相似三角形的旋转变换
2024相似三角形课件初中数学PPT课件
相似三角形课件初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何变换中应用•代数法证明三角形相似•几何法证明三角形相似•相似三角形在解题中应用•总结回顾与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质相似三角形定义及表示方法定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
表示方法通常用符号“∽”来表示两个三角形相似，记作△ABC∽△DEF，其中顶点A与D，B与E，C与F分别对应。
相似三角形对应角、对应边关系对应角关系相似三角形的对应角相等，即如果△ABC∽△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
对应边关系相似三角形的对应边成比例，即如果△ABC∽△DEF，且他们的对应边长之比为k，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。
01020304预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形判定定理如果两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似比概念及应用相似比定义01相似三角形对应边的比值叫做相似比。
相似比性质02相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
应用03在几何证明、测量、建筑设计等领域中，相似三角形及相似比的概念有着广泛的应用。
例如，利用相似三角形原理可以测量高度、宽度等难以直接测量的距离。
02相似三角形在几何变换中应用放大、缩小与位似变换放大与缩小相似三角形在放大或缩小时，其对应角不变，对应边成比例变化。
位似变换位似变换是一种特殊的相似变换，其中两个相似图形不仅对应边成比例，而且对应点连线相交于一点。
应用实例在建筑设计中，利用相似三角形的放大或缩小原理，可以制作出不同比例的建筑模型。
80%80%100%平移、旋转与对称变换中保持相似性平移变换不改变图形的形状和大小，因此平移前后的两个相似三角形仍然保持相似性。
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用相似三角形的判定及其应用相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何图形的相似性及其应用方面具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及在实际问题中的应用。
一、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用的方法有以下几种：1. AA判定法（角-角相似判定法）当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]2. AAA判定法（全等三角形的判定法）如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，∠C1 = ∠C2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]3. SSS判定法（边-边-边相似判定法）当两个三角形的对应边长度成比例时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度利用相似三角形的性质，可以通过测量一个物体的阴影和遮挡的长度，来计算出物体的真实高度。
如下图所示，通过测量△ABC的阴影长度BD和实际高度AC，可以利用相似三角形的比例关系计算出物体的真实高度。
[插入示意图]2. 地图比例尺在地图上，为了能够容纳更多的信息，通常会使用比例尺来缩小地图的尺寸。
利用相似三角形的性质，可以通过测量地图上的距离和实际距离来确定比例尺的大小，进而测量其他地点的实际距离。
3. 相似三角形的分割比例在一些几何问题中，需要将一个三角形或长方形划分成若干个部分，利用相似三角形的性质可以确定每个部分的长度比例。
等边三角形中的旋转模型(全等和相似三角形的重要结论)
如图所示，在线段AE上取一动点C（C点不与A、E重合），在AE的同侧分别以AC、CE为边作等边 ABC，等边 DCE，连接AD、BE交于点O，BC与AD交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ和OC.结论1： ACD≌ BCE【解析】∵等边三角形ABC和等边三角形DCE∴AC=BC DC=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD =60°+∠BCD即∠ACD=∠BCE在 ACD和 BCE中AC BCACD BCEDC CE∴ ACD≌ BCE（SAS）结论2：∠ACB=∠BOA=∠DOE=60°、∠AOE=120°【解析】∵ ACD≌ BCE∴∠EBC=∠DAC∵∠EBC+∠BPO+∠BOP=180°∠DAC+∠CPA+∠BCA=180°∠BPO=∠CPA∴∠BCA=∠BOP=∠DOE=60°∴∠AOE=180°-∠BOA=120°结论3：OC平分∠AOE【解析】作CE⊥AD，CF⊥BE，垂足分别是E、F∵ ACD≌ BCES S∴AD=BEACD BCE∴CE=CF∴OC平分∠AOE（在角内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）结论4：∠AOC=∠EOC=60°【解析】∵OC平分∠AOE ∠AOE=120°∴∠AOC=∠EOC=60°结论5：∠OED=∠OAC【解析】∵∠DEC=∠DOE=60°∠DOE=∠OAC+∠OEA∴∠OED+∠OEA=∠OAC+∠OEA∴∠OED=∠OAC结论6： ACP≌ BCQ PCD≌ QCE【解析】∵∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60°∴∠ACB=∠BCQ∵ ACD≌ BCE∴∠DAC=∠EBC在 ACP≌ BCQ中AC BCACB BCQDAC EBC∴ ACP≌ BCQ（ASA）同理可证： PCD≌ QCE结论7：三角形PCQ是等边三角形【解析】∵ ACP≌ BCQ∴PC=QC∴三角形PCQ是等腰三角形∵∠PCQ=60°∴三角形PCQ是等边三角形结论8：PQ∥AE【解析】∵三角形PCQ是等边三角形∴∠CPQ=60°∴∠CPQ=∠ACB∴PQ∥AE结论9：∠OPC+∠OQC=180°O、P、C、Q四点共圆(对角互补的四边形的顶点共圆)【解析】在四边形OPCQ中，∠OPC+∠OQC=360°-（∠AOE+∠BCQ）=360°-（120°+60°）=180°A0：AO=BO+OC EO=OD+OC【解析】作OK=OC∵∠AOC=60°∴三角形OKC是等边三角形∴KC=OC∴∠ACK=∠BCO=60°-∠PCK在 ACK和 BCOAC BCACK BCOKC OC∴ ACK≌ BCO（SAS）∴AK=BO∴AO=AK+OK=BO+OC同理可证：EO=OD+OC【拓展探究】如图，已知C是线段AB上的一个动点（不与端点重合）,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE 于N.结论1:MN∥AB【解析】∵CD∥BE∴ NEB~ NCD∴NE EB CN DC∵AD∥CE∴ ADM~ ECM∴AD AM CD CE ME BE∴CN AM NE ME∴MN∥AB （平行线分线段成比例的推论）11AC BC【解析】∵ NEB~ NCD∴设NE NB EB m NC DN CD ∴NE=mCN,NB=mDN ∵ ADM~ ECM∴MC ME EC m DM AM AD ∴MC=mDM,ME=mAM ∵MN ∥AC MN ∥BC∴1MN NE mCN m AC NE CN mCN CN m 11MN DM DM BC DM MC mDM DM m ∴1111MN MN m AC BC m m ∴111MN AC BC 14MNAB 【解析】 ∵111BC AC MN AC BC AC BC ∴BC AC AC BC MN AC BC AB 设AC=x∴21111(AB )()244x MN x x AB AB AB AB AB。
相似三角形的性质及应用用
通过将相似三角形组合起来，可以创 造出各种具有对称性和美感的几何图 案。这些图案在建筑设计、装饰艺术 和纺织品设计中都有广泛应用。
利用相似三角形解决实际问题
总结词
相似三角形的性质在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程测量、航海、航空等。
详细描述
在工程测量中，可以利用相似三角形来计算物体的高度、长度等参数。在航海和航空领域，可以利用相似三角形 来计算航行距离、高度和方向等数据。这些应用都基于相似三角形的性质，能够提供精确和可靠的测量结果。
相似比
相似三角形对应边的比值称为相 似比。
性质
对应角相等
面积比等于相似比的平方
相似三角形的对应角相等，即$angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
相似三角形的面积比等于其相似比的 平方，即$frac{S_1}{S_2} = (frac{a_1}{a_2})^2$。
相似三角形的对应边长之比是一个常数，这个常数被称为 相似比。
总结相似三角形的性质和应用
• 面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于其 相似比的平方。
总结相似三角形的性质和应用
测量
在几何测量中，相似三角形是解 决实际问题的重要工具，如计算
建筑物的高度、河的宽度等。
建筑设计
在建筑设计领域，相似三角形可用 于确定建筑物的比例和尺寸，以实 现美观和功能性的平衡。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即 $frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$。
相似三角形的判定条件
01
02
九年级同步第5讲：相似三角形的判定(二)-教师版
ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲ABC DEF AB CD EF【例1】 根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，如果是，那么用符号表示出来．（1）2AB cm =，3BC cm =，4CA cm =，10DE cm =，15EF cm =，20FD cm = （2）1AB cm =，2BC cm =， 1.5CA cm =，6DE cm =，4EF cm =，8FD cm =．【难度】★【答案】（1）相似，ABC DEF ∆∆∽．（2）相似，ABC EFD ∆∆∽． 【解析】略．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时注意表示相似时对应点的位置．【例2】 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC ∆与DEF ∆．求证：ABC ∆∽FDE ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】由图知：1BC =，2AC =，5AB =，2DE =，2EF =，10DF =．22BC AC AB DE EF DF ===，∴ABC FDE ∆∆∽．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3．【例3】 如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：DEF ∆∽ABC ∆． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，∴12DE AB =，12FE BC =，12DF AC =．∴2AB BC AC DE EF DF===，∴DEF ∆∽ABC ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和三角形中位线的性质．例题解析AB CDEAB CD【例4】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC ∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】若a b c ==时，相似；若a 、b 、c 中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想．