?1?~??n?．（B）??Xi?1?~F(n,1)．4i?14i?1（C）X?1X?1（D）【】 ~N?0,1?．~t(n)．2/n2/n144．设随机变量X~U[0, 6]，Y~B(12, )，且X,Y相互独立，则根据切比雪夫不等式有P(X?3?Y?X?3)?__________．（A）1335．（B）．（C）．（D）．【】 4541225．设X1, X2, ?, Xn是来自总体N(?, ?2)的简单随机样本，X与S分别为其样本均值和样本方差，则下列结论正确的是（A）2X2?X1~N(?,?)．（B）2nX??S2??2~F(1,n?1)．（C）S2?2X??~?2?n?1?．n?1~t(n?1)．（D）【】S三、（9分）某人外出可以乘坐飞机，火车，轮船，汽车四种交通工具，其概率依次为0.05,0.15,0.30,0.5，而乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为0.80,0.70,0.60,0.90，求：（1）该人如期到达的概率；（2）已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。
《概率论与数理统计》课后习题及答案解析(上)
件，则至少有2件次品的概率为．
解：这是古典概型，从100件产品中任取5件，共有C5种可能，基本事件总数为C5，
事件A表示“至少有2个次品”，事件B表示“没有一件次品”，事件C表示“恰有一件次
品”，且B事件与C事件互斥，则ABC，所包含的基本事件数为C0C5C1C4，故
1．“只订甲报”；2．只订甲、乙两报；3．只订一种报纸；4．正好订两种报纸；5．至少订一种报纸；6．不订任何报纸．
解：1.“只订甲报”=ABC；2.“只订甲、乙两报”=ABC；
3.“只订一种报 纸”=ABCUABCUABC
；4.“正好 订 两种报 纸”
=ABCUABCUABC；
5．“至少订一种报纸”=AUBUC；6．“不订任何报纸”=ABC．
解法1：设Ai表示事件“取出的第i件为合格品”i=1,2,3,4,5，则这批产品予以出厂的事件为A1A2A3A4A5，所求事件为A1A2A3A4A5
∴P(A1A2A3A4A5)=1–P(A1A2A3A4A5)
=1–[P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)P(A5|A1A2A3A4)]
为4，6，10道题，每人随机抽取2道题，求：
1．3号学生抽到英语题的概率．
2．3号学生抽到2道英语题，5号学生抽到一道英语题与一道历史题的概率．
解：设A表示事件“3号学生抽到英语题”，B表示事件“3号学生抽到2道英语题”，
C表示事件“5号学生抽到一道英语题与一道历史题”，
C2C1C1
1.P(A)66 140.5211
赛后仍放回袋中，第二次比赛时再从袋中任取3个球：
1.求第二次比赛取出的都是新球概率
概率论与数理统计考试试卷(经,A卷)及参考答案
哈尔滨工业大学2017—2018年度第I 学期概率论与数理统计考试试卷(经,A 卷)及参考答案一. 填空题(每空两分,共30分)1. 若B A ,为随机事件，且6.0)(=A P ,2.0)(=-A B P .当A 与B 相互独立时, =)(B P 0.5 ；A 与B 互不相容时,=)(B P 0.2 。
2. 若每次试验时A 发生的概率都是2.0，X 表示50次独立试验中事件A 发生的次数，则=)(X E 10 ，=)(X Var 8 。
3. 若随机变量X 只取2±,1之三个可能值,且15.0)2(=-=XP ,5.0)1(==X P 。
则=)(X E 0.9 ，=)(X Var 1.69 。
4. 若随机变量21,X X 相互独立,且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N 。
令212X X X -=，则=)(X E 1 ，=)(X Var 25 ，)1(>X P ＝ 0.5 。
5. 若n X X X ,,,21Λ为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记 ∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S ni i --=∑=. 则σμ/)(-X n ～)1,0(N , 2/)(S X n μ-～1-n t , 22/)1(σS n -～21-n χ。
进一步，记αZ 为标准正态分布上α分位点，)(αm t 为自由度为m 的t 分布上α分位点,)(2αχm 为自由度为m 的2χ分布上α分位点,m 为自然数，10<<α为常数。
当2σ已知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为])/(,)/([2/2/αασσZ n X Z n X +-；当2σ未知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为)]2/()/(),2/()/([11αα--+-n n t n S X t n S X , 2σ的置信系数为α-1的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)2/1()1(,)2/()1(212212αχαχn n S n S n 。
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习 题 三1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。
|解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。
则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=， 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=.即X 的分布列为，01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。
解 (0)P X P ==(第一个路口即为红灯)12=, (1)P X P ==(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)111224=⋅=， 依此类推，得X 的分布列为012311112488XP. 5．将一枚硬币连掷n 次，以X 表示这n 次中出现正面的次数，求X 的分布列。
解 X 为n 重贝努里试验中成功出现的次数，故1~(,)2X B n ，X 的分布列为1()2nk nP X k C ⎛⎫== ⎪⎝⎭0,1,,k n =6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。
:解 设X 为每分钟接到的呼叫次数，则~(4)X P（1）84448444(8)0.29778!!!k k k k q P X e e e k k ∞∞---=====-=∑∑（2）4114(10)0.00284.!k k P X e k ∞-=>==∑ 7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为以上。
解 设X 为该商品的销售量，N 为库存量，由题意51150.99977()1()1()1!k K N K N P X N P X N P X K e k ∞∞-=+=+≤≤=->=-==-∑∑即5150.00023!K K N e k ∞-=+≤∑ 查泊松分布表知115N +=，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在以上。
