第九章 正项级数
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
高数：级数敛散判别法
则称无穷级数收敛;
S un 级数的和
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散 。
n1
rn S Sn
uk
级数的余项。
lim
n
rn
0
无穷级数收敛。
kn1
若un≥0 (n=1, 2, 3, …) , un 正项级数。 Sn是单调增加数列。
n1
正项级数 un 收敛
n1
部分和序列 Sn有界 。
比较判别法
1 n 1
np n1n p dx
n n1
1 xp
dx
1
Sn
1
1 2p
1 3p
1
4p
1
np
1
2nddxx 1 xxpp
231dxxp1pn p11n
dx n1x1p
1 p 1
,
因而 Sn有上界。 由基本定理可知, 当p>1时p级数收敛。
9.2.2 比较判别法
定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, 且
设 un , vn 是两个正项级数, 且存在自然数N,
n1 n1
使当 n>N 时有 un≤kvn (k>0为常数) 成立, 则
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 un 也收敛 ;
n1
n1
(2) 若弱级数 un 发散 , 则强级数 vn 也发散 。
n1
n1
比较对象
①
p级数
1 np
,
p>1收敛，p<1发散。
证: 因为
1
nn 1
1 n (n 1)
发散 。
1 1 n 1, 2,
正项级数判别 法
正项级数判别法
正项级数是指数列 $a_n$ 项全是正数的级数，即
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $a_n>0$。
对于这种级数，我们有一个非常有用的判别法，叫做正项级数判别法。
正项级数判别法的主要思想是通过比较级数的通项 $a_n$ 与一个已知的收敛级数的通项之间的大小关系，来判断所给级数是否收敛。
根据比较级数的大小关系，我们可以将正项级数分为以下三类。
一、大于等于已知收敛级数的通项
如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的通项 $a_n$ 大于等于已知收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 的通项 $b_n$，即 $a_n\geq b_n$，那么我们可以得到如下的结论：
右边这个级数显然也发散。
因此，如果 $a_n\leq b_n$，则
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 必发散。
三、属于柯西型级数
这个结论比较抽象，需要用到柯西收敛准则。
具体地说，如果对于任意一个正实数$\epsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n\geq N$ 时，有：
$$|a_n-b_n|<\epsilon$$
正项级数判别法的应用非常广泛，尤其对于那些可以化为 $a_n=\dfrac{1}{n^p}$ 的级数，直接运用大小关系即可得出结论。
同时，正项级数判别法也可以用来求极限，提高我们解决问题的效率。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
h − ε < yn < H + ε 。
min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} < x n y n < max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )}，
高数第九章数项级数
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
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数学分析
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
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当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
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1 (1) sin ; n n 1
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5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设
n 1
un 1 (常数或 ) n u un 是正项级数,如果 lim n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
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1 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
【精品】第9章 数项级数练习
第9章数项级数§1数项级数的收敛性一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项(一般项,第n 项),前n 项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为∑n u .2.级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时,) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn .级数收敛; 当1||>q 时,, =n S 级数发散;当1=q 时,+∞→+=1n S n ,) (∞→n ,级数发散;当1-=q 时,()n n S )1(121-+=,) (∞→n ,级数发散. 综上,几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛,且和为q-11(注意n 从0开始).例2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.例3讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n ,) (∞→n .⇒n S →2,) (∞→n .因此,该级数收敛. 例4讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+,) (∞→n .级数发散.3. 级数与数列的关系: ⑴设∑nu对应部分和数列{n S },则∑nu收敛⇔{n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4.级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu,其中⎰+=1n nn f u .无穷积分可化为级数;⑵对每个级数,定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n ,易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f .即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二级数收敛的充要条件——Cauchy 准则：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1(Cauchy 准则)∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论(级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒0lim =∞→n n u .例5证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛. 证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =,则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注:应用Cauchy 准则时，应设法把式|∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证)证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ .