有理多项式曲线逼近的新方法【开题报告】
有理三角B—B曲面多项式逼近的一个有效算法
这些结果可以明显地提高计算机辅助几何设计系统的数据可换性与计算效率．
关 键 词 计 算 机 辅 助 几 何 设 计 ； ｂ ｉ 面 ； 项 式 三 角 Ｂ Ｂ曲 面 ； 理 三 角 Ｂ Ｂ曲 面 ； 项 式 逼 近 Ｈｙ ｒ ｄ曲 多 有 — 多
中图法分类号 Ｔ ３１ Ｐ ９
Ａｎ Ｅｆ ｅ ｔｖ ｇ ｒ ｔ ｍ ｏ Ａｐ ｏ ｍ ａ ｅ Ｒａ ｉ ｎ ｌＴｒ ａ ｇ ｌ ｒ ｆ ｃ ｉ ｅ Ａｌ ｏ ｉｈ ｔ ｐｒ ｘｉ ｔ ｔｏ ａ ｉ ｎ ｕ ａ
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Chebyshev多项式最佳一致逼近-最佳平方逼近
数学软件实验任务书实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近1 实验原理设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ϕ来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。
通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的：对于给定的函数{()}j x ϕ，寻求函数0()()nj j j x c x ϕϕ==∑ 使()()0max lim n a x bf x x ϕ→∞<<-=的函数称为一致逼近。
使()()()0lim b pa n f x x W x dx ϕ→∞-=⎰ 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。
比较常用的p=2，称为平方逼近。
设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式()f x P εε-<对所有[,]x a b ∈一致成立()()max n a x b f x P x ≤≤-则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。
求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1)j j x b a b a j n n +=-++=+L 2 实验数据求函数()x f x xe =在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多项式（Chebyshev 插值多项式）3 实验程序function g=cheby(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1);temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=lag(x,y);function s=lag(x,y,t)syms p;n=length(x);s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;endf=inline('x.*exp(x)','x');z1=cheby(f,3,-6,6)z2=cheby(f,5,-6,6)z3=cheby(f,12,-6,6)%作出逼近函数图形subplot(2,2,1),ezplot('x*exp(x)'),grid subplot(2,2,2),ezplot(z1),grid subplot(2,2,3),ezplot(z2),grid subplot(2,2,4),ezplot(z3),grid%改变背景为白色set(gcf,'color','white')4 实验结果z1 =-133.0+4.822*x^3+27.38*x^2-20.40*xz2 =.2001*x^5+1.359*x^4-2.020*x^3-18.56*x^2+6.126*x+40.2 5z3 =-.2405e-16+.5187e-7*x^12+.6439e-6*x^11+.1420e-5*x^1 0+.6201e-5*x^9+.2287e-3*x^8+.1813e-2*x^7+.8007e-2*x^6+.3709e-1*x^5+.1682*x^4+.520 9*x^3+.9981*x^2+.9729*x实验2 Chebyshev最佳平方逼近1 实验数据的5 次最佳求函数()arccos,(11)=-≤≤关于权函数f x x x平方逼近。
椭圆曲线的Bézier多项式逼近
椭圆曲线的Bézier多项式逼近王珺【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2013(000)003【摘要】椭圆曲线是计算机辅助几何设计中基本且重要的曲线。
本文首先利用Tchebyshev多项式去逼近椭圆，再在此基础上得到插值椭圆首、末端点的n次Bézier多项式逼近。
该算法可以逼近整椭圆，而且适合圆的逼近。