【例5】 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE ==．求证：ABD ∆∽ACE ∆．【难度】★★【答案】略．【解析】AB BC ACAD DE AE == ∴A B C A D E ∆∆∽． ∴BAC DAE ∠=∠， 即BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠．∴BAD CAE ∠=∠．AB ACAD AE= ∴ABD ∆∽ACE ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．【例6】 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =．求证：ABC ∆∽ACD ∆．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =．∴112AB AC ==，∴在Rt ABC ∆中，3BC =．23CD =，4AD =， ∴12A B A C B C A C A D C D ===，∴ABC ∆∽ACD ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识．ABCDEF【例7】 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）90ACB ∠=︒，CAD B ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽ ∴CD AC AD AC CB AB==． ∴2AC CD CB =∙ ∴1CD =．∴在Rt ADC ∆中，5AD =．（2）点E F 、分别是AD 、AB 的中点，∴12EF BD =． 在Rt ADC ∆、Rt ABC ∆中，12CE AD =，12CF AB =． ∴12CE CF EF AD AB BD ===，∴CEF ∆∽ADB ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识．【例8】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图． 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴．又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形． 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=． 点E 是AD 的中点 2E D E A ∴==．∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（本题还可用其它方法证明）（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴C D E ∆∽CEB ∆． 【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型．ABCD EF1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例9】 在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． （1）55A ∠=︒，35D ∠=︒；（2）9AC =，12BC =，6DF =，8EF =； （3）3AC =，4BC =，6DF =，8DE =； （4）10AB =，8AC =，15DE =，9EF =． 【难度】★【答案】（1）相似，两三角形有两组角对应相等，故相似； （2）相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似；（3）不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似； （4）相似，斜边和直角边对应成比例，故相似． 【解析】略．【总结】本题考查了相似三角形的判定方法，要灵活运用．模块二：直角三角形相似的判定定理知识精讲例题解析ABC A 1B 1C 1ABC DABDCABCD【例10】 如图，在ABC ∆和111A B C ∆中，AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，垂足为D 和1D ，且111111AC AB ADAC A B A D ==． 求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，∴11190ADC A D C ∠=∠=．又111111AC AB ADAC A B A D ==， ∴111Rt ADC Rt A D C ∆∆∽，∴1C C ∠=∠．同理可得：1B B ∠=∠， ∴ABC ∆∽111A B C ∆．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【例11】 如图，四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AD a =，BC b =，AC ab =．求证：DC BC ⊥．【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AD a =，BC b =，AC ab =，∴2AC AD BC =∙． ∴AC BCAD AC=． 又90BAC ADC ∠=∠=，∴ADC CAB ∆∆∽． ∴ACD B ∠=∠．又90B ACB ∠+∠=，∴90ACD ACB ∠+∠=．∴D C B C ⊥．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．ABCDABCDF G【例12】 如图，AB AD ⊥，BD DC ⊥，且2BD AB BC =．求证：ABD DBC ∠=∠．【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AB AD ⊥，BD DC ⊥，∴90BAD BDC ∠=∠=．2BD AB BC =， ∴BC BDBD AB=．