即得+∞→n S ，) (∞→n .)注:此例为0→n u 但级数发散的例子.三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3若级数∑nu收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.(收敛数列满足结合律)例8考查级数∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该例的结果说明什么问题?§3正项级数一.正项级数判敛的一般原则:1.正项级数:n n S u , 0>↗;任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th1设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n .(证)正项级数敛散性的记法. 3. 正项级数判敛的比较原则: Th2设∑nu和∑nv是两个正项级数,且N n N >∃ , 时有n n v u ≤,则ⅰ>∑nv<∞+,⇒∑nu<∞+;ⅱ>∑nu=∞+,⇒∑nv=∞+.(ⅱ>是ⅰ>的逆否命题)例1考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2设)1( 0π><<q q p .判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1(比较原则的极限形式)设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ>当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散;ⅱ>当0=l 时,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+; ⅲ>当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+.(证)推论2设∑nu和∑nv是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若n u ～n v ,) (∞→n ，则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ;(n n -21～n 21);⑵∑∞=11sin n n ;⑶∑∞=+12) 11 ln(n n .二正项级数判敛法:1．比值法：亦称为D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th3设∑nu为正项级数,且0 N ∃及0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ>若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ>若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+. 证ⅰ>不妨设1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立,有 , , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤-依次相乘⇒11-≤n n q u u ,即 11-≤n n q u u .由10<<q ,得∑<n q ∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ>可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论(比值法的极限形式)设∑n u 为正项级数,且q u u nn n =+∞→1lim .则ⅰ>当q <1⇒∑nu<∞+;ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+.(证)注:⑴倘用比值法判得∑nu=∞+,则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数,特别是n u 中含有因子!n 者. 例4判断级数()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此,当10<<x 时,∑+∞<;1>x 时,∑+∞=;1=x 时,级数成为∑n ,发散.例6判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+n n u u ，其敛散性不能确定.例如对级数∑n 1和∑21n,均有11<+nn u u ，但前者发散,后者收敛.2.根值法(Cauchy 判别法):也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th4设∑nu为正项级数,且0 N ∃及0>l ,当0N n >时,ⅰ>若1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ>若1 ≥n n u ⇒∑nu=∞+.(此时有 , 0→/n u ) (∞→n .)(证) 推论(根值法的极限形式)设∑nu为正项级数,且l u nn n =∞→lim.则ⅰ>当1 <l 时⇒∑nu<∞+;ⅱ>当1 >l 时⇒∑nu=∞+.(证)注:根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法.(参阅[1]P 12)例7研究级数∑-+nn2) 1 (3的敛散性.解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 例8判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性.解前者通项不趋于零,后者用根值法判得其收敛. 3．积分判别法：Th5设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘.则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀且⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( .例9讨论-p 级数∑∞=11n pn的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减.积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛,10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/p n,级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10讨论下列级数的敛散性:⑴∑∞=2) ln ( 1n p n n ;⑵∑∞=3) ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .§4任意项级数一.交错级数:交错级数,Leibniz 型级数.Th1(Leibniz)Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同,并有1 ||+≤n n u r . 证(证明部分和序列} {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限.为此先证明} {2n S 递增有界.))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S≥n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗;又1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- ,即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理,数列} {2n S 收敛.设)( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见,∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u .