% Elliptic curve is a basic and important curve in the computer-aided geometric design. This paper uses Tchebyshev polynomial to approximate the elliptic curve, and a Bézier curve is presented to approximate ellipse, which interpolates first and the end point of ellipse. This algorithm can approximate the whole ellipse and circle.【总页数】4页(P1-4)【作者】王珺【作者单位】巢湖学院数学系，安徽巢湖 238000【正文语种】中文【中图分类】O24【相关文献】1.有理Bézier曲线的多项式逼近新方法 [J], 成敏;王国瑾2.Bézier曲线的等距曲线的同次多项式逼近 [J], 王珺;张江平3.椭圆offset曲线的多项式逼近算法 [J], 刘续征;雍俊海;郑国勤;孙家广4.椭圆曲线的带调节参数的Bézier曲线逼近 [J], 王晶昕;牛鑫5.一类有理Bézier曲线及其求积求导的多项式逼近 [J], 王国瑾; 胡倩倩因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《基于Legendre多项式逼近的三类变系数微积分方程数值算法》范文
《基于Legendre多项式逼近的三类变系数微积分方程数值算法》篇一一、引言在科学和工程领域，变系数微积分方程的求解是一项重要的任务。
这些方程描述了物理现象、生物过程、经济模型等多个领域的复杂动态变化。
然而，由于变系数微积分方程的复杂性，传统的数值方法往往难以得到精确的解。
近年来，基于Legendre多项式逼近的数值算法在处理这类问题上展现出强大的能力。
本文将探讨基于Legendre多项式逼近的三类变系数微积分方程数值算法。
二、Legendre多项式基础Legendre多项式是一组在[-1,1]区间内正交的多项式，具有良好的性质和广泛的应用。
其逼近能力使得它成为处理微积分问题的一种有效工具。
通过Legendre多项式的逼近，我们可以将复杂的变系数微积分方程转化为一系列的代数问题，从而简化求解过程。
三、三类变系数微积分方程及其数值算法1. 第一类：变系数微分方程对于这类问题，我们首先通过Legendre多项式将微分方程转化为代数方程。
然后，利用数值方法（如牛顿迭代法、二分法等）求解代数方程，从而得到微分方程的解。
2. 第二类：变系数偏微分方程对于变系数偏微分方程，我们采用类似的方法，先通过Legendre多项式进行空间域的逼近，然后将偏微分方程转化为一系列的常系数微分方程。
接着，我们可以利用常微分方程的数值解法（如Runge-Kutta法）求解这些常系数微分方程，从而得到原偏微分方程的解。
3. 第三类：变系数积分-微分方程对于变系数积分-微分方程，我们首先利用Legendre多项式进行时间和空间的逼近。
然后，通过离散化方法将积分-微分方程转化为一系列的代数方程。
最后，我们采用适当的数值解法（如高斯消元法、最小二乘法等）求解这些代数方程，从而得到原积分-微分方程的解。
四、算法实现与结果分析我们分别对这三类变系数微积分方程进行了算法实现和结果分析。
通过与传统的数值方法进行比较，我们发现基于Legendre 多项式逼近的数值算法在求解精度和计算效率上都有显著的优势。
泰勒公式验证及其应用 开题报告
****大学毕业论文（设计）开题报告题目：泰勒公式的验证及其应用院（系、部）：数学科学与应用学院姓名：年级：学号：专业：指导教师：2010 年 12月 27 日毕业论文（设计）开题报告1．本课题的目的及研究意义目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。
如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。
对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。
2．本课题的研究现状数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取0x点将原式进行泰勒展开，如何选取0x使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。
泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。
对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。
3．本课题的研究内容对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
本课题将从以下几个方面展开研究：一、介绍泰勒公式及其证明方法二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。
三、结论。