∴BAD BDC ∆∆∽． ∴A B D D B C ∠=∠．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例13】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =∙．同理可得：2DC CG CB =∙， ∴CF CA CG CB =．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例14】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．【难度】★★ 【答案】73．【解析】解：如右图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=， CD AB ⊥于点D ，AE EB =．设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC=，得2DC AD DB =∙，所以21234x x =∙解得23x =，7143AB x ==，而12CE AB =，所以73CE =． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．A BCDEFABCDEFM【例15】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【难度】★★【答案】43．【解析】解：由旋转的性质得：BEC DFC ∆≅∆， 且90BCD ECF ∠=∠=．903BEC ECF EC FC ∴∠=∠===，，5BC CD ==．∴180ECF DFC ∠+∠=， ∴//EC DF ．∴DM DFMC EC=．在Rt DCF ∆中，224DF DC CF =-=．∴43DM MC =． 【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．【例16】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DE AC ⊥，∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CE =∙． 同理，可得：2DC CF CB =∙．∴CA CE CF CB ∙=∙， 即 CF CEAC CB =．又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．ABCD EF【例17】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =； （2）求证：BF AE FD BA =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =∙．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =∙． ∴BF BE BD BA ∙=∙， ∴FB BD BA BE= 又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴FB FDBA AE=．∴BF AE FD BA ∙=∙．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【例18】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、． 使得1111DE AD D E A D ==，． ∴111122AE AD A E A D ==，．AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D B E D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC AB AEAC A B A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠， ∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．ABCDEF【例19】 如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：联结GF ． 90BDC ∠=，DF BC ⊥， ∴90BDC DFB ∠=∠=．又CBD FBD ∠=∠， ∴DBF CBD ∆∆∽． ∴DB BF BC DB=， ∴2D B B F B C =∙． 90EDB ∠=，GD BE ⊥， ∴90DGB EDB ∠=∠=．又EBD GBD ∠=∠， ∴GBD DBE ∆∆∽． ∴DB EBBG DB=， ∴2DB BG BE =∙． ∴BF BC BG BE ∙=∙， 即FB BGBE BC=． 又GBF EBC ∠=∠， ∴GBF CBE ∆∆∽．∴GB FG BC CE=， ∴FG BC CE BG ∙=∙． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立．【例20】 如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】证明：ACE ∆、ABF ∆是正三角形，∴AC CE AB AF ==，，6060FAB ACE ∠=∠=，．AD BC ⊥， ∴90BDA ADC ∠=∠=． ∴90CAD ACD ∠+∠=．90BAC ∠=， ∴90BAD DAC ∠+∠=． B A D D C A ∴∠=∠． ∴DBA DAC ∆∆∽． ∴C D A C A D A B =． ∴C D E CA D A F =．FAB BAD DCA ACE ∠+∠=∠+∠， ∴F A D D C E ∠=∠．∴FAD ECD ∆∆∽． ∴A D F E D C ∠=∠．90ADE EDC ∠+∠=， ∴90ADF EDA ∠+∠=． ∴D E D F⊥． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质等知识．BCD EFGAB CDEP1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例21】根据下列条件，能判定ABC ∆和DEF ∆相似的个数是（）．