余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号,且1 ||+≤n n u r .例1判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性. 解当10≤<x 时,由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时,通项0→/,∑发散.二.绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛:以Leibniz 级数为例,先说明收敛⇒/绝对收敛.Th2(绝对收敛与收敛的关系)∑∞+< ||na, ⇒∑n a 收敛.证(用Cauchy 准则).注:一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛. 例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性. 2.绝对收敛级数可重排性: ⑴同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0, 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w则有ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数,且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ>n n n w v u +=||,n n n w v u -=. ⑵同号项级数的性质: Th3ⅰ>若∑||nu +∞<，则∑n v +∞<，∑n w +∞<.ⅱ>若∑nu条件收敛,则∑nv+∞=,∑n w +∞=.证ⅰ>由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤,ⅰ>成立. ⅱ>反设不真,即∑nv和∑nw中至少有一个收敛,不妨设∑nv+∞<.由n u =n v n w -,n w =n v n u -以及∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<,与∑n u 条件收敛矛盾.⑶绝对收敛级数的可重排性:更序级数的概念. Th4设∑'nu 是∑nu的一个更序.若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证ⅰ>若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<,且和相等. ⅱ>对于一般的n u ,∑nu =∑nv ∑-nw⇒∑'nu =∑'n v ∑'-n w . 正项级数∑'nv 和∑'nw 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序.由∑||nu+∞<,据Th1,∑nv和∑nw收敛.由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<,且有∑nv =∑'nv ,∑nw ∑nu =∑'nw ⇒∑n u =∑'nu . 由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢?回答是肯定的. Th5(Riemann)若级数∑nu条件收敛,则对任意实数s (甚至是∞±),存在级数∑nu的更序∑'nu ,使得∑'nu =s .证以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本,对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律,有如下结果: ⅰ>若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变. ⅱ>设∑'n u 是的一个更序.若N ∈∃K ,使nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,则∑'nu 和∑nu共敛散,且收敛时和相等.三.级数乘积简介:1.级数乘积:级数乘积,Cauchy 积.见教材. 2．级数乘积的Cauchy 定理: Th6(Cauchy)设∑||nu+∞<,||∑n v +∞<,并设∑n u =U ,∑n v =V .则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为UV .(证略) 例3几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的.将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列,得到+++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n nn n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212.四.型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1(分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=.则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证注意到1--=i i i B B b ,有∑∑==-+-=m i mi i iiii b a B Ba b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a mm m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a .分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=babax a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ba x a ba x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ba baxa x df dt t g dt t gb f )()()()(.可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰xadt t g )(,而差i i a a -+1相当于)(x df ,和式相当于积分.引理2(Abel)设i a 、i b 和i B 如引理 1.若i a 单调,又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证不妨设i a ↘.||1∑=m i i i b a ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a) ||2|| ( ||)(1111m m i mi i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1).i b 和i B 如引理1.则有||1∑=mi ii ba 1Ma ≤.(参引理2证明) Th7(Abel 判别法)设ⅰ>级数∑nb收敛,ⅱ>数列}{n a 单调有界.则级数∑nn ba 收敛.证(用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||,由∑nb收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时,对N ∈∀p ,有ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a ba p n n pn n k kk3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑nn b a 收敛.2.Dirichlet 判别法:Th8(Dirichlet)设ⅰ>级数∑nb的部分和有界,ⅱ>数列}{n a 单调趋于零.则级数∑nn ba 收敛. 证设∑==ni nn bB 1,则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀,有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N .此时就有εM a a M ba P n n pn n k kk6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑nn ba 收敛.取n a ↘0,∑nb ∑+-=1)1(n ,由Dirichlet 判别法,得交错级数∑+-n n a 1)1(收敛.可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出Abel 判别法.事实上,由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛,设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n nb a b a a)(,a a n -单调趋于零,n B 有界⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.例4设n a ↘0.证明级数∑nx ansin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时,级数∑kx cos 的部分和有界.由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛.同理可得级数数∑nx a n sin 收敛.。