4．本课题的实行方案、进度及预期效果实行方案：1.对泰勒公式的证明方法进行归纳；2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题；3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。
Bézier曲线的等距曲线的同次多项式逼近
Bézier曲线的等距曲线的同次多项式逼近
王珺;张江平
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2009(021)009
【摘要】Bézier曲线.最后通过实例与其他基于圆弧逼近的等距曲线逼近方法进行了比较,结果表明,文中方法与其他方法具有相似的逼近效果,但大大降低了逼近次数.【总页数】6页(P1251-1256)
【作者】王珺;张江平
【作者单位】巢湖学院数学系,巢湖,238000;合肥工业大学数学学院,合肥,230009【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72;O241.5
【相关文献】
1.有理Bézier曲线的多项式逼近新方法 [J], 成敏;王国瑾
2.平面Bézier曲线的等距曲线有理逼近新方法 [J], 张伟红;檀结庆
3.椭圆曲线的Bézier多项式逼近 [J], 王珺
4.Said-B(e)zier曲线的等距曲线的有理逼近 [J], 江平;王珺
5.等距曲线的圆域Bézier逼近 [J], 陈笑;王国瑾
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带形状参数的三角多项式Coons曲面的研究的开题报告
带形状参数的三角多项式Coons曲面的研究的开题报告题目：带形状参数的三角多项式Coons曲面的研究摘要：三角多项式Coons曲面是三维曲面的一种重要表示方法，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计等领域。
然而，传统的三角多项式Coons曲面只能表示封闭曲面，且平滑度较低，不够灵活。
本文将探讨带形状参数的三角多项式Coons曲面，其不仅能表示非封闭曲面，还具有更好的平滑度和自适应性能。
我们将研究如何使用形状参数控制曲面的形状，从而更好地满足实际应用需求，同时提高曲面的计算效率。
我们计划通过数学分析和计算实验的方式，深入探究带形状参数的三角多项式Coons曲面的理论性质和实际应用效果，为相关领域的研究和应用提供一定的参考价值。
关键词：三角多项式Coons曲面、形状参数、非封闭曲面、平滑度、自适应性能、计算效率。
引言：随着计算机技术的不断发展，三维建模和可视化技术在工业设计、工程制图、医学影像等领域得到了广泛应用。
而曲面表示作为三维模型的一种重要表现形式，也是研究的热点之一。
三角多项式Coons曲面是一种常见的曲面表示方法，其具有良好的局部逼近性能和较好的平滑度。
近年来，越来越多的学者对三角多项式Coons曲面进行相关研究，提出了许多改进方法，如基于Bezier曲面的扩展、基于形状参数的优化等等。
本文将综合这些研究成果，着重探讨带形状参数的三角多项式Coons曲面，从而更好地满足实际应用需求。
研究内容：本文将研究带形状参数的三角多项式Coons曲面的相关理论和方法，包括如何定义形状参数、如何使用形状参数控制曲面的形状等等。
具体研究内容如下：1. 描述三角多项式Coons曲面的基本理论和方法；2. 研究如何引入形状参数，并定义其含义和作用；3. 探究如何使用形状参数控制曲面的形状，并提出相应的算法；4. 分析带形状参数的三角多项式Coons曲面的局限性和不足之处，并提出相应的改进方法；5. 进行大量计算实验，验证所提方法的有效性和准确性；6. 根据实验结果，对带形状参数的三角多项式Coons曲面进行性能评价，并与其他曲面表示方法进行比较。
区间有理Bézier曲线的降多阶逼近
Ｖｏ ． ９ ＮＯ ３ １２ ． Ｓ ｏ． ２０１ ｅ ２
区问有理 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线的降多阶逼近 ｅ
李 涛
（ 州 科 技 学 院 数 理 学 院 ， 苏 苏 州 ２ ５０ ） 苏 江 １０ ９ 摘 要 ： 过 分 析 有 理 多项 式 的约 束 不 等 式 ，把 区 间有 理 Ｂ ｚ ｒ 通 ６ｉ 曲线 的 降 阶转 化 为 多 项式 的保 上 界 降 阶逼 近 问题 ， ｅ
述 ， 这些 误差 信 息对 随后 的几何 运算 ， 曲线 、 而 如 曲面求 交 、 算 机动 画 、 计 碰撞 检 测等 十 分重 要 。 为此 ， ｈ ｎ Ｃ ｅ
等同 究 了区 间 Ｂ ｚ ｒ 研 ６ｉ 曲线 的降 阶问题 。但 作为 区 间曲线 的最 通用 表达方 式— — 区间有 理 曲线 降 阶 的文献 ｅ 却 没见 到 ， 文献 【】 讨论 了降 一 阶的情形 ， 于 降多 阶逼近 ， 要多 次调用 降 一 阶时的 结果 。这 既不 利于 且 ６仅 对 需 程 序 实现 ， 也不 利于误 差 的事前估 计 。笔者对 区间有理 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线 的降多 阶逼 近问题进 行研 究 ， 过 问题转 ｅ 通 化 ， 其最 终归 结为 多项式 的保 上界 降 阶逼 近 问题 。 将