（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒； （2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒；（3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）6AB =，2CB =，2AC =，3DE =，1EF =，2DF =． （A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】A【解析】（1）（2）（3）不相似，（4）相似 【总结】本题考查了三角形相似的判定知识．【例22】 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ）．（A ）APB EPC ∠=∠ （B ）90APE ∠=︒ （C ）P 是BC 的中点 （D ）:2:3BP BC =【难度】★ 【答案】C 【解析】略．【总结】本题考查了三角形相似的判定知识．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEFGH123ABCD【例23】 已知ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是角平分线，求证：ABC ∆∽BCD ∆．【难度】★【答案】略． 【解析】证明：36AB AC A =∠=，，∴72ABC ACB ∠=∠=．又BD 是角平分线， ∴36ABD DBC ∠=∠=．∴A DBC ∠=∠， A B C B C D ∠=∠，∴ABC BCD ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定知识，此三角形是黄金三角形．【例24】 在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【难度】★★ 【答案】10或325． 【解析】若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，得AD AE AB AC =或AD AEAC AB =，即可得解． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论．【例25】 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【难度】★★ 【答案】90．【解析】解：设正方形ABDC 、CDFE 、 EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH =． ∴2AD DH AHDF AD AF===， ∴A D H F D A ∆∆∽． ∴3D A F ∠=∠． 四边形ABDC 是正方形， ∴A B B D =． ∴145∠=．又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键．ABCDEABCDEN M【例26】 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【难度】★★ 【答案】当CM 为55或255时，ADE ∆与以 M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】解：四边形ABDC 是正方形， ∴2AB AD ==． 又AE EB =， ∴1AE =．在Rt CMN ∆中，222MN CM CN =+．① 当55CM = 时，255CN =，∴5AE AD CM CN ==， ∴A D E C N M ∆∆∽；② 当255CM =时，55CN =，∴5AE AD CN CM ==， ∴A D E C M N ∆∆∽． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点．【例27】如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =∙，∴2AB AD AE =∙， 即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠． 又AB AC =， ∴A B D D B C A C ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴C B D C B E ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【例28】 如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【难度】★★ 【答案】3AN =或163． 【解析】解：如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况：128A B B M ==，，∴4AM =．① 当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴A M A N AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． ② 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =．∴3AN =或163． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点．【例29】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EH CD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴E H D M∠=∠． 又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽．∴DM AD DH ED=， 即DM ED DA HD ∙=∙．∴12DM ED DA CD ∙=∙，即2ED DM DA CD ∙=∙．【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识．ABCDEFABCDEF【例30】 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【难度】★★★【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略．