8.2正项级数
(1)当r 1时, 级数 un为收敛级数
n 1
(2)当r 1时, 级数 un为发散级数
n 1
(3)当r 1时, 级数 un可能收敛, 也可能发散
n 1
【微积分8-2-12】
2、证明： (1)当0 r
1时,
un1 un1 lim r , 对r r0 1, N , 使当n N时有 r0 ,即 n u un n
【微积分8-2-18】
n 1
3、应用举例：
an n 例8 判别级数 ( ) ( a 0)的敛散性 n 1 2n 1
na n a ) 解： lim un lim ( n n 2n 1 2
n n
a 当0 1即0 a 2时, 级数收敛 2
a 当 1即a 2时, 级数发散 2
n 1
un1 un1 1 1 当r 0时有, lim 0 , 故N , 使当n N时有 n u 2 un 2 n
同样可得级数 un为收敛级数
n 1
【微积分8-2-13】
un1 un1 (2)当r 1时, lim r 1,N , 使当n N时有 1 n u un n
n 1
1 n 1 1 n 解： 2 1 2 1 ln 2, 而级数 发散 n n 1 n
1 所以 (1 cos )收敛 n n 1
级数 ( n 2 1)为发散级数
n 1
【微积分8-2-11】
三、比值判别法
un1 r, 则有 1、定理： 设 un为正项级数, 且有 lim n u n 1 n
正项级数与负项级数统称为保号级数。
正项级数基本定理
正项级数基本定理正项级数基本定理是数学中的一个重要定理，它描述了一类数列的求和问题。
在数学中，级数是一种特殊的数列求和形式，它由无穷多个数项按照一定规律相加而成。
而正项级数基本定理则是关于正项级数求和性质的一个重要定理。
下面将详细介绍这个定理的内容和应用。
正项级数基本定理是指对于一个正项级数，如果它的部分和有界，那么它一定是收敛的。
这个定理可以用一个简单的例子来说明。
考虑一个正项级数1/2+1/4+1/8+1/16+...，即每一项都是前一项的一半。
我们可以通过不断求和来计算这个级数的部分和，即将前n 项相加得到Sn，其中n表示项数。
当n逐渐增大时，Sn逐渐接近于2。
也就是说，这个级数的部分和是有界的，并且极限值为2。
根据正项级数基本定理，我们可以得出这个级数的和为2。
正项级数基本定理的证明可以通过数学分析的方法进行。
首先，我们可以证明正项级数的部分和是递增的。
也就是说，对于任意的n，Sn ≤ Sn+1。
这是因为我们在计算部分和时，每一项都是非负数，所以加上一项后的和一定大于或等于原来的和。
其次，我们可以证明正项级数的部分和是有界的。
也就是说，存在一个数M，使得对于任意的n，Sn ≤ M。
这是因为我们可以通过数学归纳法证明部分和Sn ≤ 2M，其中M是级数的第一项。
最后，我们可以证明正项级数的部分和是单调递增且有界的，所以它一定是收敛的。
根据级数的定义，我们可以得到级数的和为其部分和的极限值。
正项级数基本定理在数学中有着广泛的应用。
首先，它可以用来计算一些特殊级数的和。
比如，在金融领域中，我们经常遇到复利计算问题，而复利的计算可以转化为正项级数求和的问题。
其次，正项级数基本定理可以用来证明一些重要的数学结论。
比如，在实分析中，我们需要研究函数的收敛性和连续性，而正项级数基本定理可以为我们提供一种重要的工具。
此外，在概率论和统计学中，正项级数基本定理也有着重要的应用。
在概率论中，我们可以利用正项级数基本定理来证明一些重要的概率性质。
考研数学高数真题分类—级数
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第九章级数（数一、数三）综述：级数本质上是极限，级数的收敛性也就是极限的收敛性，关于级数的题目往往需要结合微分和积分的知识，因此也可以看做是对它们的综合运用。
本章一直是考试的重点内容，平均每年所占分值在15分左右。
本章的主要知识点有：级数的定义与性质，正项级数的各种判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，条件收敛与绝对收敛，幂级数的定义与性质，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数逐项求导定理与逐项积分定理，傅里叶级数。
从总体上讲，本章主要可以分为常数项级数与幂级数两部分。
其中考查的重点在幂级数上，但幂级数的基础是常数项级数。
对于常数项级数，考生需要重点把握它的收敛性的定义以及各种常见的判别法。
考试在级数中的大题一般出在幂级数上，这一部分的内容可以概括为三个问题:幂级数的收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。
其中，计算幂级数的收敛域最关键的是掌握幂级数的收敛半径的求法与相关的性质。
而幂级数求和与展开，则主要是结合常见函数的幂级数展开，再运用幂级数的逐项求导和逐项积分定理即可。
最后，关于傅里叶级数，考生主要需要掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。
本章常考的题型有：1.对常数项收敛性的考查，2.幂级数的收敛半径和收敛域，3.幂级数展开，4.幂级数求和，5.常数项级数求和，6.傅里叶级数。
常考题型一：常数项级数的收敛性1.【1996—3 3分】下述各选项正确的是（ ）()A 若21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑都收敛，则21()n n n u v ∞=+∑收敛.()B 若1n n n u v ∞=∑收敛，则21nn u ∞=∑与21nn v ∞=∑都收敛. ()C 若正项级数21nn u ∞=∑发散，则1n u n≥. ()D 若级数21n n u ∞=∑收敛，且(1,2,)n n u v n ≥=，则级数21nn v ∞=∑也收敛. 【小结】：正项级数的判别法最基本的思想是比较判别法，它有很多种具体的表现形式，其中之一是极限审敛法，其内容是 设1nn u∞=∑是正项级数：如果lim 0n n nu l →∞=>，则级数1nn u∞=∑发散；如果lim ,(1)pn n n u l p →∞=<+∞>，则级数1n n u ∞=∑收敛。
正项级数
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机动
例4：判定下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n 1 n 10
3
;
(2)
n1
1 3 n
n
;
2n 1
2n n n 10 ( lim 解： 1 ) lim 3 n 1 n n 10
3
3
2
2
n1
1 n
特别地， 当 u n ~ v n ( n ) 时 ，
两级数有相同的敛散性；
(2) 当 l 0 时 ， 若
v n 收敛
n1
，则
u n 收敛
n1
，
( 3 ) 当 l 时 ，若
vn
n1
则 发散 ，
un
n1
机动
发散 ，
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证明
( 1 ) 由 lim l l 2 un vn un ห้องสมุดไป่ตู้n
1
收敛 发散
重要参考级数:
几何级数，p-级数，调和级数。
推论：设
un 、 vn 均为正项级数，且存在 N ，当
n 1 n 1
n N 时，有 un kv n ( k 0 ) ，则
（1）若
vn 收敛，则 un
n 1 n 1
收敛；
（2）若
un
n 1
发散，则
2
收敛 ,
n
2
1
(2)
故原级数收敛.