关键 词 ：降 多 阶逼 近 ； 间 曲线 ； 理 Ｂ ｚ ｒ 区 有 ６ ｉ 曲线 ； 性 规 划 ； 优 逼 近 ｅ 线 最
中 图分 类 号 ： ２ １５ ０４． 文 献标 识 码 ： Ａ
ＭＲ（００ Ｓ ｂｅｔ ｌｓｉｃｔ ｎ ４ Ａ ５ ４ Ａ ５ ２ ０ ） ｕ ｊｃ ａｓ ａｉ ： １ ０ ；ｌ １ Ｃ ｉ ｆ ｏ 文 章 编 号 ：１７ — ６ ７ ２ １ ）３ ０ １— ６ ６ ２ ０ ８ （０ ２０ —０ ４ ０
《2024年基于Legendre多项式逼近的三类变系数微积分方程数值算法》范文
《基于Legendre多项式逼近的三类变系数微积分方程数值算法》篇一一、引言在现代科学与工程问题中，变系数微积分方程扮演着重要的角色。
由于变系数微积分方程的复杂性，其求解通常需要借助数值算法。
Legendre多项式作为一种有效的数值逼近工具，在处理这类问题上具有独特的优势。
本文将重点探讨基于Legendre多项式逼近的三类变系数微积分方程数值算法，并对其性能进行详细分析。
二、Legendre多项式的基本理论Legendre多项式是一组在[-1,1]区间上正交的多项式，具有优良的逼近性能。
其基本性质包括正交性、归一性和递推性等。
在数值计算中，Legendre多项式可以通过递推关系进行计算，具有较高的计算效率。
三、基于Legendre多项式的变系数微分方程数值算法1. 第一类：线性变系数微分方程对于线性变系数微分方程，我们可以通过将系数进行适当处理，将其转化为常系数微分方程。
然后，利用Legendre多项式对解进行逼近，通过数值积分和微分等方法求解。
2. 第二类：非线性变系数微分方程对于非线性变系数微分方程，我们采用多步法进行求解。
首先，将解在时间或空间上进行离散化，然后利用Legendre多项式对每个离散点的解进行逼近。
通过迭代法求解离散化后的非线性方程组，得到数值解。
3. 第三类：偏微分方程对于偏微分方程，我们采用有限元法进行求解。
在有限元离散化过程中，利用Legendre多项式对每个单元的解进行逼近。
通过组装各单元的刚度矩阵和载荷向量，形成全局刚度矩阵和载荷向量，然后求解得到数值解。
四、算法性能分析1. 精度分析基于Legendre多项式的逼近方法具有较高的精度。
通过适当选择多项式的阶数，可以实现对变系数微积分方程的高精度逼近。
此外，该方法还具有较好的稳定性，能够在一定程度上抵抗数值误差的积累。
2. 效率分析在计算效率方面，基于Legendre多项式的逼近方法具有较高的计算效率。
由于Legendre多项式具有正交性和递推性等优良性质，其计算过程相对简单且快速。
函数的多项式插值与逼近
=1, 例1：已知sin 6 2
sin = 1 , sin = 3 4 3 2 2
0
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 5 并估计误差。 50 =
18
解： n = 1
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
, x1 = 6 4
利用 x0 =
n=2
sin 50 0 L2 ( 5 ) 0.76543 18
- cos R2 ( x ) = ( x - )( x - )( x - ) ; 3! 6 4 3
5 0.00077 0.00044 R2 18
1 3 cos 2 2
第二章 多项式插值与函数逼近
/*Polynomial Interpolation and Approximation of Functions */
本章主要内容： 一、插值部分： 1、Lagrange插值方法 2、Newton插值方法 3、Hermite插值方法
4、三次样条插值方法
二、函数逼近—最佳平方逼近和最佳一致逼近
注： （1）若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = Ln ( x ) q( x ) ( x - xi ) 也是一个插值
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毕业论文开题报告
信息与计算科学
有理多项式曲线逼近的新方法
一、选题的背景与意义
CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决
工业产品几何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现在工业
的发展起到了巨大的促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发
出勃勃生机。有理函数（有理曲线、有理曲面）在CAGD（计算机辅助几何设计）学科中
占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了
坚实基础。