【解析】（2）题分割如下：作BAM E ∠=∠交BC 于点M ，作EDN B ∠=∠交EF 于点N ，可证明BAM DEN ∆∆∽，再证明另一对也相似即可．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【例31】 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．【难度】★★★【答案】DFC ∆有可能与ABC ∆相似，此时65CD =或23． 【解析】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠．BF DF CD x ∴===，2CF x =-．CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； 当DFC ACB ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =． 23x ∴=． ∴65CD =或23． 【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识．ABCDEF 【例32】 如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？ （3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值．【难度】★★★【答案】（1）EDF ∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD ∆∆∽．证明略；当点D 移动到AC 中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3）45BE BF =．【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2）相似比为1，说明ADE CFD ∆≅∆，得DE DF =． 又DB EF ⊥，所以DB 垂直平分EF ，得BD 平分ABC ∠，则ABC ∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AED CFD C BE DE BF DF C ∆∆===．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识．A BCD E FGHK【习题1】 如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与ABC ∆ 相似的是（ ）（A ）BCD ∆ （B ）BDE ∆（C ）BFG ∆（D ）FGH ∆【难度】★ 【答案】A【解析】三边对应成比例，两三角形相似． 【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【习题2】 下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】B【解析】（1）（2）正确；（3）错误，举反例如下图，ABC ∆是等边三角形，CG AB ⊥于点G ，DEF ∆是顶角为120的等腰三角形，FH ED ⊥交ED 的延长线于点H ，ACG DFH ∆∆∽，但ABC ∆与DEF ∆不相似；（4）错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．随堂检测ABC DEF ABCDEF【习题3】 如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =，则AC =．【难度】★ 【答案】6．【解析】由ACB DCF ∆∆∽，得CF CDCB AC=． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质知识，此图是比 较重要的相似基本模型．【习题4】 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】解：如图，联结AG 并延长交BC 于点D ，分别作GE BC ⊥、 A F B C ⊥于点E 、F ．由题知，6AF =．点G 为重心， ∴13DG DA =． 又//GE AF ， ∴G E D GA F D A=． ∴2GE =． 【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题．【习题5】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽．∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =∙． 同理，得：2CB BD BA =∙． ∴B F B E B D B A ∙=∙， ∴F B B DB A B E=． 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽． ∴B D F DB E A E=． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．ABCDEABCDEO【习题6】 已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【难度】★★【答案】4或632±．【解析】解：由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =； （2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 即3126x x =-，得212180x x -+=， 解得632x =±；综上：BE =4或632±．【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用．【习题7】 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE //CD 交CA 的延长线于点E ，求证：2OC OA OE =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】//AD CB ， ∴C O B OO A O D=． //BE CD ， ∴C OD OO E O B=．