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四、将下列函数展开成 x 的幂级数
1、f x ln 1 x 2 x 2 解 f x ln 1 x 2 x 2 ln 1 2 x ln 1 x
而 ln 1 2 x ln 1 x
2x 2x 2x
收敛区间 4， 4
3、
n 1
收敛区间 1， 1
n
1
n
2
n 1
x 2
4、
n 1
x 5
n 1
收敛区间 3，1
5、
n 1
n 收敛区间 4， 6
n 1 n 2n x 2 n
2 2 收敛区间 ， 2 2
2n n 1 收敛区间为 x 1 1, 即 1 x 3 2 n x 1 , 1 x 3 设s x n n 1 2 n
则s x
n 1
x 1
2n
n 1
1 n 1 1 x 1 1 2 x 1 3 x n 1 2 2 1 2
1 2 x 所以s x dx ln 3 x 1 ln 1 3 x 3 x n 1 , 收敛； 当x 1时，级数为 n n 1
x
1 当x 1时，级数为 , 发散； n 1 n
2 所以 s x ln ，x [1,3) 3 x
1n 1 n n n 6、 2n x 3 x n 1 1 1 收敛区间 ， 3 3
三、求下列幂级数的收敛区间及和函数 n x 1 1、 2n n n 1 n 1 x 1 2n 1 n 1 1 x 1 解 lim n n 2 x 1
2 n 1 s x 2n 2 x 1 2x 1 n 1 2 2 x 1 1 n 1 n 而 2n 2 x 1 2x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 2 n 1 n2
一、判别下列级数的收敛性 1 1、 3n 23n 1 比较判别法或按定义判别，收敛 n 1
1 2、 2 n ln n n 1
3、
n 1
Hale Waihona Puke 比较判别法，收敛n
1 ln n 1
根值判别法，收敛
n! 4、 10n n 1
5、判别 1
三、求下列幂级数的收敛区间及和函数
n n 2、 n 1 2 x 1 n 1 n 1 n 1 2 x 1 2x 1 解 lim n 2 n n n 2 x 1 n 1
收敛区间为 2x 1 1,即1 x 0
n n 当x 1时，级数为 1 , 发散； n 1 n 1 n 当x 0时，级数为 , 发散； n 1 n 1
1 而 s 0 C ln 2 1 2
ln 2 x 1 1 s x , x , x 1,0 2x 1 2x 2
ln 2 x 1 1 1 , x 1, ,0 2x 1 2x 2 2 s x 1 0, x 2
n 1 n
比值判别法，发散
n 1 n 是否收敛，若收敛，
则是绝对收敛，还是条件收敛？
莱布尼兹判别法， 条件收敛
二、求下列幂级数的收敛区间（用比值判别法确定） 2n2 x n1 n 1 x 1、 n1 2、 1 4 n 2n 2 n 1 n 1
2
3
2
3
3
1
n
n 1
2x
n
n
n
, 1 2 x 1
2 1 1 所以当 x 时， 2 2
x x
第九章内容提要
基本概念：正项级数、交错级数、级数的收敛与发散、 条件收敛、绝对收敛、幂级数、收敛半径、收敛区间、 收敛域、和函数；
基本性质与定理：正项级数的比较判别法、比值判别 法、根值判别法、交错级数的莱布尼兹判别法、绝对 收敛的性质；
基本计算：幂级数的加减、微分、积分运算； 重点难点：幂级数的和函数的求法及利用和函数确定 数项级数的和的方法、将函数展开成幂级数；
2 1 所以有 s x s x 2 2x 1 2x
2 1 即 s x s x 2 2x 1 2x
则 s x e
2 dx 2 x 1
1 2 x21dx 1 1 dx C 2 e ln x 2 x C 2x 2x 1
n 1 n n n 1 设 s x 2 x 1 n 1 2x 1 2 x 1 n1 n 1 n 1
两边对x求导，得 2 n 1 n 1 n s x 2 x 1 2n 2 x 1 2 2 x 1 n1 2 x 1 n1 n 1 2 n n n 1 即 s x n 1 2x 1 2n 2x 1 2 x 1 n1 n 1