8．已知离散型随机变量X 的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P X P X ====，(3)0.5P X ==，试写出X 的分布函数。
"解 X 的分布列为1230.20.30.5X P所以X 的分布函数为0,1,0.2,12,()0.5,23,1,3.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩9．设随机变量X 的概率密度为sin ,0,()0,c x x f x π<<⎧=⎨⎩其他.求：（1）常数C ；（2）使()()P X a P X a >=<成立的a .解 （1）001()sin cos 2f x dx c xdx c x c ππ+∞-∞===-=⎰⎰，12c =； （2）1111()sin cos cos 2222aa P X a xdx x a ππ>==-=+⎰， 001111()sin cos cos ,2222a aP X a xdx x a <==-=-⎰ ?可见 cos 0a =， 2a π∴=。
10．设随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+，x -∞<+∞，求：（1）系数A 与B ；（2）(11)P X -<≤；（3）X 的概率密度。
解 （1）由分布函数的性质0()21()2F A B F A B ππ⎧=-∞=-⋅⎪⎪⎨⎪=+∞=+⋅⎪⎩于是 12A =，1B π=，所以X 的分布函数为11()arctan 2F x x π=+ x -∞<<+∞，（2）11111(11)(1)(1)()24242P X F F ππππ-<≤=--=+⋅--⋅=；（3）X 的概率密度为|21()()(1)f x F x x π'==+， x -∞<<+∞.11．已知随机变量X 的概率密度为||1()2x f x e -=，x -∞<<+∞.求X 的分布函数. 解001,0,2()()11,0,22x ux x x u e du x F x f u du e dx e du x -∞-∞--∞⎧≤⎪⎪==⎨⎪+>⎪⎩⎰⎰⎰⎰1,0,211,0.2xx e x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩12．设随机变量X 的概率密度为,01,()2,12,0,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他.求X 的分布函数.!解 ()f x 的图形为 X 的分布函数为()()x F x f u du -∞=⎰1010,0,,01,(2),12,1,2.xxx udu x xdx u du x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+-≤<⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰220,0,,01,221,12,21,2.x x x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩ %1313．设电子管寿命X 的概率密度为2100,100,()0,100.x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩0 1 2 x (1，1)f (x )若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y 的分布列；（3）Y 的分布函数。
解 Y 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，~(3,)Y B p ，其中 15021001001(150)3p P X dx x =≤==⎰， （1）所求概率为2323121(2)(2)(3)333P Y P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫≥==+==⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭727=；<（2）Y 的分布列为3312()33kkk P Y k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,k =即01238126127272727YP. （3）Y 的分布函数为0,0,8,012720(),12,2726,23,271,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 14．设随机变量X 的概率密度为 2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行n 次独立重复观测，以n V 表示观测值不大于的观测次数，试求随机变量n V 的概率分布。
解 ~(,)n V B n p ，其中 0.10(0.1)20.01p P X xdx =≤==⎰，—所以n V 的概率分布列为()(0.01)(0.99),0,1,,k k n kn n P V k C k n -===.15．设随机变量~[1,6]X U ，求方程210x Xx ++=有实根的概率. 解 设A =‘方程有实根’，则A 发生240X ⇔-≥ 即 ||2X ≥，因~[1,6]X U ，所以 A 发生2,X ⇔> 所以624()(2)0.8615P A P X -=>===-. 16．设随机变量~[2,5]X U ，现对X 进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.解 设Y 为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则~(3,)Y B p ，其中(532(3)523p P X -=>==-，所求概率为232321220(2)(2)(3)33327P Y P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分），服从参数为15的指数分布。
若等待时间超过10分钟，则他就离开。
设他一个月内要来银行5次，以Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布列及(1)P Y ≥。
解 由题意~(5,)Y B p ，其中 25510101(10)5x xp P X e dx e e +∞--+∞-=>==-=⎰， 于是Y 的分布为2255()()(1)0,1,2,3,4,5,k k kP Y k C e e k ---==-=25(1)1(0)1(1)0.5167P Y P Y e -≥=-==--≈.18．一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布。
（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。
^解 （1）设T 的分布函数为()T F t ，则 ()()1()T F t P T t P T t =≤=->事件()T t >表示两次故障的间隔时间超过t ，也就是说在时间t 内没有发生故障，故()0N t =，于是0()()1()1(()0)11,00!tt T t F t P T t P N t e e t λλλ--=->=-==-=->，可见，T 的分布函数为1,0,()0,0.t T e t F t t λ-⎧->=⎨≤⎩即T 服从参数为λ的指数分布。