由于有理曲线在几何造型设计中有着广泛和重要的应用，但是相比较多项式曲线的形
式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式逼近有理曲线的问题具有重要的理论
和实际意义，并已得到广泛的研究。
Bézie曲线是参数多项式曲线，由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许
多优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界和
CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人们对它情有独钟。B
ézier方法在实践中表现出强大的生命力。
国内外研究文献中已有许多多项式Bézier曲线逼近有理Bézier曲线的方法，例如：
用混合多项式逼近有理函数、研究混合曲线控制点的移动范围、利用多项式逼近有理函数
和有理曲线的收敛条件，研究区间有理Bézier曲线的边界、基于有理函数的混合表达式用
Hermite 多项式逼近有理Bézier曲线，研究多项式逼近有理曲线的收敛条件、用Hermite 多
项式逼近有理Bézier曲线的递归方法，以及通过用低阶的多项式曲线来插值有理参数曲线
等。
此外，由于Bézier曲线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义
同一条Bézier曲线。这个多边形序列将收敛都一个极限，就是所定义的Bézier曲线。因
此可以通过升阶的方法使Bézier曲线一致收敛到有理多项式Bézier曲线。例如：参考文献
[7]中提到的方法：对一个任意给定连续升阶的有理Bézier曲线，用它的控制点构造Bézier
曲线的控制点，得出任意给定阶数的Bézier曲线序列的r阶导数将一致收敛到对应的原有
理Bézier曲线的r阶导数。
这些方法各有特点，各有自己的适用场合，但是关于这一问题显然还有值得完善和改
进的地方。我将在已有研究方法的基础上，构造一个新的Bézier曲线，实现用新构造的多项式
Bézier曲线逼近原有理Bézier曲线，与现有的研究方法相比，更具几何直观性，方法更简洁直
接，并且将尽可能提高逼近精度，便于计算机操作与应用的实现。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
1.调研用多项式参数曲线逼近有理曲线的背景及意义，综述已有方法的优缺点；
2.提出用多项式参数曲线逼近有理曲线的一种新方法，并给出具体计算实例。
构造新的Bézier曲线来逼近有理Bézier曲线。根据参考文献[7]，对一个任意给定连续升阶的
有理Bézier曲线，用它的控制点构造Bézier曲线的控制点，得出任意给定阶数的Bézier
曲线序列的r阶导数将一致收敛到对应的原有理Bézier曲线的r阶导数,记升阶后的有理
Bézier曲线的控制点为{rP}，根据参考文献[7]中的引理1：(See Farin, 1999.) 当 有理Bézier曲
线nininininininintBwtBPwtR0,,0,,,)()()(不断升阶，它的控制点}{,niP一致收敛到)}({niR，用 {rP}和)}({niR的线性组
合构造新的控制点，用这些线性变化的控制点作为多项式Bézier曲线的控制点，以此实现
课题研究的目的，用构造的多项式Bézier曲线逼近有理Bézier曲线。
三、研究的方法与技术路线
1、尝试给出新控制顶点的解析表达式。使用直观的几何方法，通过升阶的方法，改变原有理Bézier
曲线的控制点和权值，以参考文献[7]作为理论依据，构造新的多项式Bézier曲线的控制点。实
现用多项式Bézier曲线逼近有理Bézier曲线。
2、提高逼近精度。在Bézier曲线性质的基础上，移动Bézier曲线的控制点，来逼近有理Bézier 曲
线，使得逼近误差尽可能小。
3、给出适当的算例来说明我们所给出方法的可行性与可操作性。
选4阶、5阶、6阶的Bézier曲线逼近同阶的有理Bézier曲线，以此说明用构造的新的多
项式Bézier曲线逼近原有理Bézier曲线的有效性和可行性。
4、整理用代表性算例计算的算法和结果，针对算例中出现的问题，提高逼近精度。
①、在Bézier曲线性质的基础上，移动Bézier曲线的控制点，调整逼近的方法。
②、修正逼近的精度的算法。
四、研究的总体安排与进度
1. 2010-2011年第一学期
第13周：选题、开题论证会。
第14 周：对文献综述和开题报告进行修改。
第15-19周：收集资料，提交论文研究框架。
2. 2010-2011年第二学期
第1-7周：提交毕业论文初稿给指导教师审阅，修改论文。
第8周：毕业论文定稿，完成相关材料的填写，装订成册。
第9-11周：毕业论文上交教务办。
第12周：参加毕业论文答辩。
五、主要参考文献
[1] 王国谨,汪国昭,郑建明,计算机辅助几何设计.北京市:高等教育出版社,2001.36-46.
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