∴CO OAOE OC=， ∴2O C O A O E =∙． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用．A BCPQ【习题8】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 从B 出发，沿 BC 方向以2cm/s 的速度移动到C 点，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动到A 点．若点P 、Q 分别同时从B 、C 出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？【难度】★★【答案】125t =或3211时，CPQ ∆与CBA ∆相似．【解析】设经过t 秒CPQ ∆与CBA ∆相似，则 2BP t =，CQ t =，∴82CP t =-．要使CPQ ∆与CBA ∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA ∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t -=，∴125t =； ②当CPQ CAB ∆∆∽，∴CP CQCA CB=， 即8268t t -=。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一：A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ． （1）求证： ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
相似三角形的对称轴与旋转中心性质
相似三角形的对称轴与旋转中心性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在几何学中，相似三角形之间存在着一些特殊的性质，其中包括对称轴和旋转中心。
本文将探讨相似三角形的对称轴与旋转中心的性质。
1. 对称轴的性质对称轴是指在相似三角形中两个对应部分的对称线。
对称轴具有以下性质：1.1 对称轴与中位线若两个相似三角形的对称轴重合，则这两个相似三角形的中位线也重合。
这是由于对称轴将相似三角形分割为对应部分，而中位线是连接两个对应部分的线段。
1.2 对称轴上的对应点在相似三角形的对称轴上，两个对应点之间的连线平行于对称轴。
这是因为对称轴的作用是将相似三角形进行镜像对称，因此对称轴上的对应点之间的连线与对称轴平行。
1.3 对称轴和边的关系对称轴与三角形的一条边垂直相交，并且对称轴上的分割线段与相应边的长度成比例关系。
这是因为对称轴是将相似三角形分割为对应部分，而对应部分之间的边长比例恒定。
2. 旋转中心的性质旋转中心是指相似三角形中的一个点，通过绕该点旋转一个固定角度，可以得到另一个相似三角形。
旋转中心具有以下性质：2.1 旋转中心与中点在相似三角形的中位线上，旋转中心与相应的中点重合。
这是因为中位线将相似三角形分割为对应部分，旋转中心是使得一个相似三角形通过旋转得到另一个相似三角形的点。
2.2 旋转中心与顶点旋转中心与相应顶点和旋转后的顶点在一条直线上。
这是因为旋转中心是使得旋转后的三角形与原始三角形具有相似关系的点，因此与旋转后的顶点和原始顶点构成的线段重合。
2.3 旋转中心和旋转角度旋转中心处旋转角度为固定的值，通过改变旋转角度可以得到不同的相似三角形。
旋转角度的正负决定了旋转的方向，正值表示顺时针旋转，负值表示逆时针旋转。
综上所述，相似三角形的对称轴与旋转中心具有一些特殊的性质。
对称轴将相似三角形进行镜像对称，对称轴上的对应点之间的连线平行于对称轴，并且对称轴与边的关系成比例。
旋转中心通过旋转使得相似三角形获得形状的改变，与中点和顶点重合，并且旋转角度的正负决定了旋转的方向。
初中数学中的图形的相似变换
初中数学中的图形的相似变换在初中数学的广阔领域中，图形的相似变换是一个极为重要的概念，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解和解决许多几何问题的大门。
相似变换，简单来说，就是指两个图形在形状上相同，但大小可能不同。
这种相似关系在我们的生活中随处可见。
比如，不同尺寸的照片、放大或缩小的地图，这些都是相似图形的实际应用。
相似变换包括了三种基本的操作：平移、旋转和缩放。
平移，就是将图形沿着某个方向移动一段距离，移动后的图形与原图形的形状和大小完全相同，只是位置发生了改变。
想象一下，你把一本书从桌子的左边移到右边，书的形状和大小没有任何变化，这就是平移。
旋转则是围绕一个固定的点，将图形按照一定的角度进行转动。
像是公园里的旋转木马，每匹马在围绕中心轴转动的过程中，其形状和大小始终保持不变，只是方向发生了改变。
而缩放，就是将图形按照一定的比例放大或缩小。
比如说，用放大镜看一幅画，画中的图案就被放大了，但其形状依然不变。
在数学中，判断两个图形是否相似，主要依据是它们的对应角相等，对应边成比例。
这是相似图形的核心特征。
相似三角形是相似图形中的一个重要类型。
对于相似三角形，我们有着许多重要的定理和性质。
比如，“两角分别相等的两个三角形相似”，如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。
再比如“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，如果两个三角形的两组对应边的比值相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形也是相似的。
相似三角形的性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在测量物体的高度时，我们常常利用相似三角形的原理。
假设我们要测量一棵大树的高度，但是直接测量是很难做到的。
这时，我们可以在同一时间、同一地点，测量一根直立的小木棍的长度以及它的影子长度，同时测量大树的影子长度。
因为太阳光线是平行的，所以大树和它的影子、小木棍和它的影子构成了相似三角形。
通过小木棍和它的影子的长度比例，以及大树影子的长度，就可以计算出大树的高度。
相似三角形的概念与性质
相似三角形的概念与性质相似三角形是几何学中重要的概念，它在求解各种问题中有着广泛的应用。
