三年高考2016-2018高考数学试题分项版解析专题15不等式性质线性规划与基本不等式文含解析

专题15不等式性质，线性规划与基本不等式文

考纲解读明方向

分析解读1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.

分析解读1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.

分析解读1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.

分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.

2018年高考全景展示

1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数的最大值为

A. 6

B. 19

C. 21

D. 45 【答案】C

【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.

点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在

y 轴上截距最小时，z 值最大.

2．【2018年文北京卷】设集合

则

A. 对任意实数a，

B. 对任意实数a，（2,1）

C. 当且仅当a<0时,（2,1）

D. 当且仅当时,（2,1）

【答案】D

【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.

点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.

3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是

___________．

【答案】-28

【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.

详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.

4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y?U最小值是_________.

【答案】3

【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当

时取得最小值.

详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图

令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，

的最小值为.

点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.

6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3

【解析】分析：作出可行域，平移直线可得

详解：作出可行域

由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.

点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

8．【2018年全国卷II文】若满足约束条件则的最大值为__________．

【答案】9

【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.

点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.

2017年高考全景展示

1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】D

【解析】

试题分析：如图，目标函数经过时最大，故，故选D．

【考点】简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式

转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．

2.【2017课标II，文7】设满足约束条件,则的最小值是

A. B. C. D

【答案】A

绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值

.故选A.

【考点】线性规划

【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）

A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2] D．[0,3]

【答案】B

【考点】线性规划【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

4.【2017北京，文4】若满足则的最大值为

（A）1（B）3

（C）5（D）9

【答案】D

【解析】

试题分析：如图，画出可行域，

表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，

故选D.

【考点】线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解

目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数

转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.

5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是

A.-3

B.-1

C.1

D.3

【答案】D

【解析】

当其经过直线与的交点时,最大为,故选D. 【考点】线性规划

【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.

(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．

6.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是

A ．[0，6]

B ．[0，4]

C ．[6，

D ．[4，

【答案】D 【解析】

【考点】简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式

转化为

（或

），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是

封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费 用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是▲. 【答案】30 【解析】总费用

，当且仅当

，即

时等号成立.

【考点】基本不等式求最值

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 8.【2017天津，文13】若a ，，

，则

的最小值为 . 【答案】

【解析】

【考点】基本不等式求最值

【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本不等式的常用形式包含，，，等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立.

9.【2017山东，文】若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为 .

【答案】

【解析】

【考点】基本不等式

10.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）设根据甲乙连续剧总的播放时间不多于600分钟，得到，根据广告时间不少于30分钟，得到，和，同时注意次数，需满足的条件，建立不等式组，画区域；（Ⅱ）求的最值，同时注意是整数解.

试题解析：（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解

目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数

转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式，但要注意实际问题中的最优解是整数.

2016年高考全景展示

1.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（）

（A）4（B）9（C）10（D）12

【答案】C

【解析】

考点：简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

2. 【2016高考浙江文数】若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由得，由得

，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即

．故选B．

考点：线性规划.

【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．

3.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件，则的最小值为__________

【答案】

【解析】

考点：简单的线性规划.

【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域；

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

4.[2016高考新课标Ⅲ文数]若满足约束条件则的最大值为

_____________.

【答案】

【解析】

考点：简单的线性规划问题．

【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．

5.【2016高考上海文科】设则不等式的解集为_______.

【答案】

【解析】

试题分析：由题意得：，即，故解集为

考点：绝对值不等式的基本解法.

【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法

.本题较为容易.

6.【2016高考上海文科】若满足则的最

大值为_______.

【答案】

考点：简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

7.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

【答案】

【解析】

试题分析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么

①

目标函数.

二元一次不等式组①等价于

②

作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.

考点：线性规划的应用

【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数

形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.

8.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)

某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润。

(1)

(2)

考点：线性规划

【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法.