相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质为我们解决问题提供了便利。
本文将介绍相似三角形的概念以及其相关的性质。
一、相似三角形的概念相似三角形指的是有相同形状但是不同大小的三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边长之比相等。
如果两个三角形的对应角度相等并且对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。
具体而言，设有两个三角形，分别为△ABC和△DEF。
如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AC/DF=AB/DE=BC/EF，那么△ABC与△DEF是相似三角形。
二、相似三角形的性质1. 对应角等价性相似三角形的对应角是相等的。
如果两个三角形相似，则它们的对应角相等。
2. 对应边比例性相似三角形的对应边长之比相等。
如果两个三角形相似，则它们的对应边的比值相等。
3. 边比例条件如果两个三角形的三条边之比相等，则它们是相似的。
4. 高度比例性质相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
5. 面积比例性质相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
三、相似三角形的应用相似三角形的概念与性质在实际问题中常常被应用。
1. 三角形比例问题在许多问题中，需要求解三角形中的未知边长或者角度。
利用相似三角形的性质，可以通过已知条件得到所需未知量的值。
2. 长度测量问题利用相似三角形的边比例条件，可以通过已知长度计算出无法直接测量的长度。
3. 图像变换问题在几何图形的变换中，相似性是常见的一个概念。
通过将原图形进行缩放、旋转或者平移等变换，可以得到相似的图形。
4. 导航与测量相似三角形的概念也在导航与测量领域得到广泛应用。
通过利用已知的三角形比例，可以测量出无法直接测量的距离或者高度。
综上所述，相似三角形的概念和性质在几何学中具有重要的地位。
通过相似三角形的性质，我们可以在解决各类问题时简化计算过程，提高解题效率。
因此，熟练掌握相似三角形的概念与性质对于几何学的学习和实际应用都具有重要的意义。
“旋转、相似”的组合运用
△E4C都是既有旋转变换( 绕点C旋转) ，又有 相似变换，符合“旋转、相似”特点，因此这两对
三角 形可看 作都是 “旋转 、相似 ”变换 ． 2．“旋转、相似”变换的基本功能
我们知道教材编排的“旋转”这块内容对学 生的空间观念、空间思维及对几何推理的促进 有着莫大的帮助，特别是在解决图形旋转过程 中有关量之间关系，如相等的线段、相等的角、 对应点的运动轨迹等，需要学生深入了解问题
把旋 转、 相似两 种变 换结合 起来 进行分 析、 解
说， 这对 学生的 空间 思维和 逻辑 推理能 力的 提
高有一 定的限 制．
本人根据平时遇到的一些“旋转”、“相似”
题型，结合自己的教学想法，略述“旋转”、“相
似”有效结合在实战中的妙用，供参考．
1．“ 旋转、 相似” 变换的 基本涵 义
我们 知道 “旋转 ”变换 后的 两个图 形关 系
解
为
：△
A0
1
0
3放大√2一倍，逆时针
厶
旋转45。得 到△ABJ， 即线段01 03放大√2倍后， 再逆时针旋转45。得到BJ ；同理可理解：由
5
△BCJ ∽△02cA，看作△BcJ 放大等倍后，再 厶
眄
逆时针旋转45。得到△02CA，即BJ 放大等倍 厶
后，再逆时针旋转45。得到A02，因此01 03= A02，01 03上A02．
将会提升到一个深层次，有助于学生的几何综
上海中 学数学· 2008年第 4期
合能力的整体提高，也为学生学好三维几何打
下一定的 基础．
3． “旋转 、相 似”变 换的实 战妙 用
“旋转、相似”变换的解题目的在于在解答
有关有旋转和相似内容相结合的问题时，能把
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相似三角形的旋转变换
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形，它们之间的对应角度是相等的，对应边的比例也相等。
旋转变换是指将一个图形绕着某个点旋转一定角度后得到的新图形。
对于相似三角形的旋转变换，我们可以通过几何方法和坐标方法来分别进行讨论和计算。
几何方法：
假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，旋转中心为O，旋转角度为θ，我们来看一下旋转变换的几何性质。
首先，旋转变换不改变相似三角形的形状，只改变其大小和位置。
旋转后的相似三角形A''B''C''在旋转前的相似三角形ABC中所占的比例是相等的。
其次，旋转变换保持对应角度相等。
旋转后的相似三角形A''B''C''与旋转前的相似三角形ABC之间的对应角度是相等的。
旋转变换只改变旋转角度不改变角度大小。
最后，旋转变换保持对应边的比例相等。
旋转后的相似三角形
A''B''C''与旋转前的相似三角形ABC之间的对应边的比例是相等的。
旋转变换只改变旋转中心到各点的距离，不改变对应边的长度比。
坐标方法：
在坐标平面上，假设旋转中心O的坐标为(a,b)，旋转前的点A的坐标为(x,y)。
根据旋转变换的性质，我们可以得出旋转后的点A''的坐标(x',y')与旋转前的点A的坐标之间的关系：
1. 将坐标原点平移到旋转中心O处，即将坐标平面上的任意点(x,y)变换为(x-a,y-b)，新坐标系的原点为旋转中心O；
2. 用旋转角度θ将坐标原点平移到旋转前的点A处，即进行逆时针旋转θ度，得到点A的新坐标；
3. 将坐标还原回来，即将(x',y')变换为(x'+a,y'+b)。
通过这样的坐标变换，我们可以得到旋转变换后的点A''的坐标
(x',y')，进而计算出旋转变换后的三角形的各个顶点的坐标。
总结：相似三角形的旋转变换是一种保持相似性质的变换，旋转变换不改变相似三角形的形状，只改变其大小和位置。
我们可以通过几何方法和坐标方法来分析和计算旋转变换的性质和结果。
（以上为文章的正文部分，满足文章要求，